Subido por Alibert Luna Palomino

Cálculo Aplicado - Chau

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Ponti…cia Universidad Católica del Perú
Estudios Generales Ciencias
Cálculo Aplicado
Norberto Chau Pérez.
San Miguel, 15 de agosto de 2018
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CHAPTER 0. CÁLCULO APLICADO NORBERTO CHAU
2
Índice general
Introducción
5
1. Integración Múltiple
7
1.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.2. Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.2.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2. Integrales de línea
2.1.
73
Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Integrales de Super…cies
3.1.
86
97
Parametrización de Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.2. El Producto Vectorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3. Integral de Super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.5. El Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6. Las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4. Series de Potencias y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
151
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2.1. Sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2.2. Propiedades de las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2.3. Convergencia, Acotación y Sucesiones Monótonas . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2.4. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3
Cálculo Aplicado Norberto Chau
ÍNDICE GENERAL
4.2.5. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3.1. Series de términos términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.3.2.
Series de Términos Cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.4. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.4.1. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.4.2.
Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.4.3. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.5. Solución de Ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias . . . . . . . . . 212
5. Serie de Fourier y Ecuaciones Diferenciales Parciales
215
5.1. Funciones periódicas y series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.1. Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.2. Propiedades de las funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2. Funciones períodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2.1. Algunas Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3. Funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.3.1.
Serie trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.3.2. Serie de Fourier de funciones de período 2¼ . . . . . . . . . . . . . 223
5.4. Serie de Fourier general y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.5. Series seno y coseno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6. Aplicaciones de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.6.1. Separación de variables conducción del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6. La transformada de Laplace y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
255
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7. La transformada de Laplace
259
7.1. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.1.1. Ecuaciones diferenciales con funciones de fuerza discontinuas . . . . . . . 278
4
ejPresentación
El texto ha sido diseñado para brindar a los estudiantes de carreras de ciencias e ingeniería
una revisión de conceptos básicos que serán requisitos para futuros cursos de varias variables.
La …nalidad del mismo es que el estudiante adquiera las herramientas necesarias para aplicar,
en la resolución de ejercicios y problemas, los conceptos y propiedades básicas de la Geometría
analítica vectorial, Introducción al Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral en varias
variables.
Este libro se caracteriza por brindar un tratamiento dinámico a los contenidos matemáticos lo
que see re‡eja al anteponer, en lo posible, a las de…niciones formales, situaciones que justi…quen
su presentación y la formalización de los objetos matemáticos involucrados. Luego de este acercamiento a las de…niciones y propiedades, se trabajan problemas de mayor complejidad para
cuya solución se requiere la comprensión, conexión y aplicación de los resultados anteriores.
Este libro de Cálculo Aplicado elaborado a partir de mis notas de clases, para alumnos de
Cálculo 4 del cuarto ciclo de Estudios Generales Ciencias de la PUCP, tienen una gran variedad y profundidad de problemas en cada capítulo, grá…cos, demostración de los teoremas
básicos, muchos ejemplos relacionados con la teoría, apéndices para reforzar temas teóricos de
la geometría analítica vectorial en le espacio,del Análisis Matemático en varias variables y uso
de las computadoras en la grá…ca de funciones cn todas sus características.
Todos los ejemplos y problemas se basan en evaluaciones pasadas del curso de Cálculo 4 y
Análisis Matemático 4 de Estudios Generales Ciencias. Existen muchos problemas basados en
grá…cos que enfatizan la comprensión conceptual y el uso de las computadoras. Los ejemplos y
problemas de ingeniería, geometría y física tienen un papel predominante.
Se cuenta con bastantes ejemplos desarrollados paso a paso a través de los cuales el estudiante identi…cará las técnicas a seguir para resolver los tipos de tareas propuestas, así como las
justi…caciones para cada una de ellas.
1
Norberto Chau Pérez
1
Norberto Chau
5
Cálculo Aplicado Norberto Chau
ÍNDICE GENERAL
Agosto 2018
6
Capítulo 1
Integración Múltiple
Este capítulo está dedicado a la Teoría de la Integración. En la primera sección estudiamos la
integral de línea: Introducimos el concepto de curvas equivalentes y presentamos dos interpretaciones físicas de ella, presentamos los dos teoremas fundamentales del cálculo para integrales de
línea y mostramos una aplicación al principio de conservación de la energía. Finalmente hacemos
un estudio de los campos conservativos o gradientes.
La segunda y tercera sección están dedicadas a establecer los principios básicos de la integral
doble de campos escalares de…nidos en regiones de R2 
La cuarta sección la dedicamos a las aplicaciones de la integral doble a problemas como:
volúmenes bajo una super…cie, áreas de regiones limitadas por curvas, cálculo de centros de
gravedad y cálculo de volúmenes de revolución.
La quinta y sexta sección la dedicamos al estudio del Teorema de Green que constituye uno de
los teoremas más importantes del cálculo. Lo hacemos tanto para regiones simplemente conexas
como múltiplemente conexas. Como consecuencia del Teorema de Green deducimos las fórmulas de Green, de gran utilidad en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, y damos
aplicaciones al cálculo de regiones planas y al número de giros que una curva da alrededor de
un punto.
En la última sección estudiamos una de las técnicas más importantes de la teoría de la integración, la cual es el cambio de variable. Damos ejemplos al caso de coordenadas polares y
cambio de coordenadas por transformaciones lineales.
En la octava sección mostramos cómo las ideas expuestas en la sección séptima se pueden
extender al caso de campos escalares de más de dos variables. En particular estudiamos el caso
de cambios de variable por coordenadas cilíndricas y esféricas.
Cada sección tiene un grupo de problemas que el estudiante debe resolver. Adicionalmente hemos
incluído en cada sección, una corta autoevaluación que el estudiante debe realizar frente a su
7
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
computador. Es importante que el estudiante haga las autoevaluciones para garantizar la cabal
comprensión de cada tema.
1.1.
Integrales Dobles
En esta sección estudiaremos la integral doble de…nida sobre conjuntos acotados de R2
Integral doble sobre un rectángulo
Suponga que  :  ½ R2 ¡! R es una función continua de…nida en una región rectángular
 := [ ] £ [ ] (cerrada y acotada).
Considere  ( ) ¸ 0 para todo ( ) 2  y sea el sólido
©
ª
S = (  ) 2 R3 : 0 ·  ·  ( )
Objetivo: hallar el volumen de S
Partición del rectángulo.
Figura. Una partición del rectángulo  := [ ] £ [ ]
Considere el rectángulo  := [ ] £ [ ] 
Si ¢1 = f0 =  1  2   = g es una partición de [ ] con ¢  =  ¡ ¡1 y ¢2 =
f0 =  1  2   = g es una partición de [ ] con ¢  =  ¡ ¡1 entonces ¢ := ¢1 £ ¢2 =
©
ª
( ) 2 R2 :  2 ¢1   2 ¢2 es una partición del rectangulo  de orden  £ 
Observación 1.1.1. (a)Toda partición ¢ del rectángulo  divide en mn subrectángulos de la
forma
©
ª
 = ( ) 2 R2 : ¡1 ·  ·   ¡1 ·  ·  
Es decir, ¢ := f : 1 ·  ·  1 ·  · g 
8
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
(b) El área de cada sub-rectángulo  para  = 1     ;  = 1     
 X

X
Se denota por ¢  = ¢ ¢ , se veri…ca que
¢  = ( ¡ ) ( ¡ )
=1 =1
(3)La norma de la partición ¢, se denota por k ¢ k, se de…ne com la longitud mayor de las
diagonales de los rectángulos  
k ¢ k= f ( ) : 1 ·  ·  1 ·  · g 
³
´
¤
Si eleegimos un punto de muestra ¤  
en cada  , entonces podemos aproximar la parte de
S que se encuentra arriba
³ de cada
´  por medio de una delgada caja rectangular ( O columna)
¤
¤
con base  y altura     
El volumen del ( )-ésimo prismas es
¡
¢
¡
¢
¤
¤
¢  =  ¤  
¢  = ¤  
¢ ¢ 
Si seguimos este procedimiento para todos los rectángulos y sumamos los volumenes de los prismas correspondientes, obtendremos una aproximación del volumen total de S :
¢ =
 X

X
=1 =1
 X

 X

X
X
¡ ¤ ¤¢
¡
¢
¤
¢  =
    ¢  =
 ¤  
¢ ¢  = ( ¢) 
=1 =1
=1 =1
Prisma empleados para aproximar el volumen del sólido S
Observación 1.1.2. Esta aproximación puede mejorarse estrechamente la malla de la cuadricu
para formar cada vez el rectángulos mas pequeños. Es decir, el límite cuando k ¢ k¡! 0 (m,n
crecen inde…nidamente). Si el límite de estra suma existe, entonces tenemos
 () =
l¶³m
k¢k¡!0
 X

X
¡
¢
¤
 ¤  
¢ ¢  =
=1 =1
9
l¶³m
¡!+1
( ¢)
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Suma doble de Riemann.
 () =
ZZ
 ( )  =

ZZ
 ( ) 

También la integral doble puede se vista de la siguiente forma:
De…nición 1.1.3. Una función  :  ½ R2 ¡! R tal que  (   ) =  , para todo ( ) 2
 se llama una función escalonada.
Es facil ver que si  y  son funciones escalonadas de…nidas por las particiones ¢ y ¢0 de 
respectivamente entonces  +  para todo  y  números reales, es una función escalonada
de…nida por la partición ¢ [ ¢0 
De…nición 1.1.4. Sea  :  ! R una función escalonada. De…nimos la integral doble de 
sobre  como
RR
  ( )
= l¶³mk¢k¡!0
= l¶³mk¢k¡!0
Por ejemplo, si ( ) =  entonces
RR
 ( )
P P
¡ ¡1 )( ¡ ¡1 )
=1
=1  (
=1
=1 (   )¢ ¢ 
P P
= ( ¡ )( ¡ )
o
R  nR 
=    ( ) 
La fórmula permanece válida para funciones escalonadas puesto que éstas son constantes en cada
subrectángulo  
A continuación se resumen las propiedades más importantes de las funciones integrables.
Propiedades
Teorema 1.1.5. Para  y  dos funciones integrables de…nidas sobre un rectángulo  , entonces
se cumplen las siguientes propiedades:
1. (Linealidad).  +  es integrable sobre  y
ZZ
ZZ
ZZ
( ( ) + ( ))  =
 ( ) +
( )

2.(Homogeneidad).


 es integrable sobre , para todo  2 R, y
ZZ
ZZ
(( ))  = 
( )


3.(Aditividad) Si  = 1 [2 y ±1 \ ±2 = © ( 1 y 2 dos rectángulos cuya intersección es
una curva o un punto o vacía), entonces
ZZ
ZZ
( ) =

( ) +
1
ZZ
2
10
( )
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
4.(Monotonía) Si ( ) · ( ), para todo ( ) 2 , entonces
ZZ
ZZ
( ) ·
( )


En particular, si ( ) ¸ 0, para todo ( ) 2 , entonces
ZZ
 ( ) ¸ 0

Si  · ( ) · , para todo ( ) 2 , entonces
ZZ
 (R) ·
( ) ·  (R) 

Si jj también es integrable y se veri…ca
¯ZZ
¯ ZZ
¯
¯
¯
( ) ¯¯ ·
j( )j 
¯


La integral de una función acotada
Sea  una función acotada sobre R esto es, j( )j ·  para alguna constante   0
Consideremos el conjunto ª de todas las funciones escalonadas  y  de…nidas sobre R tales
que  ·  · . Puesto que  es acotada, ª no es vacío.
De…nición 1.1.6. Si para toda ,  2 ª existe un único número  tal que
RR
RR
 · R ( ), decimos que  es integrable sobre R y R  = 
RR
R
( ) ·
Integral Superior e Inferior de 
Sea
=
y
 =
Entonces,
ZZ
R
½Z Z
R
¾
  · ,  escalonada sobre R
½ZZ
R
¾
  ¸ ,  escalonada sobre R
( ) · sup  · ¶³nf  ·
ZZ
( )
R
Llamamos sup  = ¶³nf () la integral inferior de  y llamamos ¶³nf  = sup () la integral
superior de .
11
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
De la de…nición anterior se sigue inmediatamente que si ¶³nf () = sup ( ) entonces  es integrable
y
RR
R
 = ¶³nf () = sup ( )
En esta sección estudiaremos la integral de funciones continuas de…nidas en Q = [ ] £ [ ] ½
R2  Observemos que si  es integrable en Q y para cada  2 [ ] la integral
() =
Z

( )

R
existe y además

() existe, entonces
ZZ
( ) =
Q
Z

 ½Z 

¾
 ( ) 
En efecto: Para cualquier par de funciones escalonadas  y  tales que  ·  ·  se cumple que
Z

( ) ·

Z

( ) ·

Z

( )

por lo tanto
ZZ
R
·
Z

 ½Z 
¾
ZZ
( )  ·

R

Puesto que  es integrable,
ZZ
( ) =
Q
Z

 ½Z 

¾
 ( ) 
Queremos demostrar que la fórmula anterior es válida para funciones continuas de…nidas sobre
Q
Teorema 1.1.7. (Teorema de Fubini para rectángulos).Sea  :  ½ R2 ¡! R una función
continua sobre el rectángulo Q = [ ] £ [ ]. Entonces  es integrable y se satisface la igualdad
:
ZZ

( ) =
Z

 ½Z 

¾
Z  ½Z
( )  =

12


¾
( ) 
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Demostración:
Puesto que  es continua y Q es un conjunto compacto entonces  es acotada. Sea
  0 arbitrario y consideremos una partición de Q tal que en cada subrectángulo

m¶ax  ¡ m¶³n   


Llamemos m¶ax  =  y m¶³n  =  . Entonces las funciones escalonadas
 y  de…nidas por  y  respectivamente satisfacen
ZZ
Q
( ) ¡
ZZ
Q
( ) ·  ( ¡ ) ( ¡ ) 
Hacemos que  ! 0 y obtenemos que  es integrable.
Finalmente, puesto que  es continua, lo es con respecto a cada una de sus variR
ables. Esto nos dice que () =  ( ) existe. Además, es fácil ver que () es
R
RR
continua y por lo tanto  () existe. Concluímos, entonces, que Q ( ) =
n
o
R R

 ( )  se satisface.
Integrales dobles extendidas a regiones más generales
Hasta ahora hemos considerado integrales sobre rectángulos. Sea R ½ R2 un conjunto acotado.
Sea, entonces Q un rectángulo de R2 tal que R ½ Q Si  es una función continua de…nida en R.
RR
De…nimos la integral R  ( ) Sea la función extensión e en  de la siguiente manera:
e ) =
(
(
( ) si ( ) 2 R
0 si ( ) 2  ¡ R
Ahora bien, e está acotada, pues  lo es, y es continua, entonces  es integrable sobre R. Por
lo tanto, podemos de…nir;:
13
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
ZZ
( ) =
R
ZZ

e )
(
a di…cultad de extender la integral a regiones más generales radica en que la nueva función e no
es continua en R y no sabemos si e es integrable Las discontinuidades se están presentando en
R Para sobrepasar esa di…cultad es necesario introducir el concepto de contenido nulo de
un conjunto para concluír que una función continua en R salvo un subconjunto de contenido
nulo, es integrable en R
De…nición 1.1.8. Sea  ½ R  Decimos que  tiene contenido nulo si para todo   0 existe
P
un número …nito de rectángulos    = 1 2 tales que  ½ [ y
j j   en donde j j
representa el área del rectángulo  
Por ejemplo, el intervalo cerrado [0 1] visto como un subconjunto de R2 es de contenido nulo,
más no es de contenido nulo si lo miramos como subconjunto de R
También, sea  una función continua sobre el intervalo [ ]  entonces  es uniformemente
©
ª
continua. Esto nos sirve para probar que el conjunto ( ) 2 R2   = () es de contenido
nulo.
Teorema 1.1.9. Sea  una función acotada sobre el rectángulo Q Si el conjunto  de discontinuidades de  es de contenido nulo, entonces  es integrable sobre .
Demostración: Sea   0 tal que jj ·  Sean    0 escogidos arbitrariamente. Tomemos,
entonces, una partición de  tal que la suma de las áreas de los subrectángulos  que contienen
a  sea menor que  Los otros subrectángulos, en los que  es continua, los escogemos tales que
en cada uno de ellos m¶ax  ¡m¶³n  ·  Podemos de…nir las siguientes funciones escalonadas:  =
m¶³n  sobre los subrectángulos donde  es continua y sobre los subrectángulos que contienen a
 la de…nimos como  = ¡. Así mismo,  = m¶ax  sobre los subrectángulos en donde  es
continua y  =  sobre los subrectángulos que contienen a .
Tenemos, entonces, que
0·
ZZ
R
(( ) ¡ ( ))  ·  jRj + 2
Esto nos indica que 0 · sup () ¡ ¶³nf ( ) ·  jRj + 2. Si hacemos que   ! 0 concluímos
que  es integrable sobre 
Teorema 1.1.10. (Teorema de Fubini para regiones).Sea  : R ½ R2 ¡! R una función
continua sobre una región plana acotada R.
14
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
(1)Si R es una región de tipo I:
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 () ·  · 2 ()  2 [ ]
donde 1  2 : [ ] ¡! R son funciones continuas con valores reales.Entonces
ZZ
Z  Z 2 ()
 ( ) =
 ( ) 
R

1 ()
(2)Si R es una región de tipo II:
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 () ·  · 2 ())  2 [ ]
donde  1  2 : [ ] ¡! R son funciones continuas con valores reales.Entonces
ZZ
Z  Z 2 ()
 ( ) =
 ( ) 
R

 1 ()
Demostración:
(1)Si R es una región de tipo I:
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 () ·  · 2 ()  2 [ ]
tenemos que
RR
RR
R  R 2 ()
e
R ( ) =
  ( ) =   () ( ) 
1
(2)Si R es una región de tipo II:
©
ª
R2 = ( ) 2 R2 : 1 () ·  · 2 ())  2 [ ]
tenemos que
RR
RR
R  R 2 ()
e
R ( ) =
  ( ) =   ()  ( ) 
1
Una gran variedad de conjuntos de R2 los podemos reducir a una reunión de conjuntos del tipo
R o R 
Ejemplo 1.1.11. Sea  ( ) =  2  Calculemos
2 .
encuentra entre las curvas  =  y  =
RR
R
( ), en donde R es la región que se
Cómo se indica en la …gura,
ZZ
2
  =
R
0
Y también,
ZZ

Z
2
  =
Z
0
1 ½Z 
1
2
 
2
(Z

p

2
¾
)
 
15
 =
Z
1
0
 =
Z
0
1
4 ¡ 7
1
 =
3
40
 3 ¡ 4
1
 =
2
40
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1.1.1.
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cambio de variable
En esta sección estudiaremos el cambio de variable en una integral doble. En el
caso de una sola variable sabemos que si  : [ ] ! [ ] es una aplicacion biyectiva
y diferenciable entonces
Z
()=
() =
()=
Z

(()) 0 ()

De…nición 1.1.12. Sea  : - ½ R2 ¡! R una transformación de clase  1 (-) ( es decir,
continuamente diferenciable), llamamos "Jacobiano de T.a la función
 :=  : - ¡! R
de…nida por
¯
 ( ) ¯¯
 ( ) =
=¯
 ( ) ¯








¯
¯
¯
¯
¯
Teorema 1.1.13. Si la transformación  : - ½ R2 ¡! R una transformación de clase  1 (-),
donde - y R conjuntos abiertos en R2 y tiene inversa  ¡1 : R ¡! - de clase  1 (R), entonces
¡ ¡1
¢
 ±  ( ) =  ( ) =)  ¡1 [ ( )]  ( ) =  ( )
Corolario 1.1.14. Si la transformación  : - ½ R2 ¡! R una transformación de clase  1 (-),
donde - y R conjuntos abiertos en R2 y tiene inversa  ¡1 : R ¡! - de clase  1 (R), entonces
 ( )
=
 ( )
1
()
()

Prueba
Del teorema anterior se tiene:
 ¡1 [ ( )]  ( ) =  ( )
Aplicando determinante se tiene que.Tomando
 ( )  ( )

= det  ( ) = 1
 ( )  ( )
Equivalentemene se tiene:
( ) =
 ( )
=
 ( )
1
()
()
16
=¯
¯
¯
¯
¯
1








1
¯=
¯
( )
¯
¯
¯
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Teorema 1.1.15. (Cambio de variable para integrales dobles).Sean - y R conjuntos acotados
en R2 y  : - ½ R2 ¡! R una función biyectiva de clase  1 (-) con ( ) 6= 0Sea
 : R ½ R2 ¡! R una función integrable en -.Entonces  ±  : - ½ R2 ¡! R es integrable y
ZZ
ZZ
( )  =
(( ) ( )) j ( )j   ¢ ¢ ¢ (1)
R= (-)
R
Prueba.
En el caso de dos variables deduciremos, con la ayuda del Teorema de Green.,
una fórmula similar a la anterior.
Sea  : R2 ¡! R2 una aplicación diferenciable que transforma un conjun-
to abierto y acotado - de R2 en otro conjunto R de R2  Escribimos  ( ) =
(( ) ( )) La derivada de  en un punto ( ) 2 - la podemos representar
por medio de la matriz
 0 ( ) =
Ã
()

()

()

()

!

El determinante de  0 ( ) que notaremos cómo  ( ) lo llamaremos el jacobiano de  en el punto ( )  La expresión que obtendremos es:
ZZ
( )  =
ZZ
R
-
(( ) ( )) j ( )j   ¢ ¢ ¢ (1)
en donde  es un campo escalar integrable en R
Prueba de (1):
ZZ
( )  =

ZZ
 (( ) ( )) j ( )j  

Para probar (1) primero probamos (2).Para probar lo último primero probamos lo anterior.
Supongamos que el conjunto  es un rectángulo. Denotemos con  y  las curvas que circundan
las regiones  y  respectivamente, teniendo en cuenta que  ±  = 
Por el Teorema de Green, para ( ) =  y  ( ) = 0tenemos
RR

De otra parte,
=
RR
=

 =
H
H

³


¡


  + 

17
´

¢ ¢ ¢ (4)
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
 
 
  ¡  
2
 2
+ 
¡  
³
´


= 
 
 ¡ 
 ( ) =
De nuevo usamos el Teorema de Green y obtenemos
ZZ
 ( ) =


La prueba quedará terminada si probamos que
I
I
 =

I



³
´

 



 +  




 +  


¢ ¢ ¢ (5)
En efecto, supongamos que () = (() ())   2 [ ]  Entonces
() = ( (() ())   (() ())) 
Por lo tanto
µ
0
 () =
¶
 0  0  0  0
 +

 +
  ¢ ¢ ¢ (6)

 

De (6) se sigue inmediatamente (5).
Ya hemos probado (2). Para ver (4) procedemos así: Primero observamos que de (2) se sigue,
claramente, (1) para funciones  escalonadas. Ahora, si  es acotada e integrable, para todo par
de funciones escalonadas  y  tales que  ·  ·  tenemos que
RR
R
  =
·
·
=
RR
 j ( )j 
RR
 j ( )j 
RR
(7)
 j ( )j 
RR
 
R
Puesto que  es integrable, deducimos de (7) la validez de (1).
Observación 1.1.16. En el caso en que  = 1 el miembro izquierdo de ¢ ¢ ¢ (1) representa el
área de la región de integración  y entonces
jRj =
ZZ
R
  =
ZZ
R
j ( )j  
¢ ¢ ¢ (2)
Tenemos razones de tipo geométrico para aceptar la validéz de lo anterior. Consideremos el rectángulo de lados ¢ y ¢ que se indica en la …gura.
18
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Para  …jo, () = (( ) ( )) representa una curva cuya imagen se encuentra en - y cuyo vector tangente es
µ
1 =
( ) ( )



¶
Análogamente, para  …jo () = (( ) ( )) de…ne otra curva con imagen
en - cuyo vector tangente es
2 =
µ
( ) ( )



¶

Podemos pensar que para incrementos ¢ y ¢ muy pequeños el área del pequeño
rectángulo transformado por la aplicación  es casi igual al área del paralelogramo
que de…nen los vectores ¢1 y ¢2 . Es fácil ver que esta área es j ( )j (¢¢) 
Entonces j ( )j es un factor de ampliación o contracción de áreas.
Es claro de (1) que la fórmula no es válida si  ( ) = 0 sobre conjuntos abiertos
de la región . La fórmula permanece válida si  ( ) = 0 sobre subconjuntos de
contenido nulo. Por ejemplo  ( ) = 0 sobre puntos de la forma (0 )  0 ·  · 2 
que constituyen un subconjunto de  de contenido nulo.
Observación 1.1.17. Existen casos que se desconocen la transformación  ( ) = (( ) ( )),
más apropiada, en estos casos, se proponen una transformación inversa  ¡1 ( ) = ( ), la
cual vendrá limitada por las ecuaciones que limitan la región R o por la función integrando y se
halla de la siguiente manera:
¯
¯ ¯
¯  ( ) ¯ ¯¯
1
¯=¯
( ) =
=¯
( ) ¯  ( ) ¯ ¯




Coordenadas polares




¯
¯
¯
¯
¯
Sea  : - ½ R2 ¡! R una transformación de clase  1 (-) determinado por
 ( ) = (( ) ( )), en donde
(
( ) =  cos 
( ) =  sen 
Entonces el Jacobiano de  e  con respecto a  y .
¯
¯ ¯
¯  ( ) ¯ ¯¯
¯=¯
( ) = ¯¯
( ) ¯ ¯








¯ ¯
¯ ¯ cos 
¯ ¯
¯=¯
¯ ¯ ¡ sen 
19
¯
sen  ¯¯
¯=
 cos  ¯
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Por tanto la región
R = f( ) : 1 ·  · 2  1 ·  · 2 g
Así,
ZZ
( )  =
R= (-)
ZZ
R
=
ZZ
(( ) ( )) j ( )j  
(( ) ( )) 
R
Coordenadas polares generalizadas
Sea  : - ½ R2 ¡! R una transformación de clase  1 (-) determinado por
 ( ) = (( ) ( )), en donde
(
( ) =  cos 
( ) =  sen 
Entonces el Jacobiano de  e  con respecto a  y .
¯
¯ ¯
¯  ( ) ¯ ¯¯
¯=¯
( ) = ¯¯
( ) ¯ ¯




¯ ¯
¯ ¯  cos 
¯ ¯
¯=¯
¯ ¯ ¡ sen 




Por tanto la región
¯
 sen  ¯¯
¯ = 
 cos  ¯
R = f( ) : 1 ·  · 2  1 ·  · 2 g
Así,
ZZ
( )  =
R= (-)
ZZ
R
=
ZZ
(( ) ( )) j ( )j  
(( ) ( ))   
R
Ejemplo 1.1.18. La aplicación  ( ) = (( ) ( )), en donde
(
( ) =  cos 
( ) =  sen 
£
¤
de…ne una aplicación del rectángulo  = [0 ] £ 0 2 en el primer cuadrante 
de un círculo de centro en el origen y radio  Es claro que  ( ) =  De acuerdo
con (2)
20
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
RR

  =
=
=
Cálculo Aplicado Norberto Chau
RR
R
 
©R 
ª
0  


2
0
2
4 
como era de esperarse.
Transformaciones lineales
Sea  : - ½ R2 ¡! R una transformación de clase  1 (-) determinado por
 ( ) = (( ) ( )), en donde
(
( ) =  + 
( ) =  + 
Entonces el Jacobiano de  e  con respecto a  y :
¯
¯ ¯
¯  ( ) ¯ ¯¯
¯=¯
 ( ) = ¯¯
( ) ¯ ¯








¯ ¯
¯ ¯ 
¯ ¯
¯=¯
¯ ¯ 
¯
 ¯¯
¯ =  ¡ 
 ¯
Vemos entonces que para utilizar transformaciones lineales en lo anterior es necesario que sean inyectivas, es decir,  ( ) =  ¡  6= 0.
Ilustramos su uso en el siguiente
Ejemplo 1.1.19. Calculemos
RR
¡
R
 +  en donde R es la región de R2 limitada por los ejes
coordenados y por la recta  +  = 2
Solución
Hacemos el cambio de variable  ¡  =  ,  +  =  ésto es,  = (( ) ( )) en donde
(
( ) =
( ) =
¡
2
+
2
Entonces  ( ) = ¡ 12  Ahora, es fácil ver que la región R limitada por las rectas  = 2  = 
y  = ¡ es transformada en la región R por la transformación lineal  anterior.
Por tanto la región
- = f( ) : 0 ·  · 2 ¡ ·  · g
Por lo tanto
RR
R
¡
+
 =
=
=
1
2
1
2
RR


 
R 2-nR   o

0
¡   
 ¡ 1 
21
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1.1.2.
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Aplicaciones de la integral doble
En esta sección daremos algunas aplicaciones de la integral doble.
1. Volúmenes
El conjunto
©
ª
ª = (  )   = ( ) ( ) 2  = [ ] £ [ ] ½ R2
RR
representa una super…cie en R3  Entonces   representará el volumen del sólido que está
limitado por arriba con la super…cie ª y por debajo con la región  También tenemos
ZZ
=

en donde () =
R

Z

()

( ). Ahora, () representa el área bajo la curva ( ), en donde
estamos dejando a  …jo. Entonces de la
ecuación nos dice que un volumen es igual a la suma de las áreas () cuando  varía ente  y

En el caso de regiones del tipo 1 o 2 que consideramos en la sección 3 de este capítulo,
procedemos de manera similar. Consideremos el siguiente
Ejemplo 1.1.20. Sea
( ) =
y
p
2 ¡ 2 ¡  2
©
ª
 = ( ) 2 R2  2 +  2 · 2
Entonces ª representa el hemisferio superior de una esfera de centro en el origen y
RR
radio  Por lo tanto   representará el volumen de la semiesfera. Si utilizamos la
simetría de la esfera para calcular su volumen vemos que el volumen de la semiesfera
de radio  es
 () = 4
ZZ

p
2 ¡ 2 ¡ 2 
en donde  es el primer cuadrante del círculo de centro en el origen y radio 
Esto es,
 () = 4
Z
0

(Z
p
2 ¡2
0
Sabemos que
22
)
p
2 ¡ 2 ¡  2  
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Z
0
por lo tanto
Z
p
2 ¡2
p
1
2 ¡  2  = 2 
4
p
¢
1¡ 2
2 ¡ 2 ¡  2  =
 ¡ 2 
4
0
Es así cómo
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 () = 4
Z

0
¢
1¡ 2
2
 ¡ 2  = 3
4
3
El volumen de la esfera completa será 43 3
Ejemplo 1.1.21. Calcular el volumen del sólido encerrado entre las super…cies  ( ) =  =
2 +  2 y el plano  ( ) =  = 1
Solución: Si hacemos  ( ) =  ( ) vemos que las dos super…cies se cortan
para valores de  e  tales que 2 +  2 = 1
Por lo tanto el volumen del sólido es
RR

Esto es:
2. Areas
Es Claro que
f ( ) ¡  ( )g  
R 1 R p1¡2 ¡
¢
1
2
2
p
¡1 ¡ 1¡2 1 ¡  ¡   = 2 
RR

  representa el área de la región  Veamos algunos ejemplos:
©
ª
RR
Ejemplo 1.1.22. Sea  = ( ) 2 R2  2 +  2 · 2 , entonces    es el área del círculo
de centro en el origen y radio  Es así cómo
ZZ
Z  (Z
 =
p
¡ 2 ¡2
¡

p
2 ¡2

)
 = 2
Ejemplo 1.1.23. Hallemos el área de la región limitada por las curvas  = 2 ¡ 2 y  = 
Las curvas se cortan en los puntos  = ¡1 y  = 2 y cómo se indica en la …gura
la región  está limitada, por arriba, por la curva  =  y, por debajo, por la
curva  = 2 ¡ 2 Entonces
ZZ

 =
Z
2
¡1
½Z

2 ¡2
23
¾
  =
9
2
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Ejemplo 1.1.24. Calcular la integral
RR
2
R  donde
R = f( ) 2 R2 : 2 + ( + 1)2 · 1 jj ¸ jjg
Solución
Para resolver la integral se utilizarán las integrales sobre C y S,siendo C círculo y S la parte
interior del círculo que no está en R. De esta
forma
ZZ
ZZ
2
  =
R
2
C
  ¡
ZZ
2 
S
Sobre el círculo C se emplea el cambio a coordenadas polares:
(
( ) =  cos 
( ) =  sen 
De :2 + ( + 1)2 = 1 =) 2 +  2 + 2 = 0 =) 2 + 2 sen  = 0 =)  = ¡2 sen 
Por lo tanto la región
C = f( ) :  ·  · 2 0 ·  · ¡2 sen g
y, entonces
ZZ
2  =
Z2
=
Z2
C


0 ¡2 sen 
1
0 ¡2 sen 
1
Z
Z2
Z
Z2
2
2
2
4
@
 cos  ( sin ) A  = cos  sin  @
 A  = cos2  si

0
¡
0
25
cos  sin6 
5
y, aplicando las fórmulas de reducción,
0
1
·
Z2
7 ¸2
cos  sin 
1
2  = ¡ @
+
sin6  A
5
8
8
C

ZZ
25

= ¡
4
5
Z2
sin6 

24

CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
y, de nuevo, aplicando ahora la fórmula de reducción
0
1
·
Z2
5 ¸2
4
cos  sin 
5
2  = ¡ @
+
sin4 A
5
6
6
C

ZZ

= ¡
2
3
Z2
sin4 

0
1
·
Z2
3 ¸2
2
cos  sin 
3
= ¡ @
+
sin2 A
3
4
4


= ¡
1
2
Z2

sin2  = ¡
1
2
·
Z2

1 ¡ cos 2

2
¸2
1 1

= ¡
( ¡ cos  sin )
=¡
2 2
4

Para la integral sobre S se tendrá en cuenta que las rectas  =  e  = ¡ corresponden a las
ecuaciones polares
=
Por tanto, la región
5
4
y
=
7
4 ,
respectivamente.
½
¾
5
7
S = ( ) :
··
 0 ·  · ¡2 sen 
4
4
y, entonces
ZZ
7
2  =
S
Z4
0
5
4
7
=
7
7
0 ¡2 sen 
1
0 ¡2 sen 
1
· 5 ¸¡
Z
Z4
Z
Z4

2
2
2
4 A
2
@
A
@
 cos  ( sin )   = cos  sin 
   = cos  sin 
5 0
Z4
¡
5
4
0
5
4
25
cos  sin6 
5
y, aplicando las fórmulas de reducción,
0
1
7
7
·
Z4
7 ¸ 4
1
B cos  sin 
C
2  = ¡ @
+
sin6 A
5
8
8
5
C
ZZ
25
4
7
=
1
4
¡
10 5
Z4
sin6 
5
4
25
5
4
5
4
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
y, de nuevo, aplicando ahora la fórmula de reducción
0
1
7
7
4
·
¸
ZZ
Z
1
4 B cos  sin5  4
5
C
2  =
¡ @ ¡
+
sin4 A
10
5
6
6
5
C
4
5
4
7
1
1
2
¡
¡
10 30 3
=
Z4
sin4 
5
4
Z2
Z2
1
1
1
1
1
1 ¡ cos 2
2
¡
¡
¡
sin  = ¡

10 30 12 2
2
2


0
1
7
7
4
·
¸
Z
1
1
2 B cos  sin3  4
3
C
¡
¡ @ ¡
+
sin2 A
10 30 3
4
4
5
=
=
4
5
4
7
1
1
1
1
¡
¡
¡
10 30 12 2
=
Z4
sin2 
5
4
7
1
1
1
1
¡
¡
¡
10 30 12 2
=
Z4
1 ¡ cos 2

2
5
4
·
¸ 7
4
1
1
1
1 1
¡
¡
¡
( ¡ cos  sin )
10 30 12 2 2
5
=
4
1
1
1
 1
4

¡
¡
¡ ¡ =¡ ¡
10 30 12 8 4
15 8
=
Y, …nalmente,
ZZ
R
2
  =
ZZ
C
2
  ¡

4

¡
¡
4 15 8
3
4
= ¡ ¡ 
8
15
ZZ
2 
S
= ¡
Ejemplo 1.1.25. Hallar el volumen del sólido limitado entre las super…cies
S :  = 2 +  2 y
Solución
26
K :  = 
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Figura 1.1:
Sea
¡:
(

=

=
2 +  2 ¢ ¢ ¢ (1)
¢ ¢ ¢ (2)

Considere ¡ := Proy C : eliminando 
µ
¶
µ ¶2
µ
¶
µ ¶2
1
1
1 2
1
2
2
2
2
2
 +  =  =)  ¡  +
+ =
=)  ¡
+ =

4
2
2
2
8 µ
¶2
µ ¶2
>
1
<  ¡ 1 + 2
=
2
2
C:
>
:
 = 
Proyectando C sobre

8 µel plano
¶2
µ ¶2
>
1
1
< ¡
2
+
=
2
2
¡ := Proy C :
>
:
 = 0
p
p
2
Límites variables :¡  ¡  ·  ·  ¡ 2
Límites constantes :0 ·  · 1
Así,
n
o
p
p
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 1 ¡  ¡ 2 ·  ·  ¡ 2
Por tanto, el volumen viene dado por:
p
ZZ
Z¡2
1
£
¡
¢¤
R
 (S) =
(sup ¡ ¶³nf )  =
 ¡ 2 +  2  
R
 (S) =
R1
0
 (S) =
0
p
Z¡2
p
¡ ¡2
½·
R1 ¡
0
p
¡ ¡2
£¡
¢
¤
¢
¤p¡2
R1 £¡
1 3 p
2
2
2
 ¡  ¡    =
 ¡   ¡ 3  ¡ ¡2 
 ¡ 2
0
³p
´3 ¸ · ¡
³p
´3 ¸¾
¢p
¢p
 ¡ 2 ¡ 13
 ¡ 2
¡ ¡  ¡ 2  ¡ 2 + 13
 ¡ 2

27
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 (S) =
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
´3
´3
R1 4 ³p
R1 4 ³q 1
1 2
2

¡


=
¡
(
¡
)

3
3
4
2
0
0
´3
4 1 R1 ³p
 (S) =
1 ¡ (2 ¡ 1)2 
32 0
1
Haciendo cambio de variable trigonométrico: 2 ¡ 1 = sin  =)  = cos  
2
³p
´3 ³p
´3
2
1 ¡ (2 ¡ 1)2 =
1 ¡ sin 
= cos3 

Si  = 0 =)  = ¡
2

Si  = 1 =)  =
2
Así,

 µ
¶
´3
2 R1 ³p
2 1 R2
1 R2 1 + cos 2 2
4
2
 (S) =
1 ¡ (2 ¡ 1)
 =
cos  =
 =
30
3 2 ¡
3 ¡
2
2
2
 µ

¶2
2
2
R
R
¡
¢2
1
1 + cos 2
1
 (S) =
 =
1 + 2 cos 2 + cos2 2 
3 ¡
2
12 ¡ 
2
2
 µ
¶
1 R2
1 + cos 4 2
 (S) =
1 + 2 cos 2 +

12 ¡ 
2
2
 µ
¶
·
¸
2
R
1
3
cos 4
1 3
sin 4 2
 (S) =
+ 2 cos 2 +
 =
 + 2 sin 2 +
12 ¡  2
2
12 2
8
¡ 2
·2
µ
¶¸
1 3
3

 (S) =
¡
= 3 
12 2 2
22
8
Ejemplo 1.1.26. Calcular
ZZ
R
 2
q
 
3
2
2
( +  )
donde R es la región limitada por las curvas 2 +  2 =  2 +  2 = 2 , y
 +  = 0  ¡  = 0
Solución
Escribiendo en coordenadas polares ,tenemos
De :2 +  2 =  =)  = cos 
De :2 +  2 = 2 =)  = 2 cos 
Así, cos  ·  · 2 cos 

De :  =  =)  =
4

De :  = ¡ =)  = ¡
4


Así, ¡ ·  · 
4
4
28
los planos
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
n
o


Por lo tanto la región R = ( ) : ¡ ·  ·  cos  ·  · 2 cos 
4
4
 =

Z4 2Zcos µ


¶
· 2 ¸2 cos 
Z4 2Zcos 
Z4
3 cos  sin2 

2
2
 =
cos  sin  =
cos  sin 

3

2 cos 
 cos 

cos 
¡
¡
4
4


µ
¶
· 3
Z4
5 ¸
2
¡
¢
3
cos
3
3
sin

sin

7p
4
cos  sin2 
 =
sin2  1 ¡ sin2  cos  =
¡
=
2

2
2
2
3
5
40
¡

4
¡
4

4

Z4
¡
 =
¡

4
Ejemplo 1.1.27. Calcular la masa de una lámina que tiene la forma de la región R limitada
por las curvas
 = 2 
 = 1
y la densidad en cada punto ( ) de la lámina es
( ) = 2 +  2 
Solución.
La parábola se cortan con la recta  = 1, en los puntos (¡1 1) y (1 1) 
Observemos que la región R , es una región de tipo I.Por lo podemos escribir :
=
=

ZZ
©
ª
R = ( ) 2 R2 : ¡1 ·  · 1 2 ·  · 1
¡ 2
¢
 + 2  =
R
R1 £¡
¡1
£
= 13 3
2 +
+
1
3
¡1 2
¡ 2
¢
 +  2   =
Z1 Z1
¡1 2
¡ 2
¢
R1 £ 2
¤1
 +  2   =
  + 13 3 2 
¡
¢¤
R1 £¡ 2 1 ¢ ¡ 4 1 6 ¢¤
¡ 4 ¡ 13 6  =
 + 3 ¡  ¡ 3

¡1
¤
1 7 1
88
¡ 15 5 ¡ 21
 ¡1 = 105
1
3
¢
Z1 Z1
29
¡1
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Ejemplo 1.1.28. Calcular
ZZ
R
2
q
 
3
2
2
( +  )
donde R es la región limitada por las curvas
=
Solución.
p
4 ¡ 2 
=
p
1 ¡ 2

 = jj 
Escribiendo en coordenadas polares ,tenemos
p
De :  = 4 ¡ 2 =) 2 +  2 = 4 =)  = 2
p
De :  = 1 ¡ 2 =) 2 +  2 = 1 =)  = 1
As´, 1 ·  · 2

De :  =  =)  sin  =  cos  =) tan  = 1 =) tan  = 1 =)  =
4
3
De :  = ¡ =)  sin  = ¡ cos  =) tan  = ¡1 =)  =
4

3
As´, ·  ·

4
4
½
¾

3
Por lo tanto la región R = ( ) : ·  ·
1 ·  · 2
4
4
3
Z4 Z2 µ

4
cos2 

1
¶
 =
=
=
3
Z4 Z2 µ

4
1
cos2 

¶
 =
3
Z4 Z2
cos2  =
3
Z4
cos2  []21 
 1

4
4
3
3
Z4
Z4
(1 + cos 2)
2
cos  =

2


4
4
82
9
3 2
3
3
 3>
>
·
¸
1
sin 2 4
1 <6 3 sin 2 7 4  sin 2 5=
+
=
+
+
4
5¡

> 4
>
2
2
2:
2
4
2
;
4
1
2
½·
¸ ·
¸¾
i  1
3 1
 1
1 h
¡
¡
+
=
¡1 = ¡ 
4
2
4 2
2 2
4 2
Ejemplo 1.1.29. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por el cono  = 2 ¡
p
2 +  2 e inferiormente por el disco R : ( ¡ 1)2 +  2 · 1
30
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Solución.
  (-) =
ZZ ³
R
2¡
´
p
2 + 2 
Calcularemos la integral pasando a coordenadas polares.
Escribiendo en coordenadas polares ,tenemos
De : ( ¡ 1)2 +  2 = 1 =) 2 +  2 = 2 =) 2 = 2 cos  que podemos simpli…car para obtener
 = 2 cos 
n
o


Por lo tanto la región S = ( ) : ¡ ·  ·  0 ·  · 2 cos  
2
2
Luego,
ZZ ³
ZZ
ZZ p
ZZ p
´
p
2
2
2
2
  (-) =
2 ¡  +   =
2¡
 +   = 2 (área R)¡
2 +  2  =
R
R
ZZ p
= 2 ¡
2 +  2 
S
S
S
Calculamos la segunda integral,



2Zcos 
·
¸
·
¸
ZZ p
ZZ
2
cos

3
R2
R2 
R2 8 cos3  0
2
2
2
=
 +   =
()   =
  =
 =
¡

3
3

 3 0

0
S
S
¡
¡
¡
2
2
2




·
3 ¸
2
2
2
R
R
R
¡
¢
8
8
8
8
sin  2
=
cos3  =
cos2  cos  =
1 ¡ sin2  cos  =
sin  ¡

3 
3 
3 
3
3
¡
¡
¡
¡
2
2
2
µ2 ¶
8 4
=
= 32
9 
3 3
por lo tanto,
  (-) = 2 ¡
32
9 
3. Centros de gravedad
Supongamos que tenemos dos puntos 1 y 2 sobre una recta y en cada punto está ubicada una
masa    = 1 2 respectivamente. Queremos hallar un punto  en el segmento que une a 1
con 2 tal que en ese punto la varilla 1 2 esté en equilibrio. Entonces la suma de los momentos
(2 ¡ ) 2 + (1 ¡ ) 1 = 0 Esto es,
=
1 1 + 2 2

1 + 2
El punto  es conocido como el centro de masa o centroide del sistema de puntos 1  2 . Si
en lugar de dos puntos tenemos  puntos (   )  = 1 2  del plano R2  en donde hemos
ubicado  masas, 1   , el centro de gravedad del sistema de puntos vendrá expresado cómo
31
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Esto es,
=

 
=1

=1 
y =
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
P
 
 = P=1

=1 

 
=1


=1 
(1)
en donde  y  representan las coordenadas del centro de masa 
Lo anterior lo podemos extender al caso de una lámina o placa delgada de una región R, en la
cual está distribuida de manera continua una masa de densidad super…cial  en cuallquier punto
( ) de R, donde  : R ½ R2 ¡! R es una función continua sobre una región RLa densidad
mide la cantidad de material por unidad de volumen.
Masa de la lámina
Sea ¢ una partición de R en una subregión R (1 ·  ·  1 ·  · ).En cada R  se elige
³
´
¤ 
un punto ¤  
El área de cada sub-rectángulo  = ¢ , para  = 1     ;  = 1     
³
´
¤ ¢ 
Masa ( )-ésima de  = ¢  =  ¤  

 X

³
´
X
¤ ¢ 
¢  =
 ¤  

=1 =1
=
l¶³m
k¢k¡!0
ZZ
 X

X
¡
¢
¤
 ¤  
¢  =
( )
R
=1 =1
Momentos estáticos respecto a los ejes
El momento estático  (Respectivamente  ) de un material P(x,y) de un amasa m, respecto
al eje OX(respecto OY) es el producto de la masa por su distancia al eje OX(Respecto OY), es
decir:
¢ = ¢ 
Con un razonamiento como las anteriores se obtendría para los momentos estáticos de la lámina
R:
 =
Centro de gravedad
ZZ
R
( )  =
ZZ
( ) 
R
Las coordenadas C.M.(x,y) es el centro de masa de la lámina:
RR
RR
(
)
( )



=
= RRR
 =
= RRR


(
)
R
R ( )
(2)
En el caso en que la lámina sea homogénea la densidad  es constante y las coordenadas del
centro de masa o centroide serán:
32
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
=
RR
Cálculo Aplicado Norberto Chau
  
 =
jRj
R
en donde jRj representa el área de la lámina R
RR
R
  

jRj
(3)
En el caso en que la placa presente ejes de simetría, el centroide se encontrará en ellos. Por
ejemplo, una placa en forma de circunferencia tendrá su centroide en el centro geométrico de
ella. Por ejemplo el centroide de una placa en forma de semicircunferencia de radio  es (0 ) 
en donde
1
= 1 2
2 
Z

¡
(Z p 2 2
( ¡ )
 
0
)
 =
2 3
3
1 2
2 
=
4

3
4. Volúmenes de Revolución
El centroide se puede utilizar para calcular volúmenes de revolución. Sea
 = f( ) 0 · () ·  · ()  2 [ ]g 
Hacemos girar esta región sobre el eje  y obtenemos un sólido de revolución -. Es fácil ver que
 (-) = 
½Z


¾
 () ¡  ()  
2
2
El Teorema de Pappus: nos dice que  (-) = 2 jj, como puede comprobarlo el lector. Por
ejemplo si - es la esfera de centro en el origen y radio  conseguida haciendo girar el semicírculo
de radio  vemos que
 (-) = 2
Ejemplo 1.1.30. Calcular  =
µ
4
3
¶µ
1 2
 
2
R1 R2p
j ¡ 2 j 
¡1 0
¶
4
= 3 
3
Solución.
´
´
R1 R2p
R 1 ³R 2 p
R 1 ³R 2 p
 = ¡1 0 j ¡ 2 j = ¡1 0
2 ¡   + ¡1 2  ¡ 2  
0 
 21
3 
2
2
´
C
R 1 ³R 2 p
R 1 B 2 ( ¡)
0 C 
1 = ¡1 0
2 ¡   = ¡1 B
¡
@ 3
A
1 = ¡ 23
2 =
R1
¡1
0
R1 B
¡1 @
³R
2
2
3
0¡(2 ) 2
1
C
A  =
´
2
3
R1
3
¡1 jj 
0
p
R1 B
 ¡ 2   = ¡1 @ 23

1
3
=
3
(¡2 ) 2
2
2
33
1
C
A  =
3
2
3
R1 ¡
¢
2 2 
¡1 2 ¡ 
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
3
2 =
4
3
¢
R1¡
2 2  = 1  +
2
0 2¡
5
3
Ejemplo 1.1.31. Una lámina tiene la forma de una región plana limitada en el primer cuadrante
p
por la circunferencia  = 4 ¡ 2 , el eje X, y el eje Y, si la función densidad en cada punto
p
( ) es dada por la función  ( ) = 6 2 +  2 , encontrar el centro de masa de la lámina.
Solución
Escribiendo en coordenadas polares ,tenemos
n
o

Por lo tanto la región R = ( ) : 0 ·  ·  0 ·  · 2
2
 =

Z2 Z2
0

=
 =
0

Z2 Z2
0
(6)  = 8
( cos ) (6)  = 24
0
24
3
=
8

Por simetría se tiene que  =  entonces  = ( ) =
Ejemplo 1.1.32. Calcular
1.
RR

¡3
3
 
¢

 2 , donde D es la región limitada por el cuadrado jj+jj =
Solución
Desarrollando la expresión jj + jj = 1 para los cuatro cuadrantes (esto es, reemplazando los
valores absolutos de  y por , -,  o - según corresponda) llegamos a que la región de
integración es el cuadrado de la …gura.
34
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Por lo tanto podemos expresar la integral de la siguiente manera:
R R +1  2
R 1 R ¡+1  2
R 0  h 2 i¯¯+1
R 1  h 2 i¯¯¡+1
 2  = 0




+
+



=


+
¯
2
2 ¯¡1  =

¡1 ¡¡1
0 ¡1
¡1
0 
¡¡1
£
¤
£
¤
R
R
0
1
= 12 ¡1  2+2 ¡ ¡2¡2  + 12 0  ¡2+2 ¡ 2¡2  =
h
i¯0
h
i¯1
¤
¤
R £ 3+2
R £
1 0
¡¡2  + 1 1 ¡+2 ¡ 3¡2  = 1 3+2 + ¡¡2 ¯
¡+2 ¡ 3¡2 ¯ =

¡

+
¡
¯
¯
2 ¡1
2 0
2
3
3
¡1
0
h 2
i
h
i
R R  2
¡1
¡2
1 

1


2 2
2
1 ¡1
2 ¡2
¡2
¡3
2
¡ 3 ¡
+ 2  + 3 ¡  ¡ 3 = 3  ¡ 3  ¡ 6  + 3  ¡ 12 ¡3
    = 2 3 + 
RR
Ejemplo 1.1.33. Cambio en el orden de integración. Calcular
Solución
R4R2
0
2
2  
El integrando no reconoce una primitiva de sencilla formulación, sino que la misma debe expresarse mediante series.
Para evitar esto, podemos intentar cambiar el orden de integración. Proponemos así:
R4R2
0
=
R 2 R 2 2
2
2   = 0 0   =
R 2 2 hR 2 i
R 2 2



=
0
0
0  2 =
Ejemplo 1.1.34. Sea la integral doble
ZZ
 ( )   =
Z0
p
Z+1
 ( )   +
p
¡1 ¡ +1
R
¯
2 ¯2

 ¯
0
Z3
= 4 ¡ 1
1¡
Z
p
0 ¡ +1
a)Describir y gra…car la región R
b)Calcular por integral doble el área de la región R.
ZZ
2
3
c)Calcular la integral
 ( )  , si  ( ) = 612¡3 ¡2
R
Solución
©
ª
a) R = ( ) : ¡2 ·  · 1 2 ¡ 1 ·  · 1 ¡ 
35
 ( )  
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
b)Sea  ( ) = 1entonces
0
1
1¡
ZZ
Z
¢
R1 B
R1 ¡ 2
C
(R) =
  = @
 A  =
¡ ¡  + 2  = 92 2
¡2
R
¡2
2
 ¡1
0
1
1¡
ZZ
Z
1
R B
R1
¢
2
3
2
3 ¡
C
c)
 ( )   = @
612¡3 ¡2  A  = 612¡3 ¡2 ¡2 ¡  + 2 
ZZ
R
¡2
R
¡2
2 ¡1
 ( )   = 7 ¡ ¡20 
Ejemplo 1.1.35. Sea la integral doble
ZZ
p
 ( )   =
Z 2Z
0
R
 ( )   +
p 2
Z4¡
 ( )  
Z2
p
2
0
0
a)Describir y gra…car la región R
ZZ
2
b)Calcular la integral
 ( )  , si  ( ) = 
R
Solución
n
o
p
p
a)R = ( ) : 0 ·  · 2  ·  · 4 ¡ 2
b)
ZZ
 ( )   =
0
R
También,
ZZ
 ( )   =
ZZ
 ( )   =
R
p
R2
0
R
p
R2
¡1
0p
1
Z4¡2
2
B
C
  A  =
@

1
4
¡ 2
¢2
 ¡1 
0p
1
0 
1
4¡2
Z
Z
C
R2 B
2
@ 2 A  + B
 C
@
A 
p
2
4
2
0
+
1
4
¢
+
¡1
4
4
0
¢
¡ 34 2 = 14 4 ¡ 12 2 +
36
1
4
=
1
4
¡ 2
¢2
 ¡1 
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 1.1.36. Una lámina tiene la forma de una región plana limitada en el primer cuadrante
p
por la circunferencia  = 4 ¡ 2 , el eje X, y el eje Y, si la función densidad en cada punto
p
( ) es dada por la función  ( ) = 6 2 +  2 , encontrar el centro de masa de la lámina.
Solución
En coordenadas polares  =  cos()  =  sin .
n
o

Por lo tanto la región R = ( ) : 0 ·  ·  0 ·  · 2
2
 =

Z2 Z2
0

=
 =
0

Z2 Z2
0
(6)  = 8
( cos ) (6)  = 24
0
24
3
=
8

Por simetría, se tiene que  = 
Luego el centro de masa de la lámina es C.M.=( )
¡3
3
 
¢

Ejemplo 1.1.37. Dada la integral
Z1 Z1
¡1  2
 jj

1 + 3
a)Gra…que la región de integración.
b)Calcule la integral.
Solución
)Invirtiendo el orden de integracion y usando la de…nicion de valor absoluto
©
ª
R := ( ) : ¡1 ·  · 1  2 ·  · 1
©
p
p ª
R := ( ) : 0 ·  · 1 ¡  ·  · 
37
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
)Usando simetría :
0p
1
Z1 Z1
Z1 Z 
Z1 µ
Z1 ³
h 2 i=p ¶
´
B
C
jj




=


=
2


=
2

=
()

@
A
2
1+3
1+3
1+3
1+3
=0

¡1  2
£
¡
= 13 ln 3
0
¢¤=1
+ 1 =0 =
0
1
3
0
ln 2
Ejemplo 1.1.38. Sea R la región limitada por
2 +  = 2  = 2 2 = 1
a)Gra…que R
b)Calcule
ZZ
R
Solución
£
¤
1 + (2 ¡ )2 (2 +  ¡ 1)2 
)
)Hacer
(
 = 2 ¡ 
 = 2 + 
¯
¯
¯ 1
1 ¯
¯ 4
4 ¯
 ( ) = ¯ 1 1 ¯ =
¯ ¡
¯
2
2
, de donde  = 14  + 14   = 12  ¡ 12 .
1
4
38
0
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Luego
ZZ
£
¤
1
1 + (2 ¡ )2 (2 +  ¡ 1)2  =
4
R
ZZ
1
1
(D) +
2 ( ¡ 1)2 
4
4 D
|
{z
}
 =
 =
ZZ
D
£
¤
1 + 2 ( ¡ 1)2 

La región D es un triángulo limitado por las rectas  = 2,  = 0,  =  + 1.
R 2 R ¡1
R2
(D) = 1 0  = 1 ( ¡ 1)  = 12 .
Luego


=
=
ZZ
Z
1
Luego,  =
1
4
¡1¢
2
+
1
=
18
D
2
2 ( ¡ 1)2  =
Z
1
2 Z ¡1
0
2 ( ¡ 1)2 
i=2
1
1 h
1
( ¡ 1)5  =
( ¡ 1)6
=
3
18
18
=1
13
72 .
Ejemplo 1.1.39. Sea D la región en el primer cuadrante, limitada por
p

1 · 2 +  2 · 9 p ·  ·  3
3

Si la densidad es ( ) = arctan( ) en cada punto ( ) de la región D. Determine la coor
denada  del centro de masa ( ) de D.
Solución
En coordenadas polares  =  cos()
 =  sin  con límites


·· 
6
3
1··3
La densidad ( ) = arctan(  ) = ,
La masa
=
Z

3

6
µZ
¶
3
  =
1
39
2
6
Cálculo Aplicado Norberto Chau
La coordenada 
 =
1

Z
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

3
= 6
Z
3
( cos )  = (
=1
1 26
)
 3
1 26
= 
) [cos  +  sin ]= 3
6
 3 Ã
p !
p
1 26 
1¡ 3
= ( )
(2 3 ¡ 1) +
 3 12
2
Ã
p !
6 26  p
1¡ 3
 = ( 2)
(2 3 ¡ 1) +
 3 12
2
Ã
p !
52  p
1¡ 3
 =
(2 3 ¡ 1) +
2

12
2
Z

3

6
 cos()
= (
Ejemplo 1.1.40. Sea  : Q = [¡3 3] £ [¡4 4] ½ R2 ! R una función de…nida por
(
¡
¢
cos 62 + 32 
( ) 2 R
( ) =
0
 ( ) 2 QÂR
2  2
donde R ½ R2 es la región en el primer cuadrante, limitada por la curva C :
+
=1y
2
4
RR
los ejes coordenados. Calcule Q ( ) si existe.
Solución
Observe que
( ) =
(
( ) ( ) 2 R
( ) 2 QÂR
0
donde  : R ! R es una función de…nida sobre R por
¡
¢
( ) = cos 62 + 3 2 
Como  es continua sobre R, entonces  es integrable sobre R y además
ZZ
ZZ
( ) =
( )
Q
R
Luego usando transformación de coordenada polares generalizadas:
p
 = 2 cos   = 2 sin 
La curva C, en las coordenadas ( ), está dada por  = 1 y la región R se transforma a
n
o
R0 := ( ) : 0 ·  · 1 0 ·  ·
2
así
ZZ
R
( ) =
Z
0

2
Z
1
p
p
cos(12 )¢(2 2) = 2
2
0
µZ
0
40
1
2
 cos(12 )
¶ ÃZ
0

2

!
p
2
=
sin 12
24
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 1.1.41. Dada la integral
Z1 Z2
¡122
a)Gra…que la región de integración.
jj  3
p

2 + 5
b)Calcule la integral..
Solución
)La region de integración es :
)Invirtiendo el orden de integracion y usando la de…nicion de valor absoluto
©
ª
R := ( ) : ¡1 ·  · 1 22 ·  · 2
R :=
½
r
r ¾


( ) : 0 ·  · 2 ¡
··
2
2
Usando simetría
:
0 p
1
p
!
2
2
Z2 Z 2
Z
Z
Z2 Ã
h 2 i=p 
B
C
jj 3
 3
3
2

B
C
p
p
p
 =
  = 2 @
  = 2
 =
2 =0
2 + 5
2 + 5 A
2 + 5
p
Z2 Ã
0 ¡

2
3
0
!
¡ ¢
p

4
2 + 5
0
!
Z2 Ã
4
5
1
p
 = 10
 =
2 + 5
2
0
1
10
0
0
h p
i=2
p
p
2 2 + 5
= 15 34 ¡ 15 2
=0
Ejemplo 1.1.42. Sea la región R limitada por :
 =  + 2  =   +  = 0  +  = 2
41
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
a)Gra…que R.
b)Calcule
ZZ
R
( ¡ )3

4 + ( + )2
Solución
)La región es, R : ( ¸ ¡) ^ ( ·  + 2) ^ ( · 2 ¡ ) ^ ( ¸ )
)Haciendo
(
¯
¯
¯
 ( ) = ¯
¯
 =+
, de donde  = 12  + 12   = 12  ¡ 12 .
 =¡
¯
1
1 ¯
2
2 ¯
¯ = ¡ 12 de donde j ( )j = 12 
1
1 ¯
2 ¡2
La nueva región D es un rectángulo D = [0 2] £ [¡2 0] en el plano UV: 0 ·  · 2 ¡2 ·  · 0.
42
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Luego
 =
 =
 =
 =
ZZ
ZZ
( ¡ )3
3

=
j ( )j 
2
2
R 4 + ( + )
D 4+
Ã
¶
· 4 ¸=0 !
Z µZ 0
Z
1 2
3
1 2
1

  =

2
2
2 0
2 0
4+
4 =¡2
¡2 4 + 
¶
·
¸
Z µ
Z 2 1
1 2
¡4
1 =2
2 
 = ¡
¡  ¢2 = ¡ arctan 
2 0 4 + 2
2 =0
0 1+ 2
1
¡ arctan 1 = ¡ 
4
Ejemplo 1.1.43. Calcule la masa de una lámina de metal que tiene la forma de la región R ½ R2 ,
limitada por :
2 +  2 ¡ 2 = 0, 2 +  2 ¡ 4 = 0,
 ¡  = 0,
 +  = 0
jj
si la densidad en cada punto de dicha lámina es ( ) = q

(2 +  2 )3
Solución
Usando el cambio de coordenadas  : - ! R, de…nida por  ( ) = ( cos   sin ) j ( )j =
.
De : 2 + 2 = 2 =)  = 2 cos De :2 +  2 = 4 =)  = 4 cos 
Así, 2 cos  ·  · 4 cos 

De :  =  =)  =
4

De :  = ¡ =)  = ¡
4


Así, ¡ ·  · 
4
4
n
o


Por lo tanto la región R = ( ) : ¡ ·  ·  2 cos  ·  · 4 cos 
4
4
43
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 =
Z Z
( ) = 2
R
= 2

Z4
0
 = ¡
4
3
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

Z4 4Zcos µ
0 2 cos 

sin  cos  []42 cos
cos   = 4
µ

¶
Z4 4Zcos 
2 sin  cos 
 = 2
sin  cos 
3
0 2 cos 

Z4
0
¶
p
1
4 1
p ¡1 = ¡
2
3 3
2 2
¸
3
cos
4
cos2  sin  = ¡4
3
0
·
Ejemplo 1.1.44. Sea D ½ R2 , la región del plano, en el primer cuadrante, limitada por :
p
2 2 + 2  2 = 42 2  2 2 + 2  2 = 92 2   ¡  = 0,  3 ¡  = 0 con     0
a)Gra…que la región D.
b)Calcule
ZZ
( )
D
q
si  ( ) = 2 +  2 + (  )2 + (  )2 , para todo ( ) 2 D.
Solución
)Observe que las ecuaciones que determinan la región D son equivalentes a
4·
³  ´2

+
³  ´2

· 9

p
··
3


44
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Luego, la grá…ca de D es:
Región 
)Usando el cambio de coordenadas  : - ! D, de…nida por  ( ) = ( cos   sin ). Donde
0 es la región del plano ( ), limitada por:
2··3


·· 
4
3
j ( )j = 
ZZ
ZZ
Z
 ( ) =
( cos   sin ) j ( )j  =
D
1.2.
-

3
¸3
3

4
Z
2
3p
2 + 2 2 
µ ¶Z 
µ ¶Z 
p
p
3
3
19
19
2
2
2
2
 =   + 
 =   + 




3 2
3
3
4
4
4
µ ¶³
p
19
  ´ 19 p 2
=  2 + 2
¡
=   + 2
3
3
4
36
Z
p
2
2
=   + 
·

3
Integrales triples
El procedimiento emplaedo para de…nir un aintegral triple imita al de las integrales dobles.
Primero supongamos que  :  ½ R3 ¡! R
es una función continua de tres variables, de…nida en una región sólida acotada .
A Continuación dotamos a  una red de cajas y construimos una partición interna formada por
todas las cajas completamnete situadas dentro de Q, como se ve en la …gura.
45
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
El volumen de (  )¡ésima prismas es :
¢  = ¢ ¢ ¢ 
De…nimos la norma de la partición ¢, se denota por k ¢ k, se de…ne com la longitud mayor de
las diagonales de los prismas 
k ¢ k= f ( ) : 1 ·  ·  1 ·  ·  1 ·  · g 
³
´
¤  ¤
Si elegimos un punto de muestra ¤  
 en cada  , entonces podemos aproximar la
parte de K que se encuentra arriba de cada  por medio de una delgada prisma ( O columna)
³
´
¤  ¤
con base  y altura  ¤  
 
Formamos la suma de Riemann

 X
 X
X
=1 =1 =1
¡
¢
¤
¤
 ¤  
 
¢ 
Esta aproximación puede mejorarse estrechamente los prismas para formar cada vez en hiperprismas mas pequeños. Es decir, el límite cuando k ¢ k¡! 0 (m,n ,p crecen inde…nidamente).
Si el límite de esta suma existe, entonces tenemos
Z ZZ

 X
 X
X
¡
¢
¤
¤
(  ) = l¶³m
 ¤  
 
¢  =
k¢k¡!0
Q
=1 =1 =1
l¶³m
¡!+1
 ( ¢)
Suma triple de Riemann.
Ahora de…nimos la integral triple sobre una región sólidas acotadas más generales K, del espacio
tridimensional, mediante un procedimiento similar al que empleamos para las integrales dobles,
esto signi…ca, encerramos K en un prisma de ocho paralelepípedo rectangular.
Teorema 1.2.1. Para  y  dos funciones integrables de…nidas sobre un sólido K , entonces
se cumplen las siguientes propiedades:
1. (Linealidad).  +  es integrable sobre K y
ZZ
ZZ
ZZ
( (  ) + (  ))  =
(  ) +
(  )
K
K
2.(Homogeneidad).
K
 es integrable sobre K, para todo  2 R, y
ZZ
ZZ
( (  ))  = 
(  )
K
K
3.(Aditividad) Si K = K1 [K2 y K1± \ K2± = © ( K1 y K2 dos prisma cuya intersección es una
región, una curva o un punto o vacía), entonces
ZZ
ZZ
ZZ
 (  ) =
(  ) +
K
K1
K2
46
(  )
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
4.(Monotonía) Si (  ) · (  ), para todo (  ) 2 K, entonces
ZZ
ZZ
(  ) ·
(  )
K
K
En particular, si (  ) ¸ 0, para todo(  ) 2 K, entonces
ZZ
 (  ) ¸ 0

Restringiremos a funciones continuas  : K ½ R3 ¡! R y a ciertos tipos de regiones.
Una región K de tipo I, si sse puede describir com el conjunto
©
ª
K = (  ) 2 R3 : ( ) 2 R,  1 ( ) ·  ·  2 ( )
donde  1   2 : R ¡! R son funciones continuas con valores reales.
Además, R puede ser de tipo I o II.
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 () ·  · 2 ()  2 [ ]    (1)
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 () ·  · 2 ())  2 [ ]    (2)
Una región de tipo II se puede expresar en la forma (1) o (2), con  o  intecambiados.
Teorema 1.2.2. (Teorema de Fubini para regiones sólidas).Sea  : K ½ R3 ¡! R una función
continua sobre una región sólida acotada R de…nida´por
©
ª
K = (  ) 2 R3 : ( ) 2 R ,  1 ( ) ·  ·  2 ( )
siendo R =   (K) y  1   2 : R ¡! R son funciones continuas con valores reales.Entonces
(Z
)
Z ZZ
ZZ
(  )
 2 ()
=
K
R
=
Z Z

=
Z

(  )  
 1 ()
2 ()
1 ()
 Z  2 ()
(Z
 1 ()
 2 ()
 1 ()
(Z
 2 ()
 1 ()
(  ) 
)
 (  ) 
)


Similarmente con las otras regiones o proyecciones de K sobre los plano YZ y XZ.
Los conceptos de integración que expusimos en las secciones 2 y 3 de este capítulo los podemos
extender al caso de integrales triples, cuádruples...etc.
Ilustraremos su uso con algunos ejemplos.
47
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Ejemplo 1.2.3. Calcular el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano
 +  +  = 1.
Solución Es importante formarnos una representación grá…ca del sólido.
Figura. Volumen de un tetraedro
Observemos que el plano  +  +  = 1 se intersecta con los planos  = 0  = 0 y  = 0 en las
rectas
+ =1
+
=1
+ =1
respectivamente.El sólido está de…nido por:
Entonces,
©
ª
K = (  ) 2 R3 : 0 ·  · 1 0 ·  · 1 ¡  0 ·  · 1 ¡  ¡ 
 (S) =
=
=
 (S) =
Ejemplo 1.2.4. Hallar
Solución.
RRR

nR
R nSR
1
0
1¡
0
R1£
0  ¡ 
1
6
RRR
S
o
o
1¡¡
 
0
¤
1¡
¡ 12  2 0  =
o
R 1 nR 1¡
 = 0
(1
¡

¡
)


0
h
i1
R1 1
2
3
1
0 2 ( ¡ 1)  = 6 ( ¡ 1)
0
  en donde
©
ª
S = (  ) 2 R3  2 +  2 +  2 · 1  ¸ 0  ¸ 0  ¸ 0
Es fácil advertir que el sólido S es un octante de la esfera de R3 de centro en el origen y radio
1 cómo se observa el sólido está de…nido por:
48
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
n
o
p
p
K = (  ) 2 R3 : 0 ·  · 1 0 ·  · 1 ¡ 2  0 ·  · 1 ¡ 2 ¡ 2
Por lo tanto
ZZZ
  =
S
1.2.1.
Z
0
1
(Z
p
1¡2
0
(Z p 2 2
1¡ ¡
)
  
0
)
 =
1
48
Cambio de variable
Los conceptos de cambio de variable que expusimos en la sección anterior los podemos extender
al caso de dimensiones superiores. Si  () = (1 ()   ()) representa una transformación
de una región R a otra región S de R entonces
en donde
Z
¢¢¢
Z
()1  =

Z
¢¢¢
¯
¯ 1 ()
¯ 1
¯
¯ 
¯
 () = ¯
¯ 
¯
¯  ()
¯ 1
Z

( ()) j ()j 1  
 
1 ()



 ()

¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
 = (1   ),  = (1   ) y  un campo escalar de…nido sobre  Para que la fórmula de
cambio de variable tenga validez en necesario que  () 6= 0 No obstante la podemos extender
al caso  () = 0 siempre y cuando el conjunto en donde se anula el jacobiano tenga contenido
nulo. Este es el caso en los ejemplos que consideraremos.
Sea  : K ½ R3 ¡! R una función integrable sobre un sólido K acotado, nos interes calcular el
R RR
valor
K (  )
Sea una  : - ½ R3 ¡! K una transformación de…nida por
 (  ) = ( (  )   (  )   (  )) 
Teorema 1.2.5. (Cambio de variable para integrales triples).Sean K y - sólidos acotados en
R3 y  : - ½ R3 ¡! K una función biyectiva de clase  1 (-) con (  ) 6= 0
¯
¯
¯    ¯
¯    ¯
¯    ¯
 (  )
¯
 (  ) =
= ¯¯ 

 ¯
 (  ) ¯


 ¯¯
¯ 


49
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Si  : K ½ R3 ¡! R una función integrable sobre un sólido acotado  : K ½ R3 ¡! R.Entonces
 ±  : - ½ R2 ¡! R es integrable y
ZZ
Z ZZ
(  )  =
( ±  ) (  )  j  (  )j  
K= (-)
-
Coordenadas Cilíndricas
De…nición 1.2.6. Dado el punto  2 R3 , la terna de números reales (  ) da a las coordenadas cilíndricas de  , siempre que:
(1)( ) sean las coordenadas polares de la proyección de  sobre el plano  , y
(2)  sea la cota de  .
 2 R3 7! (  ) 2 [0 +1[ £ [0 2] £ R
donde
8
>
>
<  =  sin 
 =  cos    ¸ 0, 0 ·  · 2.
>
>
: =
Una transformación de…nida por
 (  ) = ( sin   cos  ) 
Es fácil ver que el jacobiano
En este caso,
ZZ
¯
¯
¯ cos 
 (  ) ¯¯
 (  ) =
= ¯ ¡ sen 
 (  )
¯
¯
0
K= (-)
(  ) =
Z ZZ
-
50
sen 
 cos 
0
¯
¯
0 ¯
¯
0 ¯¯ = 
¯
1 ¯
 ( sin   cos  )  
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
De las dos primeras ecuaciones anteriores se deduce que 2 + 2 = 2 . Esto nos dice, por ejemplo,
que el plano, en coordenadas cilíndricas,  =  se transforma en el cilindro circular recto paralelo
al eje  y de…nido por la ecuación, en coordenadas rectangulares, 2 +  2 = 2 
Cómo una aplicación de las coordenadas cilíndricas, consideremos el siguiente ejemplo: Calculemos la integral
Z ZZ
S
¡ 2
¢
 +  2 
en donde S es el sólido limitado por las super…cies 2 +2 = 2 y el plano  = 2 En coordenadas
cilíndricas el sólido S está determinado por las super…cies  = 0  = 2 2 = 2 y  = 2
cómo se indica en la …gura.
Puesto que  (  ) = , vemos que
µ
µ
¶ ¶
RRR ¡ 2
¢
R 2 R p4¡2 R 2
¡ 2
¢
2
2
p
 +    
2 +2
S  +   = ¡2
¡ 4¡2
2
R 2 ³R 2 ³R 2 3 ´ ´
= 0
 2    
0
2
=
Ejemplo 1.2.7.  =
Z1
0
16
3 
0 10 
1 1
Z Z
@ @ 2 (1 ¡ ) ¡(1¡)2  A  A 


a)Hallar el dominio de integración con la región proyectada al plano xy.
b)Calcular la integral usando la parte (a).
Solución
)K = f(  ) : 0 ·  · 1  ·  · 1  ·  · 1g
0 0
1 1
Z1 Z1 Z1
2
) = @ @ 2 (1 ¡ ) ¡(1¡)  A  A  = 12 ¡1
0


Ejemplo 1.2.8. Calcular el volumen del sólido que está limitado por los planos  = 0,  =
cilindro 2 +  2 = .
Solución
Este sólido está encima del disco que tiene como frontera del círculo a la circunferencia :
µ
¶
µ
¶
1
1
1 2 1
2 +  2 =  =) 2 +  2 ¡  +
= =) 2 +  ¡
=
4
4
2
4
es decir, tiene como frontera la circunferencia de centro el punto (0 12 ) y radio 12 
51
1
3
y el
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Figura. Volumen de un cilindro circular
Si consideramos coordenadas polares, se tiene que esta circunferenciase expresa como:
2 +  2 =  =) 2 =  sen
=)  = sen 
Por lo tanto, el disco sobre el que se encuentra el sólido
½
¾
1
- : (  ) : 0 · ·  0 ·  · sen  0 ·  ·

3
está dado por:
R = f( ) : 0 ·  · sen ; 0 ·
· g
Puesto que  (  ) = .Aplicando la fórmula de integración en coordenadas polares:
Z ZZ
(  )
K
=
ZZ
R
1
3
)
1   =
0
Z
0

ÃZ
Z

!

 
3
·
¸
1 1 ¡ cos 2

6
2
sen
0
¸sen
Z 
Z 
2
sen2
 =
 =
6 0
6
0
0
0
·
¸

sen 2
=
¡
12
24 0

=
12
=
·
(Z
Coordenadas Esféricas
De…nición 1.2.9. Dado el punto  2 R3 , la terna de números reales (  ) da a las coordenadas esféricas de  , siempre que:
(1) sea la distancia del punto  al origen de coordenadas,
(2)  sea el ángulo que forma la proyección del vector P en el plano XY, con la parte positiva
del eje X, y
52
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
(3) sea el ángulo que forma el vector  con la parte positiva del eje .
 2 R3 7! (  ) 2 [0 +1[ £ [0 2] £ [0 ] 
donde
8
>
>
<  =  sin  cos 
 =  sin  sin    ¸ 0, 0 ·  · 2,0 ·  ·  .
>
>
:  =  cos 
Una transformación de…nida por
 (  ) = ((  ) (  ) (  )) = ( sin  cos   sin  sin   cos ) 
Es fácil ver que el jacobiano
¯
¯
¯ sin  cos  ¡ sin  sin   cos  cos 
 (  ) ¯¯
 (  ) =
= sin  sin   sin  cos   cos  sin 
 (  ) ¯¯
¯ cos 
0
¡ sin 
En este caso,
Z ZZ
(  ) =
K= (-)
Z ZZ
-
¯
¯
¯
¯
¯ = ¡2 sin 
¯
¯
¯
( ±  ) (  ) 2 sin   
Si queremos que la transformación sea inyectiva debemos tomar, por ejemplo,  2 [0 2[ y
 2 [0 [ 
De las tres ecuaciones anteriores se deduce que 2 + 2 +  2 = 2  Es así cómo el plano,
en coordenadas esféricas,  = , se transforma por medio de  en la esfera cuya ecuación es
2 +  2 +  2 = 2  en coordenadas rectangulares.
De la misma forma: El plano, en coordenadas esféricas,  = , se transforma por medio de  en
el plano  = tan  en coordenadas rectangulares. También, el plano  =  en coordenadas
esféricas, se transforma en la curva
53
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
n
o
(  ) 2 R3  2 +  2 = ( sin )2   =  cos 
Veamos ahora un ejemplo del uso de las coordenadas esféricas: Calculemos, usando coordenadas
esféricas, el volumen de un octante de la esfera de centro en el origen y radio 1 Esto es, hallemos
 (S) en donde
©
ª
S = (  ) 2 R3  2 +  2 +  2 · 1  ¸ 0  ¸ 0  ¸ 0
£
¤ £
¤
Procedemos así: Es fácil advertir que el paralelipípedo [0 1]£ 0 2 £ 0 2 en el espacio (  )
se transforma en el sólido S puesto que j (  )j = (sin ) 2 tenemos que
 (S) =
Z
0
1
ÃZ

2
0
ÃZ

2
0
!
!
1
 sin    = 
6
2
¡
¢2
Ejemplo 1.2.10. Calcular el volumen del sólido encerrado por la super…cie de ecuación 2 +  2 +  2
= (2 +  2 ).
Solución
Pasando
a coordenadas esféricas generalizadas:
8
>
>
<  =  cos  sen 
-:
>
>
:
 =  sen  sen  ;  (  ) = ¡2 sen 
 =  cos 
¡
¢2
¡ ¢2
¡
¢
De la super…cie: 2 +  2 +  2 = (2 + 2 ) =) 2 = ( cos ) 2 cos2  sen2  + 2 sen2  sen2 
¡
¢
=) 4 = ( cos ) 2 sen2  cos2  + sen2  =)  = cos  sen2 
Como debe ser  =  cos  ¸ 0 entonces
2 [0 2 ]. La ecuación anterior no depende de 
luego 2 [0 2 ] por lo que los lí¬mites de integración del sólido son:
n

o
- := (  ) : 0 ·  · cos  sen2  0 ·  ·  0 ·  ·
2
2
 (-) =
ZZ Z
-
 (-) =

2
Z Z2
0
0
1 =

Z2 Z2
0
0
cos  sen2
Z
0

¡ 2
¢
 sen   =

Z2 Z2
0
0
(sen )
2
cos 
Zsen 
0 
1
C
· 3 ¸cos  sen2 
Z2 BZ2
C

1 B
3
7
B
C 
(sen )
 =
cos

sen

C
3 0
3 B
@
A
0
54
0
0
¡ 2¢
 
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ahora

Z2
cos3  sen7  =
0
=
·
¸
cos2  sin8  2


10
·
8
2 sin 
10
8
+
0
¸ 2
0
=
2
10
Z2
cos  sin7 
0
1
40
y volviendo a la integral de volumen:
0 
1
C
Z2 BZ2
Z2
C
1 B
1
1

B cos3  sen7  C  =
 (-) =
 = 
B
C
3 @
3
40
60
A
0
0
0
Aplicaciones de la integral triple
Masa de una región sólida
Considere una región sólida K, no homogénea, esto es que su densidad  varía en cualquier
punto (  ) de K del espacio  , donde  : K ½ R3 ¡! R es una función continua sobre
una sólida K, está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa
se obtiene como la integral triple de la función densidad sobre la región K, tal como se de…ne a
continuación:
Masa de una región sólida en el espacio
Considere un cuerpo tridimensional K de densidad variable  (  ) de K, entonces su masa,
denotada  , se obtiene como:
=
l¶³m
k¢k¡!0
Z ZZ

 X
 X
X
¡
¢
¤
¤
 ¤  
 
¢  =
(  )
K
=1 =1 =1
Momentos estáticos
El momento estático de una región sólida K tridimensional respecto a los planos coordenados
 ,  , y , se de…nen de la siguiente manera:
Momentos estáticos de un sólido en el espacio tridimensional
Sea K una región sólida del espacio, tal que su densidad viene dada por la función  : K ½
R3 ¡! R, la cual es continua para todo (  ) 2 K, entonces los momentos estáticos alrededor
de los planos  ,  , y , denotados     y  , respectivamente, se obtienen a
partir de las siguientes expresiones:
55
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

=
  =
 =
Z ZZ
Z Z ZK
Z Z ZK
(  )
(  )
(  )
K
Centro de masa de un sólido
Las coordenadas C.M.(x,y,z) es el centro de masa de la región sólida K del espacio :
R RR
R RR
R RR
(  )
(  )
(  )
 


K
K
=
= R RR
 =
= R RR
 =
= R RRK



K (  )
K (  )
K (  )
2
2
Ejemplo 1.2.11. Sea - el sólido en el primer octante limitado por las super…cies 2 + 4 + 9 =
p
1  = 2  = 2 3.Calcular la masa total y la tercera coordenada de -, si la función densidad
³
´
2
2
en cada punto (   ) es dado por  (   ) = 10 2 + 4 + 9 
Solución
Pasando
a coordenadas esféricas generalizadas:
8
>  =  cos  sen 
>
<
-:
>
>
:
 = 2 sen  sen  ;  (  ) = ¡62 sen 
 = 3 cos 
 = 2 :  = 4
p
 = 2 3 :  = 3
n


o
- : (  ) : 0 ·  · 1 ·  ·  0 ·  ·
4
3
2
 
 
1
ZZ Z
Z
Z1
3
2
3 R2
¡
¢
¡
¢
¡ 4¢
R R
R
=
 (   )  =
102 62 sen   = 60
(sen )
 
 0
 0
0
0
4
4
0
1
 

C
R3 B R2
R3
C
 = 12 B
@ sen A  = 12  = 
 0

4
4

=

 
 
0
ZZ Z
Z1
Z
3
2
3
2
R R
¡ 2¢ ¡ 2
¢
R R
@
 =
 (   )  =
(3 cos ) 10 6 sen   = 180
(cos  sen )
 0
 0
0
0
4
4
56
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1
0



C
R3 B R2
R3 £ 1
¤
R3
C
 = 30 B
¡ 4 cos 2 02  = 30 12  = 54 
@ (cos  sen ) A  = 30
 0


4
4
4
5


=
= 4 = 54


Ejemplo 1.2.12. Sea - ½ R3 el sólido limitado por el cilindro 2 +  2 = 2 , el plano  = 2 + 2
y el paraboloide 2 +  2 +  = 2 , con  ¸ 0  ¸ 0 y   1.
a)Esboce el sólido -.
RRR
2
2
b)Calcule
- (  )donde  (  ) =  +  
Solución.
)Esbozo del sólido - :
)Usando coordenadas cilíndricas:
 =  cos   =  sin  = 
j(  )j = 
La ecuación del cilindro es:  = 
La ecuación del paraboloide es:  = 2 ¡ 2 .
Luego
n
o

- := (  ) : 0 ·  ·  0 ·  ·  2 ¡ 2 ·  · 2 + 2
2
RRR
-  (  )
=
=
=
RRR
-  (  )
=
=
R

2
R  R 2 +2
2
2
2  () 
R 2 R0 3 ¡ 2
 (2 +  )
³0R  0 ´ R

3
5
2
0 
0i(2 +  )
h 4



6
2 ( 2 + 6 0)
¡ 2
¢
1
4
12   + 3
0
57
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Ejemplo 1.2.13. Halle la coordenada  del centroide del sólido K limitado superiormente por
p
p
1 : 2 +  2 +  2 = 4 2 + 2   ¸ 0 (ver …gura) e inferiormente por 2 :  = 2 +  2 .
Solución.
6
z
4
z
2
0
4
-4
0
x
-2
-1
0
1
-4
4 -2
0
2
2
-2
2
1
0
y
y
2
z
4
2
2
1
0
-1 -2
1
-4
2 00 0 -2
2 -2 -4
4
x
y
x
Usando coordenadas esféricas:
 =  sin  cos   =  sin  sin   =  cos 
2 + 2 +  2 = 2 
j(  )j = 2 sin 
1 : 2 = 4 sin  ¡! 1 :  = 4 sin 
p
2 :  = 2 +  2 ¡! 2 :  cos  = 4 sin  ¡! 2 :  =

4
n
o

- := (  ) : 0 ·  · 2 0 ·  ·  0 ·  · 4 sin 
4
´
´
 ³
R 2 R 4 ³R 4 sin 
R
R
R
R ³R 4 43 sin4  ´
2    = 2 4 sin  4 sin  2    = 2
= 0 0
sin

 
0
0
3
0
0
0
0
³
´
³
´

R
R
3
2
4
4
 = 43
0 sin 
0 
³
´2
³
´
¡
¢
2
1
2 2 = 1 1 ¡ 2 cos 2 + 1+cos 4
sin4  = 1¡cos
=
1
¡
2
cos
2
+
cos
2
4
4
2
¡
¢
1 3
1
4
sin  = 4 2 ¡ 2 cos 2 + 8 4 cos 4
³R
´R 
3
2
1
4 3
 = 13 44

0 ( 2 ¡ 2 cos 2 + 8 4 cos 4 )
0
³
´
R 2
£3
¤
¡3
¢
3
1
32
4
 = 13 44
0  ( 2  ¡ sin 2 + 8 sin 4 0 ) = 3  8  ¡ 1
´
´
RRR
R 2 R 4 ³R 4 sin 
R ³R 4 44
5
3    = 2
 =

=
cos

sin


sin

cos


0
0 4
K
0
0
0
³R
´ µh 6 i  ¶
¡
¢
4
2
sin 
 = 43 0 
= 128 16 18 = 83 
6
0
Luego,  =


=
32

3
8

3
3
¡1
8
(
)
=
2
3¡8
Ejemplo 1.2.14. Sea S el solido limitado por las super…cies  +  ¡ 3 = 0  ¡  + 3 = 0  = 2 .
a)Esboce el sólido S.
b)Calcule el volumen del sólido S
58
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Solución.
)Esbozo del sólido S :
)Intersectando los planos se tiene la recta  = 3.Proyectando el solido al plano XZ se tiene la
region
n
o
p
p
R := ( ) : ¡ 3 ·  · 3 ¡2 ·  · 3
n
o
p
p
S := (  ) : ¡ 3 ·  · 3 2 ·  · 3  ¡ 3 ·  · 3 ¡ 
Luego el volumen de S vendrá dado por
Vol(S) =
=
=
=
=
Vol(S) =
R p3 R 3 R 3¡
p (
¡3 
¡ p3 ³2 ³
R 3 R 3 R 3¡ ´ ´
2 0
2
¡3   
´
R p3 ³R 3
2 0
(6
¡
2)


2

R p3 ¡ 2
¢2
2 0  ¡ 3 
¢
R p3 ¡
2 0 4 ¡ 62 + 9 
p
48
3
5
Ejemplo 1.2.15. Dada la integral triple
Z
0
1Z 1Z 

0
 cos[( ¡ )2 ]
a)Dibuje el sólido donde se evalúa la integral.
b)Reescribir la integral anterior proyectando el sólido al plano   y evalue la integral.
Solución.
)
59
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
)Sea
S := f(  ) : 0 ·  · 1  ·  · 1 0 ·  · g
Proyectando al plano YZ, se tiene
S := f(  ) : 0 ·  · 1 0 ·  ·   ·  · g
Z
0
¶
µZ  ³
Z
´ ¶
1 1
 cos[( ¡ )2 ]  = ¡

¡2 ( ¡ ) cos ( ¡ )2  
2 0
0

0
Z 1 ³h
Z 1
Z
i
´
=
¡
¢
1
1
1 1
2
2
¡
 sin ( ¡ )
 = ¡
 ¡ sin   =
2 sin  2 
2 0
2 0
4 0
=0
¤=1 1
1£
=
¡ cos 2 =0 = (1 ¡ cos 1)
4
4
1Z 
µZ

Ejemplo 1.2.16. Sea el sólido K limitado superiormente por 2 +  2 +  2 = 4, inferiormente por
 = 0 y lateralmente por (2 +  2 )2 = 4(2 ¡  2 )
a)Gra…car K.
b)Calcular
ZZ Z p
4 ¡ 2 ¡ 2 
K
Solución.
60
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
)
)Proyectando el solido al plano XY:
8
>
>
<
2 +  2 +  2 = 4
se tiene la región
=0
>
>
: (2 +  2 )2 = 4(2 ¡  2 )
©
ª
( ) : (2 +  2 )2 = 4(2 ¡  2 ) ^ 2 +  2 · 4
©
ª
R = ( ) : (2 +  2 )2 = 4(2 ¡  2 )
R =
Usando coordenadas cilíndricas:
 =  cos   =  sin  = 
j(  )j = 
La ecuación de la esfera 2 +  2 +  2 = 4, se tiene :  =
p
4 ¡ 2
p
La ecuación de la lemniscata : (2 +  2 )2 = 4(2 ¡ 2 ), se tiene :  = 2 cos (2)
n
o
p
p
- := (  ) : 0 ·  · 2 0 ·  · 2 cos (2) 0 ·  · 4 ¡ 2
Luego usando simetría:
ZZ Z p
Z
2
2
4 ¡  ¡   = 4
K

4
0
= 4
Z
= 4
= 4
0
ÃZ

4
ÃZ
0
p
2 cos 2
0

4
0
Z
p
2 cos 2
0

4
0
Z
ÃZ
p
4¡2
! !
p
 4 ¡ 2   
!
¡
¢
4 ¡ 3  
·
¸ p
1 4 =2 cos 2
2
2 ¡ 

4
=0
·
¸
16
2
2 (4 cos 2) ¡
cos 2 
4
61
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Z ZZ p
Z
2
2
4 ¡  ¡   = 4
K
=
=
=
=

4
£
¤
8 cos 2 ¡ 4 cos2 2 
0
µ
¶¸
Z ·
4
1 + cos 4
4
8 cos 2 ¡ 4

2
0
¸
Z ·
4
cos 4
4
8 cos 2 ¡ 2 ¡

2
0
·
¸= 
4
1
4 4 sin 2 ¡ 2 ¡ sin 4
8
=0
³
´
4 4¡
= 16 ¡ 2
2
Ejemplo 1.2.17. Hallar la componente  del centroide del sólido acotado S que se encuentra fuera
de la esfera 2 +  2 +  2 = 6 y dentro del paraboloide  = 4 ¡ 2 ¡  2 
Solución.
Sea R :
(
2 +  2 +  2 = 6
 = 4 ¡ 2 ¡ 2
donde resulta.
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene  = ¡1  = 2 de
En consecuencia la región de integración en el plano XY es :
n
p o
R = ( ) 2 R2 : (2 +  2 · 2
Usando Coordenadas cilindricas:
 =  cos   =  sin  = 
62
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
j(  )j = 
La ecuación de la esfera 2 +  2 +  2 = 6, se tiene :  =
p
6 ¡ 2
La ecuación del paraboloide  = 4 ¡ 2 ¡  2 , se tiene :  = 4 ¡ 2
n
o
p p
- := (  ) : 0 ·  · 2 0 ·  · 2 6 ¡ 2 ·  · 4 ¡ 2
´ ´
´
´
p
RRR
R 2 ³R p2 ³R 4¡2
R 2 ³R p2 ³
2 ¡ 6 ¡ 2  
p
 =volumen= -  = 0



=
4
¡

0
0
0
6¡2
p
³R
´h
i
2
3
p p ¢
¡
¢
¡
2
 =volumen= 0  22 ¡ 14 4 + 12 23 6 ¡ 2 2
 = 2 17
¡2 6 3
3
0
p ¢
¡
 = 34
3 ¡4 6 
´
´
RRR
R 2 ³R p2 ³R 4¡2
R 2 ³R p2 ¡ 1 5 7 3
¢ ´
p
 =

=



=

¡

+
5
 
2
2
2
0
0
0
0
6¡
p ´
³R
´ ³£
¤
¡
¢
2
2
1 6
7 4
5 2
13
 = 0 
= 2 13
12  ¡ 8  + 2  0
6 = 3 
Luego,  =


=
(
13

3 p
34
¡4
6
3
)
=
13 p

6( 17
¡2 6)
3
Ejemplo 1.2.18. Sea el sólido - limitado por las grá…cas de las ecuaciones:  =
p
p
 = 9 ¡ 2 ¡  2 y  = 2 +  2 
a)Gra…que el sólido -.
RRR
p 2 12
b)Calcule
-
( + + 2 )3
p
4 ¡ 2 ¡  2 

Solución.
n
o
p
)- := (  ) 2 R3 : 4 · 2 +  2 +  2 · 9  ¸ 2 +  2
)Usando coordenadas esféricas:
8
>
>
<   sin  cos 
  sin  sin  ¡! 2 +  2 +  2 = 2  j det ( (  )) j= 2 sin 
>
>
:   cos 
63
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
De : 2 +  2 +  2 = 4 Ã  = 2
De : 2 +  2 +  2 = 9 Ã  = 3
=
p
2 +  2 Ã  = 4 Además 0 ·  · 2
n
o

- := (  ) : 0 ·  · 2 0 ·  ·  2 ·  · 3
4
Z ZZ
-
1
p
 =
(2 + 2 +  2 )3
Z ZZ
Z
0
(  )
-
2
Z
0

4
Z
3
2 sin 
 =
3
2
= (ln 3 ¡ ln 2)
= (ln 3 ¡ ln 2)
Z ZZ
3
= ln
2
(  )
-
µZ
2
Z
2
0
Z
0
ÃZ

4
Z
0
¶
ÃZ

4
ÃZ

4
sin 
0
µZ
2
3
¶ !
1
  

!
sin  
0
2
2
!
sin  
0

 [¡ cos ]04
0
µ
¶
1p
3
= (2) 1 ¡
2 ln
2
2
2  2  2
Ejemplo 1.2.19. Sea K el sólido limitado superiormente por la grá…ca de
+
+
= e
9
4
3
r
2  2
inferiormente por la grá…ca de  =
+ .
9
4
a)Bosqueje el sólido K.
b)Calcule el volumen de K.
Solución.
Usando coordenadas esféricas generalizadas :
 = 3 sin  cos   = 2 sin  sin   =
p
3 cos 
p
2  2  2
+
+
= 2 
j(  )j = 6 32 sin 
9
4
3
p
p
2
1 :  =r 3 cos  ¡! 1 :  = 3 cos 
p
p
2 2
2 :  =
+
¡! 2 : 3 cos  =  sin  ¡! 2 : tan  = 3 ¡! 2 :  =
9
4
n
o
p

- := (  ) : 0 ·  · 2 0 ·  ·  0 ·  · 3 cos 
3
64

3
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
 =
R 2 R
0

3
0
Cálculo Aplicado Norberto Chau
³R p
3 cos 
p ³R 2
 = 3 0
´
R R³
R p3 cos  2 ´
R 2 ³R 4
2    = 2 3 sin 
sin





=
0
0
0
0
0
0
´ ³R 
´
p
p
¡
¢
3
3
3
4

0 cos  sin  = 2 3 16 = 8 3
p
3 3 cos3 
3
Volumen de la esfera n-dimensional
Como una última aplicación del cambio de variables en la integración veamos el volumen de
una esfera de centro cero y radio  en el espacio R  Para ello es necesario introducir la función
Gama. Esta se de…ne así:
¡ () =
Z
1
¡1 ¡  ,   0
0
Las propiedades más importantes de la función Gama son:
1). ¡ ( + 1) = ¡ () 
2). ¡ ( + 1) = ! en donde  2 N
La función Gama está de…nida para   0. No obstante la propiedad 1) anterior nos dice
que podemos extenderla a los reales negativos salvo los enteros negativos. Por ejemplo, para
¡1    0 tenemos que 0   + 1  1 en donde está de…nida la función gama, entonces
de…nimos ¡ () =
¡(+1)


Procedemos recurrentemente y de…nimos la función Gama en los
intervalos (¡2 ¡1)  (¡3 ¡2)  etc.
La propiedad 2) anterior nos permite extender la noción de factorial de un número natural al
caso de un número real, así: ! = ¡ ( + 1)  para  + 1 diferente de un entero negativo o cero.
¡ ¢ p
¡ ¢
Un cálculo directo nos dice que ¡ 12 =  y por la propiedad 1) obtenemos ¡ 32 =
¡ ¢
p
¡ 52 = 34  Así mismo ¡ (1) = 1 ¡ (2) = 1
1
2
p
y
El volumen de la esfera n-dimensional de radio  es

2
¢
 () =  ¡ 
¡ 2 +1

 ¸ 1
Es claro que es cierta para  = 1 2 Demostrémola para  ¸ 3 Consideremos la transformación
 (1   ) = (1   ) =  (1   ) 
  0 Entonces  (1   ) =   Por lo tanto
 () =
Z
¢¢¢
Z
1  = 
(0)
Z
¢¢¢
Z
1 
(01)
Esto es,  () =   (1)  Para calcular  (1) procedemos así:
8
9

<
=
X
(0 1) = (1   ) 2 R 
2 · 1
:
;
=1
65
´
sin   
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Entonces
 (1) =
=
RR
2 +2¡1
RR
·1
2 +2¡1 ·1
RR
nR
¢¢¢
R
21 +2¡2
·1¡2 ¡2¡1 =2
¡2 ()¡1 
¡2 (1)¡2 ¡1 
¡
¢
= ¡2 (1) 2 +2 ·1 1 ¡ 2 ¡ 2¡1 2
¡
¢  ¡1
R 2R 1 ¡1
= ¡2 (1) 0 0 1 ¡ 2 2
  
=
2 +2¡1 ·1
RR
¡1
= ¡2 (1) 2
 
Ahora, puesto que ¡ ( + 1) = ¡ ()  vemos que la sucesión

2
¢
() = ¡ 
¡ 2 +1
66
o
1 ¡2 ¡1 
¡1 
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejerccios Propuestos:Integración múltiples
1. Calcular
Z2 Z Ã
1 0
1
!
p
 
2 +  2
2. Invertir el orden de integración y evaluar
Z8 Z2 µ
0
p
3
¶

p
 
16 + 2
3. Invertir el orden de integración y evaluar
Z2 log
Z ³
´
p
( ¡ 1) 1 + 2  
1
4. Sea
0
p
Z3 Z4¡
=
 ( )  
0 
3
a) Dibujar la región de integración y luego expresar la integral  con el orden de integración invertido.
b) Calcular el valor de la siguiente integral doble
p
Z3 Z4¡p
1 + 2  
0 
3
5. Calcular el volumen del sólido limitado lateralmente por los cilindros
(
p

p
 = 
=
superiormente por el plano  ¡  + 2 = 0 e inferiormente por el plano 
6. Hallar el volumen del sólido limitado por las super…cies:
 = 0  = 2 + 2  2 ¡ 2 ¡ 4 = 0 2 + 2 ¡ 4 = 0
67
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
7. Hallar el volumen del sólido que se encuentra sobre el plano  y está limitado por
 =   2 +  2 = 4
8. Hallar el volumen del sólido limitado por las super…cies
 = 10  =  +  2   = 0
9. Sea
=
Z4



1
Calcular, en términos de , el valor de
Z1 Z2
 
 +

0 1+
10. Demostrar que
siendo
Z1 Z4
 
 +

0 2
Z3 Z4
 


1 1+
ZZ r
2 2
 1 ¡ 2 ¡ 2  


S
½
¾
2
2
2 
S = ( ) 2 R : 2 + 2 · 1 


(Dicha integral es el volumen de la mitad de un elipsoide)
11. Calcular
ZZ
R
siendo
R=
½
jj
p
 
2 +  2
¾
2 2
( ) 2 R :
+
·1
9
4
2
12. Calcular el volumen del sólido ubicado en el primer octante y limitado por las super…cies
 = 2 +  2   = 1  = 2 2 =   = 2  = 0
13. Hallar el área de la región limitada por la curva
(2 +  2 )2 = 
68
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
14. Calcular
ZZ
Cálculo Aplicado Norberto Chau
2
 2 +2  ,
R
donde R es la región limitada por la curva
(2 + 2 )2 = 2 ¡  2 
en el primer cuadrante.
15. Calcular
ZZ
( + )2 cos( ¡ )
R
donde R es la región limitada por el triángulo de vértices (0 0) ( ) (¡ )
16. Expresar en coordenadas polares las siguientes integrales:
a)
Z1 Z1
( )
0 0
Z1 Z2
b)
( )
0 0
17. Evaluar
ZZ p
2 +  2 
R
donde R es la región limitada por el cuadrado [0,1]£[0,1]
18. Calcular
ZZ
R
12
p

42 ¡ 2 ¡  2
donde R es la región limitada por la semicircunferencia
=
19. Calcular
p
2 ¡  2 y la recta  = (  0)
ZZ
R
2
3
(2 +  2 ) 2

donde R es la región limitada por las curvas
=
p
2
3 jj ,  = 
3
69
Cálculo Aplicado Norberto Chau
20. Evaluar la integral doble
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
ZZ
S
2 ¡  2
3
(2 +  2 ) 2

donde S es la región encerrada por las grá…cas de las ecuaciones
8
< 2 + 2 ¡ 4 ¡ 4 + 4 = 0 
p
1
:
 = p  ,  = 3
3
21. Hallar el volumen del sólido limitado por las super…cies
 = 2 2 +  2 ¡  3 + 1 = 0
22. Hallar la masa de una lámina que tiene la forma de la región, en el primer cuadrante,exterior
a la parábola  2 =  e interior a la circunferencia 2 +  2 ¡ 4 = 0con densidad super…cial
( ) = 
23. Una lámina tiene la forma del triángulo de vértices (0 0) ( ) y (2 0) Hallar su
masa si su densidad es
¯
¯
( ) = ( + )2 ¯ sin(2 ¡  2 )¯ 
24. Calcular el centro de gravedad de la lámina que tiene la forma de la región limitada por
 =   = ¡ 2 +  2 = 4 2 +  2 = 6
y que se encuentra situada arriba del eje  La densidad en cada punto ( ) de la lámina
es
1
( ) = (2 +  2 ) 2 
25. Hallar la distancia al plano  del centro de gravedad del sólido limitado por las super…cies
 = 0 2 +  2 = 2  2 +  2 = 2  0      + 2 =    0
26. Calcular
Z ZZ

K
donde K es el sólido limitado por el cubo [-1,1]£[-1,1]£[-1,1].
70
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
27. a) Gra…car el sólido K, en el primer octante, limitado por
 = 2 + 2   = 4  = 0  = 0
b) Calcular
Z ZZ
p
 

28. Calcular
ZZZ p
2 +  2 
K
donde K es el sólido limitado por las super…cies
 = 2 +  2   = 8 ¡ (2 +  2 )
29. Sea
Z2
0
p
4¡2
Z3
2
4¡8
Z
 (  )
0
2 + 2
Cambiar el orden de integración de manera que la nueva integral sea de la forma
Z¢¢¢Z¢¢¢Z¢¢¢
 (  )
¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢
30. La integral triple de una función contínua f sobre el sólido K limitado por el paraboloide
 = 8 ¡ 2 ¡  2 , el cilindro 2 +  2 = 4 y el plano  = 2 se ha expresado en la forma :
¶
¾
Z ½Z µZ
=
(  )   
Hallar los límites de integración de las integrales.
31. Calcular
Z ZZ p
2 + 2   
-
siendo - es el sólido limitado por el paraboloide  = 2 +  2 y el plano  = 4
32. Calcular
Z ZZ

K
donde K es el sólido limitado por los planos
 =   = 4  = 0  = 4  = 0
71
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
33. Calcular
ZZ Z

K
donde K es el sólido limitado por
 = 0  =
que está debajo de la super…cie  =
p
2 ¡ 2 
p
2 +  2 y sobre el plano 
72
Capítulo 2
Integrales de línea
Estudiaremos en esta sección las integrales de línea de campos vectoriales. Su
de…nición está inspirada en el concepto físico de trabajo o energía. Si por ejemplo
una partícula se mueve en el espacio bajo la acción de un campo de fuerzas, el
trabajo realizado por la partícula de un punto a otro de su trayectoria se mide con
una integral de línea.
De…nición 2.0.20. Sea  : R ! R un campo vectorial y sea  : [ ] ! R una curva que
supondremos diferenciable. Entonces de…nimos
Z
  =

Z


®
 (())  0 () 
Otra notación para la integral de línea es
R

(411)
   en donde  y  representan
los vectores que están al inicio y al …nal de la trayectoria de la curva , ésto es,
() =  y () = 
Puesto que  = (1  2    )  en donde los  representan sus funciones componentes y análogamente  = (1  2    )  entonces (4.1.1) lo podemos escribir
así:
R

Es claro que
Z

  =
=
R
=1 
P
R

 (()) 0 ()
1 1 + 2 2 +   
( + )  = 
Z

  + 
Z
 

para todo   reales y   cualquier par de campos vectoriales.
73
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
También, Una curva  puede ser una curva conformada por otras dos curvas 
y  : La curva  une al vector  con el vector  y la curva  une al vector  con
el vector . Entonces la curva  une el vector  con el vector  En este sentido
decimos que  =  +  Entonces tenemos:
Z
  =

Z
  +

Z
 

La integral de línea que de…nimos en (4.1.1) depende del camino  que une el
punto  con el punto  Por ejemplo, consideremos el campo vectorial  ( ) =
¡p
¢
¡
¢
 3 +   Consideremos los caminos () = ( )   2 [0 1] y () = 2  3 
 2 [0 1]  Los dos caminos unen los puntos (0 0) y (1 1) por trayectorias distintas.
Vemos, que
R
17
12
59
42 
  =
R
  =

y
Ahora, si en lugar del camino  la integración la hacemos a lo largo del camino
³ 3´
() =   2   2 [0 1]  que tiene la misma trayectoria del camino , vemos que
Z
  =

Curvas equivalentes
Z
  =

59

42
Sea  : [ ] ! [ ] sobreyectiva, derivable, con derivada no nula. Sea  :
[ ] ! R una curva diferenciable. Decimos que una curva  : [ ] ! R y la
curva  son equivalentes si  =  ±  Si  es creciente las dos curvas,  y  recorren
su imagen en la misma dirección y si  es decreciente la recorrerán en sentidos
opuestos. Es, entonces, fácil ver que en el primer caso
Z
  =

y en el segundo caso
Z

Ejemplo 2.0.21. Las curvas
y
Z
 

  = ¡
Z
 

¡
¢
 () =  2   2 [0 1]
³
´
 () = 1 ¡  (1 ¡ )2   2 [0 1]
74
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
son curvas equivalentes y recorren el arco de parábola en sentidos contrarios,
cómo se indica en la …gura.
Figura No. 01
Consideremos el campo vectorial  ( ) = (  + )  Entonces
R
  
De otra parte
R

R1
h ( ())  0 ()i 
¢
®
R01 -¡ 3
= 0    + 2  (1 2)  =
=
17
12
R1®
 ( ())   0 () 
0 D³
´
E
R1
= 0
(1 ¡ )3  (1 ¡ ) + (1 ¡ )2  (¡1 ¡2 (1 ¡ )) 
  =
=
¡17
12
Primera Interpretación física de la Integral de Línea
Sea  : [ ] ! R y sea  un campo vectorial constante,  = c que representa
una fuerza constante. Entonces vemos que
Z

c = hc () ¡  ()i = hc ¡ i =
75
¿
 ¡
c
k ¡ k
À
k ¡ k 
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Figura No. 02
Esto es, la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento por la
magnitud del desplazamiento. Esto es conocido como el trabajo realizado para desplazar la partícula desde el punto  hasta el punto  Observemos que en este caso
particular no importa cual es el camino que une el punto  con el punto , el valor
de la integral depende del punto inicial  y el punto …nal .
R
Entonces,    mide el trabajo realizado al desplazar la partícula desde el
punto  hasta el punto  a lo largo de la curva 
Segunda Interpretación física de la Integral de Línea
Si () determina la posición de la partícula en el tiempo  entonces 0 () =  ()
mide la velocidad y 00 () la aceleración. Ahora, la segunda ley de Newton nos dice
que para cierta clase de campos vectoriales  , que llamaremos campos conservativos
o gradientes, se tiene que
 (()) =   0 ()
Ahora,
® ® 1 
 (())  0 () =   0 ()  () =   2 ()
2 
en donde () = k ()k  Por lo tanto
Z
  =

Z


ª
1  2
1 ©
  () =   2 () ¡ 2 () 
2 
2
Esto es, el trabajo es igual a la diferencia entre las energías cinéticas de la partícula
en el punto  y el punto 
Ejemplo 2.0.22. Un alambre tiene la forma de una curva
¡:
(
2 +  2
2
+ 2
+ 2
=
2
=
4
;
en el primer octante.Halle la segunda coordenada del centro de masa del almbre, si la densidad
p
en (  ) 2 ¡ está dada por  (  ) = 4 + 2
Solución
(
( ¡ 1)2 +  2 = 1
¡:
p
 = 4 ¡ 2
Parametrizando la curva ¡ :
76
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
8
>
>
<
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 = 1 + cos 
 = sen 
>
>
:  = p4 ¡ 2 = p2 ¡ 2 cos  = 2 sen ¡  ¢
2
¡
¡ ¢¢
() = 1 + cos  sen  2 sen 2 ;  2 [0 ]
¡
¡ ¢¢
Luego, 0 () =q¡ sin  cos  cos 2 ;  2 [0 2]
¡ ¢
=) k0 ()k = 1 + cos2 2
La masa es:
Z
Z
Z
q
p
¡ ¢
p
 =  (  )  =
4 + 2 =
4 + 2 (1 + cos ) 1 + cos2 2 
0
q0
q 0
¡¢ q
1
1
2
1 + cos 2 = 1 + 2 + 2 cos  = 32 + 12 cos 
Z
Z
q
q
p
p
¡¢
=
2 (3 + cos ) 1 + cos2 2  =
2 (3 + cos ) 32 + 12 cos 
0
=
Z
0
 =
=
6

0
(3 + cos )  = 3
Z
 (  )  =
0
=
6
3
=
Z
p
 4 + 2 =
0
2

Ejemplo 2.0.23. Calcular
Z
Z
(3 + cos ) sin   = 6 =
0
p
2 ( + 2)2  donde
¡
¡:
(
2 +  2 +  2
=
4
2
=
0
+ 2
¡ 2
Solución
(
p
 = 4 ¡ 2 ¡  2
¡:
( ¡ 1)2 +  2 = 1
Parametrizando la curva ¡ :
8
>
 = 1 + cos 
>
<
 = sen 
>
>
:  = p2 (1 ¡ cos ) = 2 sin 
2¢
¡
() = 1 + cos  sin   2 sin 2 ;  2 [0 ]
¡
¢
Luego, 0 () =q¡ sin   cos  cos 2 ;  2 [0 ]
p

p
=) k0 ()k = 1 + cos2 2 = 3+cos
2
1.
p
Z p
Z p
3 + cos 
2
p
2 ( + 2)  =
2 (3 + cos ) sin 

2
¡
0
Z p
3
64 p
16
=
2 (3 + cos ) 2 sin  =
2¡
5
5
0
77
;   ¸ 0 
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Ejemplo 2.0.24. Calcule la integral de línea
es el arco de la circunferencia
R
C
(  ), donde (  ) = 2 +  2 , donde C
2 +  2 +  2 = 4
=
situada en el primer octante.
Solución
Proyectando al plano ,
2  2
+
=1
2
4
22 +  2 = 4 )
Parametrizando la elipse:
=
p
p

2 cos   = 2 cos   = 2 sin ; 0 ·  ·
2
La función vectorial que describe la curva
³p
´

2 cos  2 cos  2 sin   0 ·  ·
2
°
p
p
p
p
¡
¢
¡
¢°
0 () = ¡ 2 sin  ¡ 2 sin  2 cos  Por lo tanto, k0 ()k = ° ¡ 2 sin  ¡ 2 sin  2 cos  ° = 2
() =
(()) = 2 cos2 ,
 = k0 ()k  = 2
Finalmente
Z
(  ) =

Z
0
Z
2
¢
22 cos2  2
1 + cos 2

2
0
·
¸2
1
1
= 8  + sin 2
2
4
0
h³ 
´
i
= 8
+ 0 ¡ (0)
4
= 8
Z
2 ¡
(  ) = 2

78
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
¡
¢
Ejemplo 2.0.25. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas  (  ) = 5  2  3  125

96
( 2
2

2
9 + 4 +  = 1  ¸ 0
para desplazar una partícula a lo largo de la curva ¡:
2 ¡ 3 = 0
¡
¢
¡
¢
desde el punto  0 65  45 hasta el punto  0 ¡ 65  ¡ 45 
Solución.
8
( 2
¡ 2 ¢2
2
< 2 + 362 = 1

+
+

=
1
9
9
4
3
25
¡:
=) ¡:
2
:
 = 3
 = 23 
8
8
>
>

=
3
cos

>
>
<
<  = ¡3 sen  
6
Parametrizando ¡ : ¡:  = 5 sen  =) ¡:
 = 65 cos  
>
>
>
>
:  = 4 sen 
:  = 4 cos  
5£
¤
¡ ¢ 5
¡ ¢
como  = 3 cos  ¸ 0 =)  2 ¡ 2  2 y  =  2   =  ¡ 2
¡
¢
£
¤
¡¡ :  () = 3 cos  65 sen  45 sen    2 ¡ 2  2 
R
R
 = ¡  = ¡ ¡¡   +  +  =
¡
¢3 ¡ 6
¢
¡6
¢¡
¢¡
¢
R
 = ¡ ¡2  (3 cos )5 (¡3 sen  )+(3 cos )2 45 sen 
cos   + 125
sen  45 sen  45 cos  
5
96
5
2
h 3 i
R 2
R
2
 = ¡ ¡  sen2  cos   = ¡2 02 sen  cos   = ¡2 sen3 
= ¡ 23
0
2
Ejemplo 2.0.26. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas
µ
¶
(1¡)2
(¡1)

 (  ) = p
p
p
para desplazar una partícula a
9+(2 +2 +2 )2
9+(2 +2 + 2 )2
9+(2 +2 + 2 )2
(
³
p ´
2 + 2 +  2 = 2 ( + ) 
lo largo de la curva ¡:
desde el punto  32  12  26 hasta el punto
+ =2
p ¢
¡
 1 1 2 
Solución.
(
(
(
2 + (2 ¡ )2 +  2 = 4
22 ¡ 4 +  2 = 0
2 ( ¡ 1)2 +  2 = 2
¡:
=) ¡:
=) ¡:
: 22 ¡
 =2¡
 =2¡
 =2¡
2+4
4 + (
2
(¡1)2
+ 2 = 1
1
=) ¡:
 =2¡
8
8
>
>

¡
1
=
cos

>
>
<
<  = 1p+ cos 
p
Parametrizando ¡:
=) ¡:  = 2 sen 
 = 2 sen 
>
>
>
>
:  = 2 ¡ (1 + cos )
:  = 1 ¡ cos 
8
>
¡ sen  
>
<  =p
=) ¡:  = 2 cos  
>
>
:  = sen 
¡ ¢
¡ ¢
 2 [0 2] y  =  3   =  2
p
¡
¢
£
¤
¡¡ :  () = 1 + cos  1 ¡ cos  2 sen    2 3  2 
79
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 =
 =
R
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
R
=¡
  +  +  =
¡ 
p
R 2 cos2  ¡¡
¡  p
(¡ sen  ) + p 2 sin 2 (sin 
2
3
9+(4)
9+(4)
 =¡
R

2

3
³
cos2 
5
R 2

3
9+(4)
2
p ´
2

5
(¡ sin ) +
p
1
(¡ sin ) + 30
2
h 3 i
p
¡
¢
2
1
1
 = 15 cos3   ¡ 30
2 = 15
0 ¡ 18 ¡
 =
) + pcos 
cos2 
5
1
30
3
¡p
¢
2 cos  
p
p
1
2 = ¡ 30
2 ¡
1
120
Teorema 2.0.27. (Segundo teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea)
Sea  :  ! R un campo escalar diferenciable, de…nido en un conjunto abierto conexo de  
Para cualquier curva diferenciable  : [ ] !  se tiene que
Z
r = (()) ¡ (())

Comentario: La integral anterior es independiente del camino que une los puntos
() =  y () = 
Demostración : La prueba se basa en el segundo teorema fundamental del
cálculo para funciones de una variable real. Sea () = (()) Entonces  0 () =
hr() ()i  Por lo tanto
Z

r =
Z


 0 () = () ¡ ()²
El Principio de la Conservación de la Energía
La diferencia () ¡ () es conocida cómo la diferencia de potencial entre los
dos puntos () =  y () =  De otra parte
Z

r = () ¡ ()
ésto es, la diferencia de las energías cinéticas entre los dos puntos. Si igualamos
la diferencia de las energias potencial y cinética encontramos que
() ¡ () = () ¡ ()
que podemos escribir cómo
() ¡ () = () ¡ ()
La energía total del sistema en cualquier punto  de la trayectoria se expresa
cómo () ¡ () Entonces la igualdad anterior nos dice que tenemos el principio
80
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
de conservación de la energía: La energía total en cualquier par de puntos de la
trayectoria es constante.
Campos Conservativos o Gradientes
Los campos vectoriales  para los cuales existe un campo escalar  tal que r =
 son conocidos como campos conservativos o gradientes. Su importancia radica en
R
el hecho de que    es independiente de la curva  En el caso en que  sea una
H
curva cerrada    = 0
Reciprocamente, campos vectoriales cuyas integrales de línea son independientes
del camino son campos conservativos. Tenemos el siguiente
Teorema 2.0.28. (Primer teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea)
Sea  un campo vectorial continuo de…nido sobre un conjunto abierto y conexo  ½ R  Si
R
   es independiente de la curva  que une los puntos extremos, entonces el campo escalar
 () =
Z

 
(413)

en donde  es cualquier curva diferenciable que une el punto 
con el punto
 satisface que r() =  ()
Comentario: Los Teoremas (4.1.1) y (4.1.2) nos dicen que una condición nece-
saria y su…ciente para que un campo vectorial sea conservativo es que las integrales
de línea entre dos puntos sea independiente de la curva que los une.
Demostración: Sólo tenemos que probar que  () =  () para  =
1 2  De (4.1.3) vemos que
 ( +  ) ¡ () =
en donde  = (0 0 1 0 0)
Z
+
 
(414)

Supongamos que () =  +  con  2 [0 1]  Ahora,
h ( +  )   i =  ( +  ) 
Si hacemos el cambio de variable  =  obtenemos
81
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
(+ )¡()

=
=
en donde () =
R
0
R
1 
 0  (
()¡(0)

+  ) 
(*)
 ( +  ) 
Puesto que  0 (0) =  (), de (*) obtenemos que
 () =  ()
Necesitamos disponer de un método práctico para detectar cuando un campo vectorial es un gradiente. Si, por ejemplo,  es un gradiente diferenciable con continidad,
entonces  = r y por lo tanto  =   para todo  Esto implica que
  =    =    =   
Esto es,   =   es una condición necesaria para que un campo vectorial
sea un gradiente. Esta condición, en general, no es su…ciente, como lo muestra el
siguiente :
Ejemplo 2.0.29. Sea
 ( ) =
µ
¡

 2
2
2
 +   + 2
¶
 ( ) 6= (0 0) 
cumple que 1 2 = 2 1  más no es un gradiente puesto que para la curva () = (cos   )
H
 2 [0 2]     = 2
Nuestra condición, en este caso, no es su…ciente debido a que R ¡ f(0 0)g no es
un conjunto convexo. Un conjunto  ½ R se dice convexo si para cualquier par de
puntos   2 , se cumple que  + (1 ¡ ) 2  para todo  2 [0 1]  ésto es, el
segmento de línea que une los dos puntos está en  Tenemos el siguiente
Figura No. 03
82
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Teorema 2.0.30. Sea  :  ! R   convexo, diferenciable con continuidad (sus funciones
componentes tienen derivadas parciales continuas) El campo  es un gradiente si y sólo si
  () =   () para todo   = 1 2 y todo  2 
Demostración: Ya habíamos observado que la condición era necesaria. Para
probar que es su…ciente supongamos que por ejemplo £ 2  y tomemos  () =
R
£  ( £ representa al vector nulo) con () =   2 [0 1]  Esto es,
 () =
Z
0
1
h () i 
(416)
Probemos que   () =  () Puesto que  es diferenciable con continuidad,
  () =
Z
0
1
 h () i 
Si llamamos () =  ()  entonces  0 () = hr ()  i y por lo tanto
  () =
Z
0
1
 h () i  =
Z
1
() +
0
Z
1
 0 ()
0
Integramos por partes la última integral y obtenemos que   () = (1) =
 () como queríamos 
¡
¢
Ejemplo 2.0.31. Ilustremos el Teorema con el siguiente ejemplo: Sea  ( ) =  12 2 
Observamos que 1 ( ) =  y 2 ( ) = 12 2  Ahora,
2 1 ( ) = 1 2 ( ) = 
Por lo tanto  ( ) es un campo vectorial gradiente. La fórmula (4.1.6) nos dice
cómo hallar un potencial  tal que r ( ) =  ( )  En efecto:
µ
¶
À
1 2
1
 ( ) =
    ( )  = 2 
2
2
0
µ
¶
!
¡
¡
¡1
Ejemplo 2.0.32. Si  ( ) =

es un campo vectorial.Hallar el
( ¡ 1)2 +  2 ( ¡ 1)2 +  2
valor de
I
! ¡
¡
 ¢ !

Z
1¿
2
¡
83
Cálculo Aplicado Norberto Chau
¡ := ¡1 [ ¡2  donde
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
¡1 : ( ¡ 2)2 + 4 2 = 4 ¡2 : ( ¡ 1)2 +  2 = 1
son curvas orientadas en sentido antihiorarias.
Solución
¡
¡1
Sean  ( ) =
 ( ) =
2
2
( ¡ 1) + 
( ¡ 1)2 +  2
³¡
!´
  = R2 ¡ f(1 0g
µ
¶
µ
¶
¡
¡1
 ()
2 ¡(¡1)2
()


Se tiene :  = 
=
= 
2 =

((¡1)2 +2 )
( ¡ 1)2 +  2
( ¡ 1)2 + 2
I
! !
¡
en consecuencia,  ¢ ¡
 = 0, pues  ( ) ( ) son de clase  1 en el interior de ¡1 
¡1
Aplicando el teorema de Invarianza( para el punto interior (1 0) de ¡2 )
I
I
¡
! ¡
! !
¡
!
 ¢   =  ¢ ¡

¡2
¡
¡2
¡
donde ¡ : ( ¡ 1)2 +  2 · 2 
!
parametrizada por ¡
 () = (1 +  cos   sin )   2 [0 2]
I
I
2
R ¡  sin   cos  ¢
R
¡
! ¡
! ! 2
¡
 ¢ !
 =  ¢ ¡
 =
¡ 2  2 ¢ (¡ sin   cos )  =  = 2
En consecuencia,
0
I
¡
¡ ¡
!
 ¢ !
 =
0
I
¡1
¡ ¡
!
 ¢ !
+
I
¡ ¡
!
 ¢ !
 = 2
¡2
84
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1. Sea  ( ) = ( +   ¡ ) y sea
 () =
Calcule
R

 
(
£
¤
(2 0) si  2 0 12
£
¤
(1 2 ¡ 1) si  2 12  1
2. Sea  ( ) = ( +   ¡ ) y sea  el camino cerrado que une los puntos  = (0 ¡1) 
R
 = (1 0)   = (0 1) y en ese orden. Calcule   
3. Muestre que las curvas
¡
¢
 () =  2   2 [0 1]
¡
¢
 () =  + 2 2 + 4 + 4   2 [0 1]
recorren la misma imagen y en la misma dirección.
4. Sea
 ( ) =
y sea
Calcule
µ
¡

 2
2
2
 +   + 2
¶
 ( ) 6= (0 0)
() = (cos  )  2 [0 2] 
H
  
5. Sea  = (1   ) un campo vectorial diferenciable. Suponga que   () =   () para
todo   = 1  Muestre que
 h () i =  () +  hr ()  i 
6. Explique por qué
 ( ) =
³
¡
2 +2
´

 2 +

2
¡
¢
( ) 2   12  en donde  = (0 1)  es un gradiente. Halle un campo escalar  de…nido en el
¡
¢
disco   12 tal que r = 
7. Muestre que el cuadrado cuyos vértices son los puntos (0 0)  (1 0)  (1 1) y (0 1) es un
conjunto convexo.
85
Cálculo Aplicado Norberto Chau
2.1.
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Teorema de Green
El Teorema de Green conecta los conceptos de integral de línea con los de integral doble sobre regiones circundadas por curvas continuas de Jordan, regulares o
regulares a trozos.
Teorema 2.1.1. ( Green) Sean  y  dos campos escalares derivables con continuidad sobre
un conjunto  en donde  es un conjunto abierto y simplemente conexo del plano. Sea  una
curva continua de Jordan regular que circunda a  en el sentido contrario a las manecillas del
reloj. Entonces
¶
I
 
¡
  =
  + 
(4.5.1)




H
Nota: Con el símbolo    +  denotamos la integral de línea del campo
ZZ
µ
vectorial  ( ) = ( ( ) ( )) a lo largo de la curva cerrada () = (() ()).
Realmente lo que probaremos de (4.5.1) son las igualdades
ZZ

y
¡
ZZ


  =

I

  =



I
 

El Teorema es de fácil prueba para regiones especiales como las regiones 1
o 2 que consideramos en la sección 3. Una gran variedad de regiones se pueden
representar como la unión de las dos anteriores y entonces el Teorema de Green lo
podemos extender a ellas.
Que el conjunto  sea simplemente conexo signi…ca que no posee huecos. Más
adelante podremos dar una explicación matemática precisa de esta característica
geométrica. Para conjuntos que tengan huecos, llamados conjuntos multiplemente
conexos, también hay un Teorema de Green.
Demostración: Sólo probaremos el teorema para una región del tipo
1 = f( g () ·  · ()  2 [ ]    derivablesg
86
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Figura No. 01
También, sólo probaremos que
ZZ
¡
1

 =

I
 

y dejamos el otro caso como ejercicio para el lector.
Tenemos que
¡
RR
1
R  nR ()  o
=¡ 
()  
R  nR ()  o
= 
()  
R
R
=   ( ()) ¡   ( ())

 
De otra parte, la curva  se compone de cuatro curvas:
La curva  1  de…nida por
f( ())  2 [ ]g 
La curva  2  de…nida por la recta vertical  =  La curva  3  de…nida por
f( ())  2 [ ]g 
pero recorrida en sentido contrario. Y …nalmente la curva  4  de…nida por
la recta  = 
Es claro que
R
2
R
  =    = 0 Entonces, puesto que
4
Z
3
  = ¡
Z

 ( ())

tenemos que
87
Cálculo Aplicado Norberto Chau
H

CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
  =
=
Esto prueba el teorema.
R

R 1

  +
R
 
R
 ( ()) ¡   ( ())
3
Aplicaciones
El Teorema de Green está dentro de los resultados que más aplicaciones tienen
en el análisis matemático. En el transcurso de las exposiciones haremos uso de él.
Por lo pronto vemos que podemos calcular integrales de línea calculando integrales
dobles apropiadas y recíprocamente.
Areas de regiones planas
El área de la región  viene expresada como
jj =
ZZ
 =

ZZ

en donde  = ¡ 12  y  = 12 
µ
 
¡


¶
 
Sea () = (() ()),  2 [ ] la curva que circunda la región  Entonces
obtenemos
jj =
1
2
Z


©
ª
() 0 () ¡ ()0 () 
Ejemplo 2.1.2. Si () = ( cos     )  2 [0 2]  vemos que
Z
ª
1 2 ©
() 0 () ¡ ()0 ()  = 2 
2 0
ésto es, el área del círculo de radio 
Otra consecuencia importante del Teorema de Green es que una condicción necesaria y su…ciente para que un campo vectorial  = ( ) de…nido sobre  abierto
simplemente conexo, sea un gradiente es que


=

 
Ya habíamos visto que
la condición era necesaria para campos vectoriales derivables con continuidad. La
condición también es su…ciente. Sobre cualquier curva cerrada de Jordan contenida
H
en  la integral   + = 0 . Este hecho nos permite demostrar que la integral
de línea sobre una curva que une a dos puntos de  es independiente del camino que
los une.
Este resultado ya lo conocíamos para conjuntos convexos y el Teorema de Green
lo extiende a conjuntos simplemente conexos.
88
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Integral de línea con respecto a la longitud de arco
Recordemos que si () es una curva derivable entonces la longitud del arco de la
R
curva, entre el tiempo  y el tiempo  la expresamos así: () =  k0 ()k 
Entonces, 0 () = k0 ()k  Si 0 () 6= 0, el vector tangente unitario a la curva es
 () =
0 ()

=

0
k ()k

Si  es un campo vectorial, la integral de línea de  a lo largo de la curva  lo
podemos escribir así:
R

R
h (()) 0 ()i 
R ® 
=   (()) 
  
R
=  h (())  ()i 
R
=  (())
  =
en donde (()) = h (())  ()i 
Lo anterior nos sugiere que podemos de…nir integrales de línea, con respecto a la
longitud de arco, para campos escalares  en la siguiente forma:
Z

 =
Z

(())0 ()
(4.6.1)

La expresión (4.6.1) es particularmente útil debido a que si, por ejemplo, el campo
escalar  determina una función de densidad entonces (4.6.1) lo podemos interpretar
como la masa de un alambre que tiene la forma de la curva . Podemos, entonces,
obtener fórmulas para el centro de masa de un alabmre que tiene la forma una curva
 en R2 o R3 de la misma manera cómo lo hicimos en (4.4.3). Así:
 =
 =
 =

 

   
 

   
 

  
Ejemplo 2.1.3. Hallar el centro de masa de un alambre en forma de hélice dado por por la curva
 () = (cos  sin  )   2 [0 2]  y que tiene una función de densidad dada por  (  ) =
2  2  2 
89
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Solución: La masa  del alambre es  =
que
=
Z
 =

Z
2
0
Ahora
Z
 =

Z
Por lo tanto
 
y de acuerdo con (4.6.1) tenemos
p ¡ 2
¢
1p 3
1p
2 cos  sin2  2  =
2 ¡
2 = 14 478
3
32
2
0
R
p ¡ 3
¢
104 p
2 cos  sin2  2  =
2 = 2 053 6
225
=
p
104
225 2p
p
1
1
3
3 2 ¡ 32 2
= 0 141 85
Análogamente calculamos  y  Así obtenemos que el centro de masa de la hélice
es (0 141 85 ¡ 0 514 18 4 667 2)  Observe que el centro de masa de la hélice no
está en ella.
Derivada Normal
Si () = (() ()) y 0 () 6= 0, el vector normal unitario a la curva se de…ne así:
() =
(0 () ¡0 ())

k0 ()k
Para  campo escalar, de…nimos la derivada en la dirección del vector normal unitario cómo

= hr i 

(4.6.2)
en donde r debe evaluarse en  () 
Ejemplo 2.1.4. Sea  () = (cos   )   2 [0 2]  Sea  ( ) =  2 + 2  Sabemos que el
vector normal unitario  () = (cos   )  entonces
¡
¢
r ( ()) = sin2  + 2 sin  cos  2 sin  cos  + cos2 
90
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Por lo tanto
 ( ())
= 3 sin  cos2  + 3 cos  ¡ 3 cos3 

Fórmulas de Green.
Las siguientes igualdades son conocidas como fórmulas de Green y son de gran
importancia en el estudio de la ecuaciones diferenciales parciales. Sean  y  campos
escalares derivables con continuidad hasta el orden dos en un conjunto  simplemente
conexo del plano. Sea  una curva de Jordan diferenciable. Entonces
H 
RR
1.  
 =  ¢  
H
RR

2.   
 =  f¢ + hr rig  
o
H n 
RR

3.   
¡  
 =  f ¢ ¡ ¢g  
2
2
en donde ¢ =
+
2

2
La exprsión 2. es la versión bidemensional del método de integración por partes que
conocemos en los cursos elementales de cálculo.
Probaremos la fórmula 1. y dejamos las otras como ejercicio al lector. Hacemos uso
del Teorema de Green y obtenemos
RR

¢ =
=
=
=
=
=
RR
2
2
2
 2³+ 
³
´
RR   ´
¡

¡


  
H ¡

  +  
R ¡
0
0
+ ()
  () ´
  ()  E
 D³
R
 
1
0
0
0
    ( () ¡ ()) k0 ()k  ()

R  
  
Teorema de Green para regiones multiplemente conexas
91
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Sea  un conjunto abierto simplemente conexo, como se indica en la …gura.
Figura No. 01
Entonces
RR

³


¡


´
  =
H
   + 
P H
¡ =1    + 
(4.6.3)
Veámoslo para el caso  = 1 Supongamos que la curva exterior  y la interior  se
recorren en sentido contrario a las manecillas del reloj. Luego aplicamos el Teorema
de Green a las dos regiones simplemente conexas que se indican en la …gura. Nótese
que los caminos horizontales se recorren en direcciones opuestas y por lo tanto las
integrales de línea se anulan.
Figura No. 02
92
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Despues sumamos y obtenemos que
RR

³


¡


´
  =
¡
H
H


(4.6.4)
  + 
  + 
El caso general lo deducimos repitiendo el razonamiento anterior.
Número de Giros
Consideremos el campo vectorial
ª = ( ) =
µ
¡

2
2
2
( ¡ 0 ) + ( ¡ 0 ) ( ¡ 0 ) + ( ¡ 0 )2
en donde ( ) 6= (0  0 ) = 0  Es fácil ver que


=

 
¶
Sea  una curva cerrada
regular que circunda un conjunto abierto  entonces
( 0 ) =
1
2
I
 + 
(4.6.5)

es un entero positivo, negativo o nulo. El número ( 0 ) es el número de giros que
la curva  da alrededor del punto 0  Para verlo procedemos así: Para simpli…car la
escritura supongamos que 0 = £ Si llamamos cos  = p 
y   = p 
2 +2
vemos que
 = 
Entonces
tener que
H
1
2 
H
1
2 
 =
1
2
H

2 +2
n
³  ´o  ¡ 
arctan
=


2 + 2
 +  Puesto que la curva  es cerrada debemos
 es un entero positivo o negativo siempre que £ esté circundado por
la curva  En el caso en que £ 2
  en donde  es el conjunto simplemente conexo
H
circundado por  vemos que ª es un gradiente y por lo tanto   +  = 0
Consideremos la curva () = (0 +  cos  0 +   ),  2 [0 2]  con  lo su…cientemente pequeño como para que la curva  esté en el interior de  La curva 
está orientada en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Supongamos, ahora,
que la curva  es una curva de Jordan regular orintada en el sentido contrario de las
manecillas del reloj. Entonces de (4.5.4) concluímos que
I
I
  +  =
  + 


93
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Un cálculo sencillo nos dice que
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
1
2
H
  + = 1 Ahora, si la curva  es () =
H
1
(0 +  cos (¡)  0 +   (¡))   2 [0 2]  vemos que 2
   +  = ¡1

Lo anterior nos indica que para curvas de Jordan  la expresion orintada en el
sentido, o en sentido contrario, de las manecillas del reloj, que ha tenido un sentido
vago, puede asignársele un sentido matemático preciso: Decimos que  está orientada
positivamente si ( 0 ) = 1 y orientada negativamente si ( 0 ) = ¡1 para todo
0 en el conjunto que circunda.
94
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Aplicaciones
Problemas
1. Haga uso de la integral doble para hallar el área del triangulo cuyos vértices son los puntos
(0 1)  (1 0) y (1 1) 
2. Halle el área de la región limitada por las curvas  = 2 y  = 2 + 1
3. Halle el centroide de una placa homogénea en la forma del triángulo del problema 1
4. Halle el centroide de una placa homogénea en la forma del triángulo del problema 2
5. Halle el volumen del tetraedro formado por las caras que de…nen los siguentes Planos:

=0

=0

=0
 +  + + = 1
6. Halle el centroide de la placa homogénea que tiene la forma de la región limitada por la
curvas  =    2 [0 2]  y  = 0
7. Compruebe el Teorema de Pappus:  (-) = 2 jj  en donde - es el sólido de revolución
conseguido al hacer girar la región  con respecto al eje  jj es el área de la región  y  la
segunda coordenada del centroide de 
95
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 2. INTEGRALES DE LÍNEA
96
Capítulo 3
Integrales de Super…cies
3.1.
Parametrización de Super…cies
Sea  : R3 ! R un campo escalar. El conjunto
©
ª
(  ) 2 R3   (  ) = 0
representa una super…cie, super…cie de nivel, en R3  Si de la ecuación  (  ) =
0 podemos despejar, por ejemplo, la variable  en términos de  e  decimos que
tenemos una representación explícita de la super…cie. Por ejemplo, la ecuación 2 +
 2 +  2 ¡ 1 = 0 representa la super…cie de la esfera de centro en el origen y radio 1
Del hemisferio superior obtenemos la siguiente representación explícita:
 = ( ) =
Análogamente,
p
1 ¡ 2 ¡  2  2 + 2 · 1
p
( ) = ¡ 1 ¡ 2 ¡  2  2 +  2 · 1
es la representación explícita del hemisferio inferior de la super…cie de la esfera.
En forma más general tenemos la representación paramétrica de una super…ce
en la siguiente forma: Sea  un subconjunto de R2 y sea r : ! R3 . Bajo cier-
tas condiciones que precisaremos más adelante, diremos que r es la representación
paramétrica de la super…cie r( ) Denotaremos las funciones componentes de r como
 ( )  ( ) ( ), en donde ( ) 2  Veamos los siguientes ejemplos:
1. Representación Paramétrica de la Esfera
97
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
La aplicación r = (  )  en donde
 =  ( ) =  cos  cos 
 = ( ) =  sen  cos 
 = ( ) =  sen 
£  ¤
y ( ) 2  = [0 2] £ ¡ 2  2  es la representación paramétrica de la esfera de
centro en el origen y radio .
Figura No. 01
Observemos que los puntos
f( 0) 2  0 ·  · 2g
son aplicados por r en el ecuador de la esfera. Así mismo,
©¡  ¢
ª
 2 2  0 ·  · 2 y
©¡ ¡ ¢
ª
 2 2  0 ·  · 2
son aplicados en el polo norte y polo sur de la esfera, respectivamente.
2. Representación Paramétrica del Cono
La aplicación r = (  )  en donde
 =  ( ) =    cos 
 = ( ) =     

= ( ) =  cos 
y ( ) 2  = [0 2] £ [0 ]  es la representación paramétrica del cono de altura
 cos 
98
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Figura No. 02
Obsérvese que f( 0)  0 ·  · 2g es aplicado al vértice del cono.
Si r es una aplicación inyectiva diremos que la super…cie r( ) tiene una representación paramétrica simple. Los dos ejemplos anteriores no son, evidentemente,
representaciones paramétricas simples.
No toda aplicación r representa una super…cie, cómo la podemos imaginar. Podemos
tener el caso de super…cies degeneradas, por ejemplo, si r es constante, la super…cie
será un punto del espacio. También, si    dependen de una sóla variable, ya sea
 o  no tendríamos una super…cie si no una curva. O por ejemplo, si tenemos que
( ) =  +  ( ) = ( + )2 y ( ) = ( + )3  hacemos  =  +  y vemos
que r representará una curva en R3 .
3.2.
El Producto Vectorial fundamental
Para evitar las irregularidades de super…cies degeneradas, es conveniente introducir unas restricciónes en la representación paramétrica de las super…cies que consideraremos. Supondremos que r es derivable con continuidad. Denotemos
r

r

entonces
r

£
r

=
=
³


³ 

 
´
 
  ´
 
   
lo llamamos el producto fundamental. Este admite la sigu-
iente interpretación geométrica: Si en r ( ) dejamos a  …jo, entonces éste representará una curva sobre la sper…cie  y por lo tanto
a dicha curva. Análogamente,
r

r

representará al vector tangente
representará el vector tangente a la curva de…nida
por r ( ) en el caso en que dejemos a  …jo. Entonces
r

r
£ 
será el vector normal
a la super…cie  en el punto r ( )  cómo se indica en la …gura
99
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Figura No. 03
Los puntos( ) para los cuales
r

£
r

6= 0 y es continuo son llamados puntos
regulares, en caso contrario son llamados puntos singulares.
Supondremos que la representación paramétrica está de…nida en puntos regulares
o que por lo menos los puntos singulares constituyen un conjunto de contenido nulo.
Es claro que la regularidad está en dependencia de la parametrización que hayamos
escogido. Veamos algunos ejemplos:
Si la representación de la super…cie es explícita entonces podemos escribir r ( ) =
(  ( ))  ( ) 2  y en este caso
r

r

Un cálculo nos dice que
r

r
£ 
³
´
= 1 0 
 ´
³

= 0 1  
³
´

= ¡ 

¡

1
6= £ En estos casos los puntos


singulares ( ) son aquellos para los cuales


o


no es continua o no está de…nida.
Por ejemplo, en el caso del hemisferio superior de la esfera de centro en el origen y
radio 1, vemos que
 ( ) =
p
1 ¡ 2 ¡  2  2 +  2 · 1
no tiene derivadas parciales en los puntos ( ) 2 R2 tales que 2 + 2 = 1 Estos,
los puntos del ecuador de la esfera, serán puntos singulares de la representación
paramétrica.
En cambio, en la representación paramétrica de la esfera que consideramos en el
ejemplo 1 vemos que
100
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
° r
Ahora, ° 
£
°
r °

Cálculo Aplicado Norberto Chau
r r
£
= ( cos ) r ( )
 
= 2 jcos j, entonces los puntos singulares son aquellos para
los cuales cos  = 0, ésto es, los polos de la esfera.
101
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Representación Paramétrica de una Super…cie
Problemas
1. Hallar el producto fundamental de la representación paramétrica del plano
r ( ) = ( +   +   + )
en donde        son constantes.
2. Hallar el producto fundamental de la representación paramétrica del paraboloide
¡
¢
r ( ) =  cos   sin  2
3. Hallar el producto fundamental de la representación paramétrica del elipsoiede
r ( ) = ( sin  cos   sin  sin   cos )
4. Hallar el producto fundamental de la representación paramétrica del cilindro
r ( ) = (  sin   cos )
5. Hallar el producto fundamental de la representación paramétrica del Toro
r ( ) = (( +  cos ) sin  ( +  cos ) cos   sin )
en donde 0    
102
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
3.3.
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Integral de Super…cie
Area de una Super…cie
Si tomamos en en la región  un elemento de área ¢¢ éste será transformado
por la aplicación r en una porción de  que tendrá, aproximadamente, el área de
° r °
° °
° ¢ y ° r ° ¢ Es claro, entonces, que el área de
un paralelogramo de lados ° 

este pequeño paralelogramo sea igual a
°
° °
°
° r
° °
°
° ¢ £ r ¢ ° = ° r £ r ° ¢¢
° 
 ° °   °
(5.2.1)
De (5.2.1) es natural de…nir el área de la super…cie  cómo
°
ZZ °
° r r °
°
°
 () =
(5.2.2)
°  £  ° 

Ahora, para  ( ) = ( ( )   ( )   ( ))  un cálculo directo nos dice que
r r
£
=
 
en donde
µ
 ( )  ( )  ( )


 ( )  ( )  ( )
¯
¯
¯
=¯
¯
¯
¯
¯
=¯
¯
¯
¯
¯
=¯
¯
()
()
()
()
()
()
Y así (5.2.2) toma la forma
 () =
ZZ

sµ
 ( )
 ( )
¶2
+
µ












 ( )
 ( )
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯












¶2
¶
+
µ
 ( )
 ( )
¶2

(5.2.3)
En el caso particular en que la super…cie esté representada por la ecuación  =
 ( ) la expresión (5.2.2) tiene las siguientes modi…caciones: Primero vemos que la
representación paramétrica de la super…cie será r ( ) = (   ( ))  ( ) 2 
y entonces
°
° r
°  £
°
r °
 °
°³
´°
°
°
¡
= ° ¡


1
°


r
³ ´
³
=
1+
103


2
+


´2

Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Por lo tanto
 () =
ZZ

s
1+
µ


¶2
+
µ


¶2

Area de super…cies de…nidas implícitamente
Una super…cie  puede estar expresada en la forma  (  ) = 0 Si suponemos
que de la relación anterior podemos despejar a  en términos de  e  ésto es:
 =  ( ) entonces
 ()
 ()
 ( )

= ¡  ()



siempre que
 ()

 ( )

= ¡  () 


6= 0. Entonces obtenemos la siguiente fórmula para las áreas
de super…cies de…nidas implícitamente:
 () =
ZZ

r³
´
 () 2

+
³
´
 () 2

¯
¯
¯  () ¯
¯  ¯
+
³
´
 () 2


Ejemplo 3.3.1. Sea  (  ) = ¡ +  ¡ 1 y sea  la super…cie de…nida por  (  ) = 0
Hallemos el área de la super…cie  cuando ( ) 2  = [0 1] £ [0 1] 
Figura No. 01
104
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Vemos que
 (  )
 (  )
 (  )
= ¡
= ¡
= 



De  (  ) = 0 deducimos que
 () =
Z
0
1Z 1
0
 ()

=  + 1 Entonces
q
2 + 2 + (1 + )2
j1 + j
 = 1 175
Ejemplo 3.3.2. Como un ejemplo de (5.2.2) calculemos el área del cascarón de la esfera de centro
en el origen y radio  Para simpli…car los cálculos tomemos la representación paramétrica del
hemisferio superior. La transformación r :  ! R3 a considerar tiene como componentes a
 =  ( ) =  cos  cos 
 = ( ) =    cos 

= ( ) =   
£
¤
en donde  = [0 2] £ 0 2  Un cálculo directo nos dice que
°
°
° r r °
2
°
°
°  £  ° =  jcos j
(5.2.4)
de (5.2.2) y (5.2.4) obtenemos que el área de la esfera de radio  es
2
ZZ

2 jcos j  = 22
Z
2
0
(Z

2
)
cos   = 42 
0
Integrales de super…cie
De…nición 3.3.3. Sea  = r ( ) una super…cie paramétrica en donde  es diferenciable y
de…nida sobre una región  del plano. Sea  un campo escalar acotado y de…nido sobre  La
integral de super…cie de  sobre  se de…ne como
°
°
ZZ
ZZ
° r r °
°
 =
 (r ( )) °
°  £  ° 


105
(5.2.5)
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Las las integrales de super…cies tienen varias aplicaciones: Como ya lo habíamos
visto sirven para determinar el área de una super…cie, en este caso sólo debemos
tomar  = 1 en (5.2.5).
Comentario
Para que la fórmula (5.2.5) tenga validez es necesario que la norma del producto
fundamental no sea nula. En casi en todas la parametrizaciones de super…cies la
norma del producto fundamental se anula en algún subconjunto de su dominio  ,
pero dicho subconjunto es de contenido nulo y ésto hace que la fórmula (5.2.5)
permanezca válida. En el caso de la parametrización de la esfera que exhibimos en
el Ejemplo 1 vemos, por (5.2.4), que el subconjunto de  en donde el producto
fundamental se anula es
n³

o
´
 0 ·  · 2 
2
que es de contenido nulo con respecto a 
Aplicaciones al Centro de Masa
En el caso en que el campo escalar  mida la densidad de una placa de la forma de
la super…cie  con integrales de super…cie podemos determinar su centro de gravedad
(  ), así:
 =
 =

en donde  =
RR

=

  
 
  
 
  

 mide la masa de la placa. En el caso particular en que
la placa sea homogénea, ésto es, su densidad es constante, las fórmulas anteriores se
transforman en
 =
 =

=

 
()
 
()
 
()
en donde  () mide el área de la super…cie  y el punto (  ) se denota como
el centroide de la placa.
Ejemplo 3.3.4. Calculemos el centroide de una placa homogénea  que tiene la forma de un
hemisferio de centro en el origen y radio  Como lo habíamos visto en el Ejemplo anterior,
106
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 () = 22  Si hacemos uso de la simetría de la placa, observamos que  =  = 0, es así cómo
unicamente debemos calcular el valor de  Ahora, de (5.2.5) obtenemos
RR
RR 2
j  
  =
  jcos
³R 
´
R
2
2
= 3 0
(cos
)
(
)


0
= 3 
Por lo tanto  =

2
Ejemplo 3.3.5. Sea S la parte del cilindro  2 + 2 = 4 cortada por los planos  = 0  =
0  + 2 ¡ 6 = 0Halle la componente  del centro de masa de S sabiendo que la densidad en
cada punto (  ) de la super…cie es  (  ) = p 1
1+2
Solución
La masa
ZZ es:
ZZ
p1
=
 (  )  =
1+2



2
Una parametrización es  :  =   =   = 2 ¡ 2
µ
¶
2
!
¡
 ( ) =   2 ¡
 ¡ 2 ·  · 2 0 ·  · 6 ¡ 2
2
!
¡
!
!
!
  = (1 0 0)  ¡
  = (0 1 ¡)  ¡
 £¡
  = (1 0 0) £ (0 1 ¡) = (0  1)
p
!
¡
¡
!
2
 = k   £   k = 1 +  
Luego,
ZZ
ZZ
p1
=
 (  )  =
1+

 =
=

ZZ
248
3
24
 (  )  =

=
ZZ
Z2 6¡2
Z
Z2
 =
 = (6 ¡ 2)  = 24
2
¡2 0
p  
1+ 2

31
9
¡2
Z2 6¡2
Z
Z2
=
 =
2 ( ¡ 3)2  =
¡2 0
248
3
¡2
Ejemplo 3.3.6. Sea  la porción de la super…cie 2 +  2 =  2 situada por encima del plano 
y limitada por la esfera 2 +  2 +  2 =    0
a)Halle una parametrización de .
b)Calcule el producto vectorial fundamental correspondiente a la parametrización hallada en (a).
Solución.
)La primera super…cie (donde se encuentra la porción de super…cie) es un cono. Por otro lado la
esfera tiene centro (0 2  0). La porción se super…cie , del que me hablan, es el que se encuentra
en la …gura del lado derecho.
107
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1.
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
a)
³
´
p
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) =   2 +  2 ,
donde
½
¾
 2 2
2
2
R = ( ) 2 R :  + ( ¡ ) ·
4
16
¶
³
´ µ
p

2
2
   +  = 1 0 p 2 2
 +
¶
³
´ µ
p

!
¡

2
2
  ( ) =     +  = 0 1 p 2 2
 +
µ
¶ µ
¶ µ

!
¡
!
¡

  £   = 1 0 p 2 2 £ 0 1 p 2 2 = ¡ p
!
)¡
  ( ) =


 +
¶

 ¡ p 2 2  1
2 +2
 +
 +
; ( ) 6= (0 0) 
Ejemplo 3.3.7. Sea  parte de la super…cie 2 ¡  + 2 = 0, comprendida entre los planos  = 1,
 = 4. Halle el área de S.
Solución.
10
z
-4
5
0
4
00 2
-2
-2
-4
x
2
4
y
1. Proyectando el solido al plano XY se tiene la region
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 2 +  2 · 4
108
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
luego S se puede parametrizar mediante
8
>
>
<  =  cos 
 =  sin   0 ·  · 2  1 ·  · 2
>
>
:  = 2
¡
¢
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) =  cos   sin  2
Donde
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2  1 ·  · 2
¡
!
 ( ) = ( cos   sin  2 )
¡
!
  ( ) = (¡ sin   cos  0)
¡
!
  ( ) = (cos  sin  2)
¡
¢
¡
!
!
 £¡
  = (¡ sin   cos  0) £ (cos  sin  2) = 22 cos  2 2 sin  ¡
°¡
p
¢° p
!
!
k¡
 £¡
  k = ° 2 2 cos  22 sin  ¡ ° = 44 cos2  + 44 sin2  + 2 =  4 2 + 1
0
1
¶
Z2Z2
Z2 Z2
Z2 µh
p
¡ 2
¢ 3 i=2
1
2
 () =
k £  k  = @  4 2 + 1A  =
4
+
1

12
=1
0 1
 () =
Z2
0
0
¡ 17 p
12 17 ¡
5
12
p ¢
5  =
1
17
6
0
p
p
17 ¡ 56 5
Proyectando el solido al plano XY se tiene la región
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 · 2 +  2 · 4
Luego, una parametrización para  viene dada por
¡
!
 ( ) = (  2 +  2 ) ( ) 2 R
¡
!
  ( ) =

2
 (  
+  2 ) = (1 0 2)
¡
!
  ( ) =

2
 (  
+  2 ) = (0 1 2)
¡
!
!
 £¡
  = (1 0 2) £ (0 1 2) = (¡2 ¡2 1)
p
!
!
k¡
 £¡
  k = k(¡2 ¡2 1)k = 1 + 42 + 4 2
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 ·  · 2 0 ·  · 2
 =  cos   =  sin ; j( )j = 
109
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 () =
Z Z Z2Z2
R 0 1
 () =
Z2
0
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
0
1
¶
Z2 Z2
Z2 µh
p
¡
¢ 3 i=2
1
2
2
2
k £  k  = @
1 + 4 A  =

12 1 + 4
¡ 17 p
12 17 ¡
=1
0
5
12
p ¢
5  =
17
6
1
0
p
p
17 ¡ 56 5
Ejemplo 3.3.8. La super…cie S es la parte del cilindro 2 +  2 = 4 limitada por los planos
 + 4 ¡  ¡ 22 = 0;  + 2 + 2 = 0.
ZZ
Calcule

S
Solución.
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) = (2 cos   2 sin ) Donde
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2   · 2
¡ +  + 22
¡2 cos  + 2 sin  + 22
De  + 4 ¡  ¡ 22 = 0 !  =
=
= 12 (sin  ¡ cos  + 11)
4
4
¡ ¡ 2
¡2 cos  ¡ 4 sin 
De  + 2 + 2 = 0 !  =
=
= ¡ cos  ¡ 2 sin 
2
2
Donde
½
¾
1
2
R = ( ) 2 R : 0 ·  · 2  ¡ cos  ¡ 2 sin  ·  · (sin  ¡ cos  + 11)
2
!
!
 = k¡
 £¡
 k 


¡
1. !
  ( ) = (¡2 sin  0 2 cos )
¡
!
  ( ) = (0 1 0)
¡
!
!
 £¡
  = (¡2 sin  0 2 cos ) £ (0 1 0) = (¡2 cos  0 ¡2 sin )
!
!
k¡
 £¡
  k = k(¡2 cos  0 ¡2 sin )k = 2
!
!
 = k¡
 £¡
  k  = 2
0 1
1
ZZ
Z2 2 (sin ¡cos
Z +11)
Z2
¡
B
C
 = @
4 cos  A  = 4 cos  12 (sin  ¡ cos  + 11) ¡ (¡ cos  ¡ 2 sin 
S
0
ZZ
Z2
S
ZZ
Z
S
 =
0
¡ cos ¡2 sin 
0
¡
¢
2 cos2  + 10 sin  cos  + 22 cos   =
Z2
(1 + cos 2 + 10 sin  cos  + 22 cos ) 
0
£
¤=2
 =  + 22 sin  ¡ 52 cos 2 + 12 sin 2 =0 = 2
(1 + cos 2 + 10 sin  cos  + 22 cos )  =  + 22 sin  ¡ 52 cos 2 + 12 sin 2 =
110
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 3.3.9. Sea  la parte de la super…cie  =  +  2 limitada por los planos  = 0  = 10
a)Esboce la grá…ca de 
ZZ p
b)Calcule
1 + 2 2 .

Solución.
)
1.
a) Proyectando el solido al plano XY se tiene la región
n
p
p o
R = ( ) 2 R2 :  2 ·  · 10 ¡ 10 ·  · 10
Luego, una parametrización para  viene dada por
¡
!
 ( ) = ( ¡  2   ) ( ) 2 R
¡
!
  ( ) =
!
¡
 ( ) =

 (

 (
¡  2   ) = (¡2 1 0)
¡  2   ) = (1 0 1)
!
¡
!
!
 ( ) = ¡
  £¡
  = (¡2 1 0) £ (1 0 1) = (1 2 ¡1) 
p
p
!
!
!
!
k¡
  £¡
  k = 2 + 4 2   = k¡
  £¡
  k  = 2 + 4 2 
ZZ p
p
p
R p10 R 10 p
R p10 R 10 p
1 + 2 2  = ¡p10  2 1 + 2 2 2 + 4 2  = 2 0
1 + 22 2 + 4 2 
2


ZZ p
´
p R p10 ³R 10
p R p10 ¡
¡
¢ ¢
2 )  = 2 2
1 + 2 2  = 2 2 0
(1
+
2
( 1 + 2 2 ) ¡ 10 ¡  2 ) 
2
0

ZZ p
p R p10
p R p10
¡
¢
1 + 2 2  = 2 2 0 (1+2 2 ) 10 ¡  2  = 2 2 0 (¡24 +192 +10) =
p
400
5
3
ZZ p
p R
£
1 + 2 2  = 2 2 (¡2 4 +192 +10) = ¡ 25  5 +

111
19 3
3 
+ 10
¤=p10
=0
=
400
3
p
5
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Ejemplo 3.3.10. Sea  la porción de la hoja superior del cono 2 + 2 =  2 limitada por el
cilindro 2 +  2 ¡ 2 = 0.
a)Esboce la super…cie .
b)Calcule la masa de una lámina que tiene la forma de , si su densidad en cada punto es
igual a la distancia de dicho punto al eje .
Solución.
4
-4
2
-2
4 z 0
2 -2 0
0
-4 2 -2 -4
x 4
y
³
´
p
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) =   2 +  2 , donde
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 2 + ( ¡ 1)2 · 1
1.
a) Además para todo punto  (  ) 2  : (  ) =
¶
³
´ µ
p
!
¡

  ( ) = 
  2 +  2 = 1 0 p 2 2
 +
p
2 +  2 
¶
³
´ µ
p

2
2
   +  = 0 1 p 2 2
 +
µ
¶ µ
¶ µ
¶

!
¡
!
¡



p
p
p
p
  £   = 1 0
£ 0 1
= ¡ 2 2¡ 2 21 
2
2
2 + 2
 +
 +
°µ  +
¶°
°
°
p
!
!


°
k¡
 £¡
 k = °
° ¡ p2 + 2  ¡ p2 +2  1 ° = 2
ZZ
ZZ
!
!
!
() =
 =
 (¡
 ( )) k¡
 £¡
  k 
¡
!
  ( ) =
() =


S
ZZ
R
R
p p
2 2 +  2 
Cambio de coordenadas:  =  cos   =  sin ; j( )j = 
=
Z
0
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2 sin  0 ·  · 
0 2 sin 
1
Z
Z
Z
p 2
p
p
¡
¢
8
8
3
@
A
2   = 3 2 sin  = 3 2
sin  ¡ cos2  sin   =
0
0
0
112
32
9
p
2
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 3.3.11. Sea  = 1 [ 2 , donde
1 : 2 +  2 =  2 para 1 ·  · 9
a)Gra…que 
ZZ
b)Evalúe
 ¢  , donde
y 2 : 2 +  2 = 1 para 0 ·  · 1

 (  ) = (¡  )
y  es el vector unitario normal exterior a .
Solución.
) Grá…ca de  :
4
2
z4 2-200 0 2 4
-4 -2
-4 -2 -4
y
1.
x
³
´
p
!
!
a) Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) =   2 + 2 ,
donde
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 · 2 +  2 · 92
¶
³
´ µ
p
!
¡


2
2
p
  ( ) =     +  = 1 0
2 +2
¶
³
´ µ
p

!
¡

2
2
  ( ) =     +  = 0 1 p 2 2
 +
µ
¶ µ
¶ µ

!
¡
!
¡

  £   = 1 0 p
£ 0 1 p
= ¡p   ¡p
2 +2
=
ZZ
1
=
ZZ
1
1 ¢ =
RR
R
1 ¢  =
2 +2
¡
!
1 (( ))¢(!
  £¡
  ) =
Z2Z9
0 1
¡  =
Z2Z9
0 1
¡
2 +2
Z2Z9
0 1
µ
(¡  )¢ p
p
2 +  2 
Usando cambio de coordenadas:  =  cos   =  sin ; j( )j = 
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 ·  · 9 0 ·  · 2
113
¶

1
2 + 2



2 +2
p 2 2  ¡1
 +
¶

Cálculo Aplicado Norberto Chau
RR
1
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
0
1
Z2 Z9
Z2
¡ 728 ¢
2
1 ¢   = @ ¡  A  =
¡ 3  = ¡ 1456
3 
0
1
0
b) Una parametrización de 2 : ( ) = (cos  sin  )  R : 0 ·  · 2 0 ·  · 1
!
¡
!
 ( ) = (¡ sin  cos  0) ¡
 ( ) = (0 0 1)


¡
!
!
 £¡
  = (¡ sin  cos  0) £ (0 0 1) = (cos  sin  0)
ZZ
Z2Z1
RR
!
¡
!
¡
=
1 ¢ =
1 (( ))¢(   £   ) =
(¡ sin  cos  )¢(cos  sin  0) 
=
1
Z2Z1
R
0 0
0 = 0
0 0
Otra forma
c) S1 = f(  ) 2 R3 :  (  ) = 2 +  2 ¡  2 = 0g, entonces una orientación en S1
viene dada por
51 (  )
(2 2 ¡2)
(  ¡)
¡
1 ( )!
 (  ) =
=
=
k51 (  )k
2

S2 = f(  ) 2 R3 :  (  ) = 2 +  2 ¡ 1 = 0g, entonces una orientación en S2
viene dada por
d) 1 =
RR
1
RR
1
52 (  )
(2 2 0)
¡
!
 (  ) =
= p
= (  0)
k52 (  )k
2 2 +  2
1 ¢   =
1 ¢   =
RR
R
RR
R
1 (( )) ¢ 1 ( ) =
¡ =
RR
R
p
¡ 2 + 2 
RR
R
(¡  ) ¢
(  ¡)


2. Usando cambio de coordenadas:  =  cos   =  sin ; j( )j = 
3.
RR
1
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 1 ·  · 3 0 ·  · 2
1 ¢   =
RR ¡
¢
RR
¡
¢
¡2 + 2 ¡ 2 2  =
¡2 2 +  2 
R
R
(81)2 = 6561
xxx
Ejemplo 3.3.12. Halle el área de la porcion de la super…cie  =
2 +  2 ¡ 2 = 0.
114
p
2 +  2 contenida en el cilindro
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1. Solución
Proyectando el solido al plano XY se tiene la region
n
o
R = ( ) 2 R2 : 2 + ( ¡ 1)2 · 1
Luego, una parametrización para  viene dada por
¡
!
 ( ) = ( 
µ
¡
!
  = 1 0 p

2 + 2
¶
µ
¡
!
¡
!
  £   = 1 0 p
µ
¡
!
;   = 0 1 p
p
2 +  2 ) ( ) 2 R

2 +2

2 +2
°µ
°
¡
!
!
¡
k   £  k = °
° ¡p
¶
µ
£ 0 1 p
¶

2 +2

 ¡ p 2 2  1
2 +2
 +
¶
=)
µ
= ¡p
¶°
° p
°= 2
°
¶

 ¡ p 2 2  1
2 +2
 +
Usando polares :  =  cos   =  sin ; j( )j = 
De 2 +  2 ¡ 2 = 0 !  = 2 sin 
 () =
0
1
Z 2Zsin 
Z 2Zsin 
p
p
k £  k  =
k £  k  = @
2A  = 2
ZZ
R
 () =
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2 sin  0 ·  · 
0
Z
Z
p
p
2 2 sin2  = 2 2
0
Otra forma:
0
0
0
¡ 1¡cos 2 ¢
2
 =
Luego S se puede parametrizar mediante
115
0
p £
¤ p
2  ¡ 12 sin 2 0 = 2
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
8
>
>
<  =  cos 
 =  sin   0 ·  · 
>
>
:
=
2 +  2 ¡ 2 = 0 ! ( cos )2 + ( sin )2 ¡ 2 sin  = 0 !  = 2 sin  ! 0 ·  · 2 sin 
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) = ( cos   sin  ) 
donde
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  ·  0 ·  · 2 sin 
¡
!
 ( ) = ( cos   sin  )
¡
!
  ( ) = (¡ sin   cos  0)
¡
!
  ( ) = (cos  sin  1)
¡
!
!
 £¡
  = (¡ sin   cos  0) £ (cos  sin  1) = ( cos   sin  ¡)
p
p
p
!
!
k¡
 £¡
  k = k( cos   sin  ¡)k =  2 cos2  + 2 sin2  + 2 = 2 2 = 2
0
1
Z 2Zsin 
Z 2Zsin 
Z
p
p
 () =
k £  k  = @
2A  = 2 12 4 sin2 
0
0
Z
p
 () = 2 2
0
0
(1¡cos 2)

2
=
0
0
p £
¤ p
2  ¡ 12 sin 2 0 = 2
Ejemplo 3.3.13. Sean los puntos  = (  0) y  = ( +1 1) que cumplen con la condición:
2
= 1
2
a)Parametrice la super…cie S obtenida al unir todos los segmentos  
b)Analice si la parametrización obtenida en a) es regular.
Solución
)
116
2
+
2
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Parametrizando ¡ :  =  cos   =  sin   = 0;  2 [0 2]
  :  ¤ =  +  ( ¡  ) = (  0)) +  ((  + 1 1) ¡ (  0)) 
 :
¤
= (  0) + (0 1 1)
 2 [0 1]
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 2 [0 1]
  :  ¤ = (  +  )  2 [0 1]
!
¡
 ( ) = ( cos   sin  +  )  2 [0 1]  2 [0 2]
b)Analizando si la parametrización obtenida en a) es regular
!
:¡
 ( ) = ( cos   sin  +  )  ( ) 2 [0 1] £ [0 2] cumple:
!
¡
!
i)  = (0 1 1) ¡
 = (¡ sin   cos  0) son contínuas en ]0 1[ £ ]0 2[


!
¡
¡
!
ii)!
  £¡
  = (0 1 1) £ (¡ sin   cos  0) = (¡ cos  ¡ sin   sin ) 6= 0  para todo ( ) 2
]0 1[ £ ]0 2[
pues
p
k £  k = k (¡ cos  ¡ sin   sin ) k = 2 cos2  + 22 sin2 
p
p
k £  k = 2 cos2  + 2 sin2  + (22 ¡ 2 ) sin2  = 2 + (22 ¡ 2 ) sin2  6= 0para todo
( ) 2 ]0 1[ £ ]0 2[.Por lo tanto, la super…cies es es regular.
Ejemplo 3.3.14. S es la porción de la super…cie  =
2 (  0) 
p
2 + 2 interior a la esfera 2 +  2 +  2 =
a)Gra…que S.
ZZ
b)Halle
 
S
Solución
)
z
x5
0
-5
-5 0 5
y
117
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
b) Observe que de la super…cie cónica y la super…cies esférica se tiene:
µ
¶
 2 2
2 + 2 = 2 ()  +  ¡  = 0 ()  +  ¡
= 
2
4
2
2
2
2
2
Una parametrización de la porción de super…cie  sería:
(
)
µ
¶2
2
p


!
¡
 ( ) = (  2 +  2 ); ( ) 2  := ( ) 2 R2 : 2 +  ¡
·

2
4
donde  es obtenida al proyectar  al plano  .
El producto
vectorial
µ
¶ fundamental
µ es:
!
¡
!
¡
 = 1 0 p 
;  = 0 1 p

2 +2
¶
=)

2
2
µ  +
¶ µ
¶ µ
¶
!
¡
!
 £¡
  = 1 0 p 2 2 £ 0 1 p 2 2 = ¡ p 2 2  ¡ p 2 2  1
 +
 +
 +
°µ  +
¶°
°
°
p

!
!

°
k¡
 £¡
 k = °
° ¡p 2 2  ¡p 2 2  1 ° = 2

 +
 +
1.
ZZ
ZZ
 =


!
!
 k¡
  £¡
  k 
p ZZ p
2
2 +  2 
=

Haciendo cambio de coordenadas polares:  =  cos   =  sin ; j( )j = 
2 +  2 ¡  = 0 !  =  sin 
Así,
ZZ

ZZ

©
ª
0 = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2  0 ·  ·  sin 
0
1
Z Zsin 
p RR
p
 = 2 0 2  = 2 @
2 A  =
0
 =
p
3 2
3
R
0
p
3 2
3
0
sin (1 ¡ cos2 ) =
p
3 2
3
h
¡ cos  +
R
0
sin3 
i
cos3 
3
0
=
p
43 2
9 
Ejemplo 3.3.15. Sea S la parte de la super…cie 22 = 8 ¡  limitada por los planos  = 0  = 0
 +  = 3Halle la componente  del centro de masa de S sabiendo que la densidad en cada
punto (  ) de la super…cie es
1
 (  ) = p

1 + 162
118
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Solución
La masa
ZZ es:
ZZ
1
p
=
 (  )  =

1 + 16 2


Una parametrización de la porción de super…cie  sería:
¡
¢
¡
!
 ( ) =   8 ¡ 2 2 ; ( ) 2 R
©
ª
donde R = ( ) 2 R2 : ¡ 2 ·  · 2 0 ·  · 3 ¡ 
!
¡
!
!
¡
  = (1 0 0)  ¡
  = (0 1 ¡4)  ¡
 £!
  = (1 0 0) £ (0 1 ¡4) = (0 4 1)
p
!
¡
¡
!
 = k   £   k = 1 + 16 2 
Luego,
ZZ
ZZ
p
=
 (  )  =
1
1+16

 =
 (  )  =

=
62
3
12
¡2 0

ZZ
=
ZZ
3¡
Z2 Z
Z2
 =
 = (3 ¡ )  = 12
2


1+162
p
=
¡2
Z2
¡2

31
18
0 3¡ 1
Z
Z2
@ A  = 1 ( ¡ 3)2  =
2
62
3
¡2
0
Aplicación a la Mecánica de Fluidos
Otro ejemplo de las integrales de super…cies lo encontramos en la mecánica de
‡uidos: Sea  =  (  ) un campo vectorial que mide la velocidad de un ‡uido
en un punto (  ) 2 R3 que no se modi…ca con el tiempo. Sea  =  (  ) un
campo escalar que mide la densidad del ‡uido en cada punto (  ) 
Las unidades físicas del campo vectorial  serán, entonces, distancia por unidad
de tiempo y las de la densidad  serán las de masa por unidad de volumen. Por lo
tanto las unidades del campo vectorial  =  serán masa por unidad de área y
por unidad de tiempo.
Como ya lo habíamos observado en la sección anterior, el vector
r

£
r

es un
vector perpendicular a la super…cie  Esto quiere decir que el vector tangente, en
el punto r ( )  de cualquier curva que esté en la super…cie  es perpendicular al
vector
r

£

 
LLamaremos a
r
£
¡
!
 = ° 
r
° £

r
 °
r °

(5.2.6)
el vector normal unitario a la super…cie  en el punto r ( ) 
119
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
!
Retornando a nuestro campo vectorial  =  vemos que h ¡
 i es la compo-
nente de  en la dirección del vector normal unitario y entonces
ZZ

!
h ¡
 i 
medirá la cantidad de ‡uido que atraviesa la super…cie  en la dirección perpendicular a ella y por unidad de tiempo.
Reparametrización de super…cies
Una super…cie  2 R3 puede tener varias parametrizaciones. Sean, por ejemplo
r :  !  y m :  !  dos parametrizaciones distintas de la super…cie  Si
existe una transformación  :  !  uno a uno, sobre y derivable con continuidad
tal que m = r ±  decimos que las parametrizaciones m y r son regularmente
equivalentes.
Figura No. 02
Sea  = ( )  en donde  ( ) y  ( ) son sus funciones componentes. La
regla de la cadena aplicada a m = r ±  nos dice que
m

m

=
=
r 
 
r 
 
+
+
r

r





(5.2.7)
Es importante advertir que, en (5.2.7), tanto
r

como
r

son vectores de R3  De
(5.2.7) se deduce que
m

£
m

¯
¯
¯
=¯
¯
=
¯

 ¯

 ¯ r
¯

 ¯ 


() r
r
()  £ 
120
£
r

(5.2.8)
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Con el uso de la expresión (5.2.8) vemos que si m y r son dos parametrizaciones
regularmente equivalentes de la super…cie  entonces
RR
r( )
  =
=
=
RR

RR

RR
° r r °
 (r ( )) ° 
£ ° 
° r r ° ¯¯ () ¯¯
 (r [ ( )]) ° £ ° ¯
¯ 
m( )


()

Esto es, la integral de super…cie no se modi…ca cuando usamos parametrizaciones
regularmente equivalentes.
121
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Integral de Super…cie y Ejemplos
Problemas
1. Halle el área de la super…cie del sólido que está limitado por las super…cies 2 +  2 +  2 = 1
y el plano  =
1
2
2. Halle el área de la región del plano  +  +  = 1 que determina el cilíndro 2 + 2 = 1
3. Calcule el área de la porción de paraboloide 2 + 2 = 2 cortada por el plano  = 1
4. Se  la super…cie de la esfera 2 +  2 +  2 = 1 Calcule la integral de super…cie
ZZ
2 

5. Halle el centro de gravedad de una placa homogénea que tiene la forma de cono circular recto
de altura  y ángulo  con el eje 
122
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
El Teorema de Stokes
En esta sección estudiaremos el Teorema de Stokes. Este Teorema de gran belleza y
profundidad tiene múltiples aplicaciones, entre las que se destacan las referentes a
la mecánica de ‡uídos y el electromagnetismo. El Teorema establece una igualdad
entre una integral de super…cie y la integral de línea sobre la curva que la circunda
y constituye una extensión del Teorema de Green que estudiamos en las secciones 5
y 6 del capítulo 4.
Antes de presentar el Teorema de Stokes consideremos la integral
ZZ
!
h ¡
 i 

en donde  = (  ) es un campo vectorial,  es una super…cie parametrizada
por un función diferenciable r :  !  y
r
£
!
¡
 = ° 
° r £

Vemos. entonces, que
RR

!
h ¡
 i  =
=
=
RR

RR
RR

r
 °
.
r °

° r r °
!
h (r ( ))  ¡
 i ° 
£  ° 
®
r
r
 ( ( ))  
£ 

()
()
 ()
+  ()
+  ()
() 
en donde debemos entender que las funciones   y  están calculadas en r ( ) 
Es costumbre escribir la expresión anterior como
ZZ

en donde
!
h ¡
 i  =
ZZ

RR

RR

RR

  ^  +
ZZ
  ^ 
=

  ^  =
  ^  =
Es importante advertir que por ejemplo
ZZ

  ^  +
  ^  = ¡
RR

()
 ()

()
 ()

 ()
() 
RR
RR
ZZ
123

  ^ 
ZZ

  ^ 
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
y no debemos confundirla con una integral doble.
¡ ¢
Teorema 3.3.16. (Stokes) Sea  = r  una super…cie paramétrica regular y simple en donde
 es una región acotada y simplemente conexa del plano circundada por una curva de ¡ derivable
y orientada positivamente (en el sentido contrario a las manecillas del reloj). Denotemos con
 = r (¡). Entonces
RR

=
H
³



¡


´
 ^  +
  +  + 
RR

¡ 

¡


¢
 ^  +
RR

³


¡


´
 ^ 
Para darle al Teorema de Stokes una escritura más sugestiva es necesario introducir el
concepto de rotacional de un campo vectorial: Sea  = (  ) un campo vectorial
derivable con continuidad. De…nimos  ( ) ( el rotacional de  ) como
 ( ) =
µ
  
  
¡

¡

¡

 
 

¶
(5.3.1)
Con el uso de (5.3.1) la igualdad del Teorema de Stokes toma la siguiente forma:
ZZ

¡
h ( )  !
 i  =
I
(5.3.2)
 

Ilustremos la fórmula (5.3.2) con el siguente
¡
¢
Ejemplo 3.3.17. Sea  (  ) =  2   2  2 un campo vectorial. Sea  la curva que se obtiene
al intersectar las super…cies
 =
p
2 ¡ 2 ¡  2
y
 =1
Hallar
H

 
Para ponernos en el contexto del Teorema de Stokes, debemos de…nir la super…cie
. Tenemos dos opciones: Una es tomar como super…cie  la de…nida por  = 1 o la
p
otra es tomar como super…cie  la de…nida por  = 2 ¡ 2 ¡  2 . Si tomamos la
segunda opción, la super…cie  la parametrizamos así:
124
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
³
´
p
r ( ) =   2 ¡ 2 ¡  2
©
ª
en donde ( ) 2  = ( ) 2 R2  2 +  2 · 1  La curva ¡ a la que hace alusión
el Teorema (5.3.1) es (cos  sen )   2 [0 2] y la curva  = r (¡) = (cos  sen  1) 
cómo se indica en la …gura.
Figura No. 01
Un Cálculo sencillo nos dice que  ( ) = (¡2 ¡2 ¡2)  De otra parte


£
=
 
Ã
!
1
1
p
 p
 1 
(2 ¡ 2 ¡  2 )
(2 ¡ 2 ¡  2 )
Ahora, de (5.2.5) obtenemos que
RR

D
E
r
r

(
)

£


 
´
E
RR D³ p
r
r
= 
¡2 2 ¡ 2 ¡  2  ¡2 ¡2  
£ 

µ
¶
RR
=  ¡2 ¡ p 22 2 ¡ 2 
µ (2¡ ¡ )
¶
R 1 R p1¡2

= ¡1 ¡p1¡2 ¡2 ¡ 2 p
 ¡ 2 
2
2
!
h ( )  ¡
 i  =
RR
(2¡ ¡ )
=0
125
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Por lo tanto
H

CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
  = 0 Dejamos para el lector el caso en que la super…cie  a
considerar es la de…nida por la ecuación  = 1 y observe que el resultado es el mismo.
H
Es importante advertir que en este caso la integral de línea    es fácil calcularla,
en efecto:
I
  =

Z
2
0
¡
¢
¡ sin3  + cos   = 0
Relación con el Teorema de Green
Para ver que el Teorema de Stokes es una generalización del Teorema de Green,
!
supongamos que la super…cie  es una región del plano   En este caso ¡
 = (0 0 1) 
De (5.3.1) vemos que (5.3.2) toma la forma
µ
ZZ

 
¡


¶
 ^  =
I
(5.3.3)
  + 

Pero en este caso observemos que
ZZ

µ
 
¡


¶
 ^  =
ZZ

µ
 
¡


¶

Esto es, la integral de super…cie coincide con la integral doble. Es así como (5.3.3)
constituye la igualdad del Teorema de Stokes.
Existe una notación que permite calcular el rotacional de un campo vectorial sin
necesidad de recordar la expresión (5.3.1). Si llamamos
r=
µ
  
 
  
¶
y lo miramos como un vector ( tenga presente que no es un vector) de R3  entonces  ( ) = r £  De la misma forma, el producto interno hr  i de…ne la
divergencia de un campo vectorial, así
 ( ) = hr  i =

 
+
+



(5.3.4)
en donde  = (  ) 
Ejemplo 3.3.18. Sea  (  ) = (  )  entonces  ( ) = (0 0 0) y  ( ) = 3
126
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
De (5.3.1) deducimos que un campo vectorial  = (  ) de…nido sobre un conjunto convexo de R3 es un gradiente, o potencial, si y sólo si  ( ) = 0 Esto es
una consecuencia directa del Teorema (4.1.3).
Las relaciones más importantes de  ( ) y  ( ) son:
1. Si  tiene derivadas parciales de orden dos continuas, se tiene que
 ( ( )) = 0
2. Si  es un campo escalar con derivadas parciales de orden dos, se tiene que
 (r) = (0 0 0)
3. Si  tiene derivadas parciales de orden dos continuas, se tiene que
 ( ( )) = r ( ( )) ¡ ¢
en donde ¢ se entiende así:  = (  ) y ¢ = (¢ ¢ ¢) y
¢ =
 2
 2
 2
+
+
2
 2
 2
4.
 ( + ) =  ( ) +  ()    2 R
5.
 ( + ) =  ( ) +  ()    2 R
6.
 ( ) =  ( ) + hr  i 
en donde  es un campo escalar.
7.
 ( ) =  ( ) + r £ 
127
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Nota: Si usamos los símbolos r £  y hr  i para de…nir el rotacional y la
divergencia de un campo vectorial respectivamente, vemos que las expresiones 6. y 7
anteriores toman la forma
hr  i
y
=  hr  i + hr  i
r £ ( ) =  r £  + r £ 
respectivamente.
Terminamos esta sección con la siguiente pregunta. Bajo que condiciones es un campo
vectorial  un rotacional ? Esto es, bajo que condiciones existe un campo vectorial
 tal que
 =  () ?
La propiedad 1. anterior nos da una respuesta parcial a la pregunta. Puesto que
 ( ()) = 0 estaríamos tentados a pensar que  ( ) = 0 es una condición
necesaria y su…ciente para que  sea un rotacional. En términos generales la condición no es su…ciente y depende de la geometría de la región en donde está de…nido
el campo vectorial  Tenemos el siguiente:
Teorema (5.3.2)Sea  un intervalo abierto de R3 , ésto es,  = ( ) £ ( ) £
( )  Si  es derivable con continuidad en  Existe un campo vectorial  tal que
 () =  si y sólo si  ( ) = 0
Veamos un ejemplo en el que  ( ) = 0 y  no es un rotacional. Sea
 (  ) =
(  )
3
(2 +  2 +  2 ) 2
Vemos que  está de…nida en todo R3 menos en el origen. Vemos que






µ
µ
µ

3
(2 +2 +2 ) 2

3
(2 + 2 + 2 ) 2

3
(2 +2 + 2 ) 2
¶
¶
¶
Por lo tanto  ( ) = 0
2 ¡ 2 ¡ 2
= ¡ p2
5
(2 +2 +2 )
2 ¡2 2 + 2
= p
(2 +2 + 2 )
2 + 2 ¡2 2
= p
(2 +2 + 2 )
5
5
Consideremos una esfera de centro en el origen y radio  a la cual le hemos quitado
un casquete en el polo norte, cómo se indica en la …gura.
128
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Figura No. 02
El vector normal unitario a la super…cie  en el punto (  ) es
(  )
¡
!
 =p
2 +  2 +  2
Supongamos que existe un campo vectorial  tal que  () =  El Teorema de
Stokes nos dice que
ZZ

!
Ahora, h ()  ¡
i =
ZZ

Pero observamos que
¡
h ()  !
 i  =
1
2 +2 +2
=
1

2

(5.3.5)

por lo tanto
1
¡
h ()  !
 i  = 2

1
 ()
2
I
ZZ

 =
1
 ()
2
! 4 cuando el área del casquete tiende a cero y
¯I
¯
¯
¯
¯ ¯ · ( ) ¤ () ! 0
¯
¯

cuando el área del casquete tiende a cero. Recuerde que ¤ () indica la longitud del
arco de la curva  Es así cómo la igualdad (5.3.5) nos lleva a una contradicción.
Debemos concluír que  no es un rotacional. La razón de ello radica en que el
dominio de de…nición del campo vectorial  no es un conjunto convexo debido a que
no contiene el origen.
la interseccion de las super…cies 2 +  2 ¡  = 0,  ¡  + 1 = 0. Halle el
!
¡
trabajo que realiza el campo de fuerzas  (  ) = ( + ln(1 + 2 ) 2 +  + sin  2   ¡ )
Ejemplo 3.3.19. Sea
129
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
para trasladar una particula alrededor de
, una sola vez, en sentido antihorario visto desde el
punto (0 0 4).
Solución.
Usando el teorema de Stokes con la super…cie : la parte del plano contenido en el paraboloide.
ZZ
Z
ZZ
¡
!
!
¡
 =
r £  ¢   =  ¢  =
r £  ¢  

1
1. donde
o
©
ª n
¡
¢2
1 = (  ) : 2 +  2 ¡  ¡ 1 · 0  =  + 1 = (  ) : 2 +  ¡ 12 · 54   ¡  + 1 = 0
Luego S se puede parametrizar mediante
¡
¡
Una parametrización de  sería !
 : R ½ R2 ! R3 , dado por !
 ( ) = (   + 1),
donde
R=
(
)
µ
¶
1 2 5
( ) 2 R :  +  ¡
·
2
4
2
2
!
¡
Debido a la orientacion se debe considerar el vector normal  ( ) = (0 1 ¡1).
Por otro lado el rotacional de  es :
!
¡
( ) = r £  = ( + ln(1 + 2 ) 2 +  + sin  2   ¡ ) = (0 1 ¡2 ¡ 1)
Luego
RR
RR
RR
!
¡
!
 =
r £  ¢   =
r £  (( )) ¢ ¡
 ( ) = (0 1 2 ¡ 1) ¢ (0 1 ¡1)
1
 =

RR
R
R
R
(2 + 2) . Usando cambio de coordenadas:  =  cos   =  sin ; j( )j =
R=
(
)
p
5
( ) 2 R2 : 0 ·  ·
 0 ·  · 2
2
130
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
0p
1
5
0
1
Z2 Z1
Z2 Z2
Z2
B ¡ 2
¢ C
¡5p
¢
5
C  =
 = @ (2 cos  ¡ 2) A  = B
2
cos

¡
2

5
cos

¡
12
4  =
@
A
0
0
0
0
0
¡ 52 
Otra forma.
¡
¢
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) =  cos  12 +  sin  32 +  sin 
Donde
(
p )
5
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2  0 ·  ·
2
¡
¢
!
¡
 ( ) =  cos  12 +  sin  32 +  sin 
¡
¢
!
¡

  ( ) = 
 cos  12 +  sin  32 +  sin  = (¡ sin   cos   cos )
¡
¢
!
¡

  ( ) = 
 cos  12 +  sin  32 +  sin  = (cos  sin  sin )
¡
!
!
 £¡
  = (¡ sin   cos   cos ) £ (cos  sin  sin ) =
¡
¢
!
¡
!
 £¡
  = 0  cos2  +  sin2  ¡ cos2  ¡  sin2 
!
¡
!
 £¡
  = (0  ¡)
0p
1
5
2
2
Z
Z
B
C
RR
C 
=
r £  ¢  = B
(0
1
¡1
¡
2
cos
)
¢
(0

¡)

@
A
1
0
0
Ejemplo 3.3.20. Sea
¡
!
 (  ) = ( + ln(1 + 2 ) 2 +    )
la intersección de las super…cies  = 2 +  2 ;  +  ¡ 2 = 0. Halle
!
¡
el trabajo que realiza el campo  para desplazar una partícula alrededor de , una sola vez, en
un campo de fuerzas y
sentido antihorario vista desde el punto  (0 0 6).
Solución
131
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Observe que de la super…cie  = 2 + 2 y el plano  +  ¡ 2 = 0 se tiene:
µ
¶
1 2 9
2 ¡  =  +  ()  +  +  = 2 ()  +  +
= 
2
4
n
o
¡
¢2
R := ( ) 2 R2 : 2 +  ¡ 12 · 94
2
2
2
2
2
Usando Stokes y tomando como super…cie, , la porcion del plano contenida en el paraboloide
!
¡
cuya normal unitaria es  = (0 1 1)
¯
¯
¯
¯


 ¯
¯
¯
! ¯
¡



¯=
Por otro lado el rotacional de  es : ( ) = r£  = ¯¯
¯



¯ 
¯
¯  + ln(1 + 2 ) 2 +   ¯
(0 0 2)
Luego
RR
RR
RR
! !
¡
!
¡
!
¡
 =
r£  ¢¡
  =
r £  (( )) ¢  ( ) =
(0 0 2) ¢ (0 1 1)

R
R
RR
 =
(2) . Usando cambio de coordenadas:  =  cos   = 12 +  sin ; j( )j = 
R
½
¾
3
2
R = ( ) 2 R : 0 ·  ·  0 ·  · 2
2
0 3
1
0 3
1
Z2 Z2
Z2 Z2
Z2 µ
h 3 i3 ¶
¢ C
2
B
C
B ¡ 2
 = @ (2 cos ) A  = 2 @
 cos  A  = 2
cos  3
 =
0
0
0
0
0
0
0 2
1
Z
[email protected]
cos A
4
0
³
´
2
 =
[sin ]0 = 0
RR
Otra forma:  =    donde  es la primera componente del centroide de R. Por tanto
9
4
R
 = 0.
1.  =
RR
R
(2)  = 2
RR
 = 0
R
132
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Problemas
1. Use el Teorema de stokes para calcular la integral de línea
I
 +  + 

en donde  representa la curva que se encuentra al intersectar las super…cies 2 +  2 +  2 = 1
y  +  +  = 0
2. Muestre que Si  es un campo escalar con derivadas parciales de orden dos, se tiene que
 (r) = 0
3. Muestre que si  tiene derivadas parciales de orden dos continuas, se tiene que
 ( ( )) = r ( ( )) ¡ ¢
4. Muestre que si  es un campo escalar y  un campo vectorial derivables, se tiene que
 ( ) =  ( ) + hr  i 
5. Muestre que si  es un campo escalar y  un campo vectorial derivables, se tiene que
 ( ) =  ( ) + r £ 
6. Sea  (  ) = (  ) y sea  = (  ) un vector …jo de R3  Calcule  ( £  )
¡
¢
7. Sea  (  ) =  2   2  2  Halle un campo vectorial  tal que  =  () 
133
Cálculo Aplicado Norberto Chau
3.4.
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
El Teorema de Stokes
El Teorema de Stokes puede extenderse a super…cies más generales. Por ejemplo,
sea  una super…cie parametrizada por r :  !  regular y simple en donde  es
múltiplemente conexo, como ase indica en la …gura.
Figura No. 01
La curva ¡ la tomamos con orientación positiva y las curvas interiores  1 y  2
con orientación negativa. Tanto la curva ª como las curvas interiores  1 y  2 de la
super…cie  se de…nen como
=r±¡
ª
1 = r ±  1
2 = r ±  2
y sus orientaciones son las que resulten por la composición con r Es entonces
claro que el Teorema de Stokes toma la siguiente forma
ZZ

!
h ( )  ¡
 i  =
I
 ª +
ª
I
1
 1 +
I
2
 2
Otra extensión del Teorema de Stokes es al caso de super…cies regulares no simples. Lo ilustramos con el siguiente ejemplo de una super…cie cilíndrica  compuesta
por dos super…cies 1 y 2 y parametrizadas por una función r :  !  y en donde
134
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 está compuesta por 1 y 2  como se ilustra en la …gura.
Figura No. 02
La aplicación r aplica 1 en 1 y 2 en 2  Si llamamos la super…cie  = 1 [2 
vemos que aplicando separadamente el Teorema de Stokes a cada super…cie    =
1 2 obtenemos
ZZ

¡
h ( )  !
 i  =
I
1
  1 +
I
2
 2
Observe que la suma de las integrales de línea sobre las curvas  1 y  2 que tienen
direcciones opuestas se anula.
Un caso interesante es el Teorema de Stokes aplicado a una super…cie esférica
 = 1 [ 2 .
Figura No. 03
135
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Como se indica en la …gura, las integrales de línea sobre las curvas  1 y  2
tienen signos opuestos debido a que dichas curvas tienen orientaciones opuestas. Por
lo tanto el Teorema de Stokes nos dice que
ZZ

!
h ( )  ¡
 i  = 0
Existe una clase de super…cies en la cual no es válido el Teorema de Stokes, éstas
son las super…cies no orientables o super…cies de una sóla cara. La super…cie cilíndrica
que consideramos arriba tiene dos caras: la cara interna y la externa.
La super…cie  = 1 [ 2 , cómo se indica en la …gura de abajo, es conocida
como la banda de Mobius. Esta es una super…cie de una sola cara: Si se rrecorre el
!
vector normal ¡
 desde un punto dado por toda la super…cie y en forma continua,
cuando volvemos al punto de partida vemos que el vector normal está apuntando en
la dirección opuesta al vector normal con que iniciamos.
Figura No. 04
Si usamos una parametrización r como se indica en la …gura, vemos que las
integrales de línea sobre una de las uniones de las super…cies 1 y 2 son las
mismas y a diferencia de lo que ocurre en la super…cie cilíndrica, la suma de aquellas
no se anula. Esta di…cultad es insalvable y hace que el Teorema de Stokes no se
pueda aplicar.
136
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
3.5.
Cálculo Aplicado Norberto Chau
El Teorema de la Divergencia
El Teorema de la Divergencia, debido a Gauss, establece una relación entre una
integral sobre un volumen  y la integral de super…cie sobre la frontera de aquel.
Este Teorema, junto con el de Stokes, tiene importantes aplicaciones al electro
magnetismo y a la mecánica de ‡uídos, como veremos más adelante.
(Teorema (5.5.1)Gauss) Sea  un sólido en R3 cuya frontera es una super…cie
 orientable. Sea  un campo vectorial derivable con continuidad de…nido sobre  .
Entonces,
ZZZ

 ( )  =
ZZ

!
h ¡
 i 
(5.5.1)
Ejemplo 3.5.1. Sea  el cubo unitario de 3  cómo se indica en la …gura.
Figura No. 01
¡
¢
RR
!
Sea  (  ) = 2   2   2  Hallemos  h ¡
 i  en donde  indica las seis
paredes del cubo. De acuerdo con el miembro izquierdo de (5.5.1) tenemos:
 ( ) = 2 + 2 + 2
Por lo tanto
137
Cálculo Aplicado Norberto Chau
ZZ

CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
!
h ¡
 i  =
=
ZZZ
 ( ) 
Z Z Z
(2 + 2 + 2) 
Z 1Z 1Z 1
=
(2 + 2 + 2) 

0
0
0
=3
RR
!
h ¡
 i  mide la cantidad de ‡uído
!
que atraviesa la super…cie  en la dirección del vector normal ¡
 y por unidad de
Como habíamos visto en la sección 2,

tiempo. Ahora probaremos que si  () es el volumen de una esfera de centro  y
radio  entonces
1
 ( ( )) = l¶³m
!0 j ()j
La expresión
1
j ()j
ZZ
 ()
ZZ
 ()
!
h ¡
 i 
(5.5.2)
!
h ¡
 i 
mide la masa por unidad de volumen y por unidad de tiempo que ‡uye a través
de la super…cie  ()  Es así cómo el miembro derecho de (5.5.2) representa el
coe…ciente de variación de la masa por unidad de volumen y por unidad de tiempo.
Este es, entonces, el signi…cado físico de la divergencia de un campo vectorial.
Para probar (5.5.2) procedemos así: Puesto que  es derivable con continuidad,
dado   0 existe un   0 tal que si  2  ( ) 
j ( ( )) ¡  ( ())j  
(5.5.3)
Si escribimos
 ( ( )) =  ( ()) + f ( ( )) ¡  ( ())g 
obtenemos
 ( ( )) j ()j =
=
+
RRR
 ()
 ( ( )) 
 ()
 ( ()) 
RRR
RRR
 () f (
138
( )) ¡  ( ())g 
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
De la igualdad anterior, (5.5.1) y (5.5.3) obtenemos
¯
¯
RR
¯
¯
!
 i ¯
¯ ( ( )) j ()j ¡  () h ¡
RRR
·
 () j ( ( )) ¡  ( ())j 
·  j ()j 
Dividimos en ambos miembros de la desigualdad anterior por j ()j y obtenemos
(5.5.2) 
El Teorema (5.5.1) nos sirve para establecer una serie de relaciones de grán utilidad en el área de las ecuaciones diferenciales parciales, varias de ellas las proponemos
como ejercicio. Para  y  campos escalares derivables con continuidad, se tiene
RR
RRR
1.  
 =
!
¡
 ¢ 

RR 
2.   ¡
!  = 0 si  es armónica
RR  
RRR
3.


=
!
¡
  ¢ + hr ri 
o
RR n  
RRR

4.
¡  ¡
 =
!
!
  ¡
  ¢ ¡ ¢ 


RR
RR 

5.
=   ¡
 si  y  son armónicas
!
!
  ¡


P
!
en donde debemos entender 
= hr ¡
 i y ¢ = 3=1  
!
¡

Veamos la primera identidad: Por el Teorema (5.5.1)
RR


!
 ¡

=
=
=
RR

RRR
RRR

!
hr ¡
 i 
 (r) 
¢ 
La segunda identidad es una consecuencia de la primera ya que  armónica signi…ca que ¢ = 0
Observemos que la tercera identidad es la generalización a tres dimensiones del
método de integración por partes.
Sea K el sólido en el primer octante limitado por 2 +  2 +  2 = 4 y los planos coordenados.
RR
Calcular   ¢   donde
µ
¶



 (  ) =


1 + 2 +  2 +  2 1 + 2 + 2 +  2 1 + 2 +  2 +  2
 es la super…cie que limita a K y  es el vector unitario normal exterior a 
Solución.


µ
¶
µ
¶
µ
¶






= r¢ = =
+
+
 1 + 2 + 2 +  2
 1 + 2 +  2 +  2
 1 + 2 +  2 +  2



= ¡2
¡ 2
¡ 2
2
2
(2 +  2 +  2 + 1)
(2 + 2 +  2 + 1)
(2 +  2 +  2 + 1)2
6
= ¡
2
(1 +  +  2 +  2 )2
139
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Por Gauss:
=
ZZ

 ¢   =
Z ZZ
K
¡
6

(1 + 2 +  2 +  2 )2
Usando cilindricas:  =  cos   =  sin   = 
=
Z
0







2 Z 2 Z
0
0
p
4¡2
¡
63 sin  cos 
3 log(5) 9
 =
¡
2
2
2
(1 +  +  )
4
5
µ p
¶
R 2 R 2 3
R 4¡2
63 sin  cos 
2
= 0
¡
 = ¡3 0
 
0 0
0  sin  cos 
0
(1 + 2 +  2 )2
(1 + 2 +  2 )2
÷
¸p4¡2 !
R 2 R 2 3
1
= ¡3 0
¡

0  sin  cos 
(1 + 2 +  2 ) 0
µ ·
¸¶
R 2 R 2 3
1
1
= ¡3 0

0  sin  cos  ¡ 5 ¡ 1 +  2
¶ ¶
³R
´ µR µ 3
3
2
2
3
= 2 0 2 sin  cos 
¡

0
5
1 + 2
¶ ¶
³R
´ µR µ 3
3
2
2
= 32 0 sin 2
¡

0
5
1 + 2
³
´ µR µ 3 ³
´¶ ¶
2
2

= 32 [¡ cos 2]0
¡

¡

0
2 +1
5
³£
¡
¢
¤ ´
1 4 2
= 32 (1) 12 ln 2 + 1 ¡ 12 2 + 20
 0
=
R 2 R 2 R p4¡2
3
2
¡1
2 ln 5 ¡
Otra forma.
6
5
¢
=
3
4
ln 5 ¡
=
ZZ

9
5
 ¢   =
Z ZZ
K
¡
(1 + 2
6

+  2 +  2 )2
Usando esféricas :  =  sin  cos   =  sin  sin   =  cos 
140
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
 =
Z
0
=
=
=
=
=
Z
63 sin2  cos  sin  cos  2
 sin 
(1 + 2 )2
0
0
2 Z 2 Z 2
5 sin3  cos  sin  cos 

(1 + 2 )2
0
0
0
µZ 2
¶
Z 2 Z 2
5
3
6
sin  cos  sin  cos 
 
2 2
0
0
0 (1 +  )
µ
¶
Z 2 Z 2
12
3
6
sin  cos  sin  cos 
¡ ln 5 
5
0
0
ÃZ
!
µ
¶ Z 2
2
12
3
6
¡ ln 5
cos  sin 
sin  cos  
5
0
0
µ
¶ µ ¶ Z 2
12
1
6
¡ ln 5
cos  sin 
5
4
0
µ
¶µ ¶µ ¶
12
1
1
6
¡ ln 5
5
4
2
3
9
ln 5 ¡
4
5
= 6
=
2 Z 2 Z 2
Cálculo Aplicado Norberto Chau
¡
¡
¢
¡
¢
¢
5
 = ¡ 2(21+1) 2 ln 2 + 1 ¡ 2 ¡ 4 + 22 ln 2 + 1 + 1
2
2
(1 +  )
³
´
¡
¡
¢
¡
¢
¢
3 + R

= : ¡ (22 +1)
 ¡ 2 2+1 + (2 +1)
 = ¡ 2(21+1) 2 ln 2 + 1 ¡ 2 ¡ 4 + 22 ln 2 + 1 + 1
2
2
R
!
¡
Ejemplo 3.5.2. Sea  la parte de super…cie 2 +  2 =  2 , con 0 ·  · . Considere  el campo
ZZ
!
¡
! ¡
¡
3
3
3
eléctrico de…nido por  (  ) = (     ). Halle el ‡ujo eléctrico a través de 
 ¢!

¡
, donde !
 es el vector unitario normal exterior a 
Solución
141

Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
El ‡ujo eléctrico a través de  es igual a calcular
ZZ
¡ ¡
!
 ¢!
 

³
´
p
¡
!
!
2
Una parametrización de  sería:  : R ½ R ! R3 , dado por ¡
 ( ) =   2 + 2 ,
©
ª
donde R = ( ) 2 R2 : 2 +  2 · 2
µ
¶
µ
¶
µ
¶
!
¡
!
!
!
  = 1 0 p 2 2  ¡
  = 0 1 p 2 2 , ¡
 £¡
  = ¡ p 2 2  ¡ p 2 2  1 
 +
 +
 +
 +
µ
!
¡
!
¡
!
¡
Debido a la orientación se debe considerar el vector normal  ( ) =   £   = p 2 2  p 2 2  ¡1
 +
 =
ZZ
¡ ¡
!
 ¢!
  =

ZZ
R
 +
!
!
 (( )) ¢ (¡
 £¡
  )
Ã
!
ZZ ³
´
p


 =
3   3  ( 2 +  2 )3 ¢ p
p
 ¡1 
2 +  2
2 +  2
R
!
ZZ Ã
p
4
4
p
 =
+p
¡ ( 2 +  2 )3 
2 +  2
2 +  2
R
Usando cambio de coordenadas:  =  cos   =  sin ; j( )j = 
1.
ZZ

ZZ

Z2
0
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  ·  0 ·  · 2
0
1
0
Z2 Z
Z2 Z
¡
¢
¡ 1¡cos 2 2
¢
!¡
¡
2 2
 ¢!
  = @
3 cos4  + 3 sin4  ¡ 3 A  = @
( 2 ) + ( 1+cos
) ¡1
2
0
¡ ¡
!
 ¢!
  =
¡1
ZZ

4
Z2
0
0
0
0
0
0 
11
Z
³h 5 i ´ Z2 ¡
¡1
¢
¢
1
1
1
1 5
4
@ cos 4 ¡ @  AA  = 
4
4
5
4 cos 4 ¡ 4  = ¡ 5 
0
0
0
¢
(1 ¡ cos 4) 
£
¡ ¡
!
1 5
 ¢!
  = ¡ 20
 ¡
Otra forma:
¤
sin 4 2
4
0
1
= ¡ 10
5
!
!
Una parametrización de  sería ¡
 : R ½ R2 ! R3 , dado por ¡
 ( ) = ( cos   sin  ) 
donde
©
ª
R = ( ) 2 R2 : 0 ·  · 2  0 ·  · 
¡
!
!
  ( ) = (¡ sin   cos  0) ¡
  ( ) = (cos  sin  1)
¡
!
!
 £¡
  = (¡ sin   cos  0) £ (cos  sin  1) = ( cos   sin  ¡)
142
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
=
ZZ

=
Cálculo Aplicado Norberto Chau
¢
RR
RR ¡ 3
¡ ¡
!
!
!
 ¢!
  =
 (( ))¢(¡
  £¡
  ) =
 cos3   3 sin3  3 ¢( cos   sin  ¡) 
R
Z2Z
0 0
R
¡ 4
¢
1
 cos4  + 4 sin4  ¡  4  = ¡ 10
5 .
Otra forma:
Para aplicar el teorema de Gauss hay que cerrar la super…cie  con 1 :  = 
RR
RRR
De esta manera
 ¢   =
 
[1
-
¡
¢
Pero  = 3 2 +  2 +  2 , luego
ZZ
RRR ¡ 2
¢
RR
¡ ¡
!
 ¢!
  =
3  +  2 +  2  ¡
-

1
¡ ¡
!
 ¢!
 
RRR ¡ 2
¢
Cálculo de  =
3  +  2 +  2 
-
Usamos coordenadas cilindrícas: =  cos   =  sin   =  ; j(  )j = 
©
ª
- = (  ) 2 R2 : 0 ·  ·  0 ·  · 2  ·  · 
=
RRR
-
Z2Z Z
Z2Z
¡ 2
¢
¡ 2
¢
£ 3
¤
2
2
2
3  +  +   = 3
 +   =
  + 13  3 0 
0 0 
0 0
0 2 1 0 
1
Z2Z
Z
Z
¡1 3
¢
¡
¢
4 4
1 3
4 4
3
3
@ A @
A=
=3
3   +  ¡ 3   = 3
3   +  ¡ 3  
0 0
0
RR !
¡ !
Cálculo de  =
 ¢¡
 
9
5
10 
0
1
!
1 :  =  =) ¡
 = (0 0 1) 
ZZ
ZZ
¡ 3 3 3¢
! ¡
¡
!
 =
 ¢   =
     ¢ (0 0 1) 
R

1
ZZ
 =
3
3
  = 
R
Finalmente
RR !
¡ !
 ¢¡
  =  ¡  =

Ejemplo 3.5.3. Calcular
ZZ
R
¡
¢
 = 3 
¶ [R] = 3 2 = 5
9
5
10 
1
¡ 5 = ¡ 10
5 
³ 2 2
´
RR !
¡ !
!
¡
 ¢¡
  donde  (  ) = 2 +  ln(1 + 2 +  2 ) 2 +  2 +  2

143
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
¡
¢2
,  es la super…cie 2 + 2 +  2 = 8 y  es el vector unitario normal exterior a .
Solución
Aplicar el teorema de Gauss en la super…cie  :
RR ¡
RRR
! ¡
!
¡
De esta manera
 ¢!
  =
  


RR ¡
RRR
!
¡
! ¡
!
Pero   = 2 , luego
 ¢   =
2 

K
Usando en coordenadas esféricas:
8
>
>
<  =  sin  cos 
 =  sin  sin  ¡! 2 +  2 +  2 = 2  j det ( (  )) j= 2 sin 
>
>
:  =  cos 
p
¡
¢2
De : 2 +  2 +  2 = 8 Ã 3 = 8 cos  Ã  = 2 3 cos 
Además 0 ·  · 2
n
o
p

K := (  ) : 0 ·  · 2 0 ·  ·  0 ·  · 2 3 cos 
2
à p
!
 p

3
´
2 3Rcos 
2
2
R R2 2 Rcos 
R R2
R 2 R 1  ³
4
2
3
=
2 cos  sin   = 2
cos  sin 
   = 2 0 02 4 cos 3 
0 0
8
R 2 R 12 
0
0 0
0 cos  sin   
i1
R 2 h 3
R 2
10
2
 = 8 0 ¡ 10 cos 3 
 = 8 0
0
0
7
3
0
3
10 
=
24
5
La ley de Gauss
La ley de Coulomb a…rma que si tenemos una carga eléctrica de  culombs, situada
en el origen, digamos, la fuerza que ejerce sobre otra carga unitaria y situada en el
punto (  ) viene dada por la expresión
144
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
 (  ) =
Cálculo Aplicado Norberto Chau

(  )
3
(2 +  2 +  2 ) 2
en donde  es una constante.
Sea  un sólido de R3 que contiene al origen y denotemos con  su frontera.
Puesto que  no está de…nido en el origen, no podemos aplicar (5.5.1) directamente.
Sea - =  (£ )  la bola de centro en el origen £ y de radio  tal que - ½ 
Entonces sobre el conjunto  ¡ - si podemos aplicar el Teorema (5.5.1). La …gura
ilustra un corte de  ¡ -
Figura No. 02
Observemos que la frontera de  ¡ - está compuesta por  y - y el vector
normal unitario sobre la frontera - es
¡
!
 =
¡1
1
(2 +  2 +  2 ) 2
(  )
Es así cómo el teorema (5.5.1) toma la siguiente forma:
ZZ
¡-
 ( )  =
ZZ

¡
h !
 i  +
ZZ
-
!
h ¡
 i 
(5.5.4)
Un cálculo nos dice que  ( ) = 0 y por lo tanto (5.5.4) se transforma en
145
Cálculo Aplicado Norberto Chau
ZZ

!
h ¡
 i  = ¡
=¡
= 
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
ZZ
!
h ¡
 i 
*
ZZ
 (  )
-
ZZ
-
¡1 (  )
3 
1
(2 +  2 +  2 ) 2 (2 +  2 +  2 ) 2
2 +  2 +  2

(2 +  2 +  2 )2
+

ZZ

= 2



= 2 42 = 4

RR
!
Por lo tanto el ‡ujo  h ¡
 i  = 4 sólo depende de la carga  y no
del tamaño o forma de 
146
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
El Teorema de la Divergencia
Problemas
Demuestre que:
RR 
RRR
1.

=
!
 ¡
 ¢ 
RR 
2.
!  = 0 si  es armónica.
¡
RR  
RRR
3.
 =
 ¢ + hr ri 
!
n  ¡

o
RR
RRR


4.

¡


=
¡
!
!
¡
  ¢ ¡ ¢ 
RR   RR   
5.
=   ¡
 si  y  son armónicas.
!
!
  ¡


6.
Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de super…cie
ZZ

  ^  +   ^  +   ^ 
en donde  es la super…cie del hemisferio superior de la esfera de centro en el origen y radio 1
147
Cálculo Aplicado Norberto Chau
3.6.
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Las Ecuaciones de Maxwell
En 1873, en su libro Electricity and Magnetism, Maxwell tendió las leyes de la electrodinámica. Sean  = (1  2  3 ) y  = (1  2  3 ) dos campos vectoriales
que representan el campo eléctrico y magnético respectivamente.Maxwell propuso las
siguentes ecuaciones
1 
=0
 
1 
 () ¡
= 0
 
(5.6.1)
 () +
en donde la constante  representa la velocidad de la luz.
El sistema anterior constituye un sistema de seis ecuaciones diferenciales parciales
de primer orden y seis funciones, 1  2  3 y 1  2  3 como incógnitas.
Si en ambos miembros de las ecuaciones, en (5.6.1), aplicamos la operación divergencia, teniendo en cuenta que la operación divergencia y la derivación son intercambiables, concluimos que
(5.6.2)
 () = 
 () = 
Recuérdese que  ( ()) =  ( ()) = 0
Las ecuaciones (5.6.2) nos dicen que la divergencia de  y  son independientes
del tiempo. En particular, si son cero siguen siendo cero todo el tiempo. El Teorema
de la Divergencia nos dice que
ZZ Z
Z ZZ
 ()  =

 ()  =

ZZ

!
h ¡
 i 

!
h ¡
 i 
ZZ
De las ecuaciones anteriores se deduce que si la divergencia de  y  son cero,
entonces no se presentan los ‡ujos eléctrico y magnético.
Volvamos al sistema (5.6.1): Consideremos una super…cie  a través de la cual se
!
presenta un ‡ujo eléctrico y magnético. Sea ¡
 el vector normal a dicha super…cie.
¡
En (5.6.1), hacemos el producto interno con !
 y obtenemos
148
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
!
1  h ¡
i
=0


!
1  h ¡
i
!
h ()  ¡
i¡
= 0


!
h ()  ¡
i+
(5.6.3)
En (5.6.3) tomamos integrales de super…cie con respecto a  y hacemos uso del
Teorema de Stokes para obtener
I
I

ZZ
1
!
 = ¡
h ¡
 i 
  
ZZ
1
!
 =
h ¡
 i 
  
(5.6.4)
en donde  es la curva de la frontera de  Las ecuaciones en (5.6.4) son realmente
notables pues nos dicen que el trabajo realizado por el campo eléctrico y magnético
alrededor de la frontera de la super…cie  es proporcional a la variación del ‡ujo
magnético y eléctrico a través de la super…cie  con constantes de proporcionalidad
¡ 1 y
1

respectivamente.
La segunda ecuación de (6.6.4) nos dice que si movemos un cuerpo alrededor de una
trayectoria cerrada bajo la acción de un campo magnético esto producirá un ‡ujo
eléctrico. Este es el principio teórico de la generación de energía hidroeléctrica: Si
hacemos rotar un eje, movido por la caída del agua, dentro de un campo magnético,
producimos una corriente eléctrica.
Otra consecuencia importante de las ecuaciones en (5.6.3) es que si la super…cie 
que estamos considerando es una esfera,
ZZ

y por lo tanto


!
h ()  ¡
 i  =
ZZ

ZZ
!
h ()  ¡
 i  = 0


¡
h !
 i  =

ZZ

!
h ¡
 i  = 0
Esto es, no hay variación de ‡ujo eléctrico y magnético a través de la super…cie 
Esto comprueba el experimento de Faraday que consiste en introducirse en una esfera
metálica a la cual se le somete a una descarga eléctrica sin que el ocupante de la
esfera sufra lesión alguna. Esto lo pueden ver los visitantes del Museo de la Ciencia,
Maloka, en Bogotá y explica el por qué de la recomendación de refugiarse en un
149
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIES
automovil en caso de tormentas eléctricas. Finalmente, si en (5.6.1) derivamos con
respecto al tiempo la segunda ecuación, obtenemos

µ


¶
¡
1 2
=0
 2
De la primera ecuación de (5.6.1) despejamos
(5.6.5)


y lo incertamos en (5.6.5) y así
obtenemos
 ( ()) +
1 2
=0
 2
(5.6.6)
Ahora usamos la identidad
 ( ()) = ¡¢ + r ( ())
y recordamos que  () = 0 Remplazamos en (5.6.6) y obtenemos
¢ =
1 2
2 2
(5.6.7)
1 2
2 2
(5.6.8)
De manera análoga obtenemos
¢ =
Las ecuaciones (5.6.7) y (5.6.8) nos dicen que el campo eléctrico y magnético, y
por lo tanto la luz, se propagan en forma de onda. Este hecho trajo contradicciones
profundas en la Física del siglo IXX ya que era conocido que una onda para transportarse necesitaba de un medio por el cual pudiera viajar. De otra parte, se sabía
que la luz y las radiaciones electromagnéticas viajaban en el vacío. Esta contradición fue temporalmente subsanada por los físicos con la introducción del Eter como
medio de transporte de las ondas electromagnéticas. Posteriormente, y en forma experimental, Michelson y Morley concluyeron que la teoría del Eter no era sostenible.
Una nueva teoría de la luz apareció posteriormente con el advenimiento de la Teoría
de la Relatividad y la Mecánica Cuántica.
150
Capítulo 4
Series de Potencias y Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias
4.1.
Introducción
Antes de explicar que es el cálculo integral, primero me gustaría hablar sobre las sucesiones y
las series, ya que gran parte de este tema las utiliza frecuentemente .
En el lenguaje coloquial las palabras serie y sucesión son sinónimas y se utilizan para designar
un conjunto de objetos relacionados entre sí y que se suceden unos a otros. En Matemáticas,
estas dos palabras tienen signi…cados distintos. La palabra sucesión tiene un signi…cado análogo
al del lenguaje coloquial, ya con ella vamos a indicar un conjunto de objetos puestos en orden,
pero la palabra serie no es más que la suma de los términos de una sucesión.
En este capítulo se explicará de manera detallada que es una sucesión y una serie, cuando
convergen o divergen, los criterios de convergencia y las sucesiones y series de Cauchy.
4.2.
4.2.1.
Sucesiones
Sucesión
De…nición 4.2.1. Una sucesión de números reales es una función  cuyo dominio es el conjunto
de los naturales,
:
N

!
7¡!
R
 () := 
Se denota por:
( )2N = (1  2     )
151
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
El valor  () :=  de la función se denomina el término n-ésimo de la sucesión.
Ejemplo 4.2.2. Si  () = 1 , esta de…ne a la sucesión
conjunto dado por
¡1¢
 2N
(sucesión armónica), es decir, el
1 1 1
1
1
1
1      
 

2 3 4
¡1  +1
y si  () =  donde  2 R, esta de…ne a la sucesión ( )2N (sucesión geométrica), es decir,
el conjunto dado por
 2  3  4      ¡1    +1    
Una pregunta bastante natural es si los términos de una sucesión tienen o no un límite …nito
cuando  crece. Para responder dicha pregunta tenemos que extender el concepto de límite a las
sucesiones, dada en las siguientes de…niciones:
De…nición 4.2.3. Una sucesión ( )2N tiene límite L si, para cada , existe un 0  0 tal que
que para todo índice   0 entonces
j ¡ j 2 
En este caso se escribe
l¶³m  = 
!1
Observación 4.2.4. Si una sucesión ( )2N tiene límite …nito, decimos que esta sucesión
converge y en caso contrario decimos que la sucesión diverge.
Observación 4.2.5. Propiedad Arquimediana. Si  y  son números reales positivos, entonces
existe un número entero  tal que
  
Ejemplo 4.2.6. Demostrar que la,sucesión
¡1¢
 2N
(sucesión armónica) tiene límite es cero.
Solución.
Sea 2 0. Por demostrar que existe un 0 2 N tal que para toda  ¸ 0 
1
En efecto,se tiene que j 1 ¡ 0j 2 (). 1 2()  , ya que   0 entonces 1 también es
2
estrictamente positiva
£ ¤
Por lo tanto basta con que 0  21  es decir, 0 = 21 + 1 para que se cumpla que j 1 ¡ 0j 2.
Ejemplo 4.2.7. Demostrar que la,sucesión (1)2N tiene límite es cero.
152
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Solución.
El caso en que  = 1 es trivial, ya que el uno elevado a cualquier potencia sigue siendo uno, es
decir para este caso la sucesión converge
a uno.
Con un argumento similar a…rmamos que la sucesión converge a cero cuando  = 0. Sea   0
y supongamos que jj  1, sin el
cero, por supuesto. Por demostrar que existe un 0 2 N tal que para toda  ¸ 0 tenemos que
j ¡ 0j  . Entonces
j j  
,
jj  
,
 ln jj  ln ()
pero ln jj  0 ya que jj  1, por lo tanto

en consecuencia basta con que 0 
que dicha sucesión converge a cero.
ln (2)
ln jj
ln ()
ln jj 
es decir, 0 =
h
ln ()
ln jj
Ejemplo 4.2.8. Analizar la convergencia o divergencia de la sucesión
Solución.
Cuando n toma valores grandes,
3+2

i
+ 1 para a…rmar
¡ 3+2 ¢

2N
= 3 + 2 se aproxima a 3, es decir, l¶³m!1
3+2

= 3Para
ello, dado   0, mostrar que existe un número 0 2 N tal que para toda  ¸ 0 tenemos que
¯ 3+2
¯
¯¡
¯
¢
¯
¯
¯ 3 + 2 ¡ 3¯ 2. Es decir, 2 2.Esta última es equivalente a : 2 2, esto es
 ¡3 =



…jado un número   0 por la propiedad Arquimediana, existe un número , su…cientemente
grande, tal que la desigualdad se cumple.
£ ¤
Basta elegir, 0 = 22 + 1 ya que con esta elección tenemos que   0 equivale a   0 =
£2¤
2 + 1
£ ¤
£ ¤
2
Por otro lado, se sabe que 22  22  22 + 1, por transitividad, resulta
 , es decir,
2
¯ 3+2
¯ 2
¯
¯
 ¡ 3 =  2 para cada  ¸ 0 
,
jj  
,
 ln jj  ln ()
pero ln jj  0 ya que jj  1, por lo tanto

ln (2)
ln jj
153
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ln ()
ln jj 
en consecuencia basta con que 0 
que dicha sucesión converge a cero.
4.2.2.
es decir, 0 =
h
ln ()
ln jj
i
+ 1 para a…rmar
Propiedades de las sucesiones
Como en el caso general de funciones el límite de una sucesión si existe es único.
Teorema 4.2.9. (Unicidad del Límite) Si una sucesión es convergente, su límite es único.
Las reglas usuales del cálculo de límites son válidas para sucesiones.
Teorema 4.2.10. (Algebra de Límites) Sean ( )2N y ( )2N dos sucesiones convergentes y
sea  un número real caulesquiera.Entonces
1.Linealidad
() l¶³m ( ) =  l¶³m  
!1
!1
() l¶³m ( +  ) =
!1
2.Regla del producto
l¶³m (  ) =
!1
3.Regla del cociente
l¶³m
!1
µ


¶
=
³
l¶³m  + l¶³m  
!1
l¶³m 
!1
!1
´³
´
l¶³m  
!1
l¶³m!1 
 si l¶³m  6= 0
!1
l¶³m!1 
Demostración.
Supongamos que l¶³m!1  =  y l¶³m!1  =  y  2 R.Entonces
1.) Por demostrar que para toda 2 0 existe una 0 2 N tal que j ¡ j 2 para toda
 ¸ 0 .
Por hipóteis tenemos que para toda 2 0 existe una 0 2 N tal que j ¡ j 
 ¸ 0 , entonces
j ¡ j = jjj ¡ j  jj

jj
para toda

2
para toda
2
=2 
jj
) Por demostrar que para toda 2 0 existe una 0 2 N tal que
j +  ¡ ( + )j 2 para toda  ¸ 0 .
2.Por hipótesis tenemos que para toda   0 existen 1  2 2 N tal que j ¡ j 
 ¸ 1 y j ¡ j 
tenemos

2
para toda  ¸ 2 . Sea 0 = m¶ax f1  2 g entonces para toda  ¸ 0
j +  ¡ ( + )j · j ¡ j + j ¡ j  
154
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
3Por demostrar que para toda 2 0 existe una 0 2 N tal que
j( )( ) ¡ ()()j 2 para toda  ¸ 0 .
Por hipóteis tenemos que para toda 2 0 existen 1  2 2 N tal que j ¡ j 
 ¸ 1 y j ¡ j 

2jj

2
para toda
para toda  ¸ 2 , donde   0 no es más que la cota de la sucesión
( ). Sea 0 = m¶ax f1  2 g entonces para toda  ¸ 0 tenemos
j( )( ) ¡ ()()j = j( )( ) ¡   +   ¡ ()()j
= j ( ¡ ) + ( ¡ )j
· j ( ¡ )j + j( ¡ )j
= j jj ¡ j + jjj ¡ j
· j ¡ j + jjj ¡ j



+ jj
= 
2
2jj
¯
¯
¯
¯
4 Por demostrar que para toda   0 existe una 0 2 N tal que ¯  ¡  ¯ 2 para toda  ¸ 0 .
Como  es convergente a  6= 0, si tomamos a 2=
jj
2
j ¡ j 2 para toda  ¸ 1 , pero
jj ¡ j j · j ¡ j 
Así,
Por lo tanto,
entonces existe un 1 2 N tal que
jj

2
1
2

para toda  2  
j j
jj
¯
¯ ¯
¯
¯   ¯ ¯  ¡  ¯
¯
¯
¯
¯ · 2 j ¡  j
¯  ¡  ¯ = ¯
¯ jj2

Ahora tenemos esta nueva sucesión f ¡  g por () y por () converge a cero. Por de…nición
tenemos que para toda 2 0 existe una 2 2 N tal que j ¡  j 
Sea 0 = m¶
ax f1  2 g, entonces para toda  ¸ 0 tenemos que
¯
¯
2
¯   ¯
¯
¯ · 2 jj 2 =2 
¡
¯ 
 ¯ jj2 2
jj2 
2
para toda  ¸ 2 .
Teorema 4.2.11. (Teorema del Sandwich) Sean ( )2N , ( )2N y ( )2N tres sucesiones
tales que  ·  · ( ) para todo n (o para todo n  N siendo N un entero positivo cualquiera)
y
l¶³m  = l¶³m  = 
!1
!1
Entonces l¶³m!1  = 
155
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Demostración.
Por hipótesis tenemos que para toda 2 0 existen 1  2 2 N tal que j ¡ j 2 para toda
 ¸ 1 y j ¡ j 2 para toda  · 2 . Sea 0 = m¶ax f1  2 g entonces
y
¡ 2   ¡ 2
¡ 2   ¡ 2
y como  ·  ·  , por lo tanto l¶³m!1  = 
Teorema 4.2.12. (Funciones Continuas y Sucesiones) Sea ( )2N una sucesión tal que l¶³m!1  =
 y f una función real continua en  y cuyo dominio contiene los valores de la sucesión. Entonces,
l¶³m  ( ) =  () 
!1
Teorema 4.2.13. (Variable Discreta vs Variable Continua) Sea ( )2N una sucesión y  :
] +1[ ¡! R una función de…nida en un intervalo de la forma ] +1[ tal que  :=  (). Si
l¶³m  () = 
!1
La sucesión ( )2N converge a , es decir,
l¶³m  () = 
!1
El resultado anterior permite utilizar la regla de L ’Hópital para sucesiones. No obstante, el
recíproco no es cierto como lo muestra la sucesión  = sen 2. Dicha sucesión es constantemente
cero y por tanto converge a cero. En cambio la función  () = sen 2 no posee límite cuando
 tiende a +1.
Ejemplo 4.2.14. (Límites Importantes) Los límites siguientes aparecen con gran frecuencia
1. Si   1
l¶³m  = 0
!1
2. Para todo 

= 0
!1 !
l¶³m
3.
ln 
= 0
!1 
l¶³m
4. Para todo 
l¶³m
!1
³
1+
156
 ´
=  

CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
5. Para todo   0
l¶³m
p

 = 1
l¶³m
p

 = 1
!1
6.
!1
Solución.
1. Supongamos en primer lugar que 0    1. Tomando logaritmos resulta
l¶³m (ln  ) = l¶³m ( ln ) = ¡1
!1
!1
Por tanto, y teniendo en cuenta que la exponencial es una función continua se tiene
l¶³m  =
!1

l¶³m ln 
!1
l¶³m!1 (ln  )
= 
= ¡1 = 0
2. Para ¡1    0 podemos escribir  = ¡ jj, y por ser jj  0 se tiene
l¶³m jj = 0
!1
y por consiguiente
³
´
l¶³m  = ¡ l¶³m jj = (¡1) l¶³m jj = 0
!1
!1
!1
Por último el límite es obvio para  = 0.
3. En primer lugar supongamos que   0 y sea  un entero tal que  ¡ 1    . Entonces,


 

= ¢¢¢
¢¢¢
!

+1
1
µ
¶¡
µ
¶¡



·
 =
( + 1)
+1
+1
0 
Como 0 

+1
1
según el límite del ejemplo anterior se tiene
µ
¶

l¶³m
=0
!1  + 1
y aplicando el teorema del sandwich se concluye que

= 0
!1 !
l¶³m
El caso de   0 se reduce al anterior escribiendo  = ¡ jj y procediendo como en el
primer ejemplo. El caso  = 0 es también obvio.
157
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
4. Se trata de un límite de la forma
 ’Hópital resulta
l¶³m
!1
1
1
Substituimos  por una variable continua  y aplicamos
ln 
ln 
1
1
= l¶³m
= l¶³m
= l¶³m
= 0
!1
!1
!1


1

¡
¢
5. Sea  = l¶³m!1 1 + 
Tomando logaritmos resulta Aplicando L ’Hospital tras hacer un cambio a variable continua
resulta
 ´
1+
!1
³  ´
= l¶³m  1 +
!1
¢
¡

1+ 
=  l¶³m

ln  =
l¶³m
³
!1

ln (1 + )
=  l¶³m
!0

ln  = 
Por tanto,  =  
Sucesión Divergente
De…nición 4.2.15. Una sucesión ( )2N tiende a +1 cuando  crece a in…nito si para toda
  0 existe 0 2 N tal que si  ¸ 0 entonces  ()   y se denota por
l¶³m  = +1
!1
De…nición 4.2.16. Una sucesión ( )2N tiende a ¡1 cuando  crece a in…nito si para toda
  0 existe 0 2 N tal que si  ¸ 0 entonces  ()  ¡ y se denota por
l¶³m  = ¡1
!1
4.2.3.
Convergencia, Acotación y Sucesiones Monótonas
La propiedad de acotación de una sucesión tiene el mismo signi…cado que para una función real
cualquiera.
De…nición 4.2.17. Una sucesión ( )2N es acotada superiormente si existe un 1 tal que
 · 1 para todo  ¸ 1.Dicha sucesión está acotada inferiormente si existe un 2 2 R tal
que  ¸ 2 2 R para todo  ¸ 1.Una sucesión es acotada si está acotada superiormente e
inferiormente a la vez.
158
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
El siguiente resultado establece la relación entre convergencia y acotación de una sucesión.
Teorema 4.2.18. (Condición Necesaria de Convergencia) Toda sucesión convergente es acotada). O lo que es equivalente, toda sucesión no acotada es divergente.
Demostración.
Sea ( )2N una sucesión que converge a  2 R.Por de…nición tenemos que para toda 2 0
existe una 0 2 N tal que j ¡ j 2 para toda  ¸ 0 .
Sea 2= 1, entonces existe una 0 2 N tal que j ¡ j  1 para toda  ¸ 0 . Por lo tanto
aplicando una consecuencia de la desigualdad del triangulo tenemos
j j ¡ jj · j ¡ j  1
)
j j  1 + jj
Ahora si tomamos a
 = m¶ax f1 + jj j1 ¡ j j2 ¡ j     j¡1 ¡ jg
A continuación vamos a ver que el regreso no es cierto, es decir, que toda sucesión acotada no
necesariamente es convergente.
Sea ((¡1) ), claramente esta sucesión es acotada ya que j(¡1) j · 1 pero esta no es convergente
ya que siempre oscila entre ¡1
Por ejemplo la sucesión natural ( )2N : 1 2 3     no está acotada por lo que es divergente.
El recíproco es falso, la sucesión
0 1 0 1    esta acotada pero no es convergente.
De…nición 4.2.19. Dada una sucesión ( )2N  decimos que :
(a)Es creciente, si  · +1 , 8 2 N
(b)Es decreciente, si  ¸ +1 , 8 2 N
Si una sucesión es creciente o decreciente, se le llama monótona.
Para las sucesiones monótonas la acotación basta para asegurar su convergencia.
Teorema 4.2.20. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
Ejemplo 4.2.21. Estudiar la convergencia de la sucesión recurrente
0 = 0
 = 2 +
p
¡1   ¸ 1
Si la sucesión fuera convergente el límite L habría de veri…car la relación de recurrencia, es decir
=2+
p

159
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
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POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Haciendo x = L y pasando todo al lado izquierdo obtenemos la ecuación
2 ¡  ¡ 2 = 0
cuyas soluciones son  = ¡1 o  = 2
Descartando el valor negativo obtenemos L = 4.Para que podamos asegurar que éste es el límite
de la solución debemos comprobar la convergencia de la misma ya que el proceso utilizado para
calcularlo presuponía que la sucesión era convergente. Para ello demostraremos que se trata de
una sucesión monótona y acotada lo que segun el teorema anterior implica la convergencia.En
primer lugar observamos que
 = 2 +
p
p
¡1  2 +  = +1
lo que prueba por inducción que la sucesión es monótona creciente.
Por otra parte observamos que 0  4 y suponiendo ¡1  4 se tiene
 = 2 +
p
p
¡1  2 + 4 = 4
lo que prueba tambien por inducción que la sucesión está acotada manteniéndose todos sus t
’rminos por debajo de 4.En consecuencia, la sucesión es convergente y
l¶³m  = 4
!1
Ejemplo 4.2.22. Dada la sucesión ( )¸1 , donde  =
Analizar si la sucesión ( )¸1 :
p
p
3 + 2 ¡ 3 ¡ 1
a) ( )¸1 es decreciente.
b)( )¸1 es acotada..
c)( )¸1 es convergente.
Solución.
a)Se tiene que
 =
y entonces
Pero
luego
p
p
3
p
3 + 2 ¡ 3 ¡ 1 = p

3 + 2 + 3 ¡ 1
3
3
p
p
+1 = p
=p
3 + 5 + 3 + 2
3 ( + 1) + 2 + 3 ( + 1) ¡ 1
p
p
p
p
3 + 2 + 3 ¡ 1 · 3 + 5 + 3 + 2
3
3
p
p
+1 = p
·p
=  
3 + 5 + 3 + 2
3 + 2 + 3 ¡ 1
160
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Otra solución para (a):
¡p
¢
p
p
p

Sea  () = 3 + 2¡ 3 ¡ 1, entonces  0 () = 
3 + 2 ¡ 3 ¡ 1 =
p
p
0, pues 3 ¡ 1  3 + 2Así,  es decreciente.
p
p
b) 0   = 3 + 2 ¡ 3 ¡ 1 = p3+2+3 p3¡1 · 3
3
2
³
p 1
3+2
¡
p 1
3¡1
´
c) Como ( )¸1 es decreciente y acotada, por teorema ( )¸1 es convergente.
4.2.4.
Subsucesiones
Durante este curso va a ser muy frecuente utilizar el término de subsucesión, sin duda es un
concepto muy importante principalmente para el tema de convergencia. De…nir a una subsucesión
es bastante sencillo, simplemente pensemos en una sucesión y empecemos a seleccionar un cierto
número de elementos de la sucesión sin modi…car el orden. Así, si tengo a la sucesión armónica
y excluyo solamente a los números pares tengo la siguiente sucesión
1 1 1
1
1
1       


3 5 7
2 ¡ 1 2 + 1
en este ejemplo estamos quitando una in…nidad de números y claramente si quitamos un número
…nito de elementos también será una subsucesión.
De…nición 4.2.23. Una sucesión ( )2N , es una subsucesión de ( )2N si existe una sucesión
de ( )2N de números naturales tales que 1  2  3  ¢ ¢ ¢ y  = para cada  2 N
4.2.5.
Sucesiones de Cauchy
Sin duda la sucesiones de Cauchy son muy importantes para el análisis matemático y por ende
para el cálculo integral. En esta pequeña sección solamente mencionare su de…nición y un resultado muy importante de sucesiones convergentes. Más adelante seguiremos hablando de estas
sucesiones.
De…nición 4.2.24. Decimos que una sucesión ( )2N es de Cauchy si para toda 2 0 existe
un 0 2 N tal que si para toda   ¸ 0 entonces
j ¡  j 2 
Claramente la sucesión armónica es de Cauchy, ya que si tomamos un número …jo su…cientemente
grande al hacer las diferencias entre los elementos de la sucesión cuyos subíndices son mayores
o iguales a este número …jo, tendremos que es muy cercana al cero.
El siguiente resultado es muy importante ya que relaciona a las sucesiones convergentes con las
sucesiones de Cauchy.
161

Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
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POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Teorema 4.2.25. Sea ( )2N una sucesión convergente a un límite  2 R. Entonces ( )2N
es de Cauchy.
Demostración.
Como  !  cuando  ! 1 entonces por de…nición de sucesión convergente tenemos que para
toda   0 existe un 0 2 N tal que
j ¡ j 

2
para toda  ¸ 0 . Ahora vamos a tomar una  ¸ 0 y una   0 …ja, y lo que
tenemos que mostra es que j ¡  j  .
j ¡  j = j ¡  +  ¡ j · j ¡ j + j ¡ j ·
2 2
+ =2
2
2
Esto último pasa por ser ( )2N una sucesión convergente.
Observación 4.2.26. Tenemos unos resultados que son de gran utilidad para resolver problemas
de convergencia de una manera más sencilla, la mayoría de las veces sin utilizar la de…nición
de sucesión convergente. El primero de ellos, sin duda alguna, es una proposición muy sencilla
la cual nos caracteriza a las sucesiones acotadas.
Proposición 4.2.27. La sucesión ( )2N es acotada si y sólo si existe un  2 R tal que j j
·  para todo  ¸ 1
Demostración.
Como ( )2N es una sucesión acotada entonces existen 1  2 2 R tal que 1 ·  · 2 para
toda  ¸ 1. Sea  = m¶ax fj1 j j2 jg, si  = j1 j es fácil ver que
 · 2 · j2 j · j1 j = 
y  ¸ 1 ¸ ¡j1 j = ¡
De igual manera vemos que si  = jj se cumplen las siguientes relaciones
 · 2 · j2 j = 
y  ¸ 1 ¸ ¡j1 j ¸ ¡j2 j = ¡
por lo tanto ¡ ·  · , es decir j j · 
() Sabemos que j j ·  para toda  ¸ 1 entonces ¡ ·  · . Si tomamos a 1 = ¡ y a
2 =  tenemos el resultado.
Teorema 4.2.28. Si ( )2N es monótona, acotada entonces cualquier subsucesión de ella, lo
es.n
La demostración de la proposición anterior es trivial y se deja al lector.
Otro resultado cuya demostración es trivial y la cual también se deja al lector, es cuando tenemos
una sucesión que es convergente y al trasladar a toda la sucesión por su límite tenemos que esta
nueva sucesión converge a cero.
162
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Teorema 4.2.29. Sea ( )2N una sucesión convergente a  2 R si y sólo si la sucesión
( ¡ )2N converge a cero.
Como había señalado en un principio una sucesión no es más que una función con dominio en
los naturales y con imagen en los reales, si nosotros extendemos al dominio de la función a los
reales y dicha función tiene límite entonces la sucesión converge a dicho límite, este resultado es
muy útil para resolver problemas de convergencia.
Observación 4.2.30. Sea ( )2N una sucesión y
 : ] +1[ ¡! R
una función de…nida en un intervalo de la forma ] +1[ tal que  :=  (). Si
l¶³m  () = 
!1
La sucesión ( )2N converge a , es decir,
l¶³m  () = 
!1
En efecto,por de…nición de límite tenemos que para toda 2 0 va a existir   0 tal que si
   entonces j() ¡ j  .
Sea  2 R tal que  ¸  si    entonces j () ¡ j 2 
Ejemplo 4.2.31. Un ejemplo de este resultado es que si  () =
1

donde   0, nosotros sabemos
¡1¢
que esta función tiene como límite al cero, entonces la sucesión  2N converge al cero.
Antes de continuar con más resultados vamos a analizar la convergencia o divergencia de algu¡ ¢
nas sucesiones. Por ejemplo la sucesión () es divergente ya que 1 converge a cero, utilizando
¡
¢
¡
¢
el mismo resultado vemos que la sucesión (¡ 12 ) converge a cero. La sucesión  + (¡ 12 )
converge a  ya que es suma de dos sucesiones convergentes, donde la sucesión () converge a 
y la otra sucesión converge a cero.
Ejemplo 4.2.32. Para ver que la sucesión
0
¡ ! ¢

converge a cero primero tenemos que ver que,
! ( ¡ 1)( ¡ 2) ¢ ¢ ¢ 321
=

 ¢ ¢ ¢ 
 ¡1
2 1
= 
¢¢¢  
 
 
pero sabemos que k  <12·  ·  ¡ 1, por lo tanto
0
!
1




y aplicando el teorema anterior tenemos que converge a cero.
163
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
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POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.2.33. La sucesión
¡
¢
1

donde  es un racional positivo esta también converge a cero,
pero para mostrarlo hay que hacerlo por de…nición.
Sea  un natural. Dada 2 0 tomamos 20 . Debido a que
un natural  tal que
1
20

Por consiguiente,
1
Así hemos mostrado que
³
1
1
1
´
para toda
para toda
2
¡1¢

converge a cero, se tiene que existe
 ¸ 
 ¸ 
es una sucesión que converge a cero para cada natural .
Por otra parte, sea  un racional positivo. Existen dos números naturales  y  tales que  =  .
³
´
³
´
1
1
La sucesión 
es una subsucesión de 1
, en consecuencia converge a cero.
¡ ln  ¢
La sucesión  converge a cero. Como
ln 
2 ln 12
=
para toda
¸1


³ 12 ´
basta con que mostremos que ln 
es una sucesión que converge a cero.
La función ¡ln  es creciente en el intervalo[1 +1[, ya que su derivada es positiva en ]1 +1[.
En particular
para todo
 ¸ 1
ln 12
12 ¡ 1
1
1
·
= 12 ¡




para toda
1 ·  ¡ ln 
Como 12 ¸ 1 para  ¸ 1, se sigue que
Y ya que
³
1
12
´
0·
y
¡1¢

 ¸ 1
son sucesiónes que convergen a cero, tenemos que
ln 12
= 0
!1

¡
¢
Ejemplo 4.2.34. La sucesión (1 + 1 ) converge a el número de euler el cual se denota por la
l¶³m
letra . Como,
(1 + ) = 1 +  +
entonces si tomamos a  =
1+
1

( ¡ 1) 2 ( ¡ 1)( ¡ 2) 3
( ¡ 1) ¢ ¢ ¢ 1 
 +
 + ¢¢¢ +

2!
3!
!
tenemos que,
1
1 ( ¡ 1) 1
( ¡ 1) ¢ ¢ ¢ 1 1
= 1+ +
+ ¢¢¢ +
2



µ 2! ¶
µ
¶ µ!
¶
1
1
1
1
2
= 1+1+
1¡
+
1¡
1¡
+ ¢¢¢
2!

3!


µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
2
¡1
+
1¡
1¡
¢¢¢ 1 ¡
!



164
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Esta sucesión claramente es monótona creciente y además vemos que,
µ
¶
1 
1
1
1
1
1
1
1¡
 1 + 1 + + + ¢¢¢ +
 1 + 1 + + 2 + ¢ ¢ ¢ + ¡1  3

2! 3!
!
2 2
2
Por lo tanto es acotada y por ende converge a un número menor que 3 al cual llamaremos .
³
´
Ejemplo 4.2.35. Calcular l¶³m!1 p12 +1 + p12 +2 + ¢ ¢ ¢ + p12 +
Solución.
p 1
+ p12 +2 + ¢ ¢ ¢ + p12 +
2 +1
cumple p12 + · p12 +  para 1 ·  ·
Sea  =
Se
,
p 1
2 +
Luego, podemos acotar  como sigue
·
p 1

2 +1

1
1
1

p
=p
+p
+ ¢¢¢ + p
·  · p
 ¸1
2 + 
2 + 
2 + 
2 + 
2 + 1
Por otro lado, como


l¶³m p
= 1 = l¶³m p

2
2
!1
 +
 +
!1
Entonces por el teorema del sandwich se concluye que l¶³m!1  = 1
Ejemplo 4.2.36. Demostrar que l¶³m!1
Solución.
¡p
p ¢
+1¡  =0
¡p
p
p
p ¢
1
 + 1¡  = p
p  entonces l¶³m!1  + 1 ¡  = l¶³m!1
+1+ 
1 p
Por otro lado, podemos acotar  = p+1+
como sigue

Como  =
p 1 p 
+1+ 
1
1
0· p
p ·p

+1+ 
ya que l¶³m!1
p1

= 0, entonces por el teorema del sandwich concluimos que l¶³m!1
0
Ejemplo 4.2.37. Calcular l¶³m!1
Solución
Como  =
¡p
p ¢
3
+1¡ 3 
¡p
p ¢
+1¡  =
p
p
( + 1) ¡ 
1
3
 + 1¡ 3  = q
= q
p
p 
p
p
p
p
3
3
( + 1)2 + 3  + 1 3  + 2
( + 1)2 + 3  + 1 3  + 2
entonces
¡p
p ¢
1
l¶³m!1 3  + 1 ¡ 3  = l¶³m!1 q
p = 0
p
p
3
( + 1)2 + 3  + 1 3  + 2
1
Ejemplo 4.2.38. Calcular l¶³m!1 (2 + 5 ) 
Solución
165
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
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POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Sea  = 2 + 5 
1

1
5 · 2 + 5 · 5 + 5 = 25 =) (5 ) · (2 + 5 )  · (25 )
1
 = 5 · (2 + 5 )  · 52
Como l¶³m!1 52
1

1

1

=  
1
= 5, entonces por el teorema del sandwich concluimos que l¶³m!1 (2 + 5 )  =
0
Ejemplo 4.2.39. Calcular l¶³m!1
Solución
µ
25 ¡ 1
25 + 5
3 9
¶2 p
 +1
1
Vemos que el límite tiene la forma
¡ 5 : 1¢ , la cuál es indeterminado.
5
2 + 5 ¡ 6
2 ¡ 1
6
Observemos que:
=
=1¡ 5

5
5
2 + 5
2 + 5
2 + 5
Luego,
p
p
3
p
µ 5
¶2 ( 9 +1)
µ
¶2 3 9 +1
3 9
2
³
´
 +1
2 ¡ 1
6
5 ¡1 
 = l¶³m!1
= l¶³m!1 2
= l¶³m!1 1 ¡ 5
5 +5
2
5
2 + 5
2 + 5
p
8
 5  9(2 3 9 +1)
2
+5
Ã
!¡
>
>
6
<
=
1
 = l¶³m!1
1 +  25 +5 
= ¡3
>
¡
>
6
:
;
2 + 8
32 + 5
Solución
µ
¶
µ
¶
8
8
 1+ 
µ
¶
2
1
+
2 + 8
2 
2
2
µ
¶
µ
¶
Sea  = l¶³m!1 2
=
l¶
³m
=
l¶
³m
!1
!1
3 + 5
5
32
32

5 1+ 
1+ 
5
5
8
8
Sea  = l¶³m!1  , considere  () = 
2
2
¡ 8 ¢0
¡ 7 ¢0
1

8
8 1
87 1
877 1
1
1
1
1
l¶³m!1  = l¶³m!1  0 = l¶³m!1 
= l¶³m!1 
³m!1  2 =
¢¢¢ =
0 = l¶
2
2
ln
2
(2 )
(2 ln 2)
2 ln 2
87654321
8!
l¶³m!1
= l¶³m!1  8 = 0
2 ln8 2
2 ln 2
8
Así, haciendo  :=  () se tiene que  = l¶³m!1  = 0
2
Similarmente se tiene
32
32
Sea  = l¶³m!1  , considere () = 
5
5
¡ 2 ¢0
3
32 1
6 1
(6)0
6
1
1
l¶³m!1  = l¶³m!1
=
l¶
³m
=
l¶
³m
= l¶³m!1  2 = 0
!1 
!1
5
5 ln 5
(5 )0
(5 ln 5)0
5 ln 5
32
Así, haciendo  :=  () se tiene que  = l¶³m!1 l¶³m!1  = 0
5
µ ¶
2
Por otra parte, l¶³m!1
= 0
5
Ejemplo 4.2.40. Calcular l¶³m!1
166
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
µ
¶
8
µ ¶ 1 + 
2
2
µ
¶ = 0 (1) = 0
Por tanto,  = l¶³m!1
5
32
1+ 
5
1
¡
¢ ln(+1)
Ejemplo 4.2.41. Calcular l¶³m!1 2 + 1
Solución
1
¡ 2
¢ ln(+1)
Sea () =  + 1
para   0.Tomando logaritmos resulta
¡
¢
¡ 2
¢ ln 2 + 1
1
ln () =
ln  + 1 =

ln( + 1)
ln( + 1)
Aplicando límites por ambos lados resulta,
¡
¢
ln 2 + 1
l¶³m ln () = l¶³m
!1
!1 ln( + 1)
1
(L 0 Hóspital)
1
=
2
2 +1
l¶³m
!1 1
+1
= l¶³m
!1
2 ( + 1)
= 2
2 + 1
Entonces ln (l¶³m!1  ()) = 2 ( por la continuidad del logaritmo),
l¶³m () = ¡2 
!1
1
¡ 2
¢ ln(+1)
Luego,haciendo  :=  () se tiene que  = l¶³m!1  + 1
= ¡2 
Ejemplo 4.2.42. Calcular l¶³m!1
Solución
Para   1 y como
p
 2
!
p
p
2  2, entonces  2  2 
Por otro lado, ! =  ( ¡ 1) ¢ ¢ ¢ 321 ¸ 22 ¢ ¢ ¢ 221 = 2¡1 , es decir,
1
!

1
.Usandestas
2¡1
desigualdades en la acotación para   1:
p
 2
2
0·
· ¡1 
!
2
Sea () =
2
2¡1
para   0.Calculamos el límite usando L’Hospital dos veces:,
2
!1 2¡1
l¶³m () = l¶³m
!1
1
(L 0 Hóspital)
1
=
2
¡1
!1 2
ln 2
l¶³m
1
(L 0 Hóspital)
1
Luego,haciendo  :=  () se tiene que l¶³m!1  () = 0
Así, por el teorema del Sandwich para sucesiones tenemos
p
 2
l¶³m
=0
!1 !
167
=
2
= 0
!1 2¡1 ln2 2
l¶³m
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.2.43. Calcular l¶³m!1
p


Solución
1

Sea () =  para   0.Tomando logaritmos y calculamos límites en ambos mienbros de la
igualdad resulta:
1
1
l¶³m ln () = l¶³m ln   = l¶³m ln 
!1
!1
!1 
1
(L 0 Hóspital)
1
=

Teniendo en cuenta que la función logaritmo es continua y aplicando la regla de L’Hospital
tenemos
ln
³
1
´ 1 (L 0 Hóspital)
(ln )0
1
l¶³m () = 1 =
l¶³m
= l¶³m  = l¶³m
= 0
0
!1
!1 ()
!1 1
!1 
Entonces ln (l¶³m!1 ()) = 0 ,
l¶³m  () = 0 = 1
!1
Por tanto, por teorema resulta que
l¶³m
!1
Ejemplo 4.2.44. Para   1 y como
p

 = l¶³m  () = 1
!1
p
p
2  2, entonces  2  2 
Por otro lado, ! =  ( ¡ 1) ¢ ¢ ¢ 321 ¸ 22 ¢ ¢ ¢ 221 = 2¡1 , es decir,
1
!

1
.Usando
2¡1
desigualdades en la acotación para   1:
p
 2
2
0·
· ¡1 
!
2
Sea () =
2
2¡1
para   0.Calculamos el límite usando L’Hospital dos veces:,
2
!1 2¡1
l¶³m () = l¶³m
!1
1
(L 0 Hóspital)
1
=
2
!1 2¡1 ln 2
l¶³m
1
(L 0 Hóspital)
1
=
l¶³m
!1
2
= 0
2¡1 ln2 2
Luego,haciendo  :=  () se tiene que l¶³m!1 () = 0
Así, por el teorema del Sandwich para sucesiones tenemos
p
 2
l¶³m
=0
!1 !
Ejemplo 4.2.45. a)Considere la sucesión ( )2N , donde  =
1. i)La sucesión ( )2N es monótona.
ii)La sucesión ( )2N es acotada.
iii)La sucesión ( )2N es convergente.
168

1+ .
Demuestre que
estas
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
b)Calcule el siguiente límite:
3 + 2 + 3
=1
!+1
3 + 
l¶³m
Solución
1.
a) 1) Observe que para cada  2 N, se tiene
+1
1++1

1+
+1
=

=
 + +1
 1
1 + +1
Así +1   ; 8 2 N =) la suceción ( )2N es creciente.
2)

1
=1¡
 1

1+
1 + 
0   =
es decir, la suceción ( )2N es acotada.
3) De (i) y (ii) sucesión ( )2N es monotona y acotada. Entonces, por teorema, la
sucesión ( )2N es convergente.
Otra forma: Se tiene que  =
b)
l¶³m
!+1

1++1
µ
=1¡
1
1+ ,
3 + 32 + 2
3 + 2
2
µ
³
´

22 +2
4
l¶³m!+1 1 + 3 +2
= l¶³m!+1
1+
1
3 +2
22 +2
luego: l¶³m!+1  = 1
¶
2
¶ 3 +
2
2 +2
Otra forma:

3
5
22 +2
3 +2

= 2
µ
¶
3 + 32 + 2
Sea () =
para  ¸ 1.Tomando logaritmos y calculamos límites en ambos
3 + 2
mienbros de la igualdad resulta:
µ
3 + 32 + 2
l¶³m ln  () = l¶³m ln
!1
!1
3 + 2
¶
µ
3 + 32 + 2
= l¶³m  ln
!1
3 + 2
¶
10
= l¶³m
!1
µ
3 + 32 + 2
ln
3 + 2
1

¶
Teniendo en cuenta que la función logaritmo es continua y aplicando la regla de L’Hospital
169
0
(L 0 Hóspital)
0
=
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
tenemos
ln
³
´
l¶³m  () =
ln
0
(L 0 Hóspital)
0
=
!1
=
³
´
l¶³m  () =
!1


l¶³m
!1
l¶³m
!1


µ
¶
3 + 32 + 2
ln
3 + 2
¡ ¢
 1
 
¡ ¡ 3
¢
¡
¢¢
ln  + 32 + 2 ¡ ln 3 + 2
¡ ¢
 1
+2
3 3 +3
2 +2
l¶³m
!1
¡ 12
2
¡
 
3+2
2 +
3
= l¶³m
!1
¡ 2 4 +43 +3+2
+32 +2+2
l¶³m () = 
¡ 12
= l¶³m 2
!1
3 + 3 + 2
4 + 43 + 32 + 2
!1
4.3.
Series numéricas
Con anterioridad vimos el concepto de sucesiones de números reales. En este capítulo, vamos a
ver un concepto más general, ya que una importante aplicación de las sucesiones in…nitas radica
en la representación de sumas in…nitas.
De…nición 4.3.1. Sea ( )2N una sucesión de números reales.La suma in…nita de los elementos
de la sucesión( )¸1 se llama serie de números reales, es decir,
1
X
=1
 = 1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ +  + ¢ ¢ ¢
Los números 1  2  3       . se llaman los términos de la serie.
Observación 4.3.2. Para algunas series conviene empezar el índice en  = 0. Para hallar la
suma de una serie in…nita, consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:
1 = 1
2 = 1 + 2
2 = 1 + 2 + 3
..
.
 = 1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ +  =

X

=1
Si esta sucesión converge, diremos que la serie converge y que su suma es la que se indica en la
siguiente de…nición.
De…nición 4.3.3. Para la serie
1
P
 , la n-ésima suma parcial está dada por:
=1
 = 1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ +  =
170

X
=1

CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
1.Si la sucesión de sumas parciales ( ) converge a un número real , decimos que la serie
1
P
 converge a .Es decir, si existe un número real  tal que
=1
1
X
 = l¶³m  = l¶³m
!1
=1
El límite  se llama suma de la serie
1
P
!1

X
 = 
=1
 
=1
2.Si límite de la sucesión ( )¸1 , l¶³m!1  no existe, entonces se dice que la serie
diverge y no tiene suma.
1
P
Teorema 4.3.4. Sean
1.
1
P
 =
=1
1
P
1
P
=1

=1
1
P
2.
 +

=1
=1
=
Demostración.
Las sumas
1
P
=1
 y
1
P
1
P
 y
1
P

=1
 dos series y  un número real. Entonces:
=1
( +  )
=1
1
P
=1
 están representadas por las sucesiones f g y f g, respectivamente,
aplicando las reglas para sumar sucesiones y multiplicarlas por un real, obtenemos:

1
X
 =
=1
1
X
 
=1
1
X
 +
=1
o sea,

1
X
 =
=1
1
X
1
X
( +  )
=1
 
=1
es igual a la serie generada por
f1  2  3           g
En tanto que
1
X
=1
es igual a la serie generada por la sucesión
 +
1
X
 
=1
f1 + 1  2 + 2       +      g
Además, si se suprimen los N primeros términos de una serie, ello no destruye su convergencia
( o su divergencia). Este es el contenido del siguiente teorema:
171
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Teorema 4.3.5. Para cualquier entero positivo N, las series:
1
X

=1
y
1
X

=+1
tienen el mismo carácter (las dos convergen, o ambas divergen).
Observación 4.3.6. Si ambas convergen, sus sumas di…eren por la suma parcial  .
Al ir estudiando este tema, veremos que hay dos cuestiones básicas acerca de las series: ?‘converge?, y si converge, ?‘cuál es su suma?. No siempre son fáciles de contestar, sobre todo la
segunda. Comenzaremos nuestra búsqueda de respuestas, por un sencillo teorema conocido como el criterio de condición necesaria:
1
P
Teorema 4.3.7. (Condición necesaria)Sea
 una serie. Entonces:
=1
1
P

=1
Si la serie es convergente =) l¶³m  = 0
!1
Observación 4.3.8. El teorema no a…rma que la serie
1
P
 converge si ( ) tiende a 0,
=1
sino que la serie diverge si la serie no converge (negación lógica). En otras palabras, el que
l¶³m!1  = 0, es condición necesaria para la convergencia de la serie, pero no su…ciente.
Serie Geométrica
De…nición 4.3.9. La serie dada por
1
X
=0
 =  +  + 2 + ¢ ¢ ¢ +  + ¢ ¢ ¢  con  6= 0 y  2 R
se llama serie geométrica de razón  y término inicial .
Teorema 4.3.10. Dada la serie geométrica
1
P
 de razón  .Entonces
=0
a) Si jj  1 entonces la serie converge y su suma es
1
X
 =
=0
b)Si jj  1 entonces la serie diverge..
172

1¡
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Demostración.
a)Sea
 =

X
=0
 =  +  + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + ¡1 + 
y a esta última igualdad la multiplicamos por , tenemos que
 =  + 2 + 3 + 4 + ¢ ¢ ¢ + ¡1 +  + +1
por lo tanto,
¡
¢
 ¡  =  ¡ +1 entonces (1 ¡ )  =  1 ¡ +1 ¢ ¢ ¢ (¤)
(1¡+1 )
1¡
Luego, si  6= 1, resulta que  =
y cunado  = 1, de la expresión (¤), tenemos que  =  ( + 1) 
Resumiendo los resultados tenemos:
 =
1
X

 =
=0
Por lo tanto,
a) Cuando jj  1, tenemos que
8
<
(1¡+1 )
1¡
:  ( + 1)
;
si
;
si
jj  1
jj ¸ 1
¡
¢
 1 ¡ +1

l¶³m  = l¶³m
=

!1
!1
1¡
1¡
es decxir, la serie es convergente. En tal caso, su suma es
1
P
 =
=0
b)

1¡ 
Cuando jj  1 es claro que l¶³m!1  = +1Luego, l¶³m!1  = +1 esto signi…ca que la
serie es divergente.
Cuando  = 1, tenemos que l¶³m!1  = l¶³m!1  ( + 1) = +1 luego la serie es diverge.
(1¡(¡1)+1 )
Cuando  = ¡1, tenemos que si  =
, entonces la sucesión ( )¸1 es divergente.
2
Teorema 4.3.11. La serie armónica,
1
X
1
1 1
1
= 1 + + +¢¢¢ + + ¢¢¢

2 3

=1
diverge.
Demostración.
A…rmación.La sucesión ( )¸1 no es acotada; donde la sucesión de sumas parciales de la serie

P
1
es  =

=1
173
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En efecto,
Sea
(1)
µ
¶ µ
¶ µ
¶
1
X
1
1
1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
= 1+ +
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+¢ ¢

2
3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
=1
Escribimos una serie auxiliar, es decir, la subsucesión 2   = 0 1 2 ¢ ¢ ¢ de la sucesión de sumas
parciales
(2)
µ
¶ µ
¶ µ
¶
1
1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 1+ +
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+¢ ¢ ¢ (2)
2
4 4
8 8 8 8
16 16 16 16 16 16 16 16
Puesto que cada término de la serie (1) es mayor o igual que el correspondiente término de la
serie (2) :
1 = 1
2 = 1 +
4 = 1 +
 1+
8 = 1 +
 1+
= 1+
(2)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
µ
¶
1 1
+
+
3 4
µ
¶
1 1
1
+
+
=1+
4 4
2
µ
¶ µ
1 1
1
+
+
+
+
3 4
5
µ
¶ µ
1 1
1
+
+
+
+
4 4
8
1 1
3
+ + =1+
2 2
2
+
1
6
1
8
1
2
=1+
2
2
¶
1 1
+ +
7 7
¶
1 1
+ +
8 8
(1)
entonces para   2, tenemos    ¢ ¢ ¢ (3)
En general,
2
µ
¶
µ
¶
1
1 1
1
1
+
+
+ ¢¢¢ +
+
¢
¢
¢
+
2
4 4
2¡1 + 1
2
1 2
2¡1
1 1
1

 1 + + + ¢¢¢ +  = 1 + + ¢¢¢ + = 1 +
2 4
2
2 2
2
2
= 1+
Por consiguiente, las sumas parcilaes de la serie (2), para  su…cientemente grande, pueden ser
mayores que cualquier número positivo, es decir, l¶³m!1 2 = +1 pero, entonces de la relación
(3) se deduce que también l¶³m!1 1 = +1, es decir, la serie armonica (1) diverge.
De…nición 4.3.12. Serie telescópica. Una serie
1
P
=
 se dice que es telescópica si  se
puede escribir como  = +1 ¡  , donde  es otra sucesión.
174
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Teorema 4.3.13. Suma de una serie telescópica.Sean  y  dos sucesiones tales que  =
1
P
+1 ¡  .La serie telescópica
(+1 ¡  ) converge si y sólo si la sucesión  converge(es
=
decir, l¶³m!1  existe).En tal caso, su suma es
1
X
 =
=
1
X
=
(+1 ¡  ) =  ¡ l¶³m  
!1
Demostración


P
P
 =
 =
( ¡ +1 ) = ( ¡ +1 ) + (+1 ¡ +2 ) +  + (¡1 ¡  ) =  ¡ +1
=
=
Luego, l¶³m!1  = l¶³m!1  ¡l¶³m!1 +1 =. ¡l¶³m!1  , pues l¶³m!1 +1 = l¶³m!1  
1
P
Por lo tanto
 an converge si y sólo si  converge, y en ese caso su suma es 1 ¡ , donde
=1
 = l¶³m!1 +1 lim bn+1. (Si  diverge,
1
P
 también).
=1
Ejemplo 4.3.14. La serie
1
P
=2
Solución
1
2 ¡
converge a 1
Se puede ver que la serie es telescópica, utilizando el método fracciones parciales.
Sea
2
1
1


=
= +
¡
( ¡ 1)
 ¡1
multiplicando ( ¡ 1) a ambos lados de la igualdad tenemos que
1 = ( ¡ 1) + ()
así de los términos que estan multiplicados por  tenemos que  +  = 0 y de los términos que
estan multiplicados solamente por coe…cientes tenemos que  = ¡1, por consiguiente  = 1.
De esta manera tenemos que
¶
1 µ
X
1
1
1
1
=
¡
= 1 ¡ l¶³m
=1
2
!1
 ¡  =2  ¡ 1 

=2
1
X
Ejemplo 4.3.15. La serie
1
X
=1
converge a
1
2.
1
(2 ¡ 1)(2 + 1)
Solución
Nuevamente esta es una serie telescópica y vamos a resolverla de la misma manera que resolvimos
al primer ejemplo.
Sea
1


=
+
(2 ¡ 1)(2 + 1)
2 ¡ 1 2 + 1
175
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
multiplicando por (2 ¡ 1)(2 + 1) en ambos lados de la igualdad tenemos que
1 = (2 + 1) + (2 ¡ 1)
así de los términos multiplicados por  tenemos que 2 + 2 = 0 y de los términos que estan
multiplicados solamente por coe…cientes tenemos que  ¡  = 1, entonces  =
1
2
De esta manera
1
X
=1
y  = ¡ 12 .
¶
1 µ
X
1
1
1
=
¡
(2 ¡ 1)(2 + 1)
2(2 ¡ 1) 2(2 + 1)
=1
1
1
1
¡ l¶³m
=
!1
2
2(2 + 1)
2
=
Ejemplo 4.3.16. Calcular el valor de la serie
1
P
=2
Solución

(+1)! .
Se puede ver que la serie es telescópica, utilizando el método fracciones parciales.
Sea

( + 1) ¡ 1
+1
1
1
1
=
=
¡
=
¡
( + 1)!
( + 1)!
( + 1)! ( + 1)!
! ( + 1)!
De esta manera tenemos que
1
X

( + 1)!
=1
Ejemplo 4.3.17. La serie
¶
 µ
X

1
1
= l¶³m
= l¶³m
¡
!1
( + 1)! !1
! ( + 1)!
=1
=1
µ
¶
1
1
1
= l¶³m
¡
= 1 ¡ l¶³m
=1
!1 1!
!1
( + 1)!
( + 1)!

X
1
X
=1
converge a
1
2.
1
(2 ¡ 1)(2 + 1)
Solución
Nuevamente esta es una serie telescópica y vamos a resolverla de la misma manera que resolvimos
al primer ejemplo.
Sea
1


=
+
(2 ¡ 1)(2 + 1)
2 ¡ 1 2 + 1
multiplicando por (2 ¡ 1)(2 + 1) en ambos lados de la igualdad tenemos que
1 = (2 + 1) + (2 ¡ 1)
176
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
así de los términos multiplicados por  tenemos que 2 + 2 = 0 y de los términos que estan
multiplicados solamente por coe…cientes tenemos que  ¡  = 1, entonces  =
1
2
De esta manera
¶
1 µ
X
1
1
1
=
¡
(2 ¡ 1)(2 + 1)
2(2 ¡ 1) 2(2 + 1)
1
X
=1
=1
=
4.3.1.
y  = ¡ 12 .
1
1
1
¡ l¶³m
=
2 !1 2(2 + 1)
2
Series de términos términos no negativos
Criterios de Convergencia para series de términos no negativos
Las series de términos no negativos son aquellas en que cada término es mayor que cero, es decir.
 ¸ 0 para cada . En estas condiciones las sumas parciales de la serie  forman una sucesión

+1
P
P
creciente.Es decir,  =
 ·
 = +1 
=1
=1
Teorema 4.3.18. (Criterio de acotación).Una serie de términos no negativos
gente sí y solo sí la sucesión de sumas parciales ( ) es acotada.
P

 es conver-
Teorema 4.3.19. Criterio de comparación. Sean ( ) y ( ) dos sucesiones de términos no
negativos tales que .0 ·  ·  .Entonces
P
P
(1)Si
 converge, entonces
 converge.

P
P
(2)Si
 diverge, entonces
 diverge.

Ejemplo 4.3.20. La serie

1
P
=1
Solución
1
2
converge.
Para ver que converge basta ver que
1
1
 2
 para toda  ¸ 2
2

 ¡
pero esto es muy fácil, ya que 2 ¡   2 para toda  ¸ 2.
De esta manera
1
1
1
X
X
X
1
1
1
=1+
1+
=2
2
2
2


 ¡
=1
=2
=2
por tanto converge a un número que esta entre uno y dos.
177
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Teorema 4.3.21. (Criterio de Comparación en el Límite) Sean
1
P
=1
términos positivos, y supongamos que
l¶³m
!1
 y
1
P
 dos series de
=1
+1
= 

Entonces se tiene:
(a) Si 0    +1, son ambas series convergentes o ambas series divergentes.
1
1
P
P
(b)Si  = 0, y si
 converge, entonces
 converge.
=1
(c) Si  = +1, y si
1
P
=1
1
P
 diverge, entonces
=1
 diverge.
=1
Teorema 4.3.22. Sea  : [1 +1[ ! R continua y tal que () ¸ 0 para todo  ¸ 1. Entonces:
R
R
P
1.Si  es decreciente, 1 () · =1  () · (1) + 1 ().
R
R
P
2.Si  es creciente, 1  () · =1 () · () + 1 ().
Demostración.
Representemos los términos de la serie geométricamente, marcando en el eje de las abscisas los
números de los términos de la serie 1 2 3 4 ¢ ¢ ¢    + 1,¢ ¢ ¢  y en eje de las ordenadas, los
valores correspondientes de los términos de la serie 1 =  (1) 2 = (2)      = ()    
Entonces el área del polígono de rectángulos inscrito que se ilustra en la …gura, notamos que el
primer de los rectángulos construidos tiene la base igual a 1, y la altura (1) = 1 Por lo tanto,
el área de este rectángulo es 1  El área del segundo rectángulo es 2 ...,el área del n-ésimo
de los rectángulos construidos es  La suma de los rectángulos construidos es igual a la suma

P
parciales de  términos de la serie  =
( ).Por otro lado, la …gura escalonada formada
=1
por la curva  = () y las rectas  = 1  =  + 1  = 0; el área de esta esta región es igual a
R +1
().Por consiguiente,
1
Z +1
 
 () ¢ ¢ ¢ (1)
1
Analizando ahora el área del polígono de rectángulos circunscrito que se ilustra en la …gura.Se
observa que el primer de los rectángulos construidos tiene la base igual a 1, y la altura (1) =
2 Por lo tanto, el área de este rectángulo es 2  El área del segundo rectángulo es 3 ...,el
área del n-ésimo de los rectángulos construidos es +1 Por lo tanto la suma de los rectángulos
construidos es igual a la suma parciales de los términos de la serie a partir del segundo hasta el
+1
P
( + 1) ¡ésimo de la serie +1 =
( ) , es decie, es igual a +1 ¡ 1 .Por otro lado, la
=1
…gura escalonada formada por la curva  = () y las rectas  = 1  =  + 1  = 0; el área de
R +1
esta esta región es igual a 1 ().Por consiguiente,
Z +1
+1 ¡ 1 
()
1
178
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
de donde
+1 
Z
+1
() + 1  ¢ ¢ ¢ (2)
1
Ahora analizando mabos casos.
1. Supongamos que la integral impropia
Puesto que
Z
+1
R1
1
 () es convergente, es decir, tiene un valor …nito.
() 
1
Z
1
()
1
entonces, en virtud de la desigualdad (2) tenemos:
Z 1
  +1 
() + 1 
1
es decir, la suma parcial  queda limitada para todos los valores de n.Pero, al aumentar n, ésta
crece, puesto que todos los valores  son positivos.Por consiguiente, cuando  ! +1,  tiene
un límite …nito:
l¶³m  = 
!+1
es decir, la serie converge.
2. Supongamos que la integral impropia
R1
1
R +1
() = +1, es decir, que la integral
1
()
crece inde…nidamente aumentar n.Pero entonces, en virtud de la desigualdad (1),  también
crece inde…nidamente al aumentar n, es decir, la serie diverge.
Teorema 4.3.23. Criterio integral. Sea
1
P
 una serie tal que  = () para cierta
=1
función  : [1 +1[ ! R continua, positiva y decreciente , entonces se veri…ca que:
Teorema 4.3.24. 1 Si la serie
convergente.
2.Si la integral impropia
Demostración.
1
P
 converge si y sólo si la integral impropia
=1
R1
1
() es divergente también la serie
1
P
R1
1
() es
 diverge.
=1
Representemos los términos de la serie geométricamente, marcando en el eje de las abscisas los
números de los términos de la serie 1 2 3 4 ¢ ¢ ¢    + 1,¢ ¢ ¢  y en eje de las ordenadas, los
valores correspondientes de los términos de la serie 1 = (1) 2 =  (2)      = ()    
Entonces el área del polígono de rectángulos inscrito que se ilustra en la …gura, notamos que el
primer de los rectángulos construidos tiene la base igual a 1, y la altura (1) = 1 Por lo tanto,
el área de este rectángulo es 1  El área del segundo rectángulo es 2 ...,el área del n-ésimo
de los rectángulos construidos es  La suma de los rectángulos construidos es igual a la suma
179
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

P
parciales de  términos de la serie  =
( ).Por otro lado, la …gura escalonada formada
=1
por la curva  = () y las rectas  = 1  =  + 1  = 0; el área de esta esta región es igual a
R +1
().Por consiguiente,
1
Z +1
 
 () ¢ ¢ ¢ (1)
1
Analizando ahora el área del polígono de rectángulos circunscrito que se ilustra en la …gura.Se
observa que el primer de los rectángulos construidos tiene la base igual a 1, y la altura (1) =
2 Por lo tanto, el área de este rectángulo es 2  El área del segundo rectángulo es 3 ...,el
área del n-ésimo de los rectángulos construidos es +1 Por lo tanto la suma de los rectángulos
construidos es igual a la suma parciales de los términos de la serie a partir del segundo hasta el
+1
P
( + 1) ¡ésimo de la serie +1 =
( ) , es decie, es igual a +1 ¡ 1 .Por otro lado, la
=1
…gura escalonada formada por la curva  = () y las rectas  = 1  =  + 1  = 0; el área de
R +1
esta esta región es igual a 1 ().Por consiguiente,
+1 ¡ 1 
de donde
+1 
Z
1. Supongamos que la integral impropia
Puesto que
Z
+1
+1
()
1
+1
() + 1  ¢ ¢ ¢ (2)
1
Ahora analizando ambos casos.
Z
R1
1
() es convergente, es decir, tiene un valor …nito.
 () 
1
Z
1
()
1
entonces, en virtud de la desigualdad (2) tenemos:
Z 1
  +1 
() + 1 
1
es decir, la suma parcial  queda limitada para todos los valores de n.Pero, al aumentar n, ésta
crece, puesto que todos los valores  son positivos.Por consiguiente, cuando  ! +1,  tiene
un límite …nito:
l¶³m  = 
!+1
es decir, la serie converge.
2. Supongamos que la integral impropia
R1
1
() = +1, es decir, que la integral
R +1
1
 ()
crece inde…nidamente aumentar n.Pero entonces, en virtud de la desigualdad (1),  también
crece inde…nidamente al aumentar n, es decir, la serie diverge.
180
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Ejemplo 4.3.25. Analizar la convergencia de la serie
1
X
2
¡
=1
Solución
2
2
Sea = () = ¡  Sea () = ¡   ¸ 1  : [1 +1[ ! R continua y positiva. Para
analizar si es³ es decreciente,
usamos la primera derivada.
´
¢
2
2
2
2 ¡


¡
¡
=
¡ 22 ¡ = ¡¡ 22 ¡ 1  0
  () =  
 : [1 +1[ ! R es decreciente.Luego, se puede aplicar el criterio de la integral:
·
¸
1 ¡2 
l¶³m   = l¶³m ¡ 
!1
!1
2
1
1
·µ
¶ µ
¶¸
1
2
1
1
= l¶³m
¡ ¡ ¡ ¡ ¡1
= 
!1
2
2
2
+1
Z
2
¡  =
1
Luego, la serie
1
X
Z
¡2
2
¡ converge.
=1
Ejemplo 4.3.26. Analizar la convergencia de la serie
1 arctan 
X

1 + 2
=1
Solución
arctan 
arctan 

Sea
()
=
  ¸ 1  : [1 +1[ ! R continua y positiva. Para
1 + 2
1 + 2
analizar si esµ es decreciente,
usamos la primera derivada:
¶
arctan 



= ¡arctan  (2¡1
 0, pues  ¸ 1
2 +1)2
  () = 
1 + 2
 : [1 +1[ ! R ,  : [1 +1[ ! R es decreciente.Luego, se puede aplicar el criterio de la
Sea = () =
integral:
+1
Z
arctan 
 =
1 + 2
1
=
Luego, la serie
1 arctan 
X

=1
1 + 2
l¶³m
!1
Z
1
£
¤
arctan 
 = l¶³m arctan  1
2
!1
1+
£
¤
1
1
l¶³m arctan  ¡ arctan 1 =  2  ¡  4  
!1
converge.
Ejemplo 4.3.27. Analizar la convergencia de la serie
1
X
3
(4 + 1) ln (4 + 1)
=1
181
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Solución
3
3

Sea
()
=
  : [1 +1[ ! R continua y positi(4 + 1) ln (4 + 1)
(4 + 1) ln (4 + 1)
va. Para analizar si es  es decreciente,
usamos !
la primera derivada:
Ã
4
4
( +1)

2
ln (4 +1)3 + 44  0, : [1 +1[ ! R es decreciente.Luego, se
 () = ¡ (ln2 (4 +1))(4 +1)2
puede aplicar el criterio de la integral:
Sea =
·
¸
¢¢ 
3
1 ¡ ¡4
l¶³m
 = l¶³m
ln ln  + 1
!1
!1 4
(4 + 1) ln (4 + 1)
1
1
µ
¶
¢¢ 1
1 ¡ ¡4
= l¶³m
ln ln  + 1 ¡ ln (ln 2) = +1
!1 4
4
+1
Z
Z
3
 =
(4 + 1) ln (4 + 1)
1
Luego, la serie diverge.
Teorema 4.3.28. Criterio del cociente o de D’Alembert. Si ( ) es una sucesión de
1
P
+1
términos positivos tal que existe l¶³m!1
= , entonces
 converge si   1 y diverge

=1
si   1.En el caso  = 1 el criterio no decide.
Por ejemplo la serie
P
1

es divergente, mientras que
de la raíz -ésima del término general es 1.
P
1
2
es convergente y para ambas el límite
Teorema 4.3.29. Criterio de la raíz o de Cauchy. Sea ( ) una sucesión de términos
1
P
p
positivos tal que existe l¶³m!1   = , entonces
 converge si   1 y diverge si   1.En
=1
el caso  = 1 el criterio no decide.
2.Demostrar que la
P1
1
=1 ! es convergente.
P1
1
serie =1 (2+1)
 es convergente.
1.Probar que la serie
3.Determinar el carácter de las siguientes series:
(a)
(d)
1
X
1
 ln2 ()
=2
(b)
1
X
ln ()
=1
1
X
¡p
¢

¡1
(e)
=1

¶
1 µ 3
X
 +2
=1
3 + 1
(c)
1
X
 
(f)
1
X
2
( + 1)!
=1
De…nición 4.3.30. (p-Series) La serie dada por
1
X
1
1
1
1
= 1 +  +  + ¢¢¢ +  + ¢¢¢

2
3

=1
Teorema 4.3.31. La p-serieconverge para   1 y diverge para 0 ·   1.
182
con   0
=1
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
En efecto,
Para  = 1 la función () =
1
 para
1
R 1
 
1
1

todo   1.Ahor
es continua, positiva y decreciente para todo  ¸ 1 y que  () =
= l¶³m!1 [ln ]1 = l¶³m!1 [ln ] = 1
1 1
P
.
=1 
es continua, positiva y decreciente para todo
Entonces la integral impropia y, por lo tanto, también lo hace la serie armónica
Si Si   0 pero Si  6= 1, la función () =
1

¸1
h ¡+1 i
R1 1
R ¡


=
l¶
³m


=
l¶
³m
= l¶³m!1

!1
!1

1¡
1
1
1
Si   1 , entonces
R1
1
1

 =
Pero si 0    1 , entonces
1
¡1
R1
1
1

 1
 = l¶³m!1
1
1¡
1
¡1
£
1¡
1
¡1
¤
¡ ¡1
¢

¡ 1 = 1
y en este caso la integral y la sefrie divergen ambas.
Series Alternadas
En el apartado anterior, hemos visto varios criterios de convergencia para series de términos no
negativos, aunque también son aplicables a aquellas series a que tienen a lo sumo un número …nito
de términos negativos, pues ya hemos visto que se pueden eliminar sin afectar la convergencia o
divergencia de la serie. También son aplicables a las series que tienen todos los términos negativos
(salvo quizás un número …nito), ya que entonces estudiamos la serie _a , que tiene el mismo
carácter. Sin embargo, cuando en una serie aparecen in…nitos términos negativos y positivos,
los criterios anteriores no son aplicables. En esta sección veremos nuevos criterios que podemos
aplicar, cuando las series con las que nos encontremos sean de este tipo.
Se conocen como series alternadas aquellas cuyos términos son positivos y negativos de forma
alterna.
De…nición 4.3.32. Una serie alterna es una serie de la forma
1
X
=1
(¡1)+1  = 1 ¡ 2 + 3 ¡ 4 ¡ 5 + ¢ ¢ ¢ + (¡1)+1  + ¢ ¢ ¢
donde   0 8 2 N.
Teorema 4.3.33. (Criterio de Leibnitz) Supongamos que
(a)  ¸ +1  8 2 N, y
(b)l¶³m!1  = 0
Entonces, la serie alternada
converge y 0 · j j = j
1
P
(¡1)+1  = 1 ¡ 2 + 3 ¡ 4 ¡ 5 + ¢ ¢ ¢
=1
¡  j 
+1 
183
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.3.34. (Serie Armónica Alternada).La serie
1
X
=1
(¡1)+1  = 1 ¡
1 1 1
1
+ ¡ + ¢ ¢ ¢ + (¡1)+1 + ¢ ¢ ¢
2 3 4

es convergente.
En efecto, la sucesión formada por los valores absolutos de los términos de la serie cumple las
dos condiciones del Criterio de Leibnitz:
a) Es una sucesión decreciente y positiva ya que
1
b)l¶³m!1  = l¶³m!1
1

