Guía UNAM 7d - Matematicas

Guía para Examen
Curso UNAM
Lic. Jorge Galeazzi A.
UNIDAD 14. CÁLCULO INTEGRAL
14.1 Integral inmediata.
- Integrales indefinidas inmediatas

 sec
kxndx 
2
 f(x)dx  F(x)  c
kxn1
c
n 1
 cos xdx  senx  c
 e dx  e  c
x
xdx  tan x  c
 senxdx   cos x  c
dx
 x  ln x  c
x
Ejemplo:

(12x3  5 x 2  2x )dx 
12x3 1 5 x 21 2x11
12x 4 5 x 3 2x 2
5


c 


 c  3x 4  x3  x 2
3 1
2 1
1 1
4
3
2
3
Ejercicio 1:
1.- Al efectuar
a)
x4
c
4
2.-
 3x
 x dx , se obtiene como resultado:
5
b)
c)
x6
c
5
d)
x6
c
6
e) 5x 4  c

2
 5x  4 dx 
a) 6x + 5 + c
3.- Efectuar
a)
x4
c
5
b) 3x + 5 + c
 4x
3
c) x3+5/2x2 – 4x+c
d) 0
e) x2 + 5 + c
c) 12x 4  4x3  7x  c
d) 16x 4  6x3  7x  c
e) 12x3  4x  c

 2x2  7 dx 
4 4
x  x3  7x  c
3
b) x 4 
2 3
x  7x  c
3
4. Sea c una constante y g(x) = 5x4 – 4x3 + 9x2. La integral de g(x) es igual a:
a) x4 – x3 + x2 + c
b) 5x5 – 4x4 + 9x3 + c
c) 20x3 – 12x2 + 18x + c d) x5 – x4 + 3x3 + c
5.
8
4 
dx 
2

  x  x
a) 8x  4x  c
6. La

2
x
7. La

b) 8 ln x  4  c
c) 8x  4x2  c
d) 8 ln x 
4
c
x
e) 8x  8x2  c
dx 
x c
a)
a)
e) 0
5 3
x
b)
c
c)
1
x
c
d) 4 x  c
e) 2 x  c
dx 
35 2
x c
5
8.- El resultado de
a) 4cos x + c
1
2 x
b)
55 8
x c
8
c)
85 8
x c
5
d)
2 5 2
x c
5
e)
2
x5  c
5
 4 cos xdx 
b) – 4cos x + c
c) 4 + c
d) – 4sen x + c
e) 4sen x + c
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 6senx  5x dx 
2
9.- El resultado de
b) – 6cosx +5/3 x3+c
a) 6x + 10 +c
10.- El resultado de

d) cosx +10x+c
e) 10x+c
 2  x3


 senxdx es:
 x



a) x3  2  cos x  c
d) 2 loge x 
c) 6senx+ 5/2 x2+c
b)
x3
 cos x  c
3
e)
2
x2
3
x3
 3x2  cos x  c
c) 2 loge 
x2
 cos x  c
2
 3x2  cos x  c
Ejercicios de refuerzo.
 3xdx 
 x  x  x
3
 4 xdx 
 3xdx 
dx
 x 
2
5
3

 x 4 dx 
7
 57x  5dx 
 x  3x  3x  2 dx 
dx
 x
5
3

4x5  12x3  18x7

8x  6x2  10x 4
2x 3
dx 
dx 
2 x
14.2 Integral definida.
b
 f (x)  F(b)  F(a)
a
Ejemplo:
 12x

