MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
Consideremos una transformación lineal 𝑓: 𝑉 → 𝑊 entre los espacios V y W de
dimensiones finitas 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 𝑛, dim 𝑊 = 𝑚.
Consideremos una base de cada espacio vectorial
[𝑉] = {𝑣1 , 𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 } Una base de 𝑉, [𝑊] = {𝑤1 , 𝑤2 + ⋯ +
𝑤𝑛 } 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑊.
Si 𝑋 ∈ 𝑉 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 únicos tal que 𝑥 =
{𝑎1 𝑣1 , 𝑣2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 }
Las coordenadas de x respecto a la base [𝑉] es:
𝑋[𝑉]
𝑎1
𝑎2
.
= .
.
[𝑎 𝑛 ]
Si la imagen de Si la imagen de Si 𝑋 ∈ 𝑉 es 𝑦 ∈ 𝑉 se tiene 𝑦 = 𝑓(𝑥) Como
𝑦 ∈ 𝑉 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 se puede expresar de modo único como combinación lineal de
la base [𝑊] o sea:
𝑦 = {𝑎1 𝑤1 , 𝑣2 𝑤2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑤𝑚 }
Donde los escalares 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 son las coordenadas de la imagen de x
respecto de la base [𝑊].
𝑋[𝑉]
𝑎1
𝑎2
.
= .
.
[𝑎𝑚 ]
Ahora por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, f queda
caracterizado unívocamente por los valores que cualquiera de la base V, es
decir:
𝑚
𝑓(𝑣𝑗 ) = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑤𝑖 , 𝑗 = 1,2, … . , 𝑛
𝑖=1
Enseguida asignamos a cada escalar 𝑎𝑖𝑗 un doble subíndice, el primero
asociado a cada vector de la base {𝑤1 , 𝑤2 + ⋯ + 𝑤𝑚 }, y el segundo, en
correspondencia con el vector de la base [𝑉].
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜:
𝑓(𝑣1 ) = 𝑎11 𝑤1 , 𝑎21 𝑤2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑤𝑚
𝑓(𝑣1 ) = 𝑎12 𝑤1 , 𝑎22 𝑤2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑤𝑚
𝑓(𝑣1 ) = 𝑎13 𝑤1 , 𝑎23 𝑤2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑤𝑚
…………………………
……………………………
……………………………
𝑓(𝑣1 ) = 𝑎11 𝑤1 , 𝑎2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑤𝑚
Los m.n escalares 𝑎𝑖𝑗 que estan en las combinaciones de los vectores que son
imágenes de los elementos de la base de V constituyen una matriz cuya
transpuesta denotaremos por:
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … … 𝑎2𝑛
.
𝐴=
.
.
[𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … … 𝑎𝑚𝑛 ]
Esta matriz recibe el nombre de matriz de la transformacion lineal f respecto de
las bases [𝑊] y [𝑉].
La matriz de la transformación lineal es del tipo mxn donde m es la dimensión
del segundo espacio y n del primero.
Luego para hallar la matriz de una transformación lineal f respecto de una base
en cada espacio, se determinan las imágenes dadas por f de los vectores de la
base del primer espacio se expresa estas imágenes en términos de la base del
segundo espacio, o sea como combinación lineal de los vectores de la segunda
base, la transpuesta de la matriz de los coeficientes es la matriz de la
transformación lineal respecto de las bases de ambos espacios.
Si A es la matriz de la transformacion lineal f respecto de las bases [𝑊] y [𝑉] y
si 𝑋[𝑣] la matriz columna correspondiente al vector 𝑥 ∈ 𝑉 , cuyos elementos son
las coordenadas de este respecto de la base de V, entonces la imagen de x,
expresada en términos de la base W, se obtiene multiplicando por A al vector
columna 𝑋[𝑣] o sea:
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑋[𝑣] = 𝑌[𝑊]
