Unidad Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas del Instituto Politécnico Nacional Ingeniería en Energía Disciplina: Teoría Electromagnética. Semestre: 2020–2 Profesor: Jorge Fonseca Campos — Fuerza y momento en campos magnéticos — 1. Fuerzas magnéticas sobre las partículas Una partícula cargada, q, en movimiento en un campo magnético, experimenta una fuerza,F, cuya magnitud es proporcional a la carga, la velocidad v y la densidad de flujo magnético, B. La expresión completa está dada por el producto cruz F = qv × B. Por lo tanto, el campo magnético pueda modificar la trayectoria de una partícula. El trabajo, U se define como U= Z F · dl, (1) (2) donde dl es un diferencial de longitud. Acorde a la ec. (1) v y F son perpendiculares. Si se tiene que dl v = dt , entonces F es perpendicular a v, lo que implica que el campo magnético no puede realizar trabajo sobre la partícula y en consecuencia la energía cinética de ésta no puede cambiar por la presencia de B. Si el campo magnético B es uniforme a través de una región y una partícula tiene una velocidad perpendicular al campo, la trayectoria de la partícula es un círculo de radio ρ. La fuerza del campo magnético es de magnitud |F | = |q|vB y se dirige hacia el centro del círculo. La aceleración centrípeta, 2 normal, de la partícula tiene una magnitud an = ω 2 ρ = m vρ . Por segunda ley de Newton se tiene que |q|vB = m o ρ= 2. v2 ρ mv . |q|B (3) (4) Fuerza debida a la combinación de campos eléctricos y magnéticos Al estar presentes los campos magnético y eléctrico en una región al mismo tiempo, la fuerza sobre la partícula se da por F = q (E + v × B), V donde E es la intensidad del campo eléctrico en m . 3. (5) Fuerza magnética sobre un elemento de corriente Una situación que se encuentra de forma frecuente es en la que se tiene un cable portador de corriente en la presencia de un campo magnético externo. Dado que I = dq ; la ecuación de la fuerza diferencial se dt puede escribir como y dado que v = dl ; dt dF = Idt (v × B), entonces se tiene que dF = Idl × B. Cuando el conductor es recto y el campo magnético es constante, integrando se obtiene 1 (6) (7) 2 F = IL × B, (8) F = ILB sen θ, (9) cuya magnitud es donde θ es el ángulo entre el vector B y el vector L. Si la corriente I tiene lugar a lo largo de una trayectoria cerrada L o un circuito cerrado, la fuerza que sobre el circuito está dada por F= I Idl × B. (10) L Al hacer uso de las ecs. (8) y (10), se debe tener presente que el campo magnético producido por el elemento de corriente Idl no ejerce fuerza sobre el elemento mismo, al igual que una carga puntual no ejerce una fuerza sobre sí misma. El campo B que ejerce la fuerza sobre Idl tiene que deberse a otro elemento. En otras palabras, el campo B, en las ecs. (8) y (10), es externo al elemento de corriente Idl. Si en vez de un elemento de corriente lineal Idl se tiene un elemento de corriente superficial KdS, o un elemento de corriente volumétrica Jd∀, donde ∀ es el volumen, se tiene que dF = KdS × B o sea, dF = Jd∀ × B. (11) Integrando las ecs. (11) se obtiene F= ZZ KdS × B o sea, F = ZZZ 4. Jd∀ × B. (12) ∀ S Fuerza entre dos elementos diferenciales de corriente La ley de Biot Savart establece que si se tienen dos elementos diferenciales de corriente I1 dl1 e I2 dl2 ambos producen campos magnéticos. La fuerza d (dF1 ) que se ejerce sobre el elemento diferencial de corriente I1 dl1 debida al campo dB2 producido por elemento diferencial de corriente I2 dl2 , como se ilustra en la fig. 1, por la ec. (6) se da por d (dF1 ) = Ii dl1 × dB2 . Figura 1. Fuerza debida a dos espiras de corriente. (13) 3 5. Trabajo y potencia El campo magnético genera una fuerza magnética sobre cargas en movimiento o sobre conductores portadores de corriente. Si se establece el equilibrio se necesita contrarrestar la fuerza debida al campo magnético con una fuerza de la misma magnitud, pero de dirección opuesta. Esta fuerza se denota por Fa . Cuando se presenta movimiento, el trabajo hecho sobre el sistema por una fuerza externa se da por W = Z lf li Fa · dl, (14) donde li es la posición inicial y lf es la condición final. Si W > 0 el trabajo es realizado por la fuerza externa sobre el sistema para mover las partículas o el conductor de una posición inicial a una final en el campo. Debido a que en general el campo magnético, y por ende, Fa no son conservativos, la trayectoria de integración que une a los puntos iniciales y finales sobre el conductor se tiene que especificar. 6. Momento o torca El momento de una fuerza o torca alrededor de un punto específico es el producto cruz del brazo de palanca, r, alrededor de un punto y la fuerza F. El brazo de palanca se dirige del punto alrededor del cual se va a calcular el momento al punto donde se aplica la fuerza. En la fig. 2 se muestra que la fuerza aplicada en el púnto P tiene un momento alrededor de O dado por: Figura 2. Momento debido al campo magnético. En la fig. 2 se muestra la fuerza que se aplica en el punto P el cual genera un momento alrededor del punto O dado por τ = r × F, (15) donde τ tiene unidades de N·m. 7. Momento magnético debido a una espira plana Considere una espira plana, como la que se muestra ne la fig. 3, en el plano z = 0, de ancho w en la dirección x y de longitud l en la dirección y. Si la espira se somete a un campo B = B0 êx constante dirigido a lo largo del eje x se producirán fuerzas únicamente por las corrientes que fluyen a lo largo de las direcciones ±y. En el caso del alambre conductor de la derecha se tiene que la fuerza a la que está sometido es: Fder = −Ilêy × B0 êx = IlB0 êz . (16) En el caso del alambre conductor de la izquierