ANÁLISIS MATEMÁTICO I GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS 2012 UNIDAD 2: INTEGRACIÓN Preparada por el Prof. Antonio Crivillero Rao INTEGRALES INDEFINIDAS MÉTODO DE INTEGRACIÓN Ejercicios resueltos a) Integral Inmediata 1) x. x / 4 x3 dx x( x)1/ 2 /( x)3/ 4 dx x3/ 2 / x3/ 4 dx x3/ 4 dx 4 4 3 x x C 7 2) 2 3 3 73 2 3 3 4 3 e x dx 3 e x 7 x C 3) 5x 5 dx ln(5) C x 4) 8(1 x )dx 8 arctg ( x) C 2 5) 1 3 x4 3 x 2 x 9 4 x dx 3 x 2 x x 2 4 x C 2 9 6) 8 cos 2 x dx 8tgx C 7) sen x cos x dx ctgx C 2 2 sen2 x 8) 3 8 y 2 dy 4 y 2 8 y 4 C 1 3 4 y b) Integración por regla de cadena (semi-inmediata) Sustitución Directa . 1 1) dx 1 dx 2 2 x a x 2 1 a 1 adt 1 dt 1 2 arctgt C 2 2 a 1 t a 1 t a a a 2 Sustitución t x a dt 1 dx a dx 1 x arctg C 2 x a a 2 2) e x x dx 2e x C 3) cos ln x x dx sen ln x C 1 4) x x 3 2 4 1 dx ln x3 12 x 8 C 3 12 x 8 5) sen 5x cos 5 x dx 2 cos 5 x cos 5 x 15 6) cos 3 x x 3 cos2 x.sen x x 2 2 1 cos3 x x 3 C 6 7) e4 x e4 x 1 4x ; 1 e8 x 1 e8 x dx 4 arctg (e ) C 8) 2 w dw 2 w 2 w ln 2 C 9) 2tdt 1 t 4 arcsen t 2 C 10) 2 dx 3 2 x x 1 2 x 1 du 3 3 x 2 x 1 2 C 3 u 2 x 1 2 2x 1 u x2 x 1 du 2 x 1 dx 11) 3 2 cos x .senxdx 33 4 2 cos x C 4 c) Método de Integración por partes El método de integración por partes esta basado en el siguiente teorema: Si f y g son dos funciones derivables y si f’ y g’ son funciones continuas, entonces: f x g ' x dx f x g x f ' x g x dx (1) Observación: I) A los fines prácticos se suele utilizar la siguiente fórmula para la integración por partes: Si u f x du f ' x dx v g x dv g ' x dx sustituyendo todo esto en (1) obtenemos udv uv vdu II) El propósito de usar el método de integración por partes es el de realizar una integral más simple vdu que la original udv III) Procedimiento: a. Se elige como u f x a la función que no sea tan complicada de calcular su derivada. b. Se elige como dv g ' x dx a la expresión que se pueda integrar fácilmente para obtener v c. Se verifica si la elección es adecuada cuando al calcular la integral vdu sea menos complicada que la integral original udv Veamos algunos tipos en los que se pueda aplicar la fórmula para integrar por partes: Tipo A Función potencial x m multiplicada por un exponencial e ax ó por una función seno ó coseno. Ejemplo 1) 3 xe dx u x du dx x dv e x dx v e x dx e x udv uv vdu xe dx xe e dx xe dx xe e C xe dx e x 1 C x x x x x x x x Ejemplo 2) xsenxdx u x du dx dv senxdx v senxdx cos x udv uv vdu xsenxdx x cos x cos xdx xsenxdx x cos x senx C Ejemplo 3) x cos xdx u x du dx dv cos xdx v cos xdx senx udv uv vdu x cos xdx xsenx senxdx x cos xdx xsenx cos x C Observación: La función potencial x m multiplicada por una exponencial e ax o por una función seno o coseno se integran por partes y la elección de u es siempre la función exponencial. x e dx x senaxdx x cos axdx u ax u u u xu ; dv e ax dx u x u ; dv senaxdx u x u ; dv cos axdx Calcular las siguientes integrales del Tipo A. Integral x e dx 2) x e dx 1) 3 x 2 x 3) xsen2 xdx Respuesta e x x3 3x 2 6 x 6 C e x x 2 2 x 2 C 1 1 sen2 x x cos 2 x C 4 2 4 4) x senxdx x3 cos x 3x2 senx 6 x cos x 6senx C 5) x senx x 2 2 2 x cos x C 6) x cos(3x)dx 3 2 cos xdx 1 1 xsen3x cos 3x C 3 3 Tipo B Función logarítmica multiplicada por una exponencial x n se integra por partes; donde se elige como dv xmdx Funciones trigonométricas inversas multiplicadas por una constante o por una identidad x se integra por partes, donde dv xdx Ejemplo 1) x 4 1 dx x 1 dv x 4 dx v x 5 5 u ln x du ln xdx udv uv vdu 1 1 ln xx dx ln x 5 x 5 x 4 5 5 1 dx x 1 5 1 1 11 x ln x x 4 dx x 5 ln x x 5 C 5 5 5 55 1 5 1 x ln x C 5 5 Ejemplo 2) arcsenxdx u arcsenx du 1 1 x2 dx dv dx v x udv uv vdu arcsenxdx arcsenxx x 1 1 x2 dx xarcsenx 1 x 2 C arcsenxdx xarcsenx 1 x2 C Por sustitución 5 x 1 x 2 w 1 x2 dx dw 2 xdx 1 12 1 12 2 w dw 2w w 1 x 2 2 Ejemplo 3) arctg 2 x dx u arctg 2 x du 2 1 2x 2 dx dv dx v x udv uv vdu 2 arctg 2 x dx arctg 2 x x x 1 4 x 2 dx 1 xarctg 2 x ln 1 4 x 2 C 4 1 2 arctg 2 x dx xarctg 2 x 4 ln 1 4 x C 2x 1 4x w 1 4 x 2 dw 8 xdx dx 2 dw 8x 1 dw 1 1 ln w ln 1 4 x 2 4 w 4 4 Calcular las siguientes integrales Tipo B Integral 1) ln x 2) xarcsenxdx 3) xarctgxdx 3 Respuesta 1 1 x 2 ln x C 2 2 2 2x 1 x 1 x2 C arcsenx 4 4 dx x2 1 x arctgx C 2 2 Tipo C Función exponencial e x multiplicada por la función seno o coseno se integra por partes y la elección de u y de dv es de cualquier forma. Es decir se puede elegir a u como la función trigonométrica, ver ejemplo 1) o se puede elegir u como la función exponencial, ver ejemplo 2). e senxdx udv uv vdu e senxdx senxe e Ejemplo 1) x x x u senx du cos xdx; dv e x dx v e x x cos xdx 6 Dejemos por un momento e integremos u cos x du senxdx e x cos xdx lo hacemos por partes: dv e x dx v e x e x cos xdx cos xe x e x senxdx Volvemos donde habíamos quedado y reemplazamos e cos xdx cos xe e senxdx e senxdx senxe cos xe e senxdx x x x x x x x 1 2 e x senxdx e x senx e x cos x e x senxdx e x senx cos x C 2 e cos xdx udv uv vdu u e du e dx; dv cos xdx v senx e cos xdx e senx senxe dx Dejemos por un momento e integremos senxe dx lo hacemos por partes: x Ejemplo 2) x x x x x x u e x du e x dx dv senxdx v cos x senxe dx e cos x cos xe dx e x x x x cos x e x cos xdx Donde habíamos quedado, reemplacemos senxe dx e cos x e cos xdx e cos xdx e senx senxe dx e senx e e senx e cos x e cos xdx x x x x x x x x x x cos x e x cos xdx x 1 2 e x cos xdx e x senx e x cos x e x cos xdx e x senx cos x C 2 Calcular las siguientes integrales del Tipo C Integral 1) e 2) e 3x senxdx 3x cos 2 xdx 3) e3 x sen2 x cos 2 x dx Respuesta 1 3x e 3sen2 x cos 2 x C 13 1 3x e 3cos 2 x 2sen 2 x C 13 e3 x sen 2 x 5cos 2 x C 13 Ejercicios varios de integrales por partes Integral Respuesta 7 e x x 1 C xe dx 2) x 1 e dx 3) x x e dx 4) ln x dx 5) ln x dx x 1) 2 e x x 2 1 C x e x x 2 3 x 3 C x 2 x ln x 1 C x ln 2 x 2 x 1 ln x C 2 1 2 x ln xdx 7) x / ln x dx 6) 2x arctg 3x dx 9) e 2 cos x / 2 dx x ln x 1 x dx 11) sen ln x dx 2 10) 12) cos ln x dx e dx 14) sen xdx x 13) 2 ln x 2 C 1 2 ln x C 2 1 xarctg 3x ln 1 9 x 2 C 6 8) 1 2 e x 2 sen x / 2 cos x / 2 C x ln x 1 x 2 1 x 2 C x sen ln x cos ln x C 2 x cos ln x sen ln x C 2 2e x x 1 C x sen2 x C 2 4 d) Integración de funciones alg . Racionales P x Q x dx Donde P x y Q x son polinomios de grado “m” y “n” respectivamente. Es decir, P x am x m am1 x m1 ... a1 x a0 Q x bn x n bn 1 x n 1 ... b1 x b0 Consideremos los siguientes casos: CASO I) El grado del numerador P x es menor que el grado del denominador Q x ; es decir: m n I. -1) El grado de P x es cero (polinomio constante: P x a0 . El grado del Q x es 1 (uno) (Polinomio lineal: Q x b1 x b0 ) a0 b x b dx 1 Se resuelve por sustitución directa. 0 Ejemplo 1) 8 3 4 x 2dx 3 si u 4 x 2 du 4dx 3 du 3 3 ln u C ln 4 x 2 C u 4 4 4 x 2dx 4 I. -2) El denominador Q x tiene raíces reales, simples y distintas. Se resuelve previamente aplicando “DESCOMPOSICIÓN en fracciones Simples; que consiste en descomponer P x Q x en suma de fracciones simples” Ejemplo 1) 2x 2 x 5 dx 10 x 8 a) Se calculan las raíces x1 1; x2 4 luego tenemos del dos denominador 2 x2 10 x 8 0 donde raíces reales y distintas; luego 2 x2 10 x 8 2 x 1 x 4 b) Aplicamos “Descomposición en fracciones simples” x 5 2x2 10x 8 k1 2 x 1 k2 x 4 x 5 2x 2 10x 8 k1 x 4 k2 2 x 1 2 x 1 x 4 ; Luego x 5 k1 x 4 k2 2 x 1 4 3 1 si x 4 1 k2 6 k2 6 Por consiguiente tenemos x 5 2x2 10x 8 4 3 2 x 1 1 6 x 4 si x 1 4 k1 3 k1 Finalmente integrando: x 5 dx x 5 dx 2x 2 10x 8 4 3dx 2 x 1 1 6 dx x 4 2x 2 10x 8 2 3 ln x 1 1 6 ln x 4 C I. -3) El denominador Q x tiene raíces reales múltiples. También se resuelve aplicando previamente la “Descomposición en fracciones simples”. Ejemplo 1) 2x 3 x 2 dx Las raíces del denominador son: 3 x 2 3 0 x 2 x 2 x 2 0 x1 x2 x3 2 tres raíces reales e iguales. 9 2x 3 k1 k2 x 2 dx x 2 x 2 3 3 2 2 x 3 k1 k2 ( x 2) k3 x 2 k k ( x 2) k3 x 2 k3 1 2 3 x 2 x 2 2 2 si x 2 7 k1 ; si x 0 3 7 2k2 4k3 2k2 4k3 4 si x 1 5 7 k2 k3 k2 k3 2 Resolviendo estas ecuaciones obtenemos que k 2 =2, k3 =0. Luego tenemos: 2x 3 7 2 x 2 dx x 2 x 2 3 3 2x 3 7 x 2 x 2 dx 3 2x 3 7 x 2 dx 2 x 2 3 2 dx 3 2 2 x 2 2 7 1 1 2 2 x 2 2 x 2 2 C x2 I. -4) El numerador es un polinomio de grado cero. El denominador es un polinomio con raíces complejas simples. 1 Q x dx Se resuelve por sustitución directa previamente se completa en el denominador los cuadrados. Ejemplo 1) x2 2 x 5 0 x 2 dx Calculo de las raíces del denominador x1 1 2i 2x 5 x2 1 2i Completar los cuadrados en x 2 _ 2 x 5 x 1 4 2 x 2 dx dx llevan la forma 2 2x 5 x 1 4 u du 1 2 1 dx 1 dx x 1 4 x 12 4 4 x 1 2 si u 2 1 1 2 4 du dx 2 2 du 1 1 x 1 arctgu arctg C 2 4 u 1 2 2 2 x 2 dx 1 1 1 arctg x C 2x 5 2 2 2 10 I. -5) El numerador es un polinomio lineal de la forma P x a1 x a0 . El denominador es un polinomio cuadrático Q x b2 x b1 x b0 con raíces complejas simples. de la forma 2 x2 4 x 5 0 3x 4 Calcular las raíces del denominador: dx x2 4x 5 x1 2 i; x2 2 i …Derivamos el denominador x 2 4 x 5 ' 2 x 4 …La derivada obtenida debe figurar en el numerador 3x 4 3 2x 4 2 2 3 2x 4 2 3x 4 3 2x 4 2 2 x2 4 x 5dx x2 4 x 5 dx 2 x 2 4 x 5dx x 2 4 x 5dx I II I 2 3 2x 4 u x 4 x 5 dx 2 x2 4x 5 du 2 x 4 dx 3 du 3 3 ln u ln x 2 4 x 5 2 u 2 2 II Se resuelve como en el caso I – 4). x 2 4 x 5 x 2 1 2 dx x 2 4 x 5 u x 2 du dx 2 2du du 2 2 2arctgu 2arctg x 2 2 1 u 1 u Resultado: x 2 3x 4 3 dx ln x 2 4 x 5 2arctg x 2 C 4x 5 2 I. -6) El denominador tiene raíces reales y complejas. 2x 3 4x 8 dx x x 1 x2 4 Nos damos cuenta que el denominador tiene dos raíces reales y complejas conjugadas; luego tenemos: 11 2x 2x 3 4x 8 x x 1 x 2 4 k1 x k2 x 1 k3 x k4 x 2 4 3 4x 8 k1 x 1 x 2 4 k2 x x 2 4 k3 x k4 x x 1 si x 0 8 k1 1 4 0 0 k1 2 si x 1 10 0 k2 5 0 k2 2 si x 1 6 2 2 5 2 1 5 k3 k4 1 2 2 k3 k4 si x 2 0 2 1 8 2 2 8 2k3 k4 2 1 8 2k3 k4 Resolviendo este sistema 2 k3 k4 8 2k3 k4 Obtenemos k3 2 y k4 4 2x 3 4x 8 dx x x 1 x 2 4 2 x 2 x 1 2x x 2 4 4 x 2 4 dx 2 ln x 2 ln x 1 ln x 2 4 2arctg x 2 C CASO II) EL Grado del polinomio numerador P x es mayor o igual que el grado del denominador Q x ; es decir m n P x Q x dx En este caso se procede de la siguiente manera: a) Se efectúa la división de polinomios P x Q x R x C x b) Se expresa P x C x Q x R x c) En esta última expresión se divide por Q x P x C xQ x R x R x C x Q x Q x Q x d) Integramos lo obtenido últimamente P x R x R x dx C x dx dx C x dx Q x Q x Q x e) La primera integral al ser C x un polinomio, e inmediata. En cambio la segunda integral se resuelve según el caso que tengamos. Ejemplo 1) 3x 2 dx x4 12 3x 2 x4 3 x 12 3 10 3 x 2 3 x 4 10 3 x 2 3 x 4 10 10 3 x4 x4 x4 3x 2 10 dx x 4 dx 3 x 4 dx 3 dx 10 x 4 3x 2 dx 3x 10 ln x 4 C x4 Ejemplo 2) x 4 x3 x 1 x3 x 2 dx x 4 x3 x 1 x 4 x3 x 1 x3 x 2 x x 4 x3 x 1 x x 3 x 2 x 1 3 2 x 4 x3 x 1 x x x x 1 x 1 x 3 3 2 3 2 x x x x2 x x x 4 x3 x 1 x 1 x 1 x3 x 2 dx x x3 x 2 dx xdx x3 x 2 dx Según el Caso II. x1,2 0 x3 x 2 0 a) x3 1 b) por descomposición en fracciones simples: k1 1 k3 x 1 k1 k2 k2 2 x3 x 2 x 2 x x 1 k3 2 x2 xdx 2 x 1 1 dx dx 1 1 2 2 x3 x2 dx x2 x x 1 dx x 2 dx 2 x 2 x 1 x 2 ln x 2 ln x 1 13 x 4 x3 x 1 x2 1 dx 2 ln x 2 ln x 1 C x3 x 2 2 x x 4 x3 x 1 x2 1 x dx 2 ln C 3 2 x x 2 x x 1 Ejercicios de Integración de Funciones Racionales Integral Respuesta 5 1) dx x 3 dx 2) 3 6 x 7 x 2 3x xdx 3) 4 x 3x 2 2 5ln x 3 C 3 2 1 ln 3x 1 ln 2 x 3 ln x C 11 33 3 xdx 3x 2 5x 7 5) 2 dx x x 2 x 3 x2 2 ln C x2 1 1 2 ln x 2 2 x 1 C 5 2 x 3 ln C x 2 x 1 4) 2x 6) x4 2 x2 8x 6 dx 1 x 1 ln C 4 x 3 7) 4 x2 9 x 1 x3 2 x2 x 2 dx x 1 x 1 ln 8) x 3 9) 2 2x 5 2x 3 2 1 2 dx x3 3x 4 x 1 x 1 3 11 3 dx 2 4 2 5 12) 2 dx x 9 5 x 11 dx 13) 2 x 3x 7 11) 14) x x 2 x 1 dx 2x 5 3x 2 dx x5 x2 5x 9 dx 16) 2 x 5x 6 15) 3 2 x2 C 1 2 1 x 3 2 x 3 C 2 dx x 3 x 1 10) 3 13 3 ln x 3 x 1 C 16 4 x 2 1 x 1 1 1 ln C 3 4 x 1 2 x 1 2 x 12 7 dx 11 1 arctg x C 6 2 2 1 arctg x C 15 3 5 37 2x 3 ln x 2 3x 7 arctg C 2 19 19 1 1 1 ln x 2 2 x 5 2arctg x C 2 2 2 3x 13ln x 5 C x 3ln x 3 C x2 14 x3 2 x x3 2 x2 x dx x5 x 4 8 18) 3 dx x 4x x x3 1 19) 3 dx 4x x x 6 2 x 4 3x3 9 x 2 4 20) dx x5 5 x3 4 x 1 7 9 x ln x ln 2 x 1 ln 2 x 1 C 4 16 16 17) 1 2ln x 1 C x 1 x2 x 2 x3 x 2 4 x ln C 3 3 2 x 2 5 x x 2 x 1 x 1 x2 ln C 2 x2 3 e) Sustitución Inversa Sustitución 1+ex= u 1) e x u 1 dx 1 e x ln u 1 x dx du u 1 1) dx 1 e x du u u 1 Y se resuelve como función racional A 1 1 A B u u 1 u u 1 B 1 du du du u(u 1) u (u 1) ln(u) ln(u 1) C dx (e x ) x x ln(1 e ) ln( e ) ln C 1 ex (1 e x ) 2) cos x dx 2 xsen x cos x C Sustitución x u 3) e x dx arctg e x C Sustitución e x u x e 4) sen x 1dx x 1 cos x 1 sen x 1 C Sustituir x 1 u 5) 1 senxdx 1 senx C Sustitución 