Ejercicios resueltos Bolet´ın 4 Movimiento ondulatorio Ejercicio 1 La nota musical la tiene una frecuencia, por convenio internacional de 440 Hz. Si en el aire se propaga con una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula su longitud de onda en esos medios. Soluci´n 1 La frecuencia es una caracter´ıstica del centro emisor. Por tanto es la misma en todos los medios. vaire λ aire = λ agua 400 340 = = 0,773 m ν = vagua = 1400 = 3,27 m 400 ν Ejercicio 2 La ecuaci´on de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es: y (x, t) = 0,05 cos 2 π (4 t − 2 x) 1. Determina las magnitudes caracter´ısticas de la onda (amplitud, frecuencia angular, n´umero de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagaci´n) 2. Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleraci´on transversal de un elemento de la cuerda y sus valores m´aximos. 3. Determina los valores de la elongaci´n, velocidad y aceleraci´on de un punto situado a 1 m del origen en el instante t = 3 s Soluci´n 2 1. Operando en la expresi´on de la onda: y (x, t) = 0,05 cos(8 π t − 4 π x) y comparando con la expresi´on general: y (x, t) = A cos(ω t − k x) se tiene que: Amplitud: A = 0,05 m; 1 frecuencia angular: ω = 8 π rad/s; n´umero de onda: k = 4 π rad/m; 2π 2π = longitud de onda: λ = 4π k = 0,5 m; frecuencia: ν = ω = 8 π = 4 Hz; 2π 2π periodo: T = 1 ν 1 = 4 = 0,25 s; velocidad de propagaci´n: v = λ ν = ω = 0,5 · 4 = 8 π = 2 m/s k 4π 2. Velocidad de vibraci´on: 2 2 2 2 dy v = dt = − 0,4 π sin 2 π (4 t − 2 x) m/s ⇒ v ma´x = 0,4 π m/s Aceleraci´on de vibraci´on: dv a = dt = − 3,2 π cos 2 π (4 t − 2 x) m/s ⇒ ama´x = 3,2 π m/s 3. Para calcular la elongaci´n, velocidad y aceleraci´on del punto considerado en el 2 2 instante indicado, basta sustituir sus valores en las ecuaciones generales correspondientes. y (x = 1, t = 3) = 0,05 cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0,05 m El punto se encuentra en su m´axima separaci´on central y hacia la parte positiva. v(x = 1, t = 3) = − 0,4 π sin 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0 m/s El punto est´a en un extremo de la vibraci´on y por ello su velocidad es igual a cero. a(x = 1, t = 3) = − 3,2 π cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = − 3,2 π m/s 2 Al estar el punto en el extremo positivo de la vibraci´on, la aceleraci´on es m´axima y de sentido negativo, se dirige hacia el centro de la oscilaci´n. Ejercicio 3 Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbaci´on se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresi´on que representa el movimiento por la cuerda. 2 Soluci´n 3 La frecuencia angular es: ω = 2 π ν = 4 π rad/s 2π El n´umero de onda es: k = 2π = λ 2π −1 = 8π m = v/ν 0,5/ 2 La expresi´on pedida es: y = A cos(ω t − k x) = 0,03 cos(4 π t − 8 π x) Operando: y = 0,03 cos 4 π(t − 2 x) Ejercicio 4 −3 Un foco genera ondas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se propagan por un medio con una velocidad de 250 m/s. Determina el periodo y la longitud −1 de onda de la perturbaci´on. Si en el instante inicial la elongaci´n de un punto situado a 3 m del foco es y = − 2 mm, determina la elongaci´n de un punto situado a 2,75 m del foco en el mismo instante. −3 Soluci´n 4 −3 1 Periodo: T = 1 = 4 · 10 = ν s; frecuencia angular: ω = 2 π ν = 500 π rad/s; − 3250 −3 2π longitud de onda: λ = = = 1 m; n´umero de onda: k = = 2π m ν 250 λ En este caso y como los datos de −vibraci´on no son los del foco, debe introducirse una 3 v 250 fase inicial ϕ 0 que se determina con las condiciones de vibraci´on del punto x = 3 m. −3 y = A cos(ω t − k x + ϕ 0) = 2 · 10 −3 cos(500 π t − 2 π x + ϕ Operando: y = 2 · 10 cos[2 π(250 t − x) + ϕ 0] 0) Sustituyendo los datos de vibraci´on del punto consideradom, resulta que: y (x = 3, t = 0) = 2 · 10 cos[2 π(250 · 0 − 3) + ϕ 0] = − 2 · 10 m ⇒ cos(− 6 π + ϕ 0) Por lo que la fase inicial es: ϕ 0 = π rad La ecuaci´on general de la onda es: y = 2 · 10 cos[2 