CAPÍTULO
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINICIÓN
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la cual intervienen una o más
razones trigonométricas, cuya incógnita
es el ángulo común entre las razones
trigonométricas.
Para la solución de las diferentes ecuaciones trigonométricas se debe a la ecuación
transformar en términos de una sola expresión con la ayuda de las identidades
trigonométricas que veremos a continuación, continuando con procesos algebraicos
para así obtener la respuesta deseada.
Identidades fundamentales
Función
sen x
cos x
tg x
tg x
Equivalencia
1
csc x
1
sec x
1
ctg x
sen x
cos x
Función
Equivalencia
sen2x + cos2x
1
sec2x
1 + tg2 x
csc2x
1 + ctg2 x
ctg x
cos x
sen x
Suma y diferencias de dos ángulos
Función
Equivalencia
Función
Equivalencia
sen(x + y)
sen x cos y + cos x sen y
sen(x - y)
sen x cos y - cos x sen y
cos(x + y)
cos x cos y - sen x sen y
cos(x - y)
cos x cos y + sen x sen y
tg(x + y)
ctg(x + y)
tg x + tg y
1 − tg x tg y
ctg x ctg y − 1
ctg y + ctg x
tg(x - y)
ctg(x - y)
Ángulo doble
Función
Equivalencia
sen 2x
2 sen x cos x
cos 2x
cos2 x – sen2x
tg 2x
2 tg x
1 - tg 2 x
tg x − tg y
1 + tg x tg y
ctg x ctg y + 1
ctg y − ctg x
Angulo mitad
Función
Equivalencia
Función
Equivalencia
sen x/2
±√
1 − cos x
2
tg x/2
±√1 + cos
cos x/2
±√
1 + cos x
2
tg x/2
sen x
1 + cos x
tg x/2
1 − cos x
sen x
Ejemplos 1. Resolver
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
1 − cos x
x
1
+ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3 = 0 en el intervalo [𝑜𝜋, 2𝜋 ]
Proposiciones
Razones
1
Dato
1
T: a - b = c ⇔ a = c + b
1.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3 = 0
2.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3
3.
𝑠𝑒𝑛4 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
mcm
=3
4. 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 3(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
T: a\b = c ⇔ a = c.b; b≠0
5. 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)(𝑠𝑒𝑛2 𝑥 )
sen2x + cos2x= 1
6. 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛4 𝑥
Ax. distributivo (x)
7. 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛4 𝑥 = 1
T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
8. 4𝑠𝑒𝑛4 𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1
Términos semejantes
9. 4𝑠𝑒𝑛4 𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 = 0
T: a + b = c ⇔ a = c – b
10. (2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1)2 = 0
Factorización
11. 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 = 0
Def. ( √𝑎)𝑛 = 𝑎
𝑛
T: a.b = c ⇔ a = c/b; b ≠ 0
1
2
12. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±√
13. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±
Def. ( n√a )
1
√2
Recordemos que:
00
300
600
900
1200
1500
1800
sen
0
1
2
1
0
1
0
√3
2
1
-1
tg
√3
2
1
√3
2
1
−
2
1
2
cos
√3
2
1
2
√3
√3
0
inf
−√3
−
−
√3
0
2100
−
−
1
2
√3
2
1
√3
2400
2700
√3
2
1
−
2
-1
√3
inf
−
0
3000 3300
−
√3
2
1
2
−√3
−
1
2
√3
2
1
−
√3
sen
cos
tg
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±
1
√2
00
450
900
1350
1800
0
1
1
1
0
−
-1
−
1
√2
1
√2
0
1
0
√2
1
−
√2
inf
-1
0
2250 2700
1
-1
√2
1
0
√2
1
Inf
, podemos ver que es positivo en el primero, segundo y negativo en el
tercero y cuarto cuadrante entonces las soluciones serian 450 ,1350 ,2250 y 3150
También podemos ayudarnos de una técnica la cual nos ayudara a saber en qué
cuadrante son positivas o negativas las diferentes funciones
La cual se puede recordar tan solo
y
con la frase “todos sin ta-cos”,
entonces en el primer cuadrante
I cuadrante
todos
x
II cuadrante
sin
1800 - x
todas las funciones son positivas,
en el segundo cuadrante solo la
x
III cuadrante
tg
1800 + x
IV cuadrante
cos
3600 - x
función seno es positiva, en el
tercer cuadrante solo la función
tangente es positiva y en el
cuarto cuadrante solo la función
coseno es positiva.