5
2

 14x  2 dx  4 x3  7 x 2  2x
2
 52  4(5)
3


 75 2  2(5)  4(2)3  7(2)2  2(2)  665  56  609
Ejercicio 2:
 8x
3
1.- Evalúa
3

 6 x  45 dx 
1
a) 94
b) 14
c) 158
d) 220
e) 0
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1
x
2.- Evalúa
3
dx 
1
a) 1/4
b) 0
c) –1/4
d) ½
e) 2
b) 29
c) 10
d) 27
e) 28
b) 4/3
c) 8
d) – 6
e) 6
c) 35
d) 173/6
e) 137/6
c) 14
d) 15/6
e) 18/3
b) 9/2
c) – 7/2
d) 4
e) 0
b) 0
c) cos 
d) – 1
e) – 2
b) 2
c) 1
d) – 1
e) 0
b) 2
c) 0
d) – 1
e) – 2
b)1
c) 0
d) e2
e) – 1
1
 2x
3.- Evalúa
2
dx 
1
a) 26
3
 3x
4.- Evalúa
2
dx 
1
a) 0
 4x

3
5.- Evalúa
3
 3 x  5 dx 
2
a) 125/2
b) 30
1
1
  3 x
6.- Evalúa
1
2

3

x  6  dx 
2

a) 110/9
b) 0
1
 1
  x
7.- Evalúa
2
2

 2  dx 

a) 2

8.- Evalúa
 senx dx 
0
a) 

9.- Evalúa
 cosx dx 
0
a) 
2
10.- Evalúa
 senx dx 
0
a) 4
e
11.- La
x
dx
es igual a:
1
a) e
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14.3 Aplicaciones de integral definida (área bajo la curva).
12. El área bajo la curva f (x) = 5x – 2 en el intervalo [0, 2] es:
a) 6 u2
b) 8 u2
c) 12 u2
d) 0 u2
e) 2 u2
13. El área bajo la curva f (x) = x2 – 1 en el intervalo [2, 3] es:
a) 16/3u2
b) –1 u2
c) 2 u2
d)3 u2
e) 0 u2
14. El área bajo la curva f (x) = 12x2 – 1 en el intervalo [1, 2] es:
a) 32 u2
b) 39 u2
c) 50 u2
d) 10 u2
e) 27 u2
15. El área bajo la curva f (x) = 4x3 en el intervalo [1, 3] es:
a) 100 u2
b) 80 u2
c) 60 u2
d) 40 u2
e) 96 u2
16. Cuál es el área comprendida bajo la curva y = 4x3 – 12x2 + 12x – 4, desde x = 2 hasta x = 0
a) 0 u2
b) – 20 u2
c) – 72 u2
d) – 80 u2
e) 64 u2
17. Obtener el área comprendida entre la curva y = 21x2 y el eje x, desde x = 2 hasta x = 5.
a) 2541 u2
b) 819 u2
c) 126 u2
d) 63 u2
e) 210 u2
18. Encontrar el área comprendida entre las curvas y = 2x, y = x2 – 3.
a) 22/3 u2
b) 32/3 u2
c) 34/3 u2
d) 40/3 u2
e) – 6 u2
19. Encontrar el área comprendida entre las curvas y  8 x y y  x 2
a) 32/3 u2
b) 64/3 u2
c) 28 u2
d) 64 u2
e) 16 u2
20. Cuál es el área comprendida entre las curvas f(x) = – x2 +10
a) 0 u2
b) 60 u2
c) 24 u2
y
g(x) = x2 + 4x – 6, desde x = – 4 hasta x = 2.
d) 120 u2
e) 72 u2
21. Obtener el área comprendida entre la curva y=2e 2x y el eje x. desde x = 1 hasta x = 2.
a) e2
b) e6
c) e4 + e2
d) e4 – e2
e) e1 + e2
22. Una partícula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = 4t + 4, y el valor de su desplazamiento S es 10 m cuando t = 1
seg. ¿Cuál es el valor de S cuando t = 3 seg?
a) 26 m
b) 30 m
c) 34 m
d) 50 m
e) 12 m
23. Un balín se desplaza horizontalmente, de manera que su velocidad en el instante t está dada por v = – 4t + 24. ¿Cuál es la
distancia que recorre el balín antes de detenerse?
a) 6 m
b) 12 m
c) 24 m
d) 36 m
e) 72 m
24. Una pelota se deja caer libremente desde una ventana. Si tarda 3.0 seg. en llegar al suelo, con qué velocidad llega. Considerar
g = 9.8 m/s2.
a) – 3.3 m/s
b) – 6.8 m/s
c) – 29.4 m/s
d) – 58.8 m/s
e) 29.4 m/s
25. Encontrar la ecuación de la curva cuya pendiente en cada punto es igual a tres veces el cuadrado de la abscisa x. Además
dicha curva pasa por el punto (1,0)
a) y = x3 – 1
b) y = x3 + 1
c) y = 3x3 + 1
d) y = 3x3 – 1
e) y = 3x2
26. Cuál es la ecuación de la curva, tal que en todo punto la pendiente es igual a la mitad del cuadrado de la abscisa y la c urva
pasa por (– 1, 5/6)
a) y 
1 3
x 1
6
b) y 
1 3
x 1
6
c) y 
3
1
x3 
4
12
d) y 
1 3 1
x 
6
12
e) y 
3
1
x3 
4
12
Pag. 232
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14.4 Métodos de integración por cambio de variable.
un1
c
n 1

