Matriz de Transformación - U

Matriz de Transformación
Considerar el vector v = (vx, vy, vz) en R3 y los sistemas de referencia mostrados en la
figura.
z
z´
v
y´
y
x
x´
La transformación de un vector de un sistema de referencia a otro, no altera al vector
pero si a sus componentes.
vx, = v ⋅ i , = (vx i + v y j + vz k ) ⋅ i , = vx i ⋅ i , + v y j ⋅ i , + vz k ⋅ i ,
v ,y = v ⋅ j , = (v x i + v y j + vz k ) ⋅ j , = v x i ⋅ j , + v y j ⋅ j , + vz k ⋅ j ,
vz, = v ⋅ k , = (vx i + v y j + v z k ) ⋅ k , = vx i ⋅ k , + v y j ⋅ k , + vz k ⋅ k ,
En forma matricial se tiene
 vx,   i ⋅ i ,
 ,  ,
v y  =  i ⋅ j
 vz,   i ⋅ k ,
  
j ⋅ i,
j ⋅ j,
j ⋅ k,
k ⋅ i ,   vx 

k ⋅ j ,  v y 
k ⋅ k ,   vz 
Por otro lado, los vectores dirección “prima” pueden expresarse en función de los
vectores dirección “sin prima”. Entonces,
i , = t11i + t12 j + t13k
j , = t21i + t22 j + t23k
k , = t31i + t32 j + t33k
Introduciendo estas expresiones en la matriz de transformación, considerando que i, j, k
son vectores ortonormales, se cumple
 vx,   t11 t12
 , 
v y  = t21 t22
 v z,  t31 t32
 
t13  vx 
t23  v y 
t33   vz 