Observación: si continuamos resolviendo el ejercicio de tal manera que despajamos
a la variable será mucho más fácil encontrar los ángulos que satisfacen a la solución
así:
Proposiciones
1. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±
1
√2
2. 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (+
3. 𝑥 = 450
Razones
Dato
1
)
√2
Despeje de x
Def. arcoseno
Con la ayuda de la frase ”todos sin ta-cos” encontraremos los ángulos los cuales
satisfacen la ecuación trigonométrica si y solo si utilizamos en ángulo positivo
cuando en los resultados tenemos ± ya que se encuentra en los cuatro cuadrantes.
Observación: 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (+
1
)
√2
se trabaja con el signo positivo, basta saber la frase
ya mencionada para encontrar las diferentes soluciones dependiendo del caso.
Cuadrante
Sustitución
Solución
Radianes
0
Primero
x
Segundo
0
45
180 – x
Tercero
0
Cuarto
1/4 𝜋
0
3/4 𝜋
180 + x
0
225
5/4 𝜋
3600 – x
3150
7/4 𝜋
135
Entonces el conjunto solución es x = {450, 1350, 2250, 3150}
También nos podemos ayudar del círculo unitario para la función seno.
y
1⁄ 𝜋
2
3⁄ 𝜋
4
1
1⁄ 𝜋
4
x
0𝜋
𝜋
2𝜋
7⁄ 𝜋
4
5⁄ 𝜋
4
1
𝜋
4
1
3
𝜋
𝜋
2
4
𝜋
3
5
𝜋
𝜋
2
4
7
𝜋
4
2𝜋
-1
3⁄ 𝜋
2
Como se puede observar en la gráfica de la función seno x toma los valores de
1
3
5
7
𝜋, 𝜋, 𝜋, 𝜋
4
4
4
4
que
son
equivalentes
respectivamente, como 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±
1
√2
a
sus
ángulos
450,
1350,
2250,
3150
se observa ±, entonces la función seno se
presentará en cada cuadrante tanto como positiva como negativa y por ello son
cuatro soluciones.
Ejemplo 2. Resolver 1 – sen2x + 2cosx = 3 en el intervalo [0𝜋, 2𝜋 ]
Proposiciones
Razones
1. 1 – sen2x + 2cosx = 3
Dato
2. cos2x + 2cosx = 3
sen2x + cos2x= 1
3. cos2x + 2cosx – 3 = 0
T: a - b = c ⇔ a = c + b
Observación: en algunos ejercicios es recomendable aplicar artificios matemáticos
los cuales nos ayudan a una mejor interpretación del ejercicio, para este caso
aplicaremos cambio de variable.
Si cos x = s tenemos la siguiente ecuación algebraica s2 + 2s - 3 = 0 continuamos
resolviendo algebraicamente.
Proposiciones
Razones
2
4. s + 2s - 3 = 0
Cambio de variable
5. (s + 3 ) (s - 1 ) = 0
Factorización
6. (s + 3) = 0 v (s - 1) = 0
T: a.b = 0 ⇔ a = 0 v b = 0
7. s = -3 v s = 1
T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
8. cos x = -3 v cos x = 1
Cambio de variable
9. x = cos-1(1)
Despeje en cos x = 1
10. x = 00
Def. arcocoseno
11. x = {00, 3600}
Def. círculo trigonométrico
12. x = {0𝜋, 2𝜋}
Def. radianes
Observación: podemos notar que cos x = -3 no pertenece al conjunto solución,
porque la función coseno solo puede tomar valores entre -1 y 1 por el círculo
unitario; también 1800 no pertenece al conjunto solución porque nos pide el ángulo
cuando la función coseno es positiva, en este caso en el primer y cuarto cuadrante;
también podemos utilizar la frase ”todos sin ta-cos” y llegar a la misma conclusión.
Círculo unitario función coseno
y
0𝜋
2𝜋
1⁄ 𝜋
4
1
7⁄ 𝜋
4
3⁄ 𝜋
2
1⁄ 𝜋
2
5⁄ 𝜋
4
3⁄ 𝜋
4
x
1
𝜋
4
1
3
𝜋
𝜋
2
4
𝜋
3
5
𝜋
𝜋
2
4
7
𝜋
4
2𝜋
-1
𝜋
Como se puede observar en la gráfica de la función coseno, x toma los valores de
0𝜋, 2𝜋 que equivalen a sus ángulos 00, 3600 respectivamente; como cos x = 1 se
observa +, entonces la función coseno se presenta cuando es positiva en el primer
y cuarto cuadrante por ello son dos soluciones.