1 senx u 2 15 6) 1 sen 3x 7 2 dx 1 1 1 2 3x 7 2 cos 3x 7 2 sen 3x 7 2 C 3 f) Sustituir 3x 7 u 2 Integrales de funciones trigonométricas 1) 5 2 2 sen xdx senx sen x dx sen 1 cos x dx 2 2 sen xdx senx 1 2 cos 5 2 2 x cos 4 x dx senxdx 2 senx cos 2 xdx senx cos 4 xdx sen xdx cos x 3 cos x 5 3 1 5 cos x C 5 2) cos 3 1 2 x x 2 x 3 x dx sen 2sen sen C 2 2 2 2 3 2 3) cos 2 x 1 cos 2 x 1 x 1 dx sen 2 x C dx dx 2 2 2 2 4 sen xdx 2 4) cos 4 3 sen2 x sen4 x xdx x C 8 4 32 5) sen x cos xdx sen x cos x cos sen x cos xdx sen x cos xdx 2 3 2 6) sen2 x cos3 xdx 2 2 xdx sen 2 x cos x 1 sen 2 x dx 4 sen3 x sen5 x C 3 5 7) 3 5 18 5 5 3 5 8 5 sen x cos x dx sen x sen x C 8 18 8) 2 2 sen 4 x cos 4 x dx x sen 16 x C 8 128 9) 16 1 cos 2 x 1 cos 2 x xdx dx 2 2 1 1 1 1 1 cos 4 x dx cos 2 2 x dx x dx 4 4 4 4 2 1 1 1 x x sen 4 x C 4 8 32 sen x cos 2 2 10) 3 8 14 3 3 3 cos xsen x dx cos x cos 3 x C 8 14 5 3 INTEGRALES DEFINIDAS 1) 3/ 4 1/ 4 cos 2x dx Sustitución u 2x dx 1 du 2 ¼ 3/4 Al hacer el cambio de variable x por u, también cambian los límites de integración: 3 3 x como u 2 x 4 2 1 x como u 2 x 4 2 1 3/ 2 1 3 cos udu sen .sen 1 2 1/ 2 2 2 2 2) 1 2 0 dx 2 1 4x 8 3) Hallar el área comprendida entre las parábolas y 4 x2 y x2 2x A 2 1 x 2 2 x 4 x 2 dx 9 9 17 3 Calcular la longitud del arco de y x 2 que se extiende desde P=(1,1) y (4,4) = d con 5) L L 1 y ' dx x2 2 x1 4 1 1 9 xdx 7,63 4 6) x 3 2 1 2 x 3dx 32 2 7) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y rectas y=1; x=4 alrededor de la recta y=1 x y las 2 4 7 V x 1 dx 1 6 Hallar los valores de α para que la integral converge o diverge Y= Y= x x -1 8) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región entre la parábola x y 2 1 y la recta x 3 V 2 2 2 y 2 dy 64 2 15 2 2 18 2 9) Hallar el área encerrada por la parábola Y x2 2 y la recta y x f ( x) g ( x)dx 1 2 x x 2 dx 1 A 2 2 9 2 Integración por el método de sustitución inversa. 1) 1 dx Sustitución e x 1 u 2 e 1 1 dx 2arctg x e 1 x dx Sustitución x 1 u 2 x 1 3 1 x 2 dx x 1 2 2 x 1 2 C 3 x 1 x ex 1 C 2) 3) x x dx x 2 2 dx x2 2 Sustitución x 1 u 2 1 arccos 2 x Integración de funciones algebraicas racionales a) Raíces Reales y distintas 1) 19 x 2 x dx 1 Analizando integrando A1 A2 x x 1 x 1 x 1 2 A x 1 A2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x A1 x 1 A2 x 1 Si x 1 1 A2 2 A2 Si x 1 1 2 A1 1 2 A1 1 2 xdx 1 dx 1 dx 1 1 1 1 ln ln C 2 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 2) x2 2 x 3 1 3 x3 5x2 6 x dx 2 ln x 2 ln x 2 C 3) 2 x 1 x2 x 2 dx ln x 2 ln x 1 C ln x 1 x 2 C 4) x 2 4x 3 dx 15ln x 3 11ln x 2 C 5x 6 5) 1 1 3 1 x 1 dx ln x ln x C 2 8 2 8 2 1 4 x 6) x 2 2x 1 x2 3x 2 dx ln x 1 C 3 7) x 8 x 2 C 3 dx ln x3 4 x 2 4 x x 2 x2 2 Integración de funciones Racionales del seno y coseno 1) 20 dx x arctgu; x 2arctgu 2 2u 2 senx dx du 2 1 u 1 u2 1 u2 cos x 1 u2 dx 2 1 1 senx cos x 2u 1 u 2 1 u 2 du 1 1 u2 1 u2 2du 1 2du x ln 1 tg C 2 2 2 1 u 2u 1 u 1 u 2 1 u 2 2 1 u 1 senx cos x 2) x 1 sen xdx 2 2 1 1 x tg C x 2 2 tg 2 3) x dx 3 cos x 2senx arctg tg 2 1 C 4) cos x x x 1 cos x dx tg 2 2 2 C 5) 1 4 dx 3 5cos x ln x 2 2 C x tg 2 2 tg Teorema valor medio Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1]. Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media. 1 4 1 3x2 dx x3 4 1 64 63 63 1 4 f c 21 f c 21 c 7 3c 2 21 La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo. 2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]? f x x 1 x 2 Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media. x 1 0 1 x 2 f c 1 0 c 1 c 2 2x 1 dx 1 x 2 2 1 2 0 0 2 1 x dx 1 2 1 2 1 f c 2 1 2 1 2 c Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow. Ejercicios Resueltos 1) 3x 1 3 1 x 2 x 1dx 1 3x 4 x 3 x 2 3 x x x 1 dx 4 3 2 x 1 1 8 3 1 1 3 1 1 1 1 3 4 3 2 4 3 2 1 3 2 2) dx x e dx e 1 x ln x 1 ln e ln1 1 0 1 e 1 3) 22 senxdx 2 0 senxdx cos x 02 cos 2 0 2 cos 0 0 1 1 4) 2 0 2 0 sen3 x cos 4 xdx sen3 x cos 4 xdx 2 senx 1 cos2 x cos 4 xdx 0 2 2 cos xsenx cos xsenx dx 51 cos5 x 71 cos7 x 51 71 35 0 4 2 0 6 5) 4 2 log xdx 4 2 4 4 2 2 log xdx x log x 2 log edx x log x x log e 4 4 log 2 4 log e 2 log 2 2 log e 8 log 2 4 log e 2 log 2 2 log e 6 log 2 2 log e 2 6) 2 0 sen xdx Calculamos la integral definida por cambio de variable. sen xdx x t2 dx 2tdt Hallamos los nuevos límites de integración. 23 sent2tdt 2 tsentdt Integramos por partes. 2 tsentdt 2 t cost costdt 2 t cost sent C 0 0 2 tsentdt 2 t cost sent 2 También se puede hacer sin transformar los límites de integración y volviendo a la variable inicial. t x sen 2 3 0 xdx 2 x cos x sen x C 2 sen xdx 2 x cos x sen x 2 0 7) 0 3 dx 2 1 x 2 2 1 2 0 1 x 8) 1 4 0 4 3 3 3 98 1 1 4 1 x x 9dx 2x x 2 9 2 dx x 2 9 2 25 2 9 2 2 0 3 0 3 3 2 9) 0 1 cos 2x x 1 sen2 xdx dx sen2x 0 2 2 4 0 2 10) 24 3 3 3 dx 1 1 1 1 ln4 x dx 4 3 3 x ln x 2 x 3 ln 3 3 ln3 2 3 ln x 2 2 12) cos xesenx dx esenx 0 e0 e0 0 0 13) dx 0 1 x x t2 dx 2tdt 0t t 0 4 2 4 t2 t2 2 2t 2 dx 1 dt 2 1 dt R 4 ln 9 0 1 x 0 1 t 0 1 t 4 Ejercicios a Resolver Integral 1 dx 1) x 1 2) 1 4 3 3) 2 2 2 x x 2 9dx 0 x dx x2 1 3 dx 5) 1 1 x 2 4) 5 72 3 dx 1 x 0 Respuesta 2 sen xdx 7) tg xdx 8) senx cos xdx 6) 2 2 0 2 0 0 0 9) 10) x dx 2 x 1 3 2 3 2 1 8 2 ln 5 dx x ln4 x sen xdx 12) cos xe dx 11) 2 0 3 senx 0 0 25 13) 14) 0 x 2 cos xdx 2 1 1 arccos x dx 3 15) 16) 2 1 1 x x2 dx 38 3 3 13 2 8 3 16 2 x dx 3x x 3 dx 18) x cos 3x dx 17) 4 0 0 3 8 Aplicaciones de la Integral Definida Ejercicios resueltos 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración. 0 4x x2 x 0 x4 En segundo lugar se calcula la integral: 4 x3 32 2 A 4x x dx 2x 2 u 0 3 0 3 4 2 2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e. 26 En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas. ln x 0 e 1 e0 1 1,0 ln xdx ln xdx x ln x dx x ln x x C e 1 e ln xdx x ln x 11 0 1 1u2 2. Calcular el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante. A1 r 0 r 2 x 2 dx 27 Calculamos la integral indefinida por cambio de variable. r 2 x 2 dx x rsent dx r cos tdt r 0 r 2 x 2 dx r 2 r 2sentr cos tdt r 2 1 sen2t r cos tdt r 2 cos2tdt r 2 cos2 tdt r 2 1 cos 2t t 1 dt r 2 sen2 2t C 2 2 4 Hallamos los nuevos límites de integración. x 0 0 rsent sent 0 xr r rsent sent 1 t 0 t 2 t 1 2 1 A1 r 2 sen2 2t r 2 0 r 2 2 4 0 2 4 A 4 A1 r 2 3. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración. y x 2 5x 6 y 2x x1 1 x2 6 28 De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola. A 2x x 5x 6 dx 6 2 1 6 6 1 2 3 x 7x 6 dx x3 76x 6x 1 2 63 7 6 2 1 7 125 2 36 6 u 2 6 3 3 2 4. Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x. y 2 4x y x y 2 4y 0 , 0 4,0 De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta. 29 A 4 0 4 4 0 0 4xdx xdx 4 4 32 x 2 8 4x x dx x u2 2 0 3 3 5 .Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x. En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. x2 y 3 xv 0 yv 0 V 0 , 0 yv 4 V 2 , 4 x1 0 x2 4 y x 2 4x 4 2 2 x 2 4x 0 xv Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración. x2 y 3 y x 2 4x 0 ,0 3 ,3 3 3 x2 4 A x 2 4x dx x 2 4x dx 0 0 3 3 3 4 x 3 2x 2 12 18 6u2 9 0 6. Hallar el área de de la región limitada por las funciones: 30 y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones: y senx y cos x senx cos x x 4 Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 Puntos de corte de la parábola y la recta y = x. y x2 y x x2 x x0 x 1 De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola. 1 x2 x3 1 A1 x x dx u2 0 2 3 0 6 1 2 De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola. 31 2 x3 x 2 5 A2 x x dx u2 1 3 2 1 6 2 A 2 1 5 1u2 6 6 7. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Puntos de intersección: 4x x2 0 x 4 x 0 0 , 0 4 ,0 Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0): y 4 2x m f 0 4 y 0 4 x 0 y 4x Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0): y 4 2x m f 4 4 y 0 4 x 4 y 4x 16 A 4x 4x x 2 dx 4x 16 4x x 2 dx 0 2 2 4 2 4 x 3 x 3 8x 2 16 2 16x u 2 3 0 3 2 3 32 Si la función es negativa Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por: b A f (x)dx b f x dx A a a Ejemplos 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX. 0 x2 4x x 0 x4 4 x3 32 A x 4x dx 2x 2 0 3 3 0 32 2 A u 3 4 2 2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2. 33 3 2 A cos xdx senx 2 A 2u 3 2 sen 3 sen 1 1 2 2 2 2 2 Si la función toma valores positivos y negativos En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración. 