π(250 t − x) + π ] La elongaci´n del punto x = 2,75 m en el instante pedido es: y (x = 2,75, t = 0) = 2 · 10 cos[2 π(250 · 0 − 2,75) + π ] = 2 · 10 3 cos(6,5 π) = 0 m = −1 Ejercicio 5 En una cuerda el´astica se mueve una onda progresiva transversal sinusoidal. Determina su ecuaci´on conociendo las elongaciones de cada part´ıcula de la cuerda en el instante t = 0 s y la elongaci´n en funci´on del tiempo para el origen que ocupa la posici´n x = 0 m. Soluci´n 5 −4 De la gr´afica t = cte, se deducen los valores de la longitud de onda y de la amplitud. λ = 10 cm = 0,1 m; A = 0,2 mm = 2 · 10 m −3 De la gr´afica x = cte, se obtiene el valor del periodo: T = 2 · 10 s; De esta misma gr´afica se deduce que la elongaci´n del origen es cero en el instante −4 inicial, que la part´ıcula se dirige hacia elongaciones positivas y que la perturbaci´on avanza en el sentido positivo del eje de abscisas. Si se elige para la descripci´on del movimiento la funci´on seno, entonces la fase inicial, ϕ −0,4 es igual a cero. Por tanto la expresi´on que describe el movimiento es: t y (x, t) = A sin 2 π x − T λ t = 2 · 10 sin 2 π 2 · 10 x −3 − 0,1 m Simplificando: y (x, t) = 2 · 10 sin 2 π (500 t − 10 x) m Ejercicio 6 Una onda transversal de 1 cm de amplitud y 100 Hz de frecuencia se propaga a lo largo del eje de abscisas con una velocidad de 20 m/s. Escribe la expresi´on de la elongaci´n, velocidad y aceleraci´on de una part´ıcula situada a 10 cm del foco. ¿En qu´e instante alcanza 2 las expresiones anteriores? −2 esa part´ıcula los valores m´aximos −de Soluci´n 6 Con los datos del ejercicio se determinan las magnitudes que caracterizan a la onda. Amplitud: A = 0,01 m; frecuencia: ν = 100 Hz; periodo: T = 0,01 s; longitud de onda: λ = 0,2 m; frecuencia angular: 200 π rad/s; n´umero de onda: k = 10 π rad/m. Considerando que en el instante inicial el foco vibra con su m´axima amplitud, se tiene que la expresi´on general de la onda es: y (x, t) = A cos(ω t − k x) = 10 cos(200 π t − 10 π x) = 10 4 cos 2 π(100 t − 5 x) m El tiempo que transcurre hasta que le llega la perturbaci´ on a la posici´n x = 0,1 m es: −3 x t= 0,1 = v 20 = 5 · 10 s −2 −2 a)La expresi´on de la elongaci´n se determina sustituyendo la posici´n en la ecuaci´on de la onda. cos 2 π(100 t − 5 · 0,1) = 10 y (x = 0,1, t) = 10 cos 2 π(100 t − 0,5) s −3 que alcanza su m´aximo valor si: cos 2 π(100 t − 0,5) = 1 ⇒ 2 π(100 t − 0,5) = 0 rad lo que ocurre en el instante: −2 t = 5 · 10 s Tiempo que coincide con lo que tarda en llegar al punto la perturbaci´on procedente del foco, ya que como el foco posee su m´axima elongaci´n en el instante inicial, esta misma elongaci´n la adquiere el punto considerado en el mismo instante en que le llegue la onda. b) La velocidad de vibraci´on se obtiene aplicando la definici´on de velocidad: −2 v(x = 0,1, t) = dy dt −3 = 10 − 3 m/s 2 π 100 (− sin 2 π(100 t − 0,5)) = − 2 π sin 2 π(100 t − 0,5) que alcanza su m´aximo valor si: sin 2 π (100 t − 0,5) = − 1 ⇒ 2 π(100 t − 0,5) = 2 3π rad 2 que sucede en el instante: t = 1,25 · 10 s Este tiempo transcurrido es la suma de los 5 · 10 s que tarda en llegar la perturbaci´on al −2 punto considerado y comenzar a vibrar con la m´axima amplitud, m´as los 7,5 · 10 s, 3T / 4, −3 que emplea en llegar al centro de la oscilaci´n dirigi´endose hacia elongaciones positivas, −3 que es donde su velocidad es m´axima. c) Aplicando la definici´on de aceleraci´on, se tiene que: a( = 0,1, t) = x dv dt = −2 π2 π 10 0 co s2 π (1 00 t −0 ,5) = −4 00 π co s2 π( 10 0t −0 ,5) m/ s 2 que alcanza su m´aximo valor si: cos 2 π(100 t − 0,5) = − 1 ⇒ 2 π (100 t − 0,5) = π rad lo que acontece en el instante: t = 10 s Este tiempo es la suma de los 5 · 10 s que tarda en llegar la perturbaci´on al punto considerado y comenzar a vibrar con la m´axima amplitud, m´as otros 5 · 10 s, T / 2, que emplea en llegar al otro extremo de la vibraci´on donde su aceleraci´on es de signo positivo. 5