 sec u du  tan u  c
undu 
 cos u du  senu c
 e du  e  c
2
u
 senu du   cos u  c
du
 u  ln u  c
u
Ejemplo:
 x ln
dx
2
x

u
du
2
u1
1
1
c    
c
1
u
ln x

Su cambio de variable
du 
u  ln x
dx
x
Refuerza el tema con los siguientes ejercicios
 3x x
 7x  5 dx 
12x  12
 4x  12x  dx 
7
2
2

7
3
3

 3x 2x
3
2
 4 dx 



x2 cos x3  2 dx 
12x2  4x  3

5x  1
 5x  2x  1 dx 
 4x
3
dx 
x2
3
 2x 2  3 x  5
2xe x
2
3

5
 4 dx 
3
dx 
3 x 2  2x  2
x
dx 
3
 x 2  2x
dx 
2
Ejercicio 3:
1.- El resultado de
a)


4
4
1 4
x 2 c
4
2.- Al efectuar
a)
 x


 
1
b) x  2
2
3
 2 4x3 dx
4
3
c
4
b)
  6x  2
2


4 x  13
10
c
d)


d)
c)

4 5
x 2 3 c
3
4
3 5
x 23 c
4

 


2
1 4
x  2 2x 2  c
2


3
e) 4 x 4  2  c

2
b) 36x3 + 24x2 + 4x + c
e) – 2(– 6x – 2) + c
4x  13
b)
2

3 5
x 2 3 c
4
e)


4

4 5
x 2 3 c
3
dx , se obtiene:
a) 108x3 + 48x2 + 4x + c
d) 12x3 + 6x2 + 4x + c
a)
 
4
1 4
x  2 x4  c
4
 

4.- El resultado de

c)
x5  2 5x 4 dx se obtiene:
4 5
x 23 c
3
3.- Al resolver
2
dx
es:
4x  15
4
c) 12x3 + 12x2 + 4x + c
c
c)
4x  12
c
d)
4x  15
10
c
e)
4x  15
c
Pag. 233
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5.- La
 6x
x2  3 dx es
6.- Efectuar
a)
b) 6 x2  3  c
x2  3  c
a)

x
2

3
1 2
x 3 2 c
2
c)
2 3 3
x x 8 2 c
9
d) 2 ( x 2  3)3  c
e)
2
( x 2  3)3  c
3
x3  8 dx

1 3
x 8 c
3
b)
7.- El resultado de


c)
 x
4

6
a) x 4  5 x3  c

2 3
x 8
9

x
b)