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. Ejemplos 1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX. x x2 6x 8 0 x3 6 x 2 8 x 0 x0 x2 A x3 6x2 8x dx 2 0 x4 x 4 2 3 6x2 8x dx 34 El área, por razones de simetría, se puede escribir: 2 x4 A 2 x 6x 8x dx 2 2x3 4x 2 8u2 0 4 0 2 3 2 4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. xv 2 1 2 0 x2 2x xv 4 2 2 0 x2 4x 2 y x 2x 2 y x 4x V 1, 1 y v 12 2 1 1 0 x x 2 0 , 0 V 2 , 4 y v 22 4 2 4 0 x x 4 x 2 2x x 2 4x 2, 0 0 , 0 0, 0 4, 0 3, 3 35 2 x3 4 A1 x 2x dx x 2 0 3 3 0 2 2 A1 4 2 u 3 3 x3 A2 x 4x dx 2x 2 9 0 3 0 3 2 A2 9u2 3 x3 4 A3 x 2x dx x 2 2 3 2 3 3 A3 2 A A1 A2 A3 A 4 2 u 3 4 4 9 9u2 3 3 Ejercicios no Resueltos 1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8. 2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX. 3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0). 4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2. 5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. 6. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1. 7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4). 8. Hallar el área limitada por la recta y 3x 6 , el eje de abscisas y las ordenadas 2 correspondientes a x = 0 y x = 4. 9. Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas. 10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y ln x , y = 2 y los ejes coordenados. 11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9. 12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b. 36 13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX. 14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Calculo del volumen de revolución Ejercicios Resueltos 1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX: y senx, x 0 , x V sen xdx 0 2 0 1 2 3 1 2 1 cos 2x dx 2 x 2 sen2x 2 u 0 2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje. 4 V 22 dx 4 x 4 4 1 12 u3 4 1 1 3. Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera. 37 4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. Como gira alrededor del eje OY, aplicamos: b V x 2 dy a El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4. Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4. 2 4 y2 y 5 128 3 V 2 2 dy 2 dy 2 4y u 0 0 320 0 5 8 4 2 4 5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar: 1 Alrededor de su eje mayor. 2 Alrededor de su eje menor. 38 Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos. 16x2 25y 2 400 y2 400 16x2 25 5, 0 400 16x 2 16 3 320 3 V1 2 dx 2 16x x u 0 25 75 0 3 5 5 16x 25y 400 2 2 400 25y 2 y 16 0 , 4 2 400 25y 2 25 3 400 3 V2 2 y u dy 2 25y 0 16 48 0 3 5 4 6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2. Puntos de intersección entre la parábola y la recta: y 2x x 2 y x 2 2x x 2 x 2 1,1 2, 0 39 La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración. 2 2 2 2 V 2x x 2 x 2 dx x 4 4x 3 3x 2 4x 4 dx 1 1 1 x5 x 4 x3 2x 2 4x u3 5 1 5 2 Ejercicios no Resueltos 1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4. 2. Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX. 3. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX. 4. Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX. 5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2. 6. Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π. 7. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, y = x. 8. Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX. 40 9. Hallar el volumen elipse de la figura engendrada al girar la y x 2 1 alrededor del eje OX. 2 a b 2 2 Calculo de la longitud de una cuerda Ejercicios Resueltos 1. Hallar la longitud del arco de curva y x y en el intervalo [0, 1]. 3 x 2 L 1 0 1 3 2 2 1 9 3 1 x dx 1 xdx 0 4 2 9 x t2 4 9 dx 2tdt 4 x0 x 1 8 tdt 9 t 1 dx t 13 2 13 L 13 2 1 8 8 t3 2 8 13 13 t tdt 1 9 9 3 1 27 8 U.L. Ejercicios no Resueltos 1. Encuentre la longitud de una curva y 2 (2x 1) 3 R=54,56 interceptada por la recta x=5 U.L. 2. Calcular la longitud de la circunferencia de radio r=4 R=8π U.L. 3. Calcular la longitud del arco 1 y (e x e x ) entre 1 x 1 2 R (e e 1 ) U .L. Calculo de área de revolución 41 1. Hallar el área de revolución al girar sobre el eje el segmento de recta y 1.x entre x 0 y x 1 2. Calcular R 4r el 2 área de R revolución de la 6 (3 5 1) U . A. esfera de radio r U . A. 3. Calcular el área de revolución de la superficie generada al rotar el arco de curva 1 y (e x e x ) alrededor del eje x entre 1 x 1 2 e 2 e 2 R 2 ( 1) 5,6268 U . A. 4 Aplicaciones físicas, mecánicas, química 1. La integral que se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función: v g t El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba. Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral: T l g tdt 0 El resultado de esta integral es: g l T 2 2 2. En mecánica clásica la energía cinética se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton: 3. El trabajo realizado por la fuerza durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva, nula o negativa Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales y el trabajo total realizado por la fuerza en ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea 42 si consideramos un fluido que se encuentra sometido a una presión externa y que evoluciona desde un estado caracterizado por un volumen a otro con un volumen , el trabajo realizado será: En un proceso cuasiestático y sin fricción la presión exterior ( ) será igual en cada instante a la presión ( ) del fluido, de modo que el trabajo intercambiado por el sistema en estos procesos se expresa como En el caso que la presión del sistema permanezca constante durante el proceso, el trabajo viene dado por: 4. Se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como: 5. Movimiento rectilíneo acelerado En el Movimiento Rectilíneo Acelerado, la aceleración instantánea queda representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t). Si se aplican las fórmulas anteriores al movimiento rectilíneo, en el que sólo existe aceleración tangencial, al estar todos los vectores contenidos en la trayectoria, podemos prescindir de la notación vectorial y escribir simplemente: Ya que en ese tipo de movimiento los vectores también la relación: y son paralelos, satisfaciendo 43 Las coordenadas de posición vienen dadas en este caso por: 6. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Variación en el tiempo de la posición, la velocidad y la aceleración en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En éste movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil varía linealmente y la posición cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes: v t dv adt v v v0 x at 0 t dx ( v 0 x0 0 0 1 at )dt x x0 v0t at 2 2 7. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el 44 cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como: Para un cuerpo de masa continua, se generaliza como: En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas: Ejercicios Calculo Momento de Inercia 1. Calcular el Momento de Inercia del cuerpo de revolución de densidad ρ engendrado x al girar alrededor del eje x entre x=0 y x=8 2 por y I 2 8 ( 0 x 4 ) dx 2 R 16 3 2. Ídem y x 2 3 , x 2 y x 2 R 45758 63 3. Ídem y R 512 . 3 4 x entre x 0 y x 4 Ejercicios Cálculo de trabajo 1. Hallar el trabajo realizado al estirar 8 cm. Un resorte helicoidal suponiendo una fuerza de 50 kg para estirarlo 2 cm. F=kx si F=50 kg entonces k=50/2=25 8 25xdx 8 J . 2. Un cilindro provisto de un émbolo móvil se halla encerrado un gas. Partiendo de la Ley de Boyle, pv=k, hallar el trabajo realizado por la presión del gas al empujar el {embolo para comprimir 1640 cm3 (a la presión atmosférica) al volumen de 164 cm3 R= 39 J. 3. Un acuario tiene base rectangular de 0,6 m de ancho y 1,2 m de largo y lados rectos de 0,9 m de altura. Si el acuario está lleno de agua, cuanto trabajo se necesita para vaciarlo bombeando el agua por la parte superior. R 2,916 x10 4 J 45 4. Hallar la presión ejercida por el agua sobre un semicírculo cuyo radio es de rm situado en un plano vertical y cuyo diámetro horizontal coincide con la superficie libre del líquido. R 250 3 Pa Ejercicios Calculo Cinemática 1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una line recta de acurdo a la ley v t3 t2 5 m/s. Si en el instante t 0 2s x0 4 m Determinar la posición del móvil en cualquier instante. R x t4 4 3 t 5t m 4 3 2. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta es a 4 t 2 m / s 2 . Si en el instante t 0 3 v0 2 m / s . Determinar la velocidad del R v 4t móvil en cualquier instante. t3 1 m / s 3 Ejercicios de Química V Reacciones de primer orden d A dt d A kA dt V=Velocidad de desaparición de la sustancia A At t dA A A 0 kdt 0 LnAAA t 0 kt0 Ln t At kt A0 1. La descomposición del peróxido de hidrógeno en presencia del ión hidróxido es reacción de primer grado y posee una constante de velocidad k i,08x10 3 a la temperatura de 22° C. Partiendo de una concentración inicial igual o,42 M., determinar: a) Cuál es la concentración H 2 O2 después de 2 horas y media. b) El tiempo necesario para que la concentración de H 2 O2 alcance el valor 0,18 M. c) Cuanto tiempo tarde en descomponerse el 85 % del reactivo inicial. R= a) At e 1,029 b) 784,5 min c) 175,65 min. INTEGRALES IMPROPI AS Ejercicios Resueltos Ejemplo 1 Evalúe 0 xe x dx Solución: 46 f x dx para todo número t b , entonces f x dx lim f x dx siempre que haya este límite (como un Si existe b t b b t t número finito) b a f x dx y Las integrales impropias de f x dx se llaman convergentes si hay tal límite y divergentes si no existe. Tenemos que: 0 0 xe x dx lim xe x dx t t Integramos por partes, haciendo u x, dv e x dx , de modo que du dx y v e x : 0 0 0 t t xe x dx xe x e x dx te 1 e t t Sabemos que et 0 cuando t , de acuerdo con la regla de l’Hopital lim tet lim t Por consiguiente t t 1 lim t lim et 0 t t t e e xe x dx lim tet 1 et 0 1 0 1 0 t Ejemplo 2 Evalúe 1 dx 1 x2 Solución: Conviene elegir a 0 en la definición 1 (c): 0 1 1 1 dx dx 1 x2 1 x2 0 1 x2 dx Ahora debemos evaluar por separado las integrales del lado derecho: 0 t dx 1 t dx lim lim tan 1 x 0 2 2 0 t 1 x 1 x t lim tan 1 t tan 1 0 lim tan 1 t t t 2 0 dx 1 0 dx lim lim tan 1 x t 2 2 1 x t t 1 x t lim tan 1 0 tan 1 t 0 t 2 2 0 Como ambos son convergentes, la integral original es convergente y 1 dx 2 1 x 2 2 En vista de que 1 1 x 2 0 , la integral impropia dada se puede interpretar como el área de la región infinita bajo la curva y 1 1 x 2 y 1 1 x2 y arriba del eje x. Área= 47 Ejemplo 3 ¿Para qué valores de p la integral 1 1 dx es convergente? xp Solución: sabemos que si p 1 , la integral es divergente, así que supongamos que p 1 . Entonces 1 t 1 1 dx lim p dx p t 1 x x x t x p 1 lim t p 1 x 1 1 1 1 p 1 t 1 p t p 1 Si p 1 , entonces p 1 0 , y así t , t cuando 1 t p 1 0 . Por lo tanto, 1 1 1 x p dx p 1 si p 1 Y la integral converge. Pero si p 1 . Pero si p 1 , entonces p 1 0 y así 1 t1 p cuando t y la integral diverge. p 1 t lim Resumiremos el resultado del ejemplo 3 como referencia para el futuro: Integrando discontinuos 1 1 dx es convergente si p 1 , y diverge si p 1 xp Ejemplo 4 Indique si 2 0 sec xdx converge o diverge. Solución: notará que la integral dada es impropia pues lim sec x . Al emplear el x 2 inciso (a) de la definición 3 tenemos que 2 0 sec xdx lim x 2 t sec xdx 0 t lim ln sec x tan x 0 x 2 lim ln sec t tan t ln1 x 2 Ya que sect y tan cuando t 2 ; así pues, la integral impropia original es divergente. Ejemplo 5 48 Evalúe 1 ln xdx 0 Solución: Sabemos que la función f x ln x tiene una asíntota vertical en 0 porque lim ln x ; por lo tanto, la integral dada es impropia y entonces x 0 1 1 ln xdx lim ln xdx t 0 0 t Ahora integramos por partes, con u ln x , dv dx,du dx x y v x : ln xdx x ln x dx 1 1 1 t t t 1ln1 t ln t 1 t t ln t 1 t Para determinar el límite del primer término, aplicamos la regla del l’Hopital: lim t ln t lim t 0 t 0 ln t 1t lim lim t 0 1 t t 0 1 t 2 t 0 ln xdx lim t ln t 1 t Por consiguiente, 1 t 0 0 0 1 0 1 Interpretación geométrica de este resultado. El área de la región sombreada sobre y ln x y abajo del eje x es 1. área=1 y ln x Ejercicios Integral 1) 2) 3x 1 dx 2 1 1 4) 5) 3) 1 0 x3dx D. xe x dx 0 2 1 x 2 x 3dx 0 0 D. 1 7) 1 12 e x dx 6) 1 dw 2w Respuesta cosdx ln 2 3 D. 49 8) 1 xe2 x dx ln x dx 1 x x 10) dx 1 x 2 ln x 11) dx 1 x2 3 1 12) dx 0 x 0 1 13) 2 dx 1 x 9) 4 14) 15) 1 2 x4 dx 16) 17) 2 18) 2 0 csc2 tdt 3 0 sec xdx 1 dx 2 x 1 e2 4 D. D. 1 2 3 D. D. D. D. D. 2 0 z 2 ln zdz 8 8 ln 2 3 9 19) Hallar valores de α para que la integral converge o diverge 1 1 d / 1 x d 1 lim (b1 1) b x (1 ) 1 1 1 1 d 1 Integral Converge x 1 d Integral Diverge x 20) dx Integral Converge 1 x 2 50