Ejemplo 3. Resolver 3 tg2x – 2sec2x + 1 = 0 en el intervalo [0𝜋, 2𝜋 ]
Proposiciones
Razones
1. 3 tg2x – 2sec2x + 1 = 0
Dato
2. 3 tg2x – 2(1 + tg2 x) + 1 = 0
sec2x = 1 + tg2 x
3. 3 tg2x - 2 - 2 tg2 x +1 = 0
Ax. distributivo (x)
4. tg2x - 1 = 0
Términos semejantes
5. tg2x = 1
T: a + b = c ⇔ a = c – b
6. tg2x = s → s2 = 1
Cambio de variable
7. s = ±1
Def. (n√a)
8. tg2x = s → tgx = ±1
Cambio de variable
9. x = tg-1(+1) v x = tg-1(-1)
0
10. x = 45
Despeje
0
v
x = -45
Def. arcotangente
Círculo unitario función tangente
y
(0,1)
1⁄ 𝜋
2
3⁄ 𝜋
4
(−1,0)
1⁄ 𝜋
4
0𝜋
𝜋
2𝜋
5⁄ 𝜋
4
7⁄ 𝜋
4
(1,0)
1
𝜋
4
1
3
𝜋
𝜋
2
4
𝜋
3
5
𝜋
𝜋
2
4
7
𝜋
4
2𝜋 x
3⁄ 𝜋
2
(0, −1)
Observación: la función tangente puede tomar valores entre -α y +α.
Como se puede observar en la gráfica de la función tangente x toma los valores de
1
3
5
7
𝜋, 4 𝜋, 4 𝜋, 4 𝜋
4
que equivalen a sus ángulos 450, 1350 , 2250 , 3150 respectivamente;
como tg x = ±1 se observa ±, entonces la función tangente
se presentará en cada
cuadrante tanto positiva como negativa y por ello son cuatro soluciones, también
podemos utilizar la frase ”todos sin ta-cos” y llegar a la misma conclusión.
Cuadrante
Sustitución
Solución
Radianes
Primero
x
450
1/4𝜋
Segundo
0
180 – x
0
135
3/4 𝜋
Tercero
1800 + x
2250
5/4 𝜋
Cuarto
0
0
7/4 𝜋
360 – x
315
Observación:
Como podemos observar x = -450 forma el ángulo de
-450 desde 00 en forma horaria,, de tal manera que
formamos la recta que pasa por el origen desde el
cuarto cuadrante hacia el segundo como ilustra el
-45
grafico ahora los verdaderos ángulos los cuales son
135
-45
315
válidos, son lo que parten desde 00 en forma anti
horaria hasta llegar a la recta formando dos ángulos
1350 y 3150
Ejercicios
1. Dibuje las funciones cosecante, secante y cotangente, e indique entre que
valores pueden estar respectivamente.
2. Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones trigonométricas dadas, si x
es un ángulo medido en radianes. En el intervalo [0𝜋, 2𝜋 ]
1. sen x = √3/2
2. cos x = −√2/2
3. cot x = - √3
4. sec x = +√2
5. tan x = -1
6. csc x = 2
3. Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones trigonométricas dadas, si x es
un ángulo medido en grados. [ 00,3600 ]
1. sen x = 2√3/3
2. cos x = −√2/2
3. cot x + 1 = 0
4. sec x = -2
5. 2sen x = ±√2
6. 2cosx + √2 = 0
4. Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones trigonométricas dadas, si x es
un ángulo medido en grados. [ 00,7200 ]
1. sen x = ±√3/2
2. cos x = +√2/2
3. cot x = - √3
5. Resolver las siguientes ecuaciones en el intervalo [0𝜋, 2𝜋 ].
1. sen2x =
1
4
2. csc2x = 2
3. tg2x -3 = 0
4. sec2x – 4 = 0
5. tg 2x = 1
6. 2cos 2x +√3 = 0
7. sen22x = 1
8. 4cos22x -1 = 0
9. ctg2 2 = 3
10. sec2 2 = 2
11. cos2x - 3sen2x = 0
12. sen2x - cos2x =
13. 2(cos2x – sen2x) = 1
14. 2sen2x – 3senx + 1=0
15. 4 sen2x tg x-tg x=0
16. 2 sen2 x-cos x-1 = 0
17. senx+cos xcot x=csc x
18. sen3x-sen2x-senx+1=0
19. sen5x = 4senx
20. 5 senx tgx - 10 tgx +3 sen x 6 = 0
𝑥
𝑥
1
2