3
2
c


d)
c
d)
3



3
1 3 2 3
x  x 8 2 c
3
3

e) x 3  8  c
5
 5 x3 dx es:
4
5
24

6
c
c)
x
4
5
6

6
x
4
5
18

6
c
e)
x
4
5
24

6
x3  c
 cos2x  3dx es
8.- La integral de
b) – 2cos(2x+3) + c
a) 2cos(2x+3) + c
c) 1/2sen(2x+3) + c
d) – 2sen(2x+3) + c
e) 2 + c
c) 3x2 + c
d) – 3sen(x3 + 1) + c
e) 3sen(x3 + 1) + c
c) e2 x  c
d)
e2 x
c
2
e)
c) 8e8x  c
d)
e8 x
c
8
e) e8 x  c
c)  5e7x  c
d) 5
9. La función primitiva de F(x)´ = 3x2 sen (x3+1) es:
b) – cos(x3 + 1) + c
a) 3cos(x3 + 1) + c
10.- La
 2e
2x
dx es igual a:
a) 2e2x  c
b) 4e2x  c
e2 x
c
4
11. Sea “c” una constante y F(x)´ = e -8x . La integral de F(x) es igual a:
a) 
1 8 x
e
c
8
b)  8e8 x  c
12.- El resultado de


13.- El resultado de
x 1
14.- La
c
 5x  3
5dx
a) 5 ln5x+3 +c
e3 x
dx es:
b) 5e7 x  c
a)  5ex  c
a) e
5e4 x
e
2
e)
3e x
c
4
x 1
x 1
dx es:
b)  e
x 1
c
c)
 3e
x 1
4 x  1
3
c
d)
 e
x 1
x  1  1
c
e) e
x 1
c
es igual a:
b) ln x + c
c) ln5x+3 + c
d) ln3
e) 5 lnx
Pag. 234
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Sección: La integral de una función primitiva
15. Determinar la constante de integración de la función primitiva de f(x)¨ = 3x2 – 8x – 2; si F (– 1) = 5.
a) 9
b) –7
c) 8
d) 3
e) 5
16. Determinar la constante de integración de la función primitiva de f(x) = 8x3+5x2 +x – 2; si F (2) = 0.
a) 12
b) 84
c) 0
d) –130/3
e) 4
17. La integral de la derivada de una función es 2x6 + c. Si dicha función pasa por el punto (– 1,3). Cuál es el valor de c.
a) 1
b) 5
c) 15
d) 67
e) 2
18. Si F (1) = 0 la función primitiva de f(x)= x2 – 3x + 1 es igual a:
a)
x3 3x 2
1

x
3
2
6
b) x2  3x  1
d) x3  3x2  x  1
c) 2x  3
e) 2x 
3x2 1

2
4
14.5 Métodos de integración por partes.
Ejemplo:
 x sendx  x
2
2


cos x  2x cos x dx  x2 cos x  2 x cos xdx
u  x dv  senx   x cos x  2xsenx  cos x 
2
2
du  2xdv   cos x  x2 cos x  2xsenx  2 cos x  c
 x cos xdx  xsenx   senxdx  xsenx  cos x
u  x dv  cos x
du  dx v  senx
Resuelva:
x5 2
2x 5
2x 5
In x 
Inx 
c
5
25
125

x 4 ln x 2 dx 

x 2sen3 x dx  
x2
2
cos(3 x ) 
3
3
 x cos(3x)dx  
x2
3
cos(3 x ) 
2
2
xsen(3 x ) 
cos(3 x )  c
9
27
Tome u = x2
e
2x
3
 2

sen3 x dx  e2 x 
sen(3 x ) 
cos3 x   c
13
13


Tome u = e2x
 x cos x dx 
 x e dx 
 x Inx dx 
 sec x dx 
Inx
 x dx  2 x Inx  2  c 
2
2 x
2
3
Pag. 235
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Respuestas de los ejercicios de Cálculo Integral
Ejercicio 1
Ejercicio 2
1. d
2. c
3. b
4. d
5. d
6. d
7. b
8. e
9. b
10. d
1. a
2. b
3. e
4. d
5. a
6. a
7. b
8. b
9. e
10. c
11. b
12. a
13. a
14. e
15. b
16. a
17. b
18. b
19. b
20. e
21. d
22. c
23. e
24. e
25. a
26. b
Ejercicio 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
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