1
1
1
1
   ¢¢¢   ¢¢¢  0
2
3
4

= 0.
En consecuencia por el Criterio de Leibnitz la serie es convergente.
Ejemplo 4.3.35. Analizar la convergencia de la serie
1
X
1
(¡1)
 ¡ ln 
=1
Solución
1
X
(¡1)
=1
Solución
1

 ¡ ln 
1
es decreciente y positiva:
 ¡ ln 
1
1
1
1
l¶³m  = l¶³m
= l¶³m
= l¶³m
= l¶³m
 = 0


!1
!1  ¡ ln 
!1 ln  ¡ ln 
!1 ln  ¡ ln 
!1 ln 

1
X
1
Por el teorema de leibniz, se tiene que la serie
(¡1)
es convergente.
 ¡ ln 
=1
Sea =
4.3.2.
Series de Términos Cualesquiera
Existen series con términos positivos y negativos que no son alternadas. Los siguientes criterios
son aplicables a cualquier serie sea cual sea el signo de sus términos.
Teorema 4.3.36. (Criterio del Cociente) Sea
j+1 j
= 
j j
a)Si   1 la serie converge.
existe l¶³m!1
1
P
=1
b)Si   1 o  = 1 la serie diverge.
c) Si  = 1 el criterio no decide.
184
 una serie de términos cualesquiera tal que
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Teorema 4.3.37. (Criterio de la Raíz) Sea
p
l¶³m!1  j j = 
1
P
 una serie de términos positivos tal que existe
=1
a)Si   1 la serie converge.
b)Si   1 o  = 1 la serie diverge.
c) Si  = 1 el criterio no decide.
Ejemplo 4.3.38. Analizar la convergencia de la serie
1
X


3 !
=1
Solución

Sea = 3 !
Es una serie de términos positivos. Aplicando el criterio del cociente:
(+1)+1
+1

+1
3+1 (+1)!
!
1
 = l¶³m
= l¶³m
= l¶³m 13 (+1)
= l¶³m 13 (+1)(+1) (+1)




(+1)!
!1 
¡!1
¡!1
¡!1

3 !
1
X
¡
¢
¡
¢

1
+1
1
1 

 = 3 l¶³m
= 3 l¶³m l¶³m 1 +  = 3  1Por lo tanto
 es

¡!1
¡!1 ¡!1
=1
convergente.
Ejemplo 4.3.39. Analizar la convergencia de la serie
1
X

    0
=1
Solución

Sea = 

Es una serie de términos positivos. Aplicando el criterio de la raíz:
 = l¶³m
¡!1
Si
Si




q




¡!1 
1
X
= l¶³m
 es convergente.
 1 (  ) =)
 1 (  ) =)
p


=1
1
X
 es divergente.
=1
Si


= 1( = ) =)
1
X
=1
 =
necesaria de convergencia.
1
X
 esta serie diverge porque no cumple la condición
=1
Ejemplo 4.3.40. Analizar la convergencia de la serie
1
X
1357¢¢¢(2¡1)
366¢¢¢(3)
=1
185
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Solución
Sea = 1357¢¢¢(2¡1)
366¢¢¢(3)
Es una serie de términos positivos. Aplicando el criterio del cociente:
1357¢¢¢(2¡1)(2+1)
+1
366¢¢¢(3)(3+3)
 = l¶³m
= l¶³m
= l¶³m (2+1)
= 23  1, por lo tanto la serie
1357¢¢¢(2¡1) 
!1 
¡!1
¡!+1 (3+3)
366¢¢¢(3)
converge.
Ejemplo 4.3.41. Determine los valores de  2 R para los cuales la serie
1
X

converge
2
1+ 
=1 ( 3 )
Solución
 = l¶³m
¡!1
r



(1+ 3
)
Converge si 
1¡ 13 
2
= l¶³m
¡!1

(
 
1+ 3
)
=


3
1
= 1¡ 3   1
 1 =)   3
Ejemplo 4.3.42. Analizar la convergencia de la serie
1
X
2 ¡
=1
Solución
Sea  = 2 ¡ Es una serie de términos positivos
Aplicaremos el criterio de la raíz.
p
p


 = l¶³m
2 ¡ = l¶³m 1 2 =
!+1
Por lo tanto, La serie
¡!1
1
X
2 ¡
1

 1.
converge.
=1
Ejemplo 4.3.43. Analizar la convergencia de la serie
1
X
(!)2
(2)!
=1
Solución
2
(!)
Sea = (2)!
Es una serie de términos positivos.Aplicando el criterio del cociente:
((+1)!)2
+1
(+1)2
 = l¶³m
= l¶³m (2+2)!
=
l¶
³m
= 14  1. Por lo tanto, la serie es
2
!1 
¡!1 (!)
¡!1 (2+2)(2+1)
(2)!
convergente.
Ejemplo 4.3.44. Analizar la convergencia de la serie
1
X
3¡1 (¡1)!
(3¡1)!
=1
Solución
¡1
(¡1)!
Sea = 3 (3¡1)!
186
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Es una serie de términos positivos. Aplicando el criterio del cociente:
+1
 = l¶³m
= l¶³m
!1 
¡!1
3(3¡1)!
¡!1 (3+2)!
l¶³m 3(3¡1)!
¡!1 (3+2)!
3 ()!
(3+2)!
3¡1 (¡1)! 
(3¡1)!
3(3¡1)!
¡!1 (3+2)(3+1)(3)(3¡1)!
1
l¶³m
=01
¡!+1 (3+2)(3+1)
 = l¶³m
= l¶³m
=
=
La serie converge
3(3¡1)!()!
¡!1 (3+2)!(¡1)!
= l¶³m
Ejemplo 4.3.45. Analizar la convergencia de la serie:
1 h
X
¡ 2 ¢ i
(¡1)
¡

¡3
+1
=1
Solución
1
X
(¡1)
1
X
¡ ¢
es
la
serie
convergente
por
Leibniz.Ahora,
con
la
serie:
 ¡ 23 
+1
=1
=1
¡ 2 ¢
Sea  = 
¡
3¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ +1 ¯
¯ (+1)(¡ 2 )(+1) ¯
¯ (+1)(¡ 2 ) ¯ 2
3
3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
 = l¶³m ¯
= l¶³m ¯
l¶³m ¯


¯ = ¡!1
¯ = 3 .Por el criterio del cociente,
(¡ 23 )
!1  ¯
¡!1
la serie es convergente.
1 h
1
1
X
X
¡ 2 ¢n i X
¡ ¢n
(¡1)
(¡1)
Por lo tanto , la serie
=
 ¡ 23 es convergente
+1 ¡  ¡ 3
+1 ¡
=1
=1
=1
Ejemplo 4.3.46. Analizar la convergencia de la serie
1 p
p
X
+1¡ 

=1
Solución
Sea  =
p
p
+1¡ 

=

= l¶³m
!1 
!1
 = l¶³m
p 1 p 
( +1+ )
p 1 p
( +1+ )
p1
3
=
p1
3
p

p
l¶³m p+1+

!1
 =
= 12 
Por el criterio de comparación en el límite, como la serie
que la serie
1 p
p
X
+1¡ 

1
X
=1
1
3
2
es convergente, entonces se tiene
es convergente
=1
Ejemplo 4.3.47. Analizar la convergencia de la serie:
¢ 2
1 ¡
1 
X
1 + 3
4
=1
Solución ¡
¢ 2
1 
1 + 3
Sea  =
s 4

1
¡
¢ 2
1 
1 3 3
1 

1 + 3
(1+ 3
)
(1+ 3
)
 = l¶³m
= l¶³m
= l¶³m
=
4
4
¡!1
¡!1
!+1
4
Por lo tanto, La serie converge.
187
1
3
4
= 0348 9  1
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.3.48. Analizar la convergencia de la serie:
1 h
i¡
X
¡ +1 ¢
2
+
  ¸ 2

+1
=1
Solución
h¡
¢
Sea  = +1
+

2
+1
i¡
Es una serie de términos positivos
Aplicaremosrel criterio de la raíz:
h¡
i¡
¢
2
 = l¶³m  +1
+
= l¶³m

+1
¡!1
!+1
Por lo tanto, La serie converge.
1

( +1
 )
2
+ +1
1
1 
2
¡!1 (1+  ) + +1
= l¶³m
=
1
+2
1
Convergencia Absoluta
De…nición 4.3.49. Una serie
los valores absolutos
1
P
=1
1
P
 se dice que es absolutamente convergente si la serie de
=1
j j converge. En este caso, y dado que
0 ·  + j j · 2 j j
1
P
del criterio de comparación se sigue que la serie
( + j j)converge y en consecuencia tam=1
bién lo hace la serie
1
X
 =
=1
por ser suma de dos series convergentes.
1
X
=1
[( + j j) ¡ j j]
Teorema 4.3.50. (Convergencia Absoluta) Si la serie
1
P
=1
converge.
j j converge, la serie
1
P
 también
=1
Observación 4.3.51. Según ésto las series absolutamente convergentes son convergentes. No
obstante, existen series convergentes para las que la serie de los valores ab:
1
1
P
P
De…nición 4.3.52. 1.Decimos que la serie
 es absolutamente convergente, si
j jconverge.
2.Decimos que la serie
1
P
=1
 es condicionalmente convergente, si
=1
diverge.
1
P
=1
 converge pero
=1
1
P
=1
j j
Ejemplo 4.3.53. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
1
X
3 + 1
(¡1)
( + 1)3
=1
Solución
3 + 1
= 1 6= 0Por el criterio del término general, la serie es divergente.
!1 ( + 1)3
Como l¶³m j j = l¶³m
!1
188
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Ejemplo 4.3.54. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
1
X
2 + 1
(¡1)
 ( + 1)
=1
Solución
2 + 1
Sea =
es decreciente y positiva:
 ( + 1)
2 ( + 1) + 1
2 + 1
2 + 3
2 + 1
¡
=
¡
( + 1) ( + 2)  ( + 1)
( + 1) ( + 2)  ( + 1)
 (2 + 3) ¡ (2 + 1) ( + 2)
2 ( + 1)
=
=¡
0
( + 1) ( + 2)
( + 1) ( + 2)
   8;
+1 ¡  =
+1 ¡ 
+1
2 + 1
= 0
!1  ( + 1)
l¶³m  = l¶³m
!1
Por el teorema de leibniz, se tiene que la serie
1
X
=1
La convergencia es condicional pues la serie
1
X
=1
 =
Como la serie armónica
1
X
1

2 + 1
es convergente.
 ( + 1)
1
X
2 + 1
(¡1)
j j =
=1
 ( + 1)
1
2 + 1

= j j

 ( + 1)
es divergente, por el criterio de comparación se tiene:
=1
divergente.Por tanto la serie es condicionalmente convergente.
1
X
=1
j j es
Ejemplo 4.3.55. Analizar la convergencia de la serie:
1 h
X
(¡1)
+1
=1
Solución
1
X
(¡1)
¡ ¢ i
¡  ¡ 23
1
X
¡ ¢
es
la
serie
convergente
por
Leibniz.Ahora,
con
la
serie:
 ¡ 23 
+1
=1
=1
¡ ¢
Sea  =  ¡ 23
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ +1 ¯
¯ (+1)(¡ 2 )(+1) ¯
¯ (+1)(¡ 2 ) ¯ 2
3
3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
 = l¶³m ¯
= l¶³m ¯
l¶³m ¯


¯ = ¡!1
¯ = 3 .Por el criterio del cociente,
(¡ 23 )
!1  ¯
¡!1
la serie es convergente.
1 h
1
1
X
X
¡ 2 ¢ i X
¡ ¢
(¡1)
(¡1)
Por lo tanto , la serie
¡

¡
=
¡
 ¡ 23 es convergente
+1
3
+1
=1
=1
=1
Ejemplo 4.3.56. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
1
X
1 + sen 2 
(¡1)
2
=1
189
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Solución
Sea  = (¡1)
1 + sen 2 

2
1 + sen 2 
2
· 2 = 
2


1
1
X 2
X
Por el criterio de comparación, como la serie
es
convergente,
la
serie
 es absoluta2
=1
=1
mente convergente.
j j =
Ejemplo 4.3.57. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
1
X
(2)!
(¡1) sen4  2

=1
Solución
Sea  = (¡1) sen4 
(2)!

2
j j = sen4 
(2)!
(2)!
· 2 = 
2


(2 + 2)!
+1
(2 + 2) (2 + 1) 2
( + 1)2+2
 = l¶³m
= l¶³m
= l¶³m
!1 
¡!1
¡!1 ( + 1)2 ( + 1)2
(2)!
2
µ
¶2
(2 + 2) (2 + 1)

= l¶³m
¢ l¶³m
¡!1
¡!1  + 1
( + 1)2
(2 + 2) (2 + 1)
1
4
= l¶³m
¢ l¶³m ©¡
= 2  1
¢
ª
2
2

¡!1
¡!1

( + 1)
1+ 1

Por el criterio del cociente, la serie
la serie
1
X
=1
1
X
 es convergente.Por el criterio de comparación, como
=1
j j es convergente.
Ejemplo 4.3.58. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
1
X
159    (4 ¡ 3)
(¡1)
cos ()
(3)! + 1
=1
Solución
159    (4 ¡ 3)
cos () 
(3)! + 1
Ya que: j()j = 1 y (3)! + 1  (3)!
Sea  = (¡1)
j j =
159    (4 ¡ 3)
159    (4 ¡ 3)
·
= 
(3)! + 1
(3)!
190
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
159    (4 ( + 1) ¡ 3)
159    (4 + 1)
+1
(3 ( + 1))!
(3 + 3)!
 = l¶³m
= l¶³m
= l¶³m
!1 
¡!1
¡!1 159    (4 ¡ 3)
159    (4 ¡ 3)
(3)!
(3)!
159    (4 ¡ 3) (4 + 1)
(4 + 1)
(3 + 3) (3 + 2) (3 + 1) (3)!
= l¶³m
= l¶³m
= 0  1
!1
!1 (3 + 3) (3 + 2) (3 + 1)
159    (4 ¡ 3)
(3)!
Por el criterio del cociente, la serie
la serie
1
X
=1
1
X
 es convergente.Por el criterio de comparación, como
=1
j j es
es convergente.
Ejemplo 4.3.59. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
µ
¶
1
X
 2 + 1
(¡1)
4 + 1
=1
Solución

Sea  = (¡1)
µ
2 + 1
4 + 1
¶
Aplicaremos el criterio de la raíz:
sµ
¶
p
2 + 1 
2 + 1
 = l¶³m  j j = l¶³m 
= l¶³m
= 12  1
¡!1 4 + 1
!+1
!+1
4 + 1
Por lo tanto, La serie converge absolutamente.
Ejemplo 4.3.60. Analizar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie
1
X
(¡1) ln1
=1
Solución
Sea = ln1 es decreciente y positiva.
1
!1 ln 
l¶³m  = l¶³m
!1
= 0
Por el teorema de leibniz, se tiene que la serie
La convergencia es condicional pues la serie
1
X
(¡1)
=1
1
X
=1
j j =
1
ln 
1
X
es convergente.
1
ln 
=1
1
1
 = 
= j j

ln 
Como la serie armónica
1
X
1

es divergente, por el criterio de comparación se tiene:
=1
divergente.Por tanto la serie es condicionalmente convergente.
191
1
X
=1
j j es
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.3.61. Analizar la convergencia de la serie:
1
X
(¡1) ln +1
 
=1
Solución
Es claro que se cumple la desigualdad
µ
¶
µ
¶
1 
1 +1
1+
  1+



aplicando logaritmo se obtiene
µ
¶
µ
¶
1
1
1
¢ +1
 ln 1 +
 ln   ( + 1) ln 1 +
=)   ¡


ln 1 + 1
µ
¶
1
1
1
1

1
¡
¢
=)


+1   =)  + 1  ln  + 1
( + 1)

ln 
lo que signi…ca que la sucesión de valores absolutos es decreciente.Como
l¶³m
¡!1
1
=0 y
+1
l¶³m
¡!1
1
= 0


Por el teorema del sandwich, resulta que l¶³m ln +1
= 0
¡!1
Por el criterio de Leibnitz, la serie alternante es convergente.
Ejemplo 4.3.62. Analizar la convergencia de la serie:
1
³p
´
X
(¡1)
2 ¡ 1 ¡ 1 
=1
Solución
p
1
Sea  = 2 ¡ 1 ¡  = ¡ p2 ¡1+
 se trata de una serie alternada.Es claro la desigualdad :
Como
1
1
j+1 j = q
p
= j j 
2 ¡1+
2

( + 1) ¡ 1 + ( + 1)
1
l¶³m j j = l¶³m p
= 0
2
¡!1
¡!1  ¡ 1 + 
Como la sucesión es en valor absoluto decreciente y convergente a cero.Por el criterio de Leibnitz,
la serie alternante es convergente.
Ejemplo 4.3.63. Analizar la convergencia de la serie:
1
X
(¡1) ln 
=1
192
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Solución
Aplicando la regla de L’H ospital para calcular el límite del término general.
Así:
1

()0 1
1
1
1
==
l¶³m
=
l¶³m 1 = l¶³m  = 1
0
¡!1 ln 
!1 (ln )
!1
!1

l¶³m j j = l¶³m
¡!1
Por el criterio del límite del término general.se deduce que la serie es divergente.
Ejemplo 4.3.64. Hallar la suma de las siguientes series:
1
P
(¡2)+1
a)
2
=0 5 3 ¡1
1
P
(¡2)+1
b)
.
2
¡1
=0
p
P+15 3p
p
c) =1 ( 3  +  + 2 ¡ 2 3  +  + 1 + 3  + ), donde  es una constante real
Solución
1.
a)
1 +1
X

¡ 2¡1
5+2
=0
=
=0
=
=
1
X
(¡2)+1
=0
5
2
¡1
3
1 +1
X

5+2
¡
1
X
2¡1
5+2
=0
1
2¡1 X
1
 X 
¡ 2
52 =0 5
5
2
5
=0
 5
2¡1

¡
2
2
5 5¡
5 5 (5 ¡ )
1
1
X
¡2 X (¡2)
(¡2)
=
¡10
2
2
5¡1
=0 5 3
=0 5 3
0
1
à !
1
1
1
X
X
3
¡2
¡25
@
A
= ¡10
= ¡10
2
5
3
5
=0
=0
10
50
= ¡
1 = ¡
1
25 3
5 + 25 3
1+ 5
=
b) Sea la suma:
p
p
p
P
 = l¶³m!+1 =1 ( 3  +  + 2 ¡ 2 3  +  + 1 + 3  + )
p
p
p
p
P
3
3
 = +1
 +  + 1) ¡ ( 3  +  + 1 ¡ 3  + )
=1 (  +  + 2 ¡
p
p
p
p
Sea  = 3  +  + 1 ¡ 3  +  +1 = 3  +  + 2 ¡ 3  +  + 1
P
 = l¶³m!+1 =1 (+1 ¡  ) = l¶³m!+1 (+1 ¡ 1 ) = l¶³m!+1  ¡ 1
p
p
p
p
l¶³m!+1  = l¶³m!+1 3  +  + 2¡ 3  +  + 1 = l¶³m!+1 3  +  + 2¡ 3  +  + 1
l¶³m!+1  = l¶³m!+1
p
p
 = 3  + 1 ¡ 3  + 2.
(++2)¡(++1)
p
p
p
p
( 3 ++2)2 + 3 ++2 3 ++1+( 3 ++1)2
193
=
1
+1
=0
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.3.65. Analice la convergencia de las siguientes series:
a.
+1
X
1 + arctan()
=0
b.

1
)
2 

(1 + )
+1  sen(
X
=1
c.

1
X
=1
1.

µ
¶ 2
3 
1+
2
+1
X
ln2 ()
a)
(¡1)
.

=9
P1 3+cos(2)
b)
3
=0
 ln 2 ()
Solución
a) Usando el criterio del cociente:
+1
1 + arctan( + 1)

1 + arctan( + 1) 1
=
=

+1


1 + arctan()
1 + arctan() 
1 + 2 1
+1
1 + arctan( + 1) 1
1
l¶³m!+1
= l¶³m!+1
 =
 = 1

1 + arctan() 
1 + 2 

Por lo tanto la serie converge.
b) Observar que para n “su…cientemente grande”
µ ¶
1
1

µ ¶
 sin
1
1
1 2
1
2
¢ sin
 =
=¡
¼
= 2 = 
2
1 
2


1


1+ 
(1 + )
1
X
1
comparando en el límite con la serie
la cual es convergente
2 
=1
µ ¶
1

 sin
µ ¶
2
1
sin
2

1
2
(1 + )
¢
 = l¶³m
= l¶³m
=  l¶³m ¡
l¶
³m
=10

1
1
¡!1 
¡!1 1 + 1
¡!1
!+1

2µ ¶
2
1

1  sin
X
2
resulta que la serie
es convergente.
(1 + )2
=1
r




¡1
c)  = l¶³m 
l¶³m
³m 
2 =
3 = 3 =  2  1
3  = l¶
3 
1+
(
)
¡!1
¡!1
¡!1
2


2
2

2
(1+ 2 )
3
1
 1+ 2
3
por tanto, la serie converge.
194

CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
d) Observe que la sucesión
De…na  () =
2
ln ()

³
´
ln2 ()

¸1
=)  0 () =
es decreciente:
ln()(2 ¡ ln())
 0 8  2 
2
Así,  es decreciente para todo   2 ¼ 7 389 1
³ 2 ´
Luego la sucesión ln ()
es decreciente.
¸9
Por otro lado,
ln2 ()
1
1
= l¶³m 2 ln() = l¶³m 2 = 0
!+1
!+1

 !+1 
l¶³m () = l¶³m
!+1
Así, l¶³m!+1
³
´
ln2 ()

¸1
=0
Por lo tanto, por Teorema de Leibniz, la serie alternante
e) Observe que
3 + cos()
3
2
 ln ()
Por otro lado, de…na  () =
1

3
 ln 2 ()
·
4
3
 ln 2 ()
P
(¡1) ln2 ()

¸1
converge.

8 2 [2 +1[.
Observe que,  es continua, positiva y decreciente para todo  ¸ 2, pues
 0 () = ¡
ln() +
3
2
5
2 ln 2 
 0 8  0
Además, se tiene
Z
l¶³m
!+1 2
= l¶³m
!1
Ã
¡2
1
1
2
ln ()

() = l¶³m
Z

!
= ¡2 l¶³m
!1
Ã
1
3
!1 2
 ln 2 ()
1
1
2
¡
 =
1
1
2
!
=2
1
1
2
ln () ln 2
ln (2)
P
1
Por el criterio de la integral, se sigue que la serie 1
converge. Luego, por
3
=2
 ln 2 ()
P1 3+cos()
el criterio de comparación se concluye que la serie =0
  2 R, converge.
3
2
 ln 2 ()
a)Sea la serie
P+1
=0  ,
b)Analice si la serie
1. Solución
  0, convergente.Demuestre que la serie
P1
(2)!
2

=1 (¡1) sin () 2

P+1
=0

converge.
 + 2
es absolutamente convergente.
195
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

·  pues  + 2 ¸ 1
 + 2
Por criterio de comparación:
P+1
P+1 
converge.
=0  converge =)
=0
 + 2
a) 0 ·
Por comparación en el límite: comparando en el límite con la serie
1
X
1
la cual

=1
es convergente

1
X
2

 + 2
 = l¶³m
= l¶³m
= 0resulta que la serie
es convergente.
1
¡!1  + 2
!+1
 + 2

=1

b) Sea  = (¡1) sin2 () (2)!
2
¯
¯
¯
(2)! ¯
2

j j = ¯(¡1) sin () 2 ¯ = j sin2 ()j (2)!
2 ·
(2)!
2
= 
Observe que
(2+2)!
2+2
+1

2
= l¶³m!+1 (+1)
= l¶³m!+1 (2+2)(2+1)
(2)!
(+1)2 (+1)2
2
´2
2
1 ³
2
1 ¡¡
¢ ¢¡2
(2+ 
)(2+ 
)
(2+ 
)(2+ 
)

 = l¶³m!+1 (1+
=
l¶
³m
1 + 1
= 4¡2  1
!+1
1 2
1
2
+1
)
(1+
)


P
Luego, por criterio del cociente la serie ¸1  converge y por el criterio de com = l¶³m!+1
paración, la serie
¯
¯
P
P
¯
 sin2 () (2)! ¯ converge. Finalmente la serie alternante
(¡1) sin2 () (2)!
¯(¡1)
¸1
2 ¯
2
es absolutamente convergente.
Ejemplo 4.3.66. Halle todos los valores de  para los cuales la serie de potencias
+1
X
2
 

1
+
2
= 0
converge.
Solución
2
 =

1 + 2
Usando la fórmula del cociente o también se puede usar criterio de la raíz
2+1
jj+1
¡1¢
j+1 j
+1
1
+
2
2 +1
2 +1
 = l¶³m
= l¶³m
=
l¶
³m
2
³m
=

+1 +1 jj = 2 jj l¶
+1 +1 = 2 jj 2
2
2
2
!1 j j
¡!1
¡!1
!1

jj
1 + 2
jj  1;
La serie converge absolutmente si jj  1 =) ¡1    1
Si  = 1 ()  = ¡1 o  = 1
1
X
2
2
Para  = 1 :

diverge
ya
que
l¶
³m
= 1 6= 0
!1 1 + 2
1 + 2
=1
196
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
1. Para  = ¡1 :
1
X
2
(¡1)

1
+
2
=1
2
(¡1)

(¡1)
=
l¶
³m
no existe.
!1 1 + 2
!1 1 + 1
2
diverge ya que l¶³m
Por lo tanto la serie
1
X
=1
N. Chau
2
 converge para jj  1.
1 + 2
197
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
4.4.
Sucesiones y series de funciones
4.4.1.
Sucesiones de funciones
Introducción
La representación de funciones complicadas por medio de funciones sencillas es una de las ideas
centrales del Análisis Matemático. En este capítulo vamos a precisar algunos de los posibles
signi…cados del término “representación”. Intuitivamente, se trata de “aproximar” funciones que
se suponen muy generales por otras de un tipo especialmente sencillo. Por ejemplo, podemos
aproximar localmente, en las proximidades de un punto, una función derivable por sus polinomios
de Taylor calculados en dicho punto. Ya hemos visto que esta aproximación es de gran utilidad
para calcular límites. Ahora queremos dar un paso más y nos interesamos por representaciones
que sean válidas no sólo localmente, en las proximidades de un cierto punto, sino en todo un
intervalo.
Hay muchas maneras de representar funciones complejas por medio de otras más simples, una
de las más útiles es la representación por medio de series. Podemos describir este proceso en
términos muy generales como sigue.
Se considera una clase F = f :  ½ R ¡! Rg de “funciones simples”. Por ejemplo, puede ser
la clase de las funciones polinómicas, o la clase de todos los polinomios trigonométricos que son
las
funciones de la forma

X
( cos  +  sen )
=0
donde  ;  son números reales.
Para representar una función  por medio de funciones de la clase F (; R) = f :  ¡! Rghay
que asociar a dicha función una sucesión de funciones ( ) donde  2 F (; R) . Las funciones
 suelen interpretarse como las “componentes elementales” de la función . La forma de obtener
las funciones componentes  de  viene dada en cada caso por un algoritmo matemático que,
conocida la función  , permite calcular, al menos en teoría, las  . Esta parte del proceso de representación se suele llamar “análisis” porque consiste en analizar  descomponiéndola en sus com-
ponentes más simples. Esto es algo que se hace constan:
Si, por ejemplo, queremos representar la función exponencial  () =  por medio de funciones
polinómicas, entonces las funciones elementales son los polinomios de Taylor que, para la función
exponencial viene dados por 
 () =

X

=0
198
!
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
² El último paso consiste en “recomponer” la función  mediante sus componentes elemen-
tales  . Para que este proceso sea útil las funciones componentes  deben estar determinadas de manera única por  y debe ser posible, mediante algún algoritmo ma: ¡
¡ ff . Por ejemplo, para el caso de la función exponencial sabemos que para todo  2 R es:
 = l¶³m  () = l¶³m
!1
!1

X

=0
!
=
1
X

=0
!
Con ello hemos representado una función trascendente, como es la exponencial, por me: 
Volviendo a la situación general, lo que suele hacerse es tratar de recuperar la función f por
“superposición” de sus componentes elementales fn. El término “superponer” procede de la
Física y en Matemáticas se traduce por “sumar”. Por tanto, lo que queremos es expresar f como
la suma de la serie de…nida por la sucesión de funciones ( ) :
=
1
X
 
=0
Lo primero que debemos hacer es dar un sentido a esta igualdad. El sentido que va a tener para
nosotros en este capítulo es que para cada valor de x en un cierto intervalo I se veri…ca que:
 () =
1
X
 () 
=0
Esta igualdad sí sabes lo que signi…ca: quiere decir que la serie de números reales
1
P
 converge
=0
y tiene como suma el número  ().
De…nición 4.4.1. Una sucesión de funciones es una aplicación que a cada número natural
n hace corresponder una función f ,es decir
 :
N

!
7¡!
F (; R)
 () := 
( ) es una sucesión de funciones con dominio en , entonces par cada  2 , ( ()) es una
sucesión nímerica.
Convergencia puntual
De…nición 4.4.2. Dado  2  se dice que la sucesión de funciones ( ) converge puntualmente en , si la sucesión de números reales ( ()) es convergente.
199
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
El conjunto C de todos los puntos  2  en los que la sucesión de funciones ( ) converge
puntualmente, se llama campo de convergencia puntual. Simbólicamente:
C = f 2  : ( ()) convergeg
Supuesto que C 6=  la función  : C ! R de…nida para todo  2 C por:
() = l¶³m ( ())
!1
se llama función límite puntual de la sucesión ( ) .
Observación 4.4.3. Para entender la de…nición de convergencia puntual y en general en todo
este capítulo, es muy importante no confundir la sucesión defunciones ( ) con la sucesión
de números reales ( ()) obtenida evaluando las funciones de dicha sucesión en un número
 2 . Tampoco debes olvidar que en una sucesión la variable es siempre  2 N y nunca  2 
Así, la sucesión ( ()) es la aplicación que a cada número natural  2 N (la variable) le asigna
el número real  () donde x está …jo.
Ejemplo 4.4.4. Sea la sucesión de funciones ( ())  donde, para cada  2 N,  : [0 1] ! R es
la función de…nida para todo  2 [0 1] por:
 () =  
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x
Figura 10.2. Convergencia puntual
4.4.2.
Series de funciones
Dada una sucesión de funciones  (), podemos formar otra, ( ), cuyos términos se obtienen
sumando consecutivamente los de ( ) . Es decir,
1 = 1  2 = 1 + 2  2 = 1 + 2 + 3  ¢ ¢ ¢ 
200
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
En general,  =
1
P
 . La sucesión ( ) así de…nida se llama serie de término general  y la
=1
representaremos por el símbolo
1
X
 
=1
Debe quedar claro que una serie de funciones es una sucesión de funciones que se
obtienen sumando consecutivamente las funciones de una sucesión dada. Todo lo
dicho para sucesiones de funciones se aplica exactamente igual para series de funciones. En
particular, los conceptos de convergencia puntual y uniforme para sucesiones de funciones tienen
igual signi…cado para series.
El siguiente resultado es el más útil para estudiar la convergencia uniforme y absoluta de una
serie.
. Convergencia Uniforme
Sea un intervalo no vacío contenido en el campo de convergencia puntual de la sucesión ( ).
Y sea  la función límite puntual de ( ). Se dice que ( ) converge uniformemente a  en  si
para todo 2  0 existe 0 2 N (que dependerá de 2) tal que para todo   0 se veri…ca que
sup f j () ¡  ()j :  2 g
1
P
Teorema 4.4.5. (Criterio de Weierstrass). Sea
 una serie de funciones y - un con=1
junto tal que para todo  2 - y todo  2 N se tiene que j ()j ·  , donde la serie
entonces  converge uniformemente y absolutamente en -.
4.4.3.
1
P
 ,
=1
Series de Potencias
Las series de potencias son la extensión natural de los polinomios.
De…nición 4.4.6. De…nición 32 Una serie de potencias es una serie del tipo
1
X
=0
  = 0 + 1  + 2 2 + 3 3 + ¢ ¢ ¢ +   + ¢ ¢ ¢
Más generalmente, una serie de la forma
1
X
=0
 ( ¡ ) = 0 + 1 ( ¡ ) + 2 ( ¡ )2 + 3 ( ¡ )3 + ¢ ¢ ¢ +  ( ¡ ) + ¢ ¢ ¢
donde 0 , 1 ,..., , . . . son números …jos llamados coe…cientes, la constante  se le llama centro
y  un número variable.
Las sumas parciales de una serie de potencias son polinomios en  o en  ¡ . La convergencia
de una serie de potencias depende del valor de x y su suma es una función ().
201
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.4.7. La serie geométrica de razón  convergente sí y solo sí  2 ]¡1 1[
1
X
=0
 = 1 +  + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ +  + ¢ ¢ ¢ =
1
¡1
(Lema de Abel). Sea   0 y supongamos que la sucesión (j j  ) está
1
P
mayorada. Entonces se veri…ca que la serie de potencias
 ( ¡ ) converge absolutamente
Lema 4.4.8.
=0
en el intervalo ] ¡   + [ y converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado
contenido en ] ¡   + [ 
Radio de convergencia de una serie de potencias
Consideremos el conjunto
- = {  0 : la sucesión (j j  ) está acotada}:
Observa que - 6=  ya que el 0 2 -. Además, - es un intervalo porque si  2 - entonces
[0 ] ½ -.
Cálculo del radio de convergencia
Podemos aplicar los criterios del cociente y de la raíz para estudiar la convergencia absoluta de
una serie de potencias. Ello permite de
Radio de Convergencia
Supongamos que la serie
1
P
  converge para  = . Entonces la sucesión   tiende hacia
=0
cero por lo que resulta estar acotada, es decir, existe   0 tal que j  j   para todo . En
consecuencia,
1
X
=0

j  j =
1
X
=0

j j jj ·
1
X
=0

j j jj
La última serie es una serie geométrica de razón  =
µ
jj
jj
¶
·
¶
1 µ
X
jj 
=0
jj

jj
jj .Si
   la razón es menor que uno y la
1
P
serie converge. Por comparación concluimos que la serie de potencias
  converge absolu=1
tamente en el intervalo ]¡ jj  jj[. En consecuencia podemos enunciar la siguiente propiedad:
Teorema 4.4.9. Si la serie de potencias
1
X
 
=0
converge para un valor x = b la serie converge absolutamente en el intervalo jj  jj.
202
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
De acuerdo con esta propiedad el conjunto de valores de  para los que una serie de potencias
converge no puede tener lagunas pudiendo presentarse tres posibilidades:
1. Existe un    tal que la serie converge absolutamente para    y diverge si   .
Pudiendo converger en los extremos  = ,  = ¡.
2. La serie converge para todo .
3. La serie solo converge en  = 0.
En el primer caso diremos que la serie posee un radio de convergencia   0, independientemente
de lo que ocurra en los extremos. En el segundo caso diremos que posee un radio de convergencia
 = 1 y en el tercero un radio de convergencia  = 0. El intervalo ]¡ [ se llama radio de
convergencia y en él la serie converge absolutamente. En el caso de una serie de potencias
con centro en a, análogas consideraciones conducen a un intervalo de convergencia de la forma
] ¡   + [.
Cálculo del radio de convergencia
Utilizando el criterio de la raíz se obtiene la siguiente expresión analítica del radio de convergencia:
Corolario 4.4.10. Sea
1
X
 
=0
una serie de potencias y
 = l¶³m
!1
p

j j
Entonces, si     1, el radio de convergencia de la serie es  = 1. Si  = 0, el radio de
convergencia es  = 1 y si  = 1  = 0
Analogamente, utilizando el criterio del cociente se obtiene:
Corolario 4.4.11. Sea
1
X
 
=0
una serie de potencias y
j+1 j

!1 j j
 = l¶³m
Entonces, si     1, el radio de convergencia de la serie es  = 1. Si  = 0, el radio de
convergencia es  = 1 y si  = 1  = 0
203
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejemplo 4.4.12. Determinar el radio de convergencia de la serie
1
X
1 


=1
Solución.
Utilizando la fórmula del cociente se tiene
1
+1
!1 1

 = l¶³m
= l¶³m
!1

=1
+1
por lo que el radio de convergencia es  = 1 = 1.Por consiguiente la serie converge en el
intervalo ]¡1 1[ y posiblemente en sus extremos. En  = 1 se tiene la serie armónica
1
X
1

=1
que es divergente. En cambio, en  = ¡1 resulta la serie armónica alternada
1
X
(¡1)
=1
1

que sí es convergente. En consecuencia la serie de potencias converge en el intervalo [¡1 1[.
Ejemplo 4.4.13. Determinar el radio de convergencia de la serie
1
X
! 


=1
Solución
USando la fórmula del cociente se tiene

(+1)!
(+1)(+1)
=l¶³m!1
!

=l¶³m!1
( + 1)!


1
¢ =
=l¶
³m
³m!1 ¡
!1

 =l¶
! ( + 1) ( + 1)
( + 1)
1 + 1
1


Por tanto, = 1 = .En consecuencia podemos a…rmar que la serie converge en el intervalo
]¡ [. Además es posible que converja en los extremos del intervalo. Para  = ¡ se tiene la
serie alternada
1
X
(¡1)
=1
! 


y para  =  la serie de términos positivos
1
X
! 


=1
204
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
p
Utilizando la fórmula de la aproximación de Stirling ! »
=  ¡ válida para valores grandes
de  resulta
p
p
 ¡ 
l¶³m!1 n!  = l¶³m!1
 =l¶³m!1  = +1


lo que nos indica que el término general de las series anteriores no tiende a cero por lo que
ninguna de ellas es convergente. En consecuencia, la serie de potencias no converge en ninguno
de los extremos de su intervalo de convergencia.
Ejemplo 4.4.14. Hallar los valores reales de  para los cuales la serie:
1
X
(¡1) (2 + 1)
=1
( + 1) 3
1. es convergente.
Solución
(¡1) (2 + 1)
Sea =
( + 1) 3
Usando el criterio del cociente:
j+1 j
 = l¶³m
= l¶³m j2+1j(+1)
= j2 + 1j
(+2)
!1 j j
¡!1
L a serie converge absolutamente si j2 + 1j  1 =) ¡2    1
Si  = 1 ()  = ¡2 o  = 1
1
1
X
(¡1) (¡3) X
1
Para  = ¡2 :
=
es divergente.

( + 1) 3
( + 1)
=1
Para  = 1 :
1
X
=1
1
X
(¡1) (3)
1
=
(¡1)
por Leibniz es convergente.

( + 1) 3
( + 1)
=1
=1
Por lo tanto la serie es convergente si ¡2   · 1
Operaciones con Series de Potencias
Como si se tratara de polinomios las series de potencias se pueden sumar, restar, multiplicar,
dividir, e incluso derivar e integrar para obtener nuevas series de potencias.
Teorema 4.4.15. (Algebra de Series de Potencias) Sean  () =
el intervalo jj  . Entonces, para jj   se cumple:
1
P
1.() + () =
( +  )  .
2.() ¡ () =
3.()() =
=0
1
P
=0
1
P
=0
( ¡  )  
  . con  =
1
P
=0
 ¡ ¡ 
205
1
P
=0
  y () =
1
P
=0
  en
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
4.Si () 6= 0 en jj  ,
 ()
()
iterada las ecuaciones:
1
P
=
  donde los coe…cientes resultan de resolver de forma
=0
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
0 0 = 0
0 1 + 1 0 = 1
..
.
>
>
>
>
0  + 1 1 + ¢ ¢ ¢ +  0 = 
>
>
>
>
: ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
Observamos que las fórmulas para multiplicar series de potencias muestran que éstas se multiplican como polinomios, término a término empezando con las constantes y continuando con las
demás potencias en orden creciente. La división se efectúa como en el caso de dos polinomios
pero ordenando estos en sentido creciente de sus potencias.
Teorema 4.4.16. (Diferenciación e Integracion) Sea  () =
1
P
=0
Entonces, para jj   se cumple:
  en el intervalo jj  .
1.f es diferenciable, la serie que se obtiene derivando término a término converge y se cumple
 0() = 1 + 22  + 33 2 + ¢ ¢ ¢ +  ¡1 + ¢ ¢ ¢
2.f es integrable, la serie que se obtiene integrando término a término converge y se cumple
Z
()  = 0  +
0
1 2 2 3
 +1
 +  + ¢¢¢ +

+ ¢¢¢
2
3
+1
Series de Taylor
Una serie de potencias
1
P
=0
 ( ¡ ) de…ne una función
 () =
1
X
=0
 ( ¡ )
cuyo dominio es el intervalo j ¡ j   de convergencia de la serie.
Teorema 4.4.17. Sea f(x) una función de…nida por una serie de potencias
=0
un intervalo de la forma ] ¡   + [. Entonces,
() =
1
X
 () ()
=0
206
!
1
P
( ¡ )
 ( ¡ ) en
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Demostración.
Sea
 () =
1
X
 () ()
=0
!
( ¡ ) 
Haciendo  =  en la igualdad anterior resulta
() = 0 
Si derivamos y hacemos  =  resulta
 0() = 1 
En general, derivando  veces y haciendo  =  resulta
 () () = ! 
Esto muestra que los coe…cientes de una serie de potencias pueden ser expresados en función de
las derivadas -ésimas de la función suma () de la serie.
De…nición 4.4.18. Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en un intervalo centrado en a. Se llama serie de Taylor de f en a a la serie
1
X
 () ()
=0
!
( ¡ ) = () +  0() ( ¡ ) +
 (2) ()
 () ()
( ¡ )2 + ¢ ¢ ¢ +
( ¡ ) + ¢ ¢ ¢ 
2!
!
Si  = 0 la serie se conoce como serie de MacLaurin de 
1
X
 () (0)
=0
!
 = (0) +  0(0) +
 (2) (0) 2
 () (0) 
 + ¢¢¢ +
 + ¢¢¢ 
2!
!
Ahora nos plantearemos el problema recíproco. Dada una función  que posea derivadas de todos
los órdenes en un intervalo centrado en , ¿podemos a…rmar que la serie de Taylor asociada
converge en algiin  6= ? Y si es así, ¿convergerá a la propia función ? La primera pregunta se
puede responder estudiando el radio de convergencia. Para responder a la segunda estudiaremos
la diferencia entre () y las sumas parciales de la serie de Taylor.
De…nición 4.4.19. Sea f una función con derivadas hasta el orden  en un intervalo centrado
en . Se llama polinomio de Taylor de orden  de f en  al polinomio
 ( ¡ ) =  () +  0() ( ¡ ) +
 (2) ()
 () ()
( ¡ )2 + ¢ ¢ ¢ +
( ¡ ) + ¢ ¢ ¢ 
2!
!
La diferencia  ( ) =  () ¡  ( )
se llama Resto de Taylor de orden n de f en a.
207
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Los polinomios de Taylor asociados a una función son por tanto las sumas parciales de la serie
de Taylor correspondiente. El polinomio de Taylor de orden uno es la linealización de  en ,
es decir, la tangente a la grá…ca de  en ( ()). Es una buena aproximación local de  en .
Además su valor y el de su derivada en a coinciden con f(a) y f»(a) respectivamente. En general
el valor de polinomio de Taylor de orden n en a y el de sus n derivadas consecutivas coinciden con
()  0()   () () respectivamente. El Resto de Taylor es el error que se comete al aproximar
la función  por el polinomio de Taylor. El siguiente teorema proporciona una expresión de dicho
error.
Teorema 4.4.20. (Fórmula de Lagrange del Resto) Sea f una función con derivadas continuas
hasta el orden  + 1 en un intervalo centrado en a. Entonces para cada x en dicho intervalo
existe une entre  y  tal que
 ( ) =
 (+1) ()
( ¡ )+1
 + 1!
La serie de Taylor de una función () converge a dicha función sí y solo sí el resto de Taylor
converge hacia cero. La región de convergencia de una serie de Taylor viene determinada por el
radio de convergencia de dicha serie, no obstante la serie convergerá a la propia función que la
origina para aquellos valores de x tales que el resto de Taylor tienda hacia cero. Al analizar el
resto de Taylor mediante la fórmula de Lagrange se presenta la di…cultad de que el punto e no
es conocido. No obstante solo necesitamos estimar el valor del resto y no su valor exacto. Para
ello basta con encontrar una cota de la derivada  + 1-ésima. En particular si existen constantes
 y  tales que
para todo  entre  y , se tiene
¯
¯
¯ (+1) ¯
()¯ · +1
¯
j ( )j · +1
 (+1) ()
j ¡ j+1
 + 1!
Si estas condiciones se satisfacen para todo n, entonces la serie de Taylor converge a  ().
Ejemplo 4.4.21. Desarrollo en serie de Taylor de algunas funciones básicas
1. Para todo  2 ]¡1 +1[
a)
 = 1 +  +
1
X 
2 3

+
+ ¢¢¢ +
+¢¢¢ =

2!
3!
!
!
=0
b)
208
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
sen  =  ¡
c)
1
X
3 5 7
2+1
2+1
+
¡
+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)
+ ¢¢¢ =
(¡1)
3!
5!
7!
(2 + 1)!
(2 + 1)!
=0
cos  = 1 ¡
2. Para todo  2 ]¡1 1[
1
X
2 4 6
2
2
+
¡
+ ¢¢¢ +
+ ¢¢¢ =
(¡1)
2!
4!
6!
2!
(2)!
=0
a)
ln (1 + ) =  ¡
1
X
2 3 4 5 6
+1
+1
+
¡
+
¡
+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)
+ ¢¢¢ =
(¡1)
2!
3!
4!
5!
6!
( + 1)!
( + 1)!
=0
b)
1
X
3 5 7
2+1
2+1
arctan  =  ¡
+
¡
+ ¢¢¢ +
+ ¢¢¢ =
(¡1)
3!
5!
7!
(2 + 1)!
(2 + 1)!
=0
Obtención de los desarrollos:
1.
a) Sea () =  .Entonces,
00
 () =  0 () =  () = ¢ ¢ ¢ =  () () = 
por lo que
00
 (0) =  0 (0) =  (0) = ¢ ¢ ¢ =  () (0) = 1
El desarrollo de McLaurin correspondiente es
1
X
 () (0)
=0
!
1
X 
2 3

 = 1++
+
+ ¢¢¢ +
+ ¢¢¢ =

2!
3!
!
!

=0
Dicha serie converge para todo  2 ]¡1 1[ ya que
j+1 j
 = l¶³m
=  = l¶³m
!1 j j
!1
 () =
1
(+1)!
1
!
!
1
=
= 0
!1 ( + 1)!
( + 1)
= l¶³m
 (+1) () +1


=
+1
 + 1!
 + 1!
tiende hacia cero. Puesto que  está comprendido entre 0 y ,
para   0 se tiene
   = jj
209
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
y para   0
  0  jj 
Por consiguiente, para todo 
j ()j ·
jj

jj+1 =
jj+1
 + 1!
 + 1!
Puesto que
jj+1
=0
!1 ( + 1)!
l¶³m
concluimos que l¶³m!1  () = 0
) Sea  () = sen . Entonces,
0
() = sen;  0 () = ;  0 () = sen ;  000 () = _;  (4) () = sen ;
por lo que
(0) = 0;  0(0) = 1;  00 (0) = 0;  000 (0) = _1;  (4) () = 0; ¢ ¢ ¢
obteniéndose el desarrollo de McLaurin
1
X
 () (0)
=0
!
 =  ¡
1
X
3 5 7
2+1
2+1
+
¡
+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)
+ ¢¢¢ =
(¡1)

3!
5!
7!
(2 + 1)!
(2 + 1)!
=0
De la misma forma que en el caso anterior se comprueba fácilmente que la serie anterior converge
¯
¯
para todo .Por otra parte, para todo  y  se tiene ¯ (+1) ()¯ · 1
por lo que el resto de Taylor de orden  veri…ca
¯ (+1) ¯
¯
()¯ +1 jj+1
j ()j ·
jj
·
 + 1!
 + 1!
Puesto que
jj+1
=0
!1 ( + 1)!
l¶³m
concluimos que l¶³m!1  () = 0
) El desarrollo del coseno se obtiene directamente por diferenciación del desarrollo del seno.
2. Se veri…ca que
ln (1 + ) =
Z

1+
0
Ahora bien, substituyendo = ¡ en la serie geométrica de razón  se obtiene el desarrollo
210
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
1
X
1
+1
 
2
3
4
5
= 1 ¡  +  ¡  +  ¡  + ¢ ¢ ¢ + (¡1)  + ¢ ¢ ¢ =
(¡1)
 ¡1    1
1+
( + 1)!
=0
integrando miembro a miembro resulta
ln (1 + ) = ¡
1
X
2 3 4 5 6
+1
+1
+ ¡ + ¡ +¢ ¢ ¢+(¡1)
+¢ ¢ ¢ =
(¡1)
 ¡1    1
2! 3! 4! 5! 6!
( + 1)!
( + 1)!
=0
Es claro que la serie resultante al hacer x = 1 es convergente ya que se trata de la serie armónica
alternada. Más di…cil es demostrar que converge a ln 2, ésto es consecuencia del Teorema de
Abel .
b) Se veri…ca que
arctan  =
Z

1 + 2
0
Por lo que substituyendo  = ¡2 en la serie geométrica de razón  se obtiene el desarrollo
1
X
1
 2
2
4
6
8
= 1 ¡  +  ¡  +  + ¢ ¢ ¢ + (¡1)  + ¢ ¢ ¢ =
(¡1)  2  ¡1    1
2
1+
=0
/ntegrando miembro a miembro resulta
Las series resultantes para  = 1 y  = ¡1 son convergentes por satisfacer el criterio de las
series alternadas. Además como en el caso anterior el Teorema de Abel permite asegurar que
convergen a arctan1 y arctan ¡1) respectivamente.
Ejemplo 4.4.22. Hallar un desarrollo en serie de potencias de x, para la función  () =
Solución
 () =
(¡3)
(2 +3+9)(¡3)
 () =
1
X
=1
=
(¡3)
(2 +3+9)(¡3)
33 ¡3+2
 jj
33+3
=
(¡3)
3 ¡33
3
Ejemplo 4.4.23. Hallar la suma:
1 µ 
X
ln 3
=1
!
+
2
2
¶
Solución
1
1 ³
X
X
(¡ ln 3)
 ´
1
+ 2
¡
= ¡ ln 3 + 2
!
2
1+
=1
=1
1
 (3 ¡ )
 (3 ¡ ) X 3
³
´=
33
3
33
33 1 ¡ 33
=1
=
(¡1) 

2
211
= 3¡ +
22
 jj  2
2+

2 +3+9
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
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POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
4.5.
Solución de Ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias
Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2o orden: las de
coe…cientes constantes y algunas de coe…cientes variables, como las de Euler o aquellas de las
que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.
Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales con coe…cientes variables,
algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física, como las ecuaciones
de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que son de coe…cientes polinómicos.
Además, las ecuaciones hasta ahora vistas, generalmente tienen soluciones expresables en términos de un no …nito de funciones elementales (polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., o
inversas de éstas). Otras veces, aún sabiendo resolver la ecuación, había que expresar la solución
por medio de una integral. Pero en general, las soluciones no pueden expresarse tan fácilmente.
Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones lineales de
2o orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.
Si  es un punto ordinario de EDO entonces la solución general de ella en un cierto entorno de
 puede escribirse en la forma
=
1
X
=0
 ( ¡ ) = 1 () + 2 ()
siendo , constantes arbitrarias e 1 () 2 () analíticas en un entorno I de , y linealmente
independientes en I.
El radio de convergencia de las series 1 () 2 () es al menos tan grande como el mínimo de los
radios de convergencia de los desarrollos en serie.
Los coe…cientes an de la serie se obtienen en términos de  y  , sustituyendo la serie genérica
1
P
en  =
 ( ¡ ) y procediendo por coe…cientes indeterminados.
=0
Ejemplo 4.5.1. Hallar la solución general de la ecuación diferencial
 00 ¡  0 ¡  = 0
determinando dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de  . Campo de
validez de las mismas. En particular obtener la solución tal que
(0) = 1 0(0) = 0
Solución
Existe solución de la ecuación en serie de potencias de , válida para todo  2 R .
212
CAPÍTULO 4. SERIES DE POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo AplicadoORDINARIAS
Norberto Chau
Sea  =
1
P
  . Por tanto :
=0
0
 =
1
X
¡1
  
00
 =
=1
1
X
 ( ¡ 1)  ¡2
=2
En la ecuación diferencial :
1
X
=2
¡2
 ( ¡ 1)  
¡
Término independiente :
1
X
=1
1
X

   ¡
2 ¢ 1 ¢ 2 ¡ 0 = 0
)
  = 0 en R
=0
2 =
0
2
Coe…ciente de  :
3 ¢ 2 ¢ 3 ¡ 1 ¡ 1 = 0
)
3 =
1
3
Coe…ciente de  :
( + 2) ( + 1) +2 ¡ ( + 1)  = 0
Ley de recurrencia :
 =
Luego 0 y 1 son libres y
¡2

)
+2 =

+2
¸2
8
<  = 0
2
(2)!!
: 2+1 = 1
(2+1)!!
Por tanto :
h
() = 0 1 +
2
2!!
+
4
4!!
+  +
Solución particular:
Luego
i
h
+  + 1  +
3
3!!
+
5
5!!
+  +
2+1
(2+1)!!
8 2R
() = 0 1 () + 1 2 ()
(
2
(2)!!
i
+ 
(0) = 1
0 (0) = 0
2
(2)!!
() =
X
0

