4 Matriz de Paso

Archivo: 4MATRI~1
Fecha: 18/10/2009
Hora: 17:59:44
PRÁCTICA: MATRIZ DE PASO.
Consideremos los vectores u:=[1,0], v:=[1,1] que constituyen una base del
espacio vectorial R^2, así como los vectores i:=[1,0], j:=[0,1] que
constituyen otra base del mismo espacio vectorial. Dado el vector x:=(3,4)
se trata de hallar la matriz del cambio de base. Expresemos dicho vector en
función de la primera base.
#1:
u ≔ [1, 0]
#2:
v ≔ [1, 1]
#3:
i ≔ [1, 0]
#4:
j ≔ [0, 1]
#5:
x ≔ [3, 4]
#6:
x = α·u + β·v
Pidamos RESOLVER-EXPRESION
#7:
SOLVE(x = α·u + β·v, [α, β])
#8:
[α = -1 ∧ β = 4]
De donde x=-u+4v.A continuación los vectores de la primera
base en función de la segunda
#9:
u = γ·i + δ·j
#10:
SOLVE(u = γ·i + δ·j, [δ, γ])
#11:
[δ = 0 ∧ γ = 1]
De donde u=0i+4j.A continuación lo mismo con v:
#12:
v = λ·i + μ·j
#13:
SOLVE(v = λ·i + μ·j, [λ, μ])
#14:
[λ = 1 ∧ μ = 1]
De donde v=1i+1j y por tanto la matriz de paso (POR FILAS)
#15:
⎡ 1
P ≔ ⎢
⎣ 1
0 ⎤
⎥
1 ⎦
#16:
⎡ u ⎤
⎡ 1
⎢
⎥ = ⎢
⎣ v ⎦
⎣ 1
0 ⎤ ⎡ i ⎤
⎥·⎢
⎥
1 ⎦ ⎣ j ⎦
POR COLUMNAS SERÍA
Página: 1
Archivo: 4MATRI~1
Fecha: 18/10/2009
#17:
⎡ 1
Pc ≔ ⎢
⎣ 1
#18:
⎡ 1
[u, v] = [i, j]·⎢
⎣ 0
Hora: 17:59:44
1 ⎤
⎥
0 ⎦
1 ⎤
⎥
1 ⎦
Para obtener la matriz del cambio de base de {i,j} a {u, v}, hallamos la
inversa de P
-1
#19:
P
⎡ 1
⎢
⎣ -1
#20:
0 ⎤
⎥
1 ⎦
y por tanto:
#21:
⎡ i ⎤
⎡ 1
⎢
⎥ = ⎢
⎣ j ⎦
⎣ -1
0 ⎤ ⎡ u ⎤
⎥·⎢
⎥
1 ⎦ ⎣ v ⎦
Veamos entonces que valen las coordenadas (-1,4) del vector x
en lugar de la base (u,v) en función de la base (i,j)
#22:
⎡ u ⎤
x = [-1, 4]·⎢
⎥
⎣ v ⎦
Sustituyamos
(u,v) por su valor
SIMPLIFICAR
#23:
⎡ u ⎤
⎡ 1
x = [-1, 4]·⎢
⎥ = [-1, 4]·⎢
⎣ v ⎦
⎣ 1
#24:
⎡ u ⎤
[-1, 4]·⎢
⎥
⎣ v ⎦
#25:
⎡ 1
[-1, 4]·⎢
⎣ 1
0 ⎤ ⎡ i ⎤
⎥·⎢
⎥
1 ⎦ ⎣ j ⎦
0 ⎤ ⎡ i ⎤
⎥·⎢
⎥
1 ⎦ ⎣ j ⎦
#26:
[[3, 4]]
que son las coordenadas del vector x en función de la base
(i,j).Veamoslo ahora al revés es decir dadas las coordenadas
de x en función (i,j) estudiemoslas en función de (u,v)
#27:
-1 ⎡ i ⎤
·⎢
⎥
⎣ j ⎦
[3, 4]·P
Página: 2
Archivo: 4MATRI~1
#28:
Fecha: 18/10/2009
Hora: 17:59:44
[[-1, 4]]
que eran efectivamente las coordenadas de x en función de i,j.
Ejercicios:
1. Hallar la matriz del cambio de base de la Base canónica de R^3 a B2 =
{(-1,-1,-1); (0,-1,-1); (0, 0,-1)}. Halla las coordenadas del vector (1,2,3) en
B2.
2. Hallar la matriz del cambio de base de la Base canónica de P2
(polinomios de grado ≤2) a B2 = {2; x-2; x^2 + x}. Halla las coordenadas del
vector
1+x+x^2 en la Base B2.
Página: 3