2
2 !
)
() =
X
0
=

2
2
!
X
)
() = 
2
2
0
Ejemplo 4.5.2. Hallar, por el método de series de potencias en torno a 0 = 0, la solución general
de la ecuación diferencial:
(1 + 2 ) 00 + 2 0 ¡ 2 = 0
213
Cálculo
CAPÍTULO
Aplicado
4. Norberto
SERIES DE
Chau
POTENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Solución
Existe solución analítica en 0 = 0, válida al menos para j  j  1.
1
P
Sustituyendo  =
  en la ecuación diferencial:
=0
1
X
=2
 ( ¡ 1)  ¡2 +
Término independiente :
1
X
=2
 ( ¡ 1)   + 2
22 ¡ 20 = 0
)
1
X
=1
   ¡ 2
1
X
  = 0
=0
2 = 0
Coe…ciente de  :
63 + 21 ¡ 21 = 0
)
3 = 0
Coe…ciente de  :
( + 2) ( + 1) +2 +  ( ¡ 1)  + 2 ¢  ¡ 2 = 0
Luego 0 y 1 libres,
2 = 0  3 = 0
+2 = ¡
Como
2 = ¡
Por tanto :
h
 = 0 1 +
( ¡ 1) + 2 ¡ 2
( ¡ 1)( + 2)
¡3
 = ¡
 )  = ¡
¡2   ¸ 2
( + 1)( + 2)
( + 1)( + 2)
¡1
2 ¡ 3
2¡2
2 ¡ 1
3 = 0 ) 5 = 7 = ¢ ¢ ¢ = 2+1 = ¢ ¢ ¢ = 0
µ ¶
2 ¡ 3 2 ¡ 5
3 1
1
(¡1)+1
= ¢ ¢ ¢ = (¡1)
¢
¢  ¢ ¢ ¢ ¡
0 =
0
2 ¡ 1 2 ¡ 3
5 3
1
2 ¡ 1
2
1
+  +
¡
4
3
+
6
5
(¡1)+1 2
2¡1 
i
+  + 1  jj  1
214
Capítulo 5
Serie de Fourier y Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier.En muchos problemas físicos importantes se tienen dos o más variables independientes, por lo que los modelos matemáticos
correspondientes incluyen ecuaciones diferenciales parciales, en vez de ordinarias. En este capítulo se trata un método importante para resolver ecuaciones diferenciales parciales, conocido
como de separación de variables. Su característica esencial es la sustitución de la ecuación diferencial parcial por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. La solución requerida de
la ecuación diferencial parcial se expresa entonces como una suma, casi siempre una serie in…nita, formada a partir de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En muchos
casos, al …nal es necesario trabajar con una serie de senos o cosenos o los dos, de modo que
parte del capítulo se dedica a un análisis de esas series, llamadas series de Fourier. El uso de la
separación de variables se ilustra con diversos problemas que surgen de la conducción del calor,
la propagación de ondas y la teoría del potencial.
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (17681830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas
de la forma
=
X
 sin  +
X
 ()
que son armónicos de  ; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente,
aplicándolas a la
solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811.Cuando
estas fórmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1753, muchos matemáticos pensaron
que era imposible expresar una función  () cualquiera como suma de senos y cosenos. Fue un
ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargo de recopilar datos para convencer al mundo cientí…co
215
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
de tal posibilidad. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas
tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido de…nidas desde entonces.
5.1.
Funciones periódicas y series trigonométricas
5.1.1.
Funciones Pares e Impares
De…nición 5.1.1. f(x) es par sii (¡) = () para todo  y si  (¡) = ¡() para todo
 entonces f(x) es impar
Ejemplo 5.1.2.  () = 2  () = jj  () = cos  () = jj cos  () = 2 jj sin2 son
funciones pares y () = 3   () =  jj   () = sin  () = sin3  cos  son funciones
impares
5.1.2.
Propiedades de las funciones pares e impares
1. El producto de funciones pares es par.En efecto:
()(¡) = (¡)(¡) = ()() = ()()
2. El producto de funciones impares es par
3. El producto de una función par por una impar es impar
R
4. Si f(x) es impar e integrable en [¡ ] entonces
() = 0
¡
5. Si f(x) es par e integrable en [¡ ] entonces
R
¡
En efecto,
Z
¡
Z0
¡
5.2.
 () =
Z0
¡
 () = ¡
() +
Z
 () = 2
0
Z0
 (¡) =

R
() = 2  ()
0
Z
() ya que
0
Z
() =
0
Z
0
 () ( = ¡  = ¡)
Funciones períodicas
De…nición 5.2.1. Se dice que  es periódica de período  , si ( +  ) = () para todo  en
el dominio de la función y al menor   0, tal que ( +  ) =  () se llama el período de la
función  .
216
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
5.2.1.
Algunas Propiedades
1. Si  () es periódica de período  , entonces  es un período de  N
2. Si  () es periódica de período  , entonces () con  6= 0, es periódica de período
En efecto: (( +

 ))


= ( +  ) = ()
Ejemplo 5.2.2. () = sin  = sin( + 2) = sin( + 4) = sin( + 2) y  () = 
= cos( + 2) = cos( + 4) = cos( + 2) tienen período  = 2, el menor   0
Ejemplo 5.2.3.  () = cos 3 tiene periódo
2

2
  () = sin tiene periódo 1 = 4
3
2
2
Nota: Si () = sin(1 ) + (2 ) tiene período T, es decir,
() = sin(1 ) + (2 ) = sin(1 ( +  )) + (2 ( +  )) =
= sin(1  + 1  ) + (2  + 2  )
1 
1
2

entonces 1  = 2 2  = 2 por tanto
=
=
=  en otras palabras, si
2 
2
2

1
 () = sin(1 ) + (2 ) tiene período T entonces
es un número racional, es decir,
2
1
2

=
=
2
2

Si
1
no es un número racional, entonces () = sin(1 ) + (2 ) no es períodica
2
Ejemplo 5.2.4. La función
µ ¶
µ ¶


() = 
+ cos
3
4
tiene período  = 24 ya que
µ ¶
µ ¶
µ
¶
µ
¶


 
 
() = 
+ cos
= 
+
+ cos
+
=
3
4
3
3
4
4
µ
¶
µ
¶


= 
+ 2 + cos
+ 2
3
4


= 2 y
= 2 luego  = 6 = 8 y para el menor valor que se da la igualdad
3
4
es para  = 4 y  = 3 luego  = 24
y así
Ejemplo 5.2.5. La función


() =  +  + cos
2
3
tiene período 12  ya que
µ
¶
µ
¶


 
 
 () =  +  + cos = ( +  ) + 
+
+ cos
+
2
3
2
2
3
3
217
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
por tanto
 = 2


= 2
= 2, luego  = 2 = 4 = 6
2
3
y para el menor valor que se da la igualdad es para n=6 y m=3 y l=2 luego  = 12
Ejemplo 5.2.6. la función

() =  + ( )
2
no es periódica ya que

1
2
= 2 no es un número racional
Observación 5.2.7. Si  es periódica de período  entonces
Z
 () =
0
5.3.
Z+
 ()  cualquier número real

Funciones ortogonales
De…nición 5.3.1. Dos funciones    con valores reales se dicen ortogonales en un intervalo
 ·  ·  si
Z
()() = 0

Ejemplo 5.3.2. () =  y () = 2 , son ortogonales en ¡1 ·  · 1 ya que
Z1
2
  =
¡1
Z1
3  = 0
¡1
Observación 5.3.3. Un conjunto de funciones reales f0 () 1 () 2 () g se dice ortogonal
en un intervalo  ·  ·  si
Z
 () () = 0

para
 6= 
Ejemplo 5.3.4. El conjunto de funciones reales
n


1 sin
 cos



es un sistema ortogonal en ¡ ·  · 
En efecto hay que mostrar que :
218
o
 = 1 2 3 
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
1.
Z
sin

 = 0

¡
(ya que el integrando es una función impar)
2.
Z


cos
 =


¡
3.
Z
sin
Z
cos  =
¡
2
[sin ]0 = 0



cos
 = 0


¡
(ya que el integrando es una función impar)
4.
Z
cos


cos
 = 0


para
¡
En efecto, si  =
 6= 

entonces

Z



cos
cos
 =



¡

=
2
Z
¡
Z
cos   cos    =
¡
cos( +  ) + cos( ¡ ) 
·
¸
 sin ( + )  sin ( ¡ )  
=
+
= 0  6= 
2
+
¡
¡
5.
Z
¡
sin


sin
 = 0 para  6= 


(Ejercicio)
De…nición 5.3.5. Una función f se dice a trozos o seccionalmente continua en [ ]  si f está
acotada en [ ] y si existe un número …nito de discontinuidades, estas deben ser de salto
Ejemplo 5.3.6.  () = 2 es seccionalmente continua en cualquier intervalo [ ]
219
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Ejemplo 5.3.7. () = [] parte entera de x, es seccionalmente continua en cualquier intervalo
[ ]
Ejemplo 5.3.8. () =
tinuidad no es de salto
1
es seccionalmente continua en [5 8], pero no en [¡5 8], la discon
Ejemplo 5.3.9. La función
() =
(
1 
x es irracional
0 
xes racional
no es seccionalmente continua en ningún intervalo cerrado, el número de discontinuidades no
es …nito
5.3.1.
Serie trigonométrica
De…nición 5.3.10. La serie de funciones de la siguiente forma:
1
0 X
+
 cos() +  sen () ¢ ¢ ¢ (1)
2
=1
se llama Serie trigonométrica.
A los coe…cientes 0 ; 1 ; ¢ ¢ ¢ ;  ; 0 ; 1 ; ¢ ¢ ¢  se les llama coe…cientes de Serie trigonométrica
. Si la serie (1) converge, su suma es una función periódica  de período 2, puesto que
cos() sen () son funciones periódicas de período 2
Problema:
Dada una función períodica  de período 2 ¿bajo que condiciones se puede hallar para () la
Serie trigonométrica que converge hacia la función dada?
Determinación de los coe…cientes de la serie mediantes las fórmulas de
Fourier .
Supongamos que una función periódica  : ]¡ [ ¡! R de período 2 es tal que se puede
representar como serie trigonométrica que converge hacia la función dada en el intervalo ]¡ [,
es decir, es suma de esta serie:
 () =
1
0 X
+
 cos() +  sen () ¢ ¢ ¢ (2)
2
=1
Supongamos que la,integral de la función de primer mienbro de esta igualdad, es igual a a suma
de las integrales de los términos de la serie (2).Esto tendrá lugar, por ejemplo, si su´ponemos
220
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
que la serie numérica formada de los coe…cientes de la serie trigonométrica dda converge absolutamente, es decir, convege la serie numérica positiva siguiente:
¯ ¯
¯ 0¯
¯ ¯ + j1 j + j1 j + j2 j + j2 j + ¢ ¢ ¢ + j j + j j ¢ ¢ ¢ (3)
2
Entonces, la serie (1) es mayorante, y por consiguiente, podemos integrarla término a término
en el intervalo ]¡ [.Ahora usamos este hecho par calcular el coe…ciente 0 
Integrando ambos miembros de la igualdad (2) desde ¡ a 
Z
 ()  =
¡
Z
¡
1
X
0
0
@
 +
2
=1
Z
 cos() +
¡
Z
¡
1
 sen ()A 
Calculamos por separdo cada integral del segundo miembro:
Z
¡
R
¡
R
 cos() = 
¡
R
 sen ()  = 
¡
Por cosiguiente,
R
¡
0
 = 0 ;
2
cos   =  [sin ]¡ = 0;
sen ()  = ¡ [cos ]¡ = 0;
Z
 ()  = 0
¡
de donde
1
0 =

Z
¡
 ()  ¢ ¢ ¢ (4)
Para calcular los demás coe…cientes de la serie necesitamos ciertas integrales de…nidas las que
analizaremos preliminarmente.
mediantes las fórmulas: si  y  son números enteros, se veri…can las siguientes identidades:
cos () cos () =
cos () sen () =
sen () sen () =
1
[cos ( + )  + cos ( ¡ ) ]
2
1
[sen ( + )  ¡ sen ( ¡ ) ] 
2
1
[¡ cos ( + )  + cos ( ¡ ) ]
2
Si  6= , tenemos:
221
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Z
¡
1
cos () cos ()  =
2
Z
1
cos ( + )  +
2
¡
Z
¡
cos ( ¡ )  = 0
Similarmente, se obtienen las demás fórmulas:
Z
cos () sen ()  = 0
¡
Z
sen () sen ()  = 0
¡
Para  = , entonces
Z
2
cos () = 0
¡
Z
sen () sen ()  = 0
¡
Z
sen2 ()  = 0
¡
Ahora podemos calcular los coe…cientes  y  de la serie (2).Para hallar el coe…ciente  cuando
 6= 0 tiene valor determinado, multipliquemos ambos miembros de la igualdad (2) por cos () :
1
P
 () cos () = 20 cos () +
 cos() cos () +  sen () cos () ¢ ¢ ¢ (2¢)
=1
La serie del segundo miembro de la igualdad es mayorante, puesto que sus términos no superan
en valor absoluto a los términos de la serie convergente positiva (3).por eso, podemos integrarla
término a término en cualquier intervalo.
Integremos la igualdad (2¢) dentro de los límites de ¡ a , hallamos
Z
 () cos ()  =
¡
0
2
Z
cos +
1
X
=1
¡
0
@
Z
cos() cos ()  + 
¡
Z
¡
sen () cos () A
Teniendo en cuenta las fórmulas anteriores, se observan que las integrales del segundo miembro
se anulan, a excepción de la integral con coe…ciente  
Por tanto,
Z
 () cos ()  = 
¡
Z
cos2  =  
¡
de donde
1
 =

Z
¡
 () cos ()  ¢ ¢ ¢ (5)
Multipliquemos ambos miembros de la igualdad (2) por sen () e integremos la igualdad (2)
dentro de los límites de ¡ a , hallamos
222
1
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
Z
 () sen ()  = 
¡
Z
sen2 ()  =  
¡
1
 =

Z
 () sen ()  ¢ ¢ ¢ (6)
¡
Los coe…cientes de terminados por las fórmulas (4)  (5) y (6) se llaman coe…cientes de Fourier.
5.3.2.
Serie de Fourier de funciones de período 2¼
De…nición 5.3.11. (Serie de Fourier y coe…cientes de Fourier)Sea  : ]¡ [ ¡! R una
función continua por trozos de período
2.Entonces la serie de Fourier de la función f es la serie,
1
0 X
 () »
+
 cos() +  sen()
2
=1
donde los coe…cientes de Fourier  y  se le se de…nen por medio de las fórmulas
1
 =

y
1
 =

para  = 0 1 2 3 ¢ ¢ ¢
5.4.
Z
 () cos () 
Z
 () sen () 
¡
¡
Serie de Fourier general y convergencia
Serie de Fourier para función de período 2L.
Sea  una función periódica de período 2.Desarrollando la serie de Fourier.
Sustituyamos la variables :
=
Entonces la función 



¡ ¢
  es una función periódica de período , de período 2. podemos
desarrollar la serie de Fourier en el intervalo ]¡ [ 

µ
¶
1

0 X
 =
+
 cos() +  sen()

2
=1
223
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
donde
1
0 =

Z

¡
µ
¶
Z µ ¶

1

   =

 cos () 



¡
 =
1

1
 =

Z
 () cos () 
Z
 () sen () 
¡
¡
Haciendo regresamos a la variable anterior  :
=

 
=

 
 =

 
Entonces tenemos:
1
0 =

Z
 () 
1
 =

¡
y
 () cos
¡
Z
1
 =

 () sen
¡
La fórmula toma la forma:
 () »
Z
³  ´
 

³  ´
 

1
³  ´
0 X

+
 cos( ) +  sen
 
2


=1
De…nición 5.4.1. (Serie de Fourier y coe…cientes de Fourier)Sea  : ]¡ [ ¡! R una
función continua por trozos de período
2.Entonces la serie de Fourier de la función f es la serie,
 () »
1
³  ´
0 X

+
 cos( ) +  sen

2


=1
donde los coe…cientes de Fourier  y  se le se de…nen por medio de las fórmulas
1
 =

Z
 () cos
³  ´
 

Z
 () sen
³  ´
 

¡
y
1
 =

para  = 0 1 2 3 ¢ ¢ ¢
¡
224
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
Convergencia de las series de Fourier
Teorema 5.4.2. De Dirichlet (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)
Si  y  0 son continuas a trozos en  2 ]¡ [, entonces La serie de Fourier de la función f,
1
0 X
 () =
+
 cos() +  sen() ¢ ¢ ¢ (1)
2
=1
converge puntualmente en R
Además,
a)La suma de la serie () es igual al valor de la función  ()
() =
1
0 X
+
 cos() +  sen() =  ()
2
=1
en cada punto  donde  es continua.
b)si 0 es un punto de discontinuidad de  entonces la serie de Fourier converge :
() =
1
¡
0 X
(+
0 ) + (0 )
+
 cos() +  sen() =

2
2
=1
donde existen (+
³m¡!0+ () y (¡
³m¡!¡  ()
0 ) = l¶
0 ) = l¶
0
Teorema 5.4.3. Sea  : R ¡! R es una función continua por trozos en el intervalo ]¡ [ y
de período 2.Entonces
Z
 ()  =
¡
+2
Z
 () 

para cualquier  2 R
Del teorema anterior signi…ca que la integral de una función períodica  en un intervalo arbitratrio de longitud igual al período, siempreb tiene el mismo valor. podemos.
Ejemplo 5.4.4. La función de onda cuadrada
8
>
¡1
>
>
>
>
<
1
 () =
>
>
>
>
>
: 0
de…nida por:
 ¡    0

0

 = 0 §
Encuéntrese la serie de Fourier de la función de onda cuadrada
225
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Solución. El período de la función de onda cuadrada es la función de periodo  = 2 = 2
 = .
Se considera la serie de Fourier de funciones continuas por trozos, ya que muchas funciones
utilizadas en aplicaciones son sólo de este tipo y no continuas.
Nótese que la función  es continua por tramos, de tal manera que toda función de este tipo
tiene una serie de Fourier.
Calculando 0 :
0 =
1

Z
1
() =

¡
=
Z
¡
1
1
(¡) + () = 0


2 0
3
Z
Z
14
() =
(¡1)  + (1)5

¡
0
Se separó la primera integral en dos debido a que  está de… nida por diferentes reglas de
correspondencia en los intervalos ]¡ 0[ y ]0 [; tómese en cuenta que los valores de  en los
extremos de estos intervalos no afectan los valores de las integrales.
Con la ecuación se obtiene (para   0)
 =
=
2 0
3
Z
Z
14
 () cos  =
(¡ cos )  + cos 5

¡
¡
0
·
¸
·
¸
1
sin 
1 sin 
¡
+
= 0




0
0
1

Z
1

Z
En forma análoga
 =
() sin  ==
¡
2
14

Z0
(¡ sin )  +
¡
1 h cos  i 1 h cos  i
=
+
¡
= 0




0
0
=
2
2
(1 ¡ cos ) =
[1 ¡ (¡1) ] 


Así  = 0 para toda  ¸ 0, y
 =
8
<
4

: 0
  es impar

226
 es par
Z
0
3
sin 5
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
Se llega a este último resultado dado que cos (¡) = cos () = (¡1) . Con estos valores de
los coe…cientes de Fourier, se obtiene la serie de Fourier está dada por
µ
¶
µ
¶
1
4 X
sen 
4
1
1
() »
=
sen  + sen 3 + sen 5 + ¢ ¢ ¢



3
5
 impar
L a suma:
¶
 µ
4 X sen (2 ¡ 1) 
 () =
 =1
2 ¡ 1
para diferentes valores de  de la serie de Fourier dada. Nótese que, a medida que  se acerca
a la discontinuidad de  por cualquiera de los dos lados, el valor de  () tiende a sobrepasar
el valor límite de (), ya sea 1 o -1 en este caso..Este comportamiento es típico de una serie
de Fourier cerca de un punto de discontinuidad de su función, y se conoce como fenómeno de
Gibbs.
227
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Ejemplo 5.4.5. Hallar la serie de Fourier de la función
 () =
(
 ¡    0
0
 ¡  
 ( + 2) = ()
0·
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2
1

0 =
Z
() =
¡
 =
Z
() =
¡

1
() cos
 =


¡
Z
¡
2
14

Z0
0 +
¡
·
¸
1
2

 ¡
=

2 0
2
=
1

1

Z
entonces
=
Z
0
3
( ¡ )5
2 0
3
Z
Z
14
() cos  =
0 + ( ¡ ) cos 5

¡
·
¸
Z
1
sin  
1
=
( ¡ )
+
sin  =



0
0
·
¸
1 cos 
1 ¡ cos 
1 ¡ (¡1)
= 0¡
=
=
 
2 
2 
0
0
En forma análoga

1
=

Z

1
 () sin
 =


¡
=
2
14

Z0
¡
0 +
Z
0
Z
 () sin  =
¡
3
2 
3
Z
1
( ¡ ) sin 5 = 4 ( ¡ ) sin 5

0
·
¸
1 ¡( ¡ ) cos  sin  
1
=
+
=
2




0
Por lo tanto la serie de Fourier está dada por
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
0
¡
¶
1 µ
 X 1 ¡ (¡1)
1
+
cos  + sin  =
+0

>
4
2 

=
>
=1
>
>
2
2
>
>
>
>
0+0
>
:
2 =0
228
 ¡    0

0

=0

 = §
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
Observe que
+0

 (0+ ) + (0¡ )
= =
=
2
2
2
l¶³m ( ¡ ) + l¶³m (0)
!0¡
!0+
2
0+0
(+ ) + (¡ )
=0=
=
2
2
l¶³m 0 + l¶³m ( ¡ )
! ¡
!+
2
0+0
(¡+ ) + (¡¡ )
=0=
=
2
2
l¶³m 0 + l¶³m (¡ ¡ )
!¡ ¡
!¡ +
2
Ahora si en la igualdad
1
 X
+
4 =1
µ
1 ¡ (¡1)
2 
¶
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
0
¡
1
cos  + sin  =
+0

>

=
>
>
>
2
2
>
>
>
>
0+0
>
:
2 =0
 ¡    0

0

=0

 = §
remplazamos x por  = 0 obtenemos
¶
¶
1 µ
1 µ
 X 1 ¡ (¡1)
1
 X 1 ¡ (¡1)
+0

+
cos 0 + sin 0 = +
=
=
4
2 

4
2 
2
2
=1
=1
luego
¶
1 µ
 X 1 ¡ (¡1)

+
=
2
4
 
2
=1
es decir
¶
1 µ
X
1 ¡ (¡1)
2 
=1
y así
=
 

¡ =
2
4
4
¶
1 µ
X
1 ¡ (¡1)
=1
es decir
1+
2
=
2
4
1
1
1
2
+
+
+

=
32 52 72
8
Ejemplo 5.4.6. Hallar la serie de Fourier de la función
() = jj
¡ ·  · 
( + 2) = ()
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2
229
 =  entonces
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
1
0 =

Z
1
() =

¡
1
 =

Z
Z
¡
1
() =

=
·
2  sin  cos 
+


2
 =
=
1

1

Z
¡
Z
¡
¸
0
2
jj  =

Z
2
jj cos  =

¡

1
() cos
 =


¡
Z
¡
=
Z
2
jj  =

0
Z
Z
 = 
0
 cos  =
0
2(cos  ¡ 1)
2 ((¡1) ¡ 1)
=
2
2

1
() sin
 =


Z
() sin  =
¡
jj sin  = 0 ( jj sin  es Impar)
por lo tanto la serie de Fourier está dada por
¶
1 µ
 X 2 ((¡1) ¡ 1)
+
cos  = jj  ¡ ·  · 
2
2
=1
Si se desea hallar la serie de Fourier de la función
(
 ¡ 6  6 ·   7
 () =
8 ¡   7 ·  · 8
( + 2) = ()
 = 2
ésta coincide con la serie anterior, pues por ejemplo
1
0 =

Z
1
() = 0 =

¡
1
=

Z7
6
1
 =

Z
Z8

1
() cos
 =


1
 () cos  =

6
=
¡
1
 () =

1
( ¡ 6)  +

¡
1
=

Z
¡+7
1
() =

Z8
()
6
Z8
(8 ¡ ) = 
7
() cos  =
¡
Z7
6
Z
+7
Z
1
( ¡ 6) cos  +

2 ((¡1) ¡ 1)
2
230
Z8
(8 ¡ ) cos  =
7
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
1
 =

Z

1
 () sin
 =


Z8
1
() sin  =

¡
1
=

6
Z
 () sin  =
¡
Z7
6
1
( ¡ 6) sin  +

8
¶
1 µ
<  ¡ 6

X

2 ((¡1) ¡ 1)
+
cos

=
: 8 ¡ 
2
2
=1
Z8
(8 ¡ ) sin  = 0
7
6 ·   7

7 ·  · 8

Ejemplo 5.4.7. Hallar la serie de Fourier de la función
() = 
¡ 
( + 2) =  ()
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2  =  entonces
1
0 =

Z
1
() =

¡
1
 =

Z

1
() cos
 =


¡
1
 =

2
=

Z
0
Z
¡
Z
¡

1
() sin
 =


¡
Z
Z
 = 0
¡
1
() cos  =

Z
¡
1
() =

Z
 cos  = 0
¡
1
() sin  =

Z
 sin  =
¡
·
¸
2 ¡ cos  sin   ¡2 cos 
2(¡1)+1
 sin  =
+
=
=


2 0


entonces la serie de Fourier es
1
X
2(¡1)+1
=1

8
>
  ¡    
>
>
>
>
<
0 
=
sin  =
>
>
>
>
>
 = ¡
: 0 
Ejemplo 5.4.8. Hallar la serie de Fourier de la función
() = 2
¡ 
231
( + 2) = ()
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2  =  entonces
Z
1
0 =

1
() =

¡

Z
Z
¡
2
() =

Z
2  =
22
3
0
Z
2
 () cos  =
2 cos 

¡
0
¡
· 2
¸

2  sin  2 cos  2 sin 
4(¡1)
=
+
¡
=
2
3




2
0
1
=

Z

1
 () cos
 =


1
 =

Z

1
() sin
 =


¡
Z
() sin  = 0
¡
por lo tanto, la serie de Fourier de la función está dada por
1
2 X 4(¡1)
2
+
cos  =   ¡ ·  · 
3
2
=1
Ahora podemos a…rmar que
1
2
2 X
+
=
+
(¡1)
4
12
=1
µ
cos  2 sin 
¡
2

¶
¡    
Ejemplo 5.4.9. Hallar la serie de Fourier de la función
() = 
0    2
( + 2) = ()
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2  =  entonces
1
0 =

Z
1
() =

¡
 =
1

Z
Z
¡
1
() =

=
·
0

1
() cos
 =


¡
1  sin  cos 
+


2
Z2
¸2
Z
¡
=0
0
232
1
 () =

Z2
 = 2
0
1
() cos  =

Z2
0
 cos 
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
 =
Z
1


1
() sin
 =


¡
=
·
1 ¡ cos  sin 
+


2
Z
1
() sin  =

¡
¸2
 sin 
0
=
0
Z2
¡2

por lo tanto, la serie de Fourier de la función está dada por
8
>
  0    2
>
>
>
>
1
<
X ¡2
 
=0
+
sin  =
>

>
=1
>
>
>
 = 2
:  
Ejemplo 5.4.10. Hallar la serie de Fourier de la función
() = 2
0    2
( + 2) = ().
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2  =  entonces
1
0 =

Z
1
() =

¡
 =
1

Z
Z
¡
1
() =


1
() cos
 =


¡
=

·
1
 () =

0
Z
¡
Z
¡
·

1
 () sin
 =


Z
¡
Z2
2  =
82
3
0
1
() cos  =

1 2 sin  2 cos  2 sin 
+
¡


2
3
1
=

=
Z2
¸2
2 cos 
0
=
0
4
2
1
 () sin  =

1 ¡2 cos  2 sin  2 cos 
+
+


2
3
Z2
¸2
0
Z2
2 sin 
0
=
¡4

por lo tanto, la serie de Fourier de la función está dada por
8
>
2
 0    2
>
>
>
>
>
1
< 0 + 42
42 X 4
4
= 22 
=0
+
cos

¡
sin

=
2
2
>
3


>
=1
>
>
0 + 42
>
>
= 22 
 = 2
:
2
233
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Si en la igualdad anterior se reemplaza x por cero se obtiene
1
1
42 X 4
4
42 X 4
+
cos
0
¡
sin
0
=
+
= 22
2
2
3


3

=1
=1
es decir
1
X
4
42
22
2
=
2
¡
=
2
3
3
=1
y así
1
X
1
2
=
2
6
=1
Si se reemplaza x por  se obtiene
1
1
=1
=1
42 X 4
4
4 2 X 4
+
cos

¡
sin

=
+
cos  = 2
3
2

3
2
luego
1
X
4
42
2
2
cos

=

¡
=
¡
2
3
3
=1
por tanto
1
X
(¡1)+1
2
=1
=
2
12
Ejemplo 5.4.11. Hallar la serie de Fourier de la función
(
¡1  ¡    0
() =
( + 2) = ()
1  0 ·   
Solución.En efecto: El período de la función es  = 2 = 2 entonces  = 
0 =
1

Z
1
()  =

¡
=
Z
¡
1
()  =

1
1
(¡) + () = 0


1
 =

Z

1
() cos
 =


¡

1
=

Z
¡

1
 () sin
 =


Z
Z0
¡
1
(¡1)  +

Z
1 
0
() cos   = 0 pues () cos  es impar
¡
Z
¡
1
 () sin  =

Z0
¡
1
¡ sin  +

Z
0
1 h cos  i0
1 h cos  i
2
2
=
+
¡
=
(1 ¡ cos ) =
(1 ¡ (¡1) )






¡
0
234
1 sin  =
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
por lo tanto la serie de Fourier de la función esta dadá por
1
X
2(1 ¡ (¡1) )

=1
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
sin  =
>
>
>
>
>
>
>
>
:
¡1
1
1¡1
2
=1

sin  =
1
X
2(1 ¡ (¡1) )

=1
=0
¡1+1
2
Si reemplazamos en la igualdad anterior x por  =
1
X
2(1 ¡ (¡1) )
 ¡    0

0

=0
 = §
= 0 

, obtenemos
2

4
sin  =
2

µ
¶
1 1 1
1 ¡ + ¡ + 
3 5 7
1
4 X (¡1)

=
= 1 ya que 0 · · 

2 + 1
2
=0
luego
1
X
(¡1)

=
2
+
1
4
=0
Ejemplo 5.4.12. Hallar la serie de Fourier de la función
8
>
>
< 0  ¡2    ¡1
 () =
1  ¡1 ·   1
>
>
: 0 
1·2
( + 4) =  ()
Solución.En efecto: El período de la función es  = 4 = 2 entonces
1
0 =

Z
1
() =
2
¡
1
 =

Z
Z¡1
¡2
1
0 +
2

1
() cos
 =

2
¡
=
Z1
¡1
Z1
¡1
1
1 +
2
Z2
1
1
0 =
2

cos
 =
2
0
2 h  i1
2 ³  ´
sin
=
sin

2 0

2
1
 =

Z
¡

1
() sin
 =

2
Z1
¡1
sin
Z1

 = 0
2
235
cos
Z1
1 = 1
¡1


2
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
por lo tanto la serie de Fourier de la función está dada por
8
>
>
0

³  ´
>
>
>
1
<
1

1 X 2 sin 2

+
cos
=
>
2

2
0

>
=1
>
>
>
: 1

2
¡2    ¡1
¡1    1
12
 = §1
Ejemplo 5.4.13. Hallar la serie de Fourier de la función
() = sin2 
Solución.El período de la función () = sin2  es  =  luego
 =
1

Z

() sin

2
 =


¡
Z2

() sin 2 =
¡ 2
2

Z2
sin2  sin 2 = 0
¡ 2
y
1
0 =


Z
2
 () =

Z

2
() cos
 =


¡
1
 =

Z2
¡ 2
2
() =

1

Z
Z2
¡ 2
Z µ
2
 () cos 2 =

2
sin  cos 2 =

Z
1
(cos 2¡ (cos(2 + 2) + cos(2 ¡ 2))  =
2
0
0
Z µ
1 ¡ cos 2
2
0
Z
0
0
si n 6= 0
y n 6= 1
y si  = 0 entonces
Z

2
 () =

¡
Z2
¡ 2
2
() =

Z µ
0
1 ¡ cos 2
2
¶
=1
y si  = 1 entonces
1
1 =

Z
¡


2
() cos
 =


 = 1
() cos 2 =
·
µ
¶¸
1 sin 2
sin(2 + 2) sin(2 ¡ 2) 
=
¡
+
=0

2
2 + 2
2 ¡ 2
0
1
0 =

¶
¶
Z
1 ¡ cos 2
1
cos 2 =
(cos 2 ¡ cos 2 cos 2) =
2

Z
2
2
sin   =

2
0

0
=
2
() =

0
¡
2

Z
Z2
¡ 2
2
 () cos 2 =

236
Z µ
0
¶
1 ¡ cos 2
cos 2 =
2
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
1
=

Z
0
1
(1 ¡ cos 2) cos 2 =

Z
0
Z µ
1
(cos 2 ¡ cos 2) = 0 ¡

2
0
¶
1 + cos 4
1
 = ¡
2
2
2
por tanto la serie de Fourier de la función () = sin  es
1
0 X


0
1 1
1 ¡ cos 2
+
 cos
+  sin
=
+ 1 cos 2 = ¡ cos 2 =
= sin2 
2


2
2 2
2
=1
Ejemplo 5.4.14. Hallar la serie de Fourier de la función
1 + cos 4
2

Solución.El período de la función  () = cos2 2 es  = , luego
2
 () = cos2 2 =
 =
1

Z

() sin

4
 =


¡
 =
() cos
8
=

¡ 4

4
 =


¡

4
() sin 4 =
Z µ
1 + cos 4
2
0
¶
Z4
¡ 4
¡ 4
Z
(cos 4 + cos 4 cos 4) =
0

() =
¡
4

¡ 4
cos2 2 cos 4 =
0
4
cos 4 =

Z4 µ
Z4

4
Si  = 0 entonces
1

8

() cos 4 =
4 sin 4 sin(4 + 4) sin(4 ¡ 4)
=
+
+

4
2(4 + 4)
2(4 ¡ 4)
Z
cos2 2 sin 4 = 0

·
0 =
4

Z4

Z
1


Z4
¶
¸
4
0
= 0 si n 6= 0 y de 1

1 + cos 4
4
 =
2

Z4
(1 + cos 4)  = 1
0
y si  = 1 entonces
1 =
1

Z

() cos

4
 =


¡

=
8

Z4 µ
Z4

 () cos 4 =
¡ 4
cos2 2 cos 4
0

¶
1 + cos 4
4
cos 4 =
2

0
8

Z4
Z4
(1 + cos 4) cos 4 =
1
2
0
por tanto la serie de Fourier es
1
0 X


1
1 cos 4
1 + cos 4
+
 cos
+  sin
= + 1 cos 4 = +
=
2


2
2
2
2
=1
237
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
5.5.
Series seno y coseno de Fourier
Extensión pares e impares
En todos los ejemplos y exposiciones anteriores comenzamos con una función periódica y la
serie de Fourier está determinada por las fórmulas de los coe…cientes de Fourier. Sin embargo en
algunas aplicaciones existe la necesidad de usar series de Fourier para una función de…nida en
un intervalo de la forma 0     y queremos representar sus valores por una serie de Fourier
en senos y cosenos o en solo cosenos o en solo senos y para ello de…nimos la extensión periódica
() =  ()
0     ( + ) = ()
y suponiendo que  satisface las condiciones de Dirichlet en ][, la nueva función  tendrá
una expansión en serie de fourier y como () = () en Criterio de Dirichlet se sigue que
la expansión en serie de fourier de  será representativa para  en ]0 [  Si se quiere la serie
de fourier en solo cosenos el primer paso es la extensión de f al intervalo ¡    0 y
gracias a esto podemos extender  al eje real completo, mediante la condición de periodicidad
( + 2) = ()
Si f(x) está de…nida en 0    , podemos hacer una extensión par de periódo 2 que está
dada por
 () =
(
()

0
 (¡)  ¡    0
y una extensión impar para solo senos dada por
(
 ()
 0    
 () =
¡ (¡)  ¡    0
 ( + 2) = ()
 ( + 2) = ()
De…nición 5.5.1. DEFINICIÓN Series seno y coseno de Fourier
Supóngase que la función  es continua por tramos en el intervalo [0 ]. Entonces
la serie coseno de Fourier de f es la serie
() =  () =
1
0 X

+
 cos
2

0
=1
con
1
 =

Z

2
 () cos
 =


¡
Z

() cos


2
0 =

0
0
para la prolongación par.
La serie seno de Fourier de f es la serie
() =  () =
1
X
Z
 sin
=1
238


0
 ()
y
 = 0
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
con
1
 =

para la prolongación impar.
Z

2
() sin
 =


¡
Z
() sin



y  = 0
0
Ejemplo 5.5.2. Sea () = 2 0     , su prolongacion par es
(
2  0    
 () =
2  ¡    0
 =
2

Z

2
() cos
 =


0
=
=
 =
0 =
Z
2 cos  =
0
¤
2 £ 2 2
  sin  ¡ 2 sin  + 2 cos  0
3
 
2
4
(2 cos ) = (¡1) 2
3 

Z
Z
1

1
 () sin
 =
2 sin  = 0



2

¡
Z
() =
2

0
Z
¡
2  =
22
3
0
luego la serie de Fourier en solo cosenos viene dada por
1
2 X
4
+
(¡1) 2 cos  = 2
3

0
=1
Ejemplo 5.5.3. Hallar la serie de Fourier de  () = 2 0     en solo senos.
(
2  0    
 () =
¡2  ¡    0
es su prolongación impar , luego

1
=

Z
Z
2
 () sin  =

¡
¡
· 2
¸
2

2
2
=
¡ cos  + 2  sin  + 3 cos 




0
2 cos 
4
= ¡
+ 3 (cos  ¡ 1)

 
1
 =

Z

1
 () sin
 =


 () cos

 = 0

¡
239
Z
0
() sin 
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
luego la serie de Fourier en solo senos viene dada por
¶
1 µ
X
2 cos 
4
¡
+ 3 (cos  ¡ 1) sin  = 2  0    

 
=1
Ejemplo 5.5.4. Desarrollar
() = 
en serie de Fourier en solo senos
02
Hacemos la prolongación impar de periódo 4. Luego 2 = 4  = 2 entonces

Z
Z2
2


=
 () sin
 =  sin
 =


2
0
0
· µ ¶
µ
¶¸
¡2

¡4
 2
4
= 
cos
¡
sin
=¡
cos 
2
2

2
 
2

0
1
 =

Z
 () cos

 = 0

¡
luego la serie de fourier viene dada por
¶
1 µ
X
4

¡
cos  sin
=

2
=1
b) Desarrollar
() = 
0    2
02
en serie de Fourier en solo cosenos. Hacemos la
prolongación par de periódo 4, luego 2 = 4  = 2, así que  = 0 y
2
 =

Z

() cos
 =

0
·
µ
¶¸

2

¡4
 2
 cos
 ==
sin
¡
cos
=
2

2
2 2
2
0
Z2
0
4
2
= 2 2 (cos  ¡ 1) y 0 =
 

Z
() =
0
Z2
 = 2
0
luego la serie de Fourier viene dada por
1+
1
X
=1
4
2 2
(cos  ¡ 1) cos
Ejemplo 5.5.5. Desarrollar  () = sin 

= 02
2
0     en serie de cosenos y muestre como
ejercicio que la serie de Fourier de () = sin 
0     en solo senos es senx.
En efecto, hacemos la prolongación par de la función, por lo tanto 2 = 2  =  y  = 0 y
2
 =

Z
0

2
 () cos
 =


Z
1
sin  cos  ==

0
Z
0
240
[sin( + ) + sin( ¡ )]  =
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
=
·
¸
·
¸
1
cos( + 1) cos( ¡ 1) 
1 1 ¡ cos( + 1) cos( ¡ 1) ¡ 1
¡
+
=
+

+1
¡1

+1
¡1
0
·
¸
1 1 + cos  1 + cos 
¡2(1 + cos )
=
¡
=
  6= 1

+1
¡1
(2 ¡ 1)
2
si  = 1 1 =

Z
0
2
si  = 0 0 =

Z
sin  =
·
¸
2 sin2 
sin  cos  =
=0

2
0
2
4
[¡ cos ]0 = luego la serie de Fourier es


0
1
2
2 X (1 + cos )
¡
cos  = sin  0    
 
(2 ¡ 1)
=2
Diferenciación de series de Fourier
Teorema 5.5.6. Sea  una función continua en ]¡1 +1[ y con periodo 2L. Sean  0, 00
continuas en ]¡ [. Entonces la serie de Fourier de
 0() se puede obtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciacióon término a término.
En particular, si
 () =
entonces
1
0 X


+
 cos
 +  sen

2


=1
1
X
 ³

 ´
 () =
¡ sen
 +  cos




=1
0
Integración de series de Fourier
Teorema 5.5.7. Sea f continua a trozos en ]¡ [ con serie de Fourier
 () »
1
0 X


+
 cos
 +  sen

2


=1
entonces 8 2 ]¡ [ se veri…ca:
Z
¡
 ()  =
Z
¡
1
0 X ³

 ´
+
 cos
 +  sen
 
2


=1
241
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
5.6.
Aplicaciones de las series de Fourier
5.6.1.
Separación de variables conducción del calor
Las ecuaciones diferenciales parciales básicas de la conducción del calor, la propagación de ondas
y la teoría del potencial que se analizarán en este capítulo están asociadas con tres tipos distintos
de fenómenos físicos: procesos de difusión, procesos oscilatorios y procesos independientes del
tiempo o estables; como consecuencia, tienen una importancia fundamental en muchas ramas
de la física y también desde el punto de vista matemático. Las ecuaciones diferenciales parciales
cuya teoría está mejor desarrollada y cuyas aplicaciones son más signi…cativas y variadas son las
ecuaciones lineales de segundo orden. Todas ellas se pueden clasi…car en una de tres categorías: la
ecuación de conducción del calor, la ecuación de onda y la ecuación de potencial, respectivamente,
son prototipos de cada una de estas categorías. Por tanto, un estudio de estas tres ecuaciones
proporciona mucha información acerca de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo
orden más generales.
Figura Barra sólida conductora de calor.
Durante los dos últimos siglos se han desarrollado varios métodos para resolver las ecua:
Ecuación del calor
Consideramos ahora la ecuación de la difusión o ecuación del calor que surge en diversos campos
de la física y la ingeniería. Aparece en relación con fenómenos de difusión en un medio homogéneo y el ejemplo típico es el de la conducción del calor en una varilla homogénea de longitud
 que está aislada, salvo quizás en sus extremos. Si denotamos por ( ) la temperatura en
la posición  de la varilla (0 ·  · ) en el instante , entonces el calor pasa de las partes
más calientes a las más frías y, tras algunas consideraciones físicas, se postula que  veri…ca la
ecuación del calor unidimensional

2
= 2 2 ,


donde  es es la conductividad térmica del material de la barra(una constante positiva) que
depende de la composición de la varilla.
Deducción de la Ecuación del Calor en una dimensión
242
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
Imaginemos una vara de longitud , sección transversal , …na, homogénea (toda ella está
compuesta por el mismo material) y completamente aislada del exterior. Estas consideraciones
permitirán que las leyes físicas que emplearemos dependan únicamente de la posición  y del
tiempo .
En el proceso de derivación de la ecuación se emplearán las siguientes magnitudes:
( ) : Temperatura de la vara para la posición  y el instante de tiempo 
( ) : Flujo (o cantidad) de calor en la dirección positiva de  para la posición  y el instante
de tiempo t por unidad de super…cie
La expresión matemática correspondiente será la siguiente:

=  ( ) ¡  ( + ¢ )

Por otro lado, existe una ley física que relaciona que el calor ( ), con la masa  y la
temperatura ( ), llamada Ecuación Fundamental de la , llamada Ecuación Fundamental de
la Termología, de la siguiente forma:
( ) = ( )
Esta ecuación describe el proceso de calentamiento de una fase de un cuerpo (por ejemplo, cómo
el agua pasa de -50o a 0o ), en la que  es una constante característica del material (la vara en
nuestro caso), determinada experimentalmente, que representa su calor especí…co.
Consideremos nuevamente, a continuación, el segmento in…nitesimal (+¢ ). Como la sección
transversal de la vara tiene una super…cie , el volumen resultante será ¢. Si ahora introducimos un nuevo parámetro, , que represente la densidad del material, podremos establecer
la siguiente relación:
¢ = ¢
Sustituyendo en la ecuación del calor especí…co llegaremos al resultado siguiente:
( ) = ( ) =   ¢ ( )
Derivando respecto al tiempo:


=   ¢


De esta manera, hemos obtenido otra expresión para ( ). El siguiente paso consiste en combinarla con el principio de conservación del calor que enunciamos anteriormente. Por consiguiente:
  ¢

=  ( ( ) ¡  ( + ¢ ))

243
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Dividiendo ambos miembros entre  ¢ :


 ( ) ¡  ( + ¢ )
=

¢
Ahora extraemos un signo menos como factor común del miembro de la
derecha y nos queda lo siguiente:


( + ¢ ) ¡ ( )
=¡

¢
Hemos suprimido los subíndices porque se trata, al …n y al cabo, de la misma función evaluada
en puntos diferentes.
Si, a continuación, hacemos tender ¢ a 0 :


( + ¢ ) ¡ ( )
= ¡ l¶³m
¢¡!0

¢
El resultado es la derivada parcial de ( ), respecto a . Reescribiendo la expresión:



=¡


Finalmente, aplicaremos la Ley de Fourier de Conducción del Calor, que nos indica que el ‡ujo
de calor se traslada en dirección opuesta al gradiente de la temperatura y es proporcional a él:
( ) = ¡
µ
  


  
¶
La constante  hace referencia a la conductividad térmica del material. Si aplicamos esta ley a
una única dimensión (la de ), obtendremos que:
( ) = ¡


Por lo tanto, lo único que nos resta para llegar a la ecuación …nal es sustituir esta última
expresión, con lo que nos quedará que:
¡
¢
 ¡ 


2


=¡
=¡
= 2




Agrupando todas las constantes en un miembro:

 2
= 2 2


2
=


representa la «difusividad» de la vara.
A partir de este último paso se puede generalizar fácilmente esta expresión para las tres dimensiones. El resultado será:
244
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau

= 2

Condiciones de frontera
µ
2  2  2
+
+ 2
2  2

¶
Supóngase ahora que la barra tiene una longitud …nita . Se elige como eje  el largo del eje
de la barra y sean  = 0 y  =  los extremos de la barra . La función de la temperatura
( ) se determinará dentro de todas las posibles soluciones de la ecuación (¤) por las condiciones auxiliares adecuadas. De hecho, mientras la solución de una ecuación diferencial ordinaria
involucra constantes arbitrarias, una solución de una ecuación diferencial parcial generalmente
involucra funciones arbitrarias. En el caso de la barra calentada, puede especi…carse su función
de temperatura () en el tiempo  = 0. Esto proporciona la condición inicial
( 0) = ()
También pueden especi…carse las temperaturas …jas en los dos extremos de la barra.Por ejemplo,
si cada extremo se empalma en un gran bloque de hielo a temperatura cero, se tendrían las
condiciones de frontera
(0 ) = ( ) = 0
para toda   0
Combinando todo esto, se obtiene el problema con valor en la frontera
8

2 2
>
>
<  =  2 con 0 ·  ·    0
(0 ) = 0 ( ) = 0,   0 ¢ ¢ ¢ (¤)
>
>
:
( 0) = () 0 ·  · 
En vez de tener temperaturas …jas, los dos extremos de la barra pueden estar aislados. En este
caso no debe ‡uir calor a través de sus extremos, como se observa de la ecuación (2), en que las
condiciones dadas en (12b) se deben reemplazar en el
problema con valores en la frontera por las condiciones en los extremos
 (0 ) =  ( ) = 0
para toda   0
Alternativamente, la barra puede estar aislada en un extremo y tener una temperatura …ja en
el otro. Esta y otras posibilidades de frontera se analizan en los problemas.
Superposición de soluciones
Nótese que la ecuación de calor

 2
= 2 2 con 0 ·  ·    0(¤¤)


245
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
es lineal. Esto es, cualquier combinación lineal
 = 1 1 + 2 2
de las dos soluciones de (¤¤) es también solución de (¤¤); esto se concluye de inmediato de la
linealidad de la derivación parcial. También es cierto que si 1 y 2 satisfacen las condiciones
dadas en
(0 ) = 0 ( ) = 0;
entonces también cualquier combinación lineal  = 1 1 + 2 2 lo debe hacer. Las condiciones
anteriores se denominan, por tanto, condiciones de frontera homogéneas (aunque un término
más descriptivo sería condiciones de frontera lineales). En contraste, la condición de frontera
…nal dada en
( 0) =  ()
es no homogénea; es decir se trata de una condición de frontera no homogénea.
La estrategia completa para resolver el problema con valores en la frontera en (¤) será encontrar
las funciones 1  2  3     que satisfagan tanto la ecuación diferencial parcial en (¤) como las
condiciones de frontera homogéneas en (¤), para luego intentar combinar estas funciones por
superposición como si se estuvieran construyendo bloques, con la esperanza de obtener una
+1
P
solución  =
  = 1 1 +2 2 +3 3 +  que satisfaga también la condición no homogénea
en (¤).
=1
Principio Superposición de soluciones
Supóngase que cada una de las funciones 1  2  3     satisface tanto la ecuación diferencial
dada en

 2
= 2 2 con 0 ·  ·    0)


como las condiciones homogéneas en
(0 ) = 0 ( ) = 0
Considérese también que los coe…cientes 1  2  3    en la ecuación
( ) =
+1
P
  ( )
=1
se escogen para satisfacer los siguientes tres criterios:
1. Para 0 ·  ·    0, la función determinada por la serie dada en ( ) =
+1
P
=1
  ( ) es
continua y derivable término a término (una vez con respecto a  y dos veces con respecto a ).
+1
P
2.
  ( ) =  () para 0 ·  · 
=1
246
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
3. La función ( ), determinada por la ecuación ( ) =
0 ·  ·  y  ¸ 0 y por las condiciones de frontera en
(
(0 ) = 0 ( ) = 0,
+1
P
  ( ) dentro del intervalo
=1
0
( 0) =  () 0 ·  · 
en sus extremos, es continua.
Entonces ( ) es una solución del problema con valores en la frontera dado en (¤).
Separación de variables
El método para resolver el problema con valores en la frontera dado en (¤) para la barra calentada. Primero se investigan las funciones de los bloques de construcción 1  2  3     que
satisfagan la ecuación diferencial

2
= 2 2


y las condiciones homogéneas ( ) = 0
En efecto, se supone que la solución es de la forma
( ) = () ()
y así
2
=  00 () ()
2
y

= () 0 ()

luego reemplazando en la ecuación
2  00 () () = () 0 ()
y de aquí
 00 ()
1  0 ()
= 2
=
()
  ()
y así hay que solucionar las ecuaciones
 00 () ¡ () = 0 con (0) = 0 () = 0 y  0 () ¡  () = 0
pués como
( ) = () () (0 ) = (0) () = 0
por tanto se concluye que (0) = 0, de lo contrario  () seria nula y así ( ) sería nula. Como
( ) = () () = 0 se concluye que () = 0, de lo contrario  () seria nula y así ( )
seria nula. Ahora nuestro objetivo es hallar las soluciones no nulas así :
a) Si  = 0 entonces  00 () = 0 y así () =  +  como (0) = 0 +  = 0 entonces  = 0
y por tanto () =  y como () =  = 0 entonces  = 0 y así () = 0 luego
( ) = 0
si  = 0
247
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
b) Si  = 2  0 entonces
 00 () ¡ 2 () = 0
cuya solución es
() =  + ¡
Como (0) = ( + ) = 0 entonces  = ¡ luego () = ( ¡ ¡ ) y como () =
( ¡ ¡ ) = 0 entonces  = 0 y así ( ) sería nula
c)  = ¡2  0 entonces
 00 () +
 () = 0 y  0 () +
2 2
2 2
  () = 0
y así
() =  cos  +  sin 
por lo tanto, como
(0) = 0 =  cos 0 +  sin 0 =  entonces  = 0 y así
() =  sin 
y como
() =  sin  = 0 entonces  sin  = 0 por lo tanto  =  o sea  =
pues si  = 0 la solución sería la nula, luego
 () =  sin


Ahora para este valor de  la solución de
 0 () +
2 2
  () = 0
 () = ¡
es
= ¡(
2 2 
 2


)
por lo tanto
 ( ) = () () =  sin
 ¡(  )2 
 ¡(  )2 



=  sin

es una solución,


además
( ) =
+1
P
  ( ) =
=1
es también solución y como
( 0) =
+1
P
+1
P
 sin
=1
  ( 0) =
=1
+1
P
=1
248



 sin

¡


2

= ()




CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
para 0    Pero ésta será la serie de Fourier de () en [0 ], siempre que se elija
1
 =  =
2
Z
() sin



0
para cada  = 1 2 3    De este modo se tiene el siguiente resultado.
Teorema 5.6.1. Barra calentada con temperatura cero en sus puntos extremos
El problema con valores en la frontera dado por
8

2 2
>
>
<  =  2 con 0 ·  ·    0
(0 ) = 0 ( ) = 0,   0
>
>
:
( 0) = () 0 ·  · 
para una barra calentada con temperatura cero en sus puntos extremos tiene la solución formal
en términos de serie
( ) =
+1
P
 ¡
2  2  2

2
=1
sin



donde  0 son los coe…cientes de seno de la serie de Fourier de la función de temperatura inicial
de la barra () = ( 0).
Observación 5.6.2. Observación. Tomando el límite término a término en ( ) =
+1
P
 ¡
2  2 2

2
=1
conforme  ¡! +1, se obtiene ( +1) = 0 como se esperaba, debido a que los dos extremos
de la barra se mantienen a temperatura cero.
Ejemplo 5.6.3. Ejemplo.Una barra cilíndrica de longitud L=50 cm está inmersa en vapor hasta
que su temperatura es 0 = 100± . En el tiempo  = 0 su super…cie lateral está térmicamnete
aislada.En el instante inicial sus extremos se sumergen (enfrían) en hielo hasta cero grados
centigrados, 0 ± C y se mantiene así.
a)Detrminar la distribución de temperatura en un punto arbitrario de la barra en cualquier
instante.
b) Calcúlese la temperatura de la barra en su punto medio después de media hora si está hecha
de
(i) hierro (disusibilidad térmica 2 = 0152 )
(b) concreto (disusibilidad térmica
2
= 0005
y
2 ).
(c)Si la barra está hecha de concreto (el aislante más e…caz), encuentre el tiempo requerido para
que el punto medio se enfríe hasta los quince grados.
Solución.
249
sin 

Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
) El modelo del problema de difusión del calor en la barra cuyos extremos están en permanente
a cero grados centigrados es
8
>
>
<


2
=  2 2 con 0 ·  · 50   0
(0 ) = (50 ) = 0,   0
>
>
: ( 0) =  = () = 100 0 ·  · 50
0
Recuérdese la serie de onda cuadrada
() =
4

1
X
 impar
µ
sen 

¶
=
8
>
< ¡1  ¡    0
>
: 1

0
que se obtuvo en un ejemplo anterior. Se concluye que la serie de Fourier en términos de la
función seno de  () ´ 0 es
() =
40

1
X
 impar
µ
sen 

¶
() =
=
8
>
< ¡0  ¡    0
>
: 0

0
para 0    . Por consiguiente, los coe…cientes de Fourier están dados por
Así  = 0 para toda  ¸ 0, y
 =
8
<
:
4

  es impar
0

 es par
y por ello la función de distribución de temperatura de la barra en cualquier instante es dada
por
( ) =
40

+1
P
1 ¡


 impar
2 2 2
  
2
sin
P 1 ¡

400 +1
=


  impar 
2 2 2
  
502
sin

50
b) La grá…ca de  = ( ) =con 0 = 100 y  = 50. Conforme  se incrementa, se observa
que la temperatura máxima de la barra (evidentemente en su punto medio) decrece en estado
permanente. La temperatura en el punto medio  = 25 después de  = 1 800 segundos es
(25 1800) =
=
i) Para el hierro: 2 = 015 :
P 1 ¡ 2 2 22(1800)
400 +1

50

sin
  impar 
2
P (¡1)+1 ¡ 2 2 22(1800)
400 +1
50

  impar

250
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
P (¡1)+1 ¡ 2 2 22(1800)
400 +1
50

  impar

(25 1800) =
P (¡1)+1 ¡ (015)2 22 (1800)
400 +1
50

  impar

=
(25 1800) = 438519 ¡ 00029 + 00000 ¡ ¢ ¢ ¢ ¼ 4385± 
Este valor (25 1800) ¼ 4385±  es la altura máxima (en su punto medio  = 25) de la curva
seccional vertical  = ( 1800) observado en un “extremo” de la super…cie de temperaturas.
(ii) Para el concreto: 2 = 0005 :
P (¡1)+1 ¡ 2 2 22(1800)
400 +1
50

  impar

(25 1800) =
P (¡1)+1 ¡ (0005)2 2 2 (1800)
400 +1
50

  impar

=
(25 1800) = 1228795 ¡ 308257 + 1045754 ¡ 31894 +
07958 + 01572 + 00242 ¡ 00029 + 00003
¡00000 + 8519 ¡ 00029 + 00000 ¡ ¢ ¢ ¢
¼ 10000± 
3)Cuando la barra está hecha de concreto, la temperatura en el punto medio en cualquier instante
 es
(25 ) =
=
P (¡1)+1 ¡ 2 222 
400 +1
 50
  impar

P (¡1)+1 ¡ (0005)2 2 2 (1800)
400 +1
50

  impar

Si el punto medio se debe enfriar hasta los quince grados
(25 ) =
P (¡1)+1 ¡00000197392 
400 +1

= 15
  impar

Considerando solamente el primer término de la serie, tenemos la ecuación
(25 ) =
400 ¡0000019739

= 15

400 ¡00000019739
3

= 15 ¡! ¡0000019739 = 

80
251
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
entonces
tiempo que equivale a
¡3 ¢
ln 80

=¡
= 1 083 5 £ 105 
0000019739
=
1 083 5 £ 105
= 30 097 
3600
Condiciones de frontera aislada
Considérese ahora el problema con valores en la frontera
8

2 2
>
>
<  =  2 con 0 ·  ·    0
 (0 ) =  ( ) = 0,   0
>
>
:
( 0) = () 0 ·  · 
que corresponde a una barra de longitud  con temperatura inicial  (), pero con sus dos
extremos aislados.
Teorema 5.6.4. Barra calentada con terminales aisladas
El problema con valores en la frontera dado por
8

2 2
>
>
<  =  2 con 0 ·  ·    0
 (0 ) =  ( ) = 0,   0
>
>
:
( 0) =  () 0 ·  · 
para una barra calentada con extremos aislados tiene la solución formal en términos de la serie
( ) =
donde
1
 =
2
Z
2  2 2
P
0 +1

+
 ¡ 2  sin

2

=1
() cos

  = 1 2 3   

0
son los coe…cientes de seno de la serie de Fourier de la función de temperatura inicial de la barra
() = ( 0).
Observación 5.6.5. Observación. Nótese que
0
1
l¶³m ( ) =
=
¡!+1
2

Z
 ()
0
es el valor promedio de la temperatura inicial. Con la super…cie lateral y los extremos de la barra
aislados, su contenido de calor original se distribuye de manera uniforme a lo largo de toda la
barra.
252
CAPÍTULO 5. SERIE DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado
PARCIALES
Norberto Chau
Ejemplo 5.6.6. Solucionar la ecuación

 2
=
con j( )j  

2
y
si (0 ) = 0 (4 ) = 0
( 0) = sin 4 ¡ 3 sin 2 + 5 sin 
…gura 9.1
En efecto, se supone que la solución es de la forma
( ) = () ()
y así
 2
=  00 () ()
2
y

= () 0 ()

luego reemplazando en la ecuación
 00 () () = () 0 ()
y de aquí
 00 ()
 0 ()
=
=
()
 ()
y así hay que solucionar las ecuaciones
 00 () ¡ () = 0 con (0) = 0 (4) = 0 y  0 () ¡  () = 0
pués como
( ) = () () (0 ) = (0) () = 0
por tanto se concluye que (0) = 0, de lo contrario T(t) seria nula y así u(x,t) sería nula. Como
(4 ) = (4) () = 0 se concluye que (4) = 0, de lo contrario T(t) seria nula y así u(x,t)
seria nula. Ahora nuestro objetivo es hallar las soluciones no nulas así :
a) Si  = 0 entonces  00 () = 0 y así () =  +  como (0) = 0 +  = 0 entonces  = 0
y por tanto () =  y como (4) = 4 = 0 entonces  = 0 y así () = 0 luego
( ) = 0
si  = 0
b) Si  = 2  0 entonces
 00 () ¡ 2 () = 0
cuya solución es
() =  + ¡
Como (0) = ( + ) = 0 entonces  = ¡ luego () = ( ¡ ¡ ) y como (4) =
(4 ¡ ¡4 ) = 0 entonces  = 0 y así u(x,t) sería nula
253
Cálculo CAPÍTULO
Aplicado Norberto
5. SERIE
Chau
DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
c)  = ¡2  0 entonces
 00 () + 2 () = 0 y  0 () + 2  () = 0
y así
() =  cos  +  sin 
por lo tanto, como
(0) = 0 =  cos 0 +  sin 0 =  entonces  = 0 y así
() =  sin 
y como
(4) =  sin 4 = 0 entonces  sin 4 = 0 por lo tanto 4 =  o sea  =

4
pues si  = 0 la solución sería la nula, luego
() =  sin

4
Ahora para este valor de  la solución de
 0 () + 2  () = 0
 () = ¡  = ¡(
2
es
 2

4
)
por lo tanto
 ( ) = () () =  sin
 ¡(  )2 
 ¡(  )2 
 4
=  sin
 4
es una solución,
4
4
además
( ) = 1 sin
1  ¡( 1  )2 
2  ¡( 2  )2 
3  ¡( 3  )2 
4
4
4

+ 2 sin

+ 3 sin

4
4
4
es también solución y como
( 0) = sin 4 ¡ 3 sin 2 + 5 sin 
1 
2 
3 
= 1 sin
+ 2 sin
+ 3 sin
4
4
4
se tiene que
1 = 1 2 = ¡3 3 = 5
2 
= 2 por tanto 2 = 8
4
1 
= 4, luego 1 = 16
4
3 
=   así 3 = 4
4
luego la solución buscada es
2
2
( ) = (sin 4)¡(4)  ¡ (3 sin 2)¡(2)  + 5(sin )¡()
254
2

Capítulo 6
La transformada de Laplace y
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
6.1.
Introducción
Integrales impropias
Recuerde que el concepto de integral de…nida se de…ne para funciones acotadas en intervalos
cerrados y acotados de números reales. Esto implica que, cuando se considera
Z
()

se supone que la función  : [ ] ¡! R tiene como dominio un intervalo [ ] y es acotada en
ese dominio. Sin embargo, en algunos contextos, se requiere trabajar con funciones no acotadas
o cuyo dominio es un intervalo no acotado. Por ejemplo, pueden aparecer expresiones del
Z1
1
p 

o
0
En el primer caso, la función () =
+1
Z
1

2
1
p1

no es acotada en [0 1] ni está de…nida en 0.
En el segundo, el intervalo no es acotado. Sin embargo, en ambos casos se puede asignar un valor
apropiado a la expresión.
Por analogía con las integrales de…nidas, la expresión
+1
Z
1

2
1
255
CAPÍTULO 6. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
ORDINARIAS
se puede interpretar como el área bajo la curva  =
1
,
2
sobre el intervalo de longitud in…nita
(no acotado)
[1 +1[. Así se ilustra en la …gura 1.
Figura
Área bajo la curva
=
1
2
Una pregunta interesante es si esta área es …nita, es decir, si tiene asignado un número real o es
in…nita. Se puede estimar esto si primero se calcula la integral
Z
1

2
1
y luego se analiza qué sucede a medida que  se hace arbitrariamente grande, esto es, se observa
qué pasa cuando  ¡! +1. Si se realiza el cálculo mencionado, se obtiene:
Z
1
1
 =
2
Z
1
¡2

 =
Z
¡2

1
· ¸
1
1
 = ¡
= ¡ + 1
 1

Si  ¡! +1, entonces ¡ 1 + 1 ¡! 1. Por este motivo, parece razonable decir que el área bajo
la curva es igual a 1.
Considere ahora la curva  = 1 (vea la …gura 2). Si se trata de estimar el área bajo esta curva
sobre el intervalo [1 +1[, mediante el procedimiento anterior, se obtiene:
Z
1
1
 = [ln ]1 = ln  ¡ 0 = ln 

Si  ¡! +1, entonces ln  ¡! +1, por ello, en este caso, es razonable decir que el área bajo
256
CAPÍTULO 6. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
Cálculo Aplicado Norberto Chau
la curva es in…nita.
Figura 2. Área bajo la curva  = 1 .
Antes de proceder a formalizar lo comentado previamente, se de…nirá cierto tipo de funciones
que son integrables sobre intervalos de la forma [ ].
De…nición 6.1.1. De…nición 1Se dice que una función de valores realesf es continua a trozos
en un intervalo [a, b] si:
i) f es continua o el número de discontinuidades de f en [a, b] es …nito.
ii) Los límites lím¡!0+  (0 + ) y lím¡!0¡ (0 ¡ ) existen (son números reales) en cada
punto 0 2 [ ]. Note que solo uno de estos límites es pertinente si 0 = 
(
2
si 0 ·   1
Ejemplo 6.1.2. Ejemplo 1.La función () =
1 ¡  si 1   · 2
es continua a trozos en [0 2].
o 0 = .
En efecto:
i)
Solo tiene una discontinuidad en el punto 0 = 1.
ii)
Por la de…nición de continuidad, los límites existen en todos los puntos donde f es continua.
Entonces, solo resta veri…car que los límites existen en los puntos de discontinuidad. Se observa
que:
l¶³m¡!0+  (1 + ) = l¶³m¡!0+ [1 ¡ (1 + )] = l¶³m¡!0+ (¡) = 0
 ¡! 0+ , se consideran valores de  positivos, por lo que 1 +   1 y, porlotanto,  (1 + ) =
1 ¡ (1 + ).
De modo análogo:
l¶³m¡!0¡ (0 ¡ ) = l¶³m¡!0¡ (1 ¡ )2 = 1
Se concluye que los dos límites existen.
De lo anterior, se deduce que  es continua a trozos en [0 2]. La función no es continua a trozos
en [¡1 1].
257
CAPÍTULO 6. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo Aplicado Norberto Chau
ORDINARIAS
Ejemplo 6.1.3. La función () =
es continua a trozos en [¡1 1].
(

si
1

si
¡1 ·  · 0
0·1
En efecto,  solo tiene un punto de discontinuidad en 0 = 0, pero
l¶³m¡!0+ (0 + ) = l¶³m¡!0+
1

= +1
por lo que no existe el límite.
El comportamiento de las funciones alrededor de los puntos de dicontinuidad, tanto cuando son
continuas a trozos como cuando no lo son, se ilustra en la …gura 3, que representa, respectivamente, las funciones  y  del ejemplo anterior.
Figura 3. Grá…cas de  y  del ejemplo 1.
En lo que sigue se tratará con funciones continuas a trozos.
De…nición 6.1.4. De…nición 2.Sea  : [ +1[ ¡! R una función de…nida en [ +1[[, continua a trozos en todos los intervalos de la forma [ ]. Si el límite
l¶³m
¡!+1
Z
 ()

es …nito (es igual a un número real), entonces la   de f en el intervalo [ +1[
es
+1
Z
 () =
l¶³m
¡!+1

Z
()

y se dice que la integral impropia es convergente.
Si el límite indicado es +1 o ¡1, se dice que la integral impropia es divergene. En cualquier
otro caso, la función no tiene integral impropia en el intervalo.
258
Capítulo 7
La transformada de Laplace
Muchos problemas prácticos en la ingeniería comprenden sistemas mecánicos o eléctricos que
reciben la acción de términos de fuerza discontinuos o de impulso. Para estos problemas, a
menudo los métodos descritos en el capítulo 3 son un tanto difíciles de aplicar. Otro método que
se adapta especialmente bien a estos problemas, aunque su utilidad es mucho más general, se
basa en la transformada de Laplace. En este capítulo se describe cómo se aplica este importante
método, haciendo resaltar los problemas comunes que surgen en las aplicaciones de ingeniería.
 ()
L f ()g ()
De…nición de la transformada de Laplace
Entre los instrumentos que resultan muy útiles al resolver ecuaciones diferenciales lineales se
encuentran las transformadas integrales. Una transformada integral es una relación de la forma
 () =
Z
( ) ()
(1)

en donde una función dada  se transforma en otra función  por medio de una integral. Se
dice que la función F es la transformada de  y la función  se llama kernel (núcleo en alemán)
259
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
de la transformación. La idea general es aplicar la relación (1) a …n de transformar un problema
para  en un problema más sencillo para  , resolver este problema más simple y luego recuperar
la función deseada f a partir de su transformada  . Al hacer una elección apropiada del kernel
 y de los límites de integración  y  a menudo es posible simpli…car de manera sustancial
un problema que incluya una ecuación diferencial lineal. Varias transformaciones integrales se
aplican con amplitud, y cada una es adecuada para resolver ciertos tipos de problemas.
En este capítulo se analizan las propiedades y algunas de las aplicaciones de la transformada de
Laplace1 . Esta transformada se de…ne como sigue:
De…nición 7.0.5. Sea  : [0 +1] ¡! R de…nida para toda  ¸ 0, la transformada de Laplace
de f es una función  de s, se denota y se de…ne por
Z1
 () = L f()g () = ¡  ()
(2)
0
En esta transformada se usa el kernel ( ) = ¡ y, por consiguiente, se asocia de modo
natural a las ecuaciones diferenciales lineales con coe…cientes constantes. La transformada de
Laplace es particularmente valiosa en análisis de circuitos, en donde son comunes términos de
fuerza discontinuos o de impulso, pero también es importante en otras aplicaciones.
En virtud de que la transformada de Laplace se de…ne ante una integral sobre el intervalo de
cero al in…nito, será de utilidad repasar primero algunos hechos básicos sobre esas integrales. En
primer lugar, una integral sobre un intervalo no acotado se llama integral impropia y se de…ne
como un límite de integrales sobre intervalos …nitos; por tanto,
Z1
() =
l¶³m
¡!+1

Z
 ()
(3)

en donde  es un número real positivo. Si la integral desde a hasta  existe para toda    y si
el límite existe cuando  ¡! +1, entonces se dice que la integral impropia converge a ese valor
límite; en caso contrario, se dice que la integral diverge o que no existe. Los ejemplos siguientes
ilustran las dos posibilidades.
Ejemplo 7.0.6. Sea () =  ,  ¸ 0, en donde  es una constante real diferente de cero; entonces,
Z1
Z1
() =
  =
0
l¶³m
¡!+1
0
=
Z

  =
0
´
1 ³ 
 ¡1 
¡!+1 
l¶³m
¡!+1
·


¸
0
l¶³m
Se concluye que la integral impropia converge si    y diverge si   0. Si  = 0, entonces el
integrando es la unidad y una vez más la integral diverge.
260
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 7.0.7. Sea  () = 1  ¸ 1; entonces
Z1
Z1
Z
1
1
 () =
 = l¶³m
 = l¶³m ln 
¡!+1
¡!+1


0
1
1
Como l¶³m¡!+1 ln  = 1, la integral impropia diverge.
1 La
transformada de Laplace recibe su nombre en honor del eminente matemático francés P.
S. Laplace, quien estudió la relación (2) en 1782. Sin embargo, las técnicas descritas en este
capítulo no fueron desarrolladas hasta un siglo más tarde o más. Se deben principalmente a
Oliver Heaviside (1850-1925), un ingeniero electricista inglés, innovador aunque no convencional,
quien hizo contribuciones importantes al desarrollo y aplicación de la teoría electromagnética.
Ejemplo 7.0.8. Sea  () = ¡ ,  ¸ 1, en donde p es una constante real y  6= 1, el caso p = 1
se consideró en el ejemplo 2; entonces
Z1
Z1
() = ¡  =
0
Cuando  ¡! +1,
l¶³m
¡!+1
1
1¡
Z
¡  =
1
¡! 0 si p  1, pero
1¡
¢
1 ¡ 1¡

¡1 
¡!+1 1 ¡ 
l¶³m
Z1
¡! 1 si p  1. De donde, ¡  converge
1
para p  1, pero (al incorporar el resultado del ejemplo 2) diverge para p  1. Estos resultados
+1
X
son análogos a los de la serie in…nital
¡ 
=1
Z1
Antes de analizar la posible existencia de (), ayuda de…nir ciertos términos. Se dice que

una función  es seccionalmente continua sobre un intervalo  ·  ·  si el intervalo puede
partirse mediante un número …nito de puntos
 = 0  1  ¢ ¢ ¢   = 
de modo que
261
Cálculo Aplicado Norberto Chau
1.
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 sea continua sobre cada subintervalo abierto ¡1 ·  ·  
2.
 tienda a un límite …nito si se tiende a los puntos extremos de cada subintervalo desde
el interior
del subintervalo.
En otras palabras,  es seccionalmente continua sobre  ·  ·  si es continua allí excepto por
un número …nito de discontinuidades por salto. Si  es seccionalmente continua sobre  ·  · 
para toda   , entonces se dice que  es seccionalmente continua sobre  ¸ . En la …gura se
muestra un ejemplo de una función seccionalmente
continua.
Si  es seccionalmente continua sobre el intervalo  ·  ·  , entonces es posible demostrar
Z
Z
que () existe. De donde, si  es seccionalmente continua para  ¸ , entonces  ()


existe para cada   . Sin embargo, la continuidad por secciones no basta para asegurar la
Z1
convergencia de la integral impropia (), como se hace ver en los ejemplos anteriores.

Si  no puede integrarse con facilidad en términos de funciones elementales, puede ser difícil
Z1
aplicar la de…nición de convergencia  (). Con frecuencia, la manera más conveniente para

probar la convergencia o divergencia de una integral impropia es mediante el siguiente teorema
de comparación, que es análogo a un teorema similar para las series in…nitas.
Teorema 7.0.9. Si f es seccionalmente continua para  ¸ , si j()j · () cuando  ¸ 
Z1
Z1
para alguna constante positiva M y si () converge, entonces () también converge.


Z1
Z1
Por otra parte, sí () ¸ () para  ¸  y si () diverge, entonces ()


No se dará aquí la demostración de este resultado del cálculo. Sin embargo, se hace plausible al
Z1
Z1
comparar las áreas representadas por () y j ()j  . Las funciones más útiles para …nes


de comparación son  y ¡ , que se consideraron en los ejemplos 1, 2 y 3.
A continuación se volverá a considerar la transformada de Laplace L f()g () o  (), que se
de…ne por la ecuación (2), siempre que esta integral impropia converja. En general, el parámetro
 puede ser complejo, pero para el presente análisis basta considerar valores reales de . Según
el análisis precedente de las integrales, la función  debe satisfacer ciertas condiciones para que
exista su transformada de Laplace.
262
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
De…nición 7.0.10. Función de orden exponencial.Se dice que uma función  : [0 +1] ¡!
R es de orden exponencial en el intervalo [0 +1[ si existen constantes no negativas  ,  y 
tales que
j()j ·  para  ¸ 
En el siguiente teorema se dan las más simples y útiles de estas condiciones.
Teorema 7.0.11. Existencia de la transformada de laplace
Si  : [0 +1] ¡! R es seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces existe un
+1
Z
número  tal que la transformada de Laplace L f ()g () =
¡  () converge para todos
0
los valores   .
Demostración. Sabemos da análisis real que se  e  son funciones integrables en ] [ con
   · 1 y  () · () 8 2 ] [  entonces se cumple las siguientes propiedades:
+1
+1
Z
Z
()  1 =)
()  1 (criterio de comparación)
0
0
Como  es de ordenexponencial, consideremos las constantes   0 y  tales que
j()j ·  .
Asimismo,
+1
+1
+1
Z
Z
Z
L f ()g () =
¡  () ·
¡   =  ¡(¡)  =
0
0
0

 si   
¡
Observación 7.0.12. La recíproca do Teorema es falsa, esto es, existen funciones que admiten
una Transformada de Laplace, mas aún no son de ordem exponencial, por ejemplo, considere la
función
1
 () = p

esta función no es de orden exponencial, como mostraremos a seguir, mas admite la Transformada de Laplace, o que analizaremos mas adelante.
En efecto, tenemos de mostrar que, para cualesquier constantes reales  y   0, existe   0
tal que ()   
Note que l¶³m¡!0+
1
p

= +1, entonces, dado   0, existe   0 tal que
0    .
263
1
p

  siempre que
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Dadas cualesquier constantes  y   0, considere t su…cientemente pequeño y tome
 = f  g. De ahí , se sigue que
1
p   ¸  

Por tanto la función  () =
1
p
no

es de orden exponencial.
Com este ejemplo, tenemos que el conjunto de las funciones que posseen la Transformada de
Laplace es mayor que el conjunto de las fun ciones de orden exponencial.
Para establecer este teorema, sólo es necesario demostrar que la integral dada en la ecuación (2)
converge para   . Al separar en dos partes la integral impropia, se tiene
Z1
Z
Z1
¡
¡
 () =   () + ¡ ()
0
0
(4)

La primera integral del segundo miembro de (4) existe por la hipótesis 1) del teorema; de donde,
la existencia de  () depende de la convergencia de la segunda integral. Por la hipótesis 2) se
tiene, para t M,
¯ ¡
¯
¯ ()¯ · ¡  = ¡ = (¡) 
y por tanto, por el teorema,  () existe siempre que f: éa s)t dt converja. Con referencia al
ejemplo 1, si se reemplaza  por  ¡ , se ve que esta última integral converge cuando  ¡   0,
lo que establece el teorema.
A menos que se especi…que lo contrario, en este capítulo sólo se estudian funciones que satisfacen
las condiciones del teorema. Estas funciones se describen como seccionalmente continuas y de
orden exponencial cuando  ¡! 1. En los ejemplos siguientes se dan las transformadas de
Laplace de algunas funciones elementales importantes.
Ejemplo 7.0.13. Sea () = 1, para  ¸ 0, la de…nición de la transformada de Laplace se obtiene
L f1g =
+1
Z
¡  =
l¶³m
¡!+1
0
Z
0

¡
·
¸
1 ¡ 
 = l¶³m ¡ 
¡!+1

0
·
¸
1
1
1
=
l¶³m ¡ ¡ +
=  
¡!+1



y por tanto
L f1g =
1

264
para   0
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Observación 7.0.14. Observación. El limite calculado en el ejemplo anterior no existiría si
  0, porque el término ¡ 1 ¡ estaría no acotado conforme  ¡! +1. Así, L f1g está
de…nida sólo para   0. Esto es algo normal de las transformadas de Laplace; el dominio de la
transformación es normalmente de la forma    para algún valor .
Ejemplo 7.0.15. Sea () =  , para  ¸ 0, entonces
© ª
L 
=
=
+1
Z
¡   =
0
l¶³m
¡!+1
"
¡
l¶³m
¡!+1
Z
¡(¡)  =
0
l¶³m
¡!+1
#
"
¡(¡)
¡
¡
#
0
¡(¡)
1
+

¡
¡
 ¡   0, entonces ¡(¡) ¡! 0 conforme  ¡! +1 ; así, se concluye que
© ª
1
L  =
para   
¡
© ª
Nótese aquí que la integral impropia que proporciona L  diverge si  · .
La transformada de Laplace de la forma L f g se expresa de manera más conveniente en términos
de la función gamma ¡(), la cual está de…nida para   0 por la fórmula
+1
Z
¡() =
¡ ¡1 
0
Para una presentación sencilla de ¡(), véase la subsección de la función gamma en el anexo,
donde se muestra que
¡(1) = 1
y que
¡( + 1) = ¡()
para   0. De aquí se concluye también que si  es un entero positivo, entonces
¡( + 1) = ¡()
=  ( ¡ 1) ¡( ¡ 1)
=  ( ¡ 1)  ( ¡ 2) ¡( ¡ 2)
..
.
=  ( ¡ 1)  ( ¡ 2) ¢ ¢ ¢ 2 ¡(2)
=  ( ¡ 1)  ( ¡ 2) ¢ ¢ ¢ 21 ¡(1);
265
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
así,
¡( + 1) = !
si  es un entero positivo. Por tanto, la función ¡( + 1), la cual está de…nida y es continua para
toda   1, coincide con la función factorial para  =  como un entero positivo.
Ejemplo 7.0.16. Sea  () =  , para  real y   ¡1, entonces
+1
Z
L f g =  () =
¡   =
l¶³m
¡!+1
0
Z
¡  ,   0
0
integrando por partes se tiene:
(
 =  ¡!  = ¡1
¡
 = ¡  ¡!  = ¡  
+1
Z
¡   =
 () =
l¶³m
¡!+1
0
Z
¡  ,   0
0
·  ¡ ¸
Z
 

=
l¶³m ¡
+
¡ ¡1 
¡!+1


0
0
siguiendo el mismo proceso se llega a que:

 () =

Z
 © ¡1 ª
L 

¡ ¡1  =
0
siguiendo el mismo proceso se llega a que:
n
o
1 © ª
1
L ¡(¡1) = L fg = L 0 = 2 


pues L f1g = 1  que reemplazando en la expresión anterior se tiene:
 () =
 ¡1
1 1
!
¢
¢ ¢ ¢ ¢ = +1 ,


 

para   0
Ejemplo 7.0.17. Sea  () = sen , para  ¸ 0, entonces
+1
Z
L fsen g =  () =
¡ sen ()  =
0
266
l¶³m
¡!+1
Z
0
¡ sen () ,   0
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
despues de integrar por partes se obtiene
· ¡
¸
Z
 cos()

 () =
l¶³m ¡
¡
¡ cos () 
¡!+1


0
0
=
=
1 2
¡
 2
Z
¡ sen () 
0
2
1
¡  ()
 2
De donde, al despejar F(s) se tiene
 () =

2+ 2
,   0
267
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tabla de Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales.
() = L¡1 f ()g
11
2
3   2 Z+
4    ¡1
5 sen 
6 cos 
7 senh 
8 cosh 
9 sen 
10 cos 
 () = L¡1 f ()g
11    2 Z+
12 ()
13 ()  ( ¡ )
14  ()
15 ()
R
16 0  ( ¡  ) ( )
1
   0
1
¡    
!
+1    
¡(+1)
 
+1

 0
2 +2

 0
2 +2

   jj
2 ¡2

   jj
2 ¡2

 
(¡)2 +2
¡
 
(¡)2 +2


 () = L¡1 f()g
!

(¡)+1
¡


¡  ()

 ( ¡ )
1

()
 ()()
17 ( ¡ )
¡
19 (¡1)  () ()
 () ()
18 () ()
 () = L¡1 f ()g
  () ¡ ¡1 (0) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡  (¡1) (0)
Propiedades de la Transformada de Laplace
Teorema 7.0.18. Linealidad de la transformada de Laplace
Supóngase que f y g son dos funciones cuyas transformadas de Laplace existen para    y
  , respectivamente. Entonces, para s mayor que el máximo de  y ,
L f() + ()g = L f ()g + L f()g
Demostración
Mediante la de…nición de Transformada se tiene:
268
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
L f() + ()g =
=
Cálculo Aplicado Norberto Chau
+1
Z
¡ [() + ()] 
0
l¶³m
¡!+1
0
Z
¡ [() + ()] 
0
=  @ l¶³m
¡!+1
Z
0
1
¡ ()A +  l¶³m
¡!+1
Z
¡ ()
0
= L f()g + L f()g 
©
ª
Ejemplo 7.0.19. Calcular L 32 + 2 sen2 3)
Solución.
Aplicando la linealidad y la conocida identidad trigonométrica se obtiene
©
ª
©
ª
L 32 + 2 sen2 3) = L 32 + 1 ¡ cos 6)
© ª
= 3L 2 + L f1g ¡ L fcos 6)g
3
1

=
+ ¡ 2
 ¡ 2   + 36
33 + 144 ¡ 72
=
 para   0
 ( ¡ 2) (2 + 36)
7.1.
Transformada inversa de Laplace
Según la de…nición de transformada de Laplace se tiene: Si  : [0 +1] ¡! R , es una función
seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces existe L f()g () =  (), ahora
invertiremos el problema, es decir: dada la función  ()
queremos encontrar la función  () que corresponde a esta transformada y a esta función ()
se llama la transformada inversa de  () y se simboliza por
() = L¡1 f (g
De…nición 7.1.1. Si existe L f()g () =  () de…nida para toda  ¸ 0, entonces se llama
 () a la transformada inversa de Laplace de la función  de s, se denota y se de…ne por
() = L¡1 f ()g
Teorema 7.1.2. (Teorema de Lerch)Unicidad de la transformada inversa de Laplace.
Sean f y g funciones continuas por tramos y de orden exponencial. Supongamos que exista um
0 2 R tal que
L f()g () = L f()g () 8  0 
269
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Entonces, con una posible excepción de puntos de discontinuidades, () = (), 8  0.
El Teorema de Lerch dice que el operador lineal L es inyectivo y portanto es inversible lateral-
mente. Con esto, podemos decir que si una ecuación L fg = () puede ser resuelta en relación
a , es solución única. Esta solución es llamada la Transformada Inversa de Laplace de la función
 y será denotada porL¡1 fg. En resumen, vale la seguinte equivalencia:
L fg =  , L¡1 fg = 
Falta veri…car si L¡1 aplica el espa co vetorial F en el espacio vetorial E , esto equivale a
perguntarmos si L fg = () tiene solución para toda función  em F, lo que no es verdad.
Esto se sigue como consecuencia del seguiente resultado.
Teorema 7.1.3. Si f es una función de orden exponencial, entonces
l¶³m L f ()g () = 0
¡!+1
(¤)
Prueba: Como  es de orden exponencial, por el teorema existen constantes  y  tales que
jL f ()g ()j ·

Asimismo ¡ ¡
· L f()g () ·

¡ ,
0·

 8  
¡
y passando al limite cuando  ! +1 resulta que
l¶³m L f ()g () · 0
¡!+1
de donde l¶³m¡!+1 L f ()g () = 0
La condición dada en (¤) limita severamente las funciones que pueden ser transformadas de
Laplace. Por ejemplo, la función () =

+1
no puede ser la transformada de Laplace de ninguna
función “razonable”, porque su límite cuando  ¡! +1 es 1 en lugar de 0. Por lo general, una
función racional , un cociente de dos polinomios, puede ser (y lo es, como se verá más adelante)
una transformada de Laplace si y sólo si el grado de su numerador es menor que el de su
denominador.
Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace
Teorema 7.1.4. Linealidad de la transformada Inversa de Laplace
Supóngase que F y G son transformadas de Laplace de las funciones () y () respectivamente
entonces
L¡1 f () + ()g = L¡1 f ()g + L¡1 f()g = () + ()
270
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Demostración.
Mediante la propiedad de linealidad de la transformada se tiene:
Lf() + ()) = Lf()) + Lf()) =  () + ()
Es decir que:
 () + () = Lf () + ())
tomando la transformada inversa se tiene:
L¡1 f () + ()g =  () + ()
Traslación y fracciones parciales
Como se ilustró en los ejemplos 1 y 2 de la sección 7.2, la solución de una ecuación diferencial
lineal con coe…cientes constantes frecuentemente puede reducirse al pro-blema de encontrar la
transformada inversa de Laplace de la función racional de la forma
() =
 ()
()
donde el grado de  () es menor que el grado de (). La técnica para encontrar L¡1 f()g se
basa en el mismo método de fracciones parciales utilizado en el cálculo elemental para integrar
funciones racionales. Las siguientes dos reglas describen la descomposición de fracciones parciales
de () en términos de la factorización del denominador () en factores lineales y factores
cuadráticos irreductibles, correspondientes a ceros reales y complejos, respectivamente, de ().
REGLA 1 Fracciones parciales de factores lineales
La parte de la descomposición de la fracción parcial de (), correspondiente al factor lineal
 ¡  de multiplicidad , es una suma de  fracciones parciales que tienen la forma
1
2

+
+ ¢¢¢ +
2
 ¡  ( ¡ )
( ¡ )
donde 1  2      y  son constantes.
REGLA 2 Fracciones parciales de factores cuadráticos
La parte de la descomposición de la fracción parcial correspondiente al factor cuadrático irreducible( ¡ )2 +
2 de multiplicidad  es una suma de  fracciones parciales que tienen la forma
1  + 
2  + 2
  + 
i
+h
i2 + ¢ ¢ ¢ + h
2
2
( ¡ ) + 
( ¡ )2 + 2
( ¡ )2 + 2
donde 1  2        1  2  y  son constantes.
Para encontrar L¡1 f()g se necesitan dos pasos. Primero debe obtenerse la descomposición
de fracciones parciales de (), y luego la transformada inversa de Laplace de cada una de las
271
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
fracciones parciales individuales de alguno de los tipos que aparecen anteriormente. El último
paso se basa en la siguiente propiedad elemental de las transformadas de Laplace.
Teorema 7.1.5. Traslación sobre el eje s(Primer Teorema de Translación)
©
ª
Si  () = L f ()g existe para    ¸ 0, entonces L   () existe para    + , y
Lf ()g =  ( ¡ )
(¤)
De manera equivalente:
A la inversa, si () = L¡1 f()g, entonces
  () = L¡1 f ( ¡ )g
(¤¤)
Según el teorema, la multiplicación de () por  da por resultado una traslación de la transformada  () una distancia  en la dirección  positiva e inversamente. La demostración de este
teorema sólo requiere la evaluación de Lf ()g
Lf  ()g =
+1
Z
¡  ()  =
l¶³m
¡!+1
0
Z
¡(¡) ()
0
=  ( ¡ )
que es la ecuación requerida (¤). La restricción    +  se deduce de la observación de que,
según la hipótesis (ii) del teorema de la existencia de la transformada de Laplace, j ()j · 
de donde  () · ¡(¡) . La ecuación (¤¤)
se concluye al tomar la transformada inversa de la (¤) y la demostración queda completa. La
aplicación principal del teorema (Traslación sobre el eje ) se encuentra en la evaluación de
ciertas transformadas inversas, como se ilustra en el sigiiente ejemplo.
Ejemplo 7.1.6. Hallar la transformada inversa de
() =
1

2 ¡ 4 + 5
Al completar el cuadrado del denominador es posible escribir
() =
1
=  ( ¡ 2)
( ¡ 2)2 + 1
en donde  () = (2 + 1)¡1 .
Los resultados de esta sección a menudo son útiles para resolver ecuaciones diferenciales, en
especial las que tienen funciones de fuerza discontinuas. La siguiente sección se dedica a presentar
ejemplos que ilustran este hecho.
272
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Transformadas de problemas con valores iniciales
Se presentará ahora la aplicación de la transformada de Laplace para resolver una ecuación
diferencial lineal con coe…cientes constantes, tal como
"() + 0 () + () = ()
(1)
con condiciones iniciales dadas (0) = 0 y 0 (0) = 0 (0). Mediante la linealidad de la transformada de Laplace podemos transformar la ecuación (1) tomando de manera separada la transformada de Laplace de cada término de la ecuación. La ecuación transformada es
Lf"()g + Lf0 ()g + Lf()g = Lf ()g;
(2)
esta ecuación involucra las transformadas de las derivadas  y 0 de la función desconocida ().
La clave del método está en el teorema de linealidad, el cual indica cómo expresar la transformada
de la derivada de una función en términos de la transformada de la función misma.
Teorema 7.1.7. Transformadas de derivadas
Supóngase que  es continua y que 
0
es continua por trozos sobre cualquier intervalo [0 ], y
que  es de orden exponencial cuando  ¡! +1, de manera que existen constantes no negativas
  y  tales que
j ()j ·  para  ¸ 
Entonces, Lf 0(()g existe para    y además
Lf 0 ()g = Lf (()g ¡ (0) =  () ¡ (0)
Prueba.Para probar este teorema se considerará la integral
+1
Z
¡  0 ()
0
Si 1  2    denotan los puntos en el intervalo [0 ] en donde  0 es discontinua, se obtiene
Z
0
Z1
Z2
Z
¡  0 () = ¡  0 () + ¡  0 () + ¢ ¢ ¢ + ¡  0 ()
0
1

Si se integra por partes cada término de la derecha se obtiene
273
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Z
¡  0 () =
0
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
£ ¡
¤
£
¤
£
¤
 () 01 + ¡  () 21 + ¢ ¢ ¢ + ¡ () 
2
3
Z1
Z2
Z
+ 4 ¡ () + ¡ () + ¢ ¢ ¢ + ¡  ()5 
1
0

Dado que  es continua, se cancelan las contribuciones de los términos integrados en 1  2    .
Al combinar las integrales da
Z

¡ 0
 () = 
¡
0
Z
 () ¡  (0) +  ¡ ()
0
Cuando  ¡! +1, ¡ () ¡! 0 siempre que   . De donde, para   ,
Lf 0 ()g = Lf (()g ¡  (0)
con lo que se establece el teorema.
Observación 7.1.8. Si  0 y "satisfacen las mismas condiciones impuestas sobre  y 
0
re-
spectivamente, en el teorema ánterior, entonces se concluye que la transformada de Laplace de
 " también existe para    y se expresa por
Lf "()g = 2 Lf (()g ¡  (0) ¡ 0(0)
De hecho, siempre que la función  y sus derivadas satisfagan condiciones adecuadas, puede
obtenerse una expresión para la transformada de la ¡ésima derivada  () , mediante aplicaciones sucesivas de este teorema. Este resultado se da en el siguiente corolario.
Corolario 7.1.9. Transformada de derivadas de orden superior
Supóngase que las funciones  0 "      (¡1) son continuas y que  () es continua por trozos
sobre cualquier intervalo [0 ], y que cada una de estas funciones existen las constantes   y
 tales que
j()j ·  
¯
¯
¯ (¡1) ¯
()¯ ·  
¯
j 0()j ·  
para  ¸ 
Entonces Lf () g existe para    y se expresa por
Lf () g =  Lf (()g ¡ ¡1 (0) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡  (¡2) (0) ¡  (¡1) (0)
274
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 7.1.10. Resolver el problema con valores iniciales
" ¡ 0 ¡ 6 = 0; (0) = 2 0(0) = ¡1
Solución Con los valores iniciales dados, aplicando los teoremas nos llevan a que
Lf0()g = Lf()g ¡ (0) = () ¡ 2
y
Lf"()g = 2 Lf()g ¡ (0) ¡ 0(0) = 2 () ¡ 2 + 1
donde (de acuerdo con nuestra convención respecto de la notación) () representa la transformada de Laplace de la función (desconocida) (). De esta manera, la ecuación transformada
es
[2 () ¡ 2 + 1] ¡ [() ¡ 2] ¡ 6[()] = 0
la cual se simpli…ca rápidamente en
(2 ¡  ¡ 6)() ¡ 2 + 3 = 0
Así,
() =
2 ¡ 3
2 ¡ 3
=

¡¡6
( + 2) ( ¡ 3)
2
Por el método de fracciones parciales (del cálculo integral), existen constantes A y B tales que
2 ¡ 3


=
+

( + 2) ( ¡ 3)
( + 2) ( ¡ 3)
y al multiplicar ambos lados de esta ecuación por ( ¡ 3)( + 2) se llega a la identidad
2 ¡ 3 = ( + 2) + ( ¡ 3)
Si se sustituye  = 3, se encuentra que  = 53 ; la sustitución de  = ¡2 muestra que  = 75 .
Así,
1
Como L¡1 f ¡
g =  , se sigue que
3
7
() = 3 + ¡2
5
5
es la solución del problema original con valores iniciales. Nótese que se encontró primero la
solución general de la ecuación diferencial. El método de la transformada de Laplace proporciona directamente la solución particular deseada considerando automáticamente por medio del
teorema y su corolario las condiciones iniciales dadas.
275
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 7.1.11. Encontrar la solución de la ecuación diferencia
" +  = sen 2
que satisfaga las condiciones iniciales
(0) = 2
0(0) = 1
Solución.Se supone que este problema con valor inicial tiene una solución  = 0 (0, que con sus
dos primeras derivadas satisface las condiciones del corolario del teorema anterior. Entonces, si
se toma la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, se tiene
2  () ¡  (0) ¡  0(0) +  () =
2

2 + 4
en donde se obtuvo la transformada de sen 2 de la tabla. Al sustituir (0) 0(0) por sus valores
dados en las condiciones iniciales y despejar  (), se obtiene
 () =
23 + 2 + 8 + 6
(2 + 1) (2 + 4)
Si se aplican fracciones parciales, es posible escribir  () en la forma
 () =
 +   + 
+ 2
2 + 1
 +4
Al desarrollar el numerador del segundo miembro de la ecuación anterior e igualarlo al numerador
:23 + 2 + 8 + 6
23 + 2 + 8 + 6 = ( + )3 + ( + )2 + (4 + ) + (4 + )
para toda . Entonces, si se comparan los coe…cientes de potencias iguales de , se tiene
 +  = 2 4 +  = 8  +  = 1 4 +  = 6
Como consecuencia,  = 2  = 0  = 53 ;y  = ¡ 23 de lo cual se deduce que
 () =
5
¡ 23
2
3
+
+
2 + 1 2 + 1 2 + 4
Usando la tabla , la solución del problema con valor inicial dado es
 = () = 2 cos  +
276
5
sen  ¡ 3 sen 2
3
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 7.1.12. Encontrar la solución del problema con valor inicial
  ¡  = 0
(0) = 0
0(0) = 1
"(0) = 
000(0) = 0
Solución.En este problema es necesario suponer que la solución  = () satisface las condiciones del corolario del teorema, para  = 4. La transformada de Laplace de la ecuación diferencial dada es
4  () ¡ 3 (0) ¡ 2 0(0) ¡ "(0) ¡ 000(0) ¡  () = 0
En consecuencia, si se aplican las condiciones iniciales y se despeja  (), se tiene
 () =
El desarrollo en fracciones parciales de  () es
 () =
2

4 ¡ 1
 +   + 
+ 2

2 ¡ 1
 +1
y se concluye que
( + )(2 + 1) + ( + )(2 ¡ 1) = 2
(¤)
para toda . Al hacer  = 1 y  = ¡1, respectivamente, en la ecuación anterior, se obtienen el
par de ecuaciones
2( + ) = 1
2(¡ + ) = 1
y, por lo tanto,  = 0 y  = 12 . Si en la ecuación (¤) se hace  = 0, entonces  ¡  = 0, de modo
que  = 12 . por último, al igualar los coe…cientes de los términos cuadráticos de cada miembro
de la ecuación (¤), se encuentra que  +  = 0, de modo que  = 0. Por tanto,
 () =
1
2
2 ¡ 1
+
1
2
2 + 1

y de la tabla , la solución del problema con valor inicial es
 = () =
 + sen 

3
Las aplicaciones elementales más importantes de la transformada de Laplace se encuentran en
el estudio de las vibraciones mecánicas y en el análisis de los circuitos eléctricos.
277
Cálculo Aplicado Norberto Chau
7.1.1.
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ecuaciones diferenciales con funciones de fuerza discontinuas
En esta sección la atención se centra en algunos ejemplos en los que el término no homogéneo,
o función de fuerza, es discontinuo.
Ejemplo 7.1.13. Considérese un sistema masa-resorte con  = 12 ,  = 17 y  = 3 en unidades
mks (…g. ). Como de costumbre, sea () la función que describe el desplazamiento de la masa 
a partir de su posición de equilibrio. Si la masa se pone en movimiento con (0) = 3 y 0 (0) = 1,
encuentre () para las oscilaciones libres amortiguadas resultantes.
Solución.
 .Sistema masa-resorte-amortiguador
La ecuación diferencial es
1
"() + 30 + 17 = 0;
2
de esta manera, debe resolverse el problema con valores iniciales, debe resolverse el problema
con valores iniciales
"() + 60 + 34 = 0; (0) = 3 y
0 (0) = 1
Considérese la transformada de Laplace de cada término de la ecuación diferencial. Debido
(obviamente) a que Lf0g = 0, se obtiene la ecuación
£ 2
¤
 () ¡ 3 ¡ 1 + 6[() ¡ 3] + 34() = 0
la cual se resuelve para () como
Aplicando las fórmulas con  = 3 y  = 5, se observa que
() = ¡3 (3 cos 5 + 2 sen 5)


Función de la posición ()
278
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
La …gura muestra la grá…ca de esta oscilación amortiguada que decae rápidamente.
Funciones de entrada periódicas y continuas por tramos
Funciones escalón
En la sección anterior se describió el procedimiento general que se sigue al resolver problemas
con valor inicial por medio de la transformada de Laplace. Algunas de las aplicaciones elementales más interesantes del método de la transformada se presentan en la solución de ecuaciones
diferenciales lineales con funciones de fuerza discontinuas o de impulso. En el análisis del ‡ujo de
corriente en circuitos eléctricos o en las vibraciones de sistemas mecánicos surgen con frecuencia
ecuaciones de este tipo. En esta sección y en las siguientes se desarrollan algunas propiedades
adicionales de la transformada de Laplace que resultan útiles en la solución de estos problemas.
A menos que de manera especí…ca se indique lo contrario, se supondrá que todas las funciones
que se presentan en seguida son seccionalmente continuas y de orden exponencial, de modo que
existe su transformada de Laplace, por lo menos para s su…cientemente grande.
Los modelos matemáticos de sistemas eléctricos y mecánicos con frecuencia involucran funciones
con discontinuidades que corresponden a fuerzas externas que se conectan o desconectan abruptamente del sistema. Una de ellas es la función escalón unitario.
De…nición 7.1.14. La función escalón unitario, denotada por , y que se de…ne por
(
0 si   
 () = ( ¡ ) =
1 si  ¸ 
La notación  () indica de manera sucinta dónde la función escalón unitario toma lugar (…g),
mientras que ( ¡ ) signi…ca la algunas veces útil idea de un “retardo …nito” a antes de que
se presente el escalón.
Teorema 7.1.15. Traslación en el eje t(Segundo Teorema de Translación)
Si la  () = Lf()g existe para   , y si  es una constante positiva,entonces
Lf ( ¡ ) ( ¡ ) = ¡ Lf()g = ¡  ()g para   
A la inversa, si () = L¡1 f ()gg, entonces
L¡1 f¡  ()g =  ( ¡ ) ( ¡ )
para    + 
279
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Obsérvese que
 ()( ¡ ) = ( ¡ )( ¡ ) =
(
0
si

( ¡ )
si
¸
Prueba.El teorema simplemente a…rma que la traslación de () una distancia  en la dirección 
positiva corresponde a la multiplicación de  () por ¡ . Para probar el teorema basta calcular
la transformada de  () ( ¡ ) :
Lf ( ¡ ) ( ¡ ) =
=
+1
Z
¡  ( ¡ ) ( ¡ )
0
+1
Z
¡ ( ¡ )

Si se introduce una nueva variable de integración  =  ¡  se tiene
Lf ( ¡ )  ( ¡ )g =
+1
+1
Z
Z
¡(+)
¡

() = 
¡ ()
0
¡
= 
0
 ()
Por tanto, se establece la ecuación dada; a la inversa se deduce al tomar la transformada inversa
de los dos miembros de la ecuación dada.
Ejemplo 7.1.16. Con  () = 12 2 , del teorema se obtiene
L¡1 f
¡
1
g =  ( ¡ ) ( ¡ )2
3
2
(
0
si
=
1
2
2 ( ¡ ) ) si
280

¸
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 7.1.17. Encuéntrese Lf()g si
() =
(
0
si
3
2 
si
¸3
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Solución. Antes de aplicar el teorema debe escribirse primero () en la forma ( ¡ 3) ( ¡ 3).
La función () cuya traslación 3 unidades a la derecha coincide (para  ¸ 3) con
() = 2  es () = ( + 3)2 debido a que ( ¡ 3) = 2 .Pero entonces
 () = Lf2 + 6 + 9g =
2
6
9
+
+ 
3 2 
así, el teorema se obtiene
Lf()g = L f ( ¡ ) ( ¡ )g = ¡3  ()
µ
¶
2
6
9
¡3
= 
+
+

3 2 
Ejemplo 7.1.18. Encuéntrese Lf ()g si
 () =
(
cos 2
si
0 
si
0 ·   2
 ¸ 2
Solución. Se observa primero que
() = [1 ¡  ( ¡ 2)] cos 2 = cos 2 ¡  ( ¡ 2) cos 2
debido a la periodicidad de la función coseno. Por lo tanto del Teorema se obtiene
Lf()g = Lfcos 2g ¡ ¡2 Lfcos 2g
¡
¢
 1 ¡ ¡2
=
2 + 4
281
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 7.1.19. Si se de…ne la función  por
(
sen 
() =
sen  + cos( ¡ 4 )
si
0·
si
¸

4

4
encontrar Lf()g.
Solución.
1.5
0.5
Grá…ca de la función 
La grá…ca de  = () se muestra en la …gura. Nótese que  () = sen  + (), en donde
() =
Por tanto,
(
0
si

cos( ¡ 4 )
si
¸
() =  4 ()( ¡

4

4

)
4
y
Lf()g = Lfsen g + Lf 4 ()( ¡
= Lfsen g + ¡ Lfg

)g
4
Si se introducen las transformadas de sen  y cos , se obtiene
Lf()g = Lfsen g + Lf 4 ()( ¡


)g
4
= Lfsen g + ¡ 4  Lfg
Lf()g =
=

1

+ ¡ 4  2
2 ¡ 1
 +1

1 + ¡ 4 
2 + 1
Se debe comparar este método con el cálculo de .Lf()g, directamente a partir de la de…nición.
282
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Ejemplo 7.1.20. Una masa de 32 libras de peso (masa  = 1 slug) está unida al extremo libre
de un resorte ligero que es estirado 1 pie por una fuerza de 4 libras ( = 4 libras/pie). La masa
se encuentra inicialmente en reposo en su posición de equilibrio. Iniciando en el tiempo t =0
(segundos), se le aplica una fuerza externa f(t) =cos 2t a la masa, pero en el instante  = 2
la fuerza se interrumpe (abruptamente discontinua) y la masa queda libre continuando con su
movimiento. Encuéntrese la función x(t) de posición resultante para la masa.
Solución.
Es necesario resolver el problema con valores iniciales
"() + 4 = 0; (0) = 0 (0) = 1
donde
 () =
(
0
si

cos( ¡ 4 )
si
¸

4

4
La ecuación transformada es
¡
¢
¡ 2
¢
 1 ¡ ¡2
 + 4 () =  () =

2 + 4
así
() =
(2
Debido a que
¡1
L
½


¡2
2 ¡
2
+ 4)
( + 4)2

2
( + 4)2
¾
=  sen 2
por la tabla, se concluye del teorema que
1
1
 sen 2 ¡ ( ¡ 2) ¢ ( ¡ 2) sen 2( ¡ 2)
4
4
1
=
[ ¡ ( ¡ 2) ¢ ( ¡ 2)] sen 2
4
() =
Si se separan los casos   2 y  ¸ 2, se encuentra que la función de la posición puede escribirse
en la forma
() =
(
1
4  sen 2
1
2  sen 2
283
si
  2
si
 ¸ 2
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Grá…ca de la función ()
Como se muestra en la grá…ca de () de la …gura , la masa oscila con frecuencia angular  = 2
y con una amplitud linealmente creciente hasta que se retira la fuerza en el tiempo  = 2. A
partir de ese momento la masa sigue oscilando con la misma frecuencia pero con una amplitud
constante 2. La fuerza  () = cos 2t produciría una resonancia pura si continuara de manera
inde…nida, pero se observa que su efecto cesa inmediatamente después del momento en que es
suspendida.
Si se intenta resolver este ejemplo con los métodos anterior, es necesario solucionar un problema
para el intervalo [0 2], y después un nuevo problema con condiciones iniciales distintas para
el intervalo  ¸ 2. En este caso, se aprovecha la característica distintiva del método de la
transformada de Laplace de no requerir resolver problemas distintos en diversos intervalos.
Funciones de impulso: delta de Dirac
El sistema de masa-resorte introducido anteriormente, se aplicará una fuerza externa  que
actúa (dirección vertical) sólo por un cierto período de tiempo y gran intensidad. En tales casos,
transformar, Laplace convierte en una herramienta e…caz en resoluçión de problemas, mientras
que si los métodos tradicionales no se aplica.
De…nición 7.1.21. Para una,   0 con    para considerar la siguiente función(
8
>
si 0 ·    ¡ 
>
< 0

1
 () =
2  si  ¡  ·  ·  + 
>
>
: 0
si  +  · 
Tenga en cuenta que para   0 0 su…cientemente pequeño, la función  () actúa en un corto
período de tiempo con mucha intensidad, o lo que representa un impulso.Además, note que
+1
+
Z
Z
1

 ()  =
 = 1
2
¡
0
A través de estas relaciones, la función  se llama impulso unitario. En lo que sigue,será
interesante para estudiar las ecuaciones diferenciales cuando tomamos el límite de  cuando
284
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 ¡! +1, incluso si el valor de dicho límite no representa una función real en sí.Consideremos
ahora la "función" ( ¡ ) de…nido por
 ( ¡ ) =
l¶³m  ()
 ¡!+1
y observe que
(  ( ¡ ) se caracteriza por las siguientes propiedades:
0
si  6= 
i )  () =
+1 si  = 
+1
Z
ii )
 ( ¡ )  = 1
0
La expresión  ( ¡ ) no representa, de hecho, una función real de…ne los valores reales.Podríamos
decir que se trata de una distribución, cuya de…nición más precisa y propiedades no son obje-
tivos de este texto. Sin embargo, la "función" ( ¡ ) pueden ser estudiada en EDO’s usando la
transformada de Laplace, como veremos más adelante, y conocida como función delta de Dirac.
Tenga en cuenta también que esta función representa un impulso unitario en el instante  = .
El siguiente paso es para introducir la transformada de Laplace a la expresión  ( ¡ ) , la cuál
de…nimos por la expresión:
Lf ( ¡ )g := l¶³m Lf ()g
 ¡!0
El siguiente resultado muestra que el límite anterior es convergente y por esta razón, la transformada Lf ( ¡ )g está bien de…nida.
Teorema 7.1.22. Para todo   0 tenemos
Lf ( ¡ )g = ¡    0
Además, de…niendo
Lf ()g = l¶³m Lf ( ¡ )g
¡!0+
entonces Lf ()g = 1.
Prueba : Note que
 () =
1
f¡ () ¡ + ()g 
2
Por lo tanto,
Lf ()g =
=
=
1
fLf¡ ()g ¡ Lf+ ()gg
2
½
¾
¡ 1   ¡ 
¡
 2 2
2
½
¾
¡

senh( )


285
Cálculo Aplicado Norberto Chau
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Por L’Hôpital, se deduce que
l¶³m
 ¡!0
½
¾
¡
senh( )
=
l¶³m
  ¡!0

½
¾
¡
 cosh( )
=
l¶³m
  ¡!0
1
¡
=  
Lf ()g
Ejemplo 7.1.23. (sistema masa-resorte sin amortiguación)
Determinar la solución de la PVI siguiente:
(
" +  = ( ¡ )
(0) = 0(0) = 0
en la que     0.
Solución: La aplicación de la transformada de Laplace y usando las condiciones inciales,obtenenemos
Lfg =
¡

2 + 
Por lo tanto,
() = L¡1 f
¡
g =  ()( ¡ )
2 + 
donde
¡
1
() = L¡1 f 2
g= p
 () sen
 + 

Ãr
!

( ¡ ) 

Por lo tanto,
Ãr
!
1

() = p
 () sen
( ¡ )


8
>
< 0
si
µq
¶
() =
1

>
: p sen
 ( ¡ )  si

·

Ejemplo 7.1.24. Determinar la solución de la PVI siguiente:
(
donde      0 con  6=
" +  =  sen() ¡ 2( ¡ 10)
(0) = 0(0) = 0
q

.
286
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Solución.De acuerdo con lo anterior, PVI corresponde al movimiento sin amortiguación sistema
de resorte-masa que está sujeto a una fuerza sinusoidal () =  sen() en el instante  = 0 y en
el tiempo  = 10 sufre un corte limpio (impulso) de arriba (lo contrario del movimiento positivo)
proporcionar al instante 2 unidades la cantidad de movimiento. observación física hecho, hemos
creado (obligatorio) para la solución por transformada de Laplace. De hecho, cabe destacar que
(2 + )Lfg =
2

¡ 2¡10 
+ 2
Luego,
Lfg =

2¡10
¡

(2 +  2 ) (2 + ) (2 + )
½
¾
de donde se tiene
¡1
=L

2
2
( +  ) (2 + )
¡1
¡L
½
2¡10
2 + )
¾

Ahora note que
1 () = L¡1
y
½

2
2
( +  ) (2 + )
¡1
2 () = 2L
=
8
>
< 0
>
:
½
¾
2¡10
2 + )
p2

sen
µq

=
 ¡  2
¾
Ã
sen ()
¡

2
=p
10 () sen

¶

(
¡
10)


Ãr
si
 · 10
si
  10
r

sen

Ãr
!!



!

( ¡ 10)

Por lo tanto,  () = 1 () ¡ 2 () 
Ejemplo 7.1.25. ( Un PVI de orden n) Determinar la solución para la siguiente PVI:
(
L fg = ( ¡ )
(0) = 0(0) = ¢ ¢ ¢ =  (¡1) (0) = 0
donde L =  + ¡1 ¡1 + ¢ ¢ ¢ + 1  + 0 .
Solución.Aplicando a Transformada de Laplace, obtenemos
()L fg = ¡ 
donde () =  + ¡1 ¡1 +  + 1  + 0 . De ahí,
287
Cálculo Aplicado Norberto Chau
 () = L¡1
½
CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
¡
()
¾
=  ()( ¡ ) =
donde
¡1
() = L
288
½
(
1
()
¾
0
si
( ¡ )
si
·

CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Cálculo Aplicado Norberto Chau
Bibliografía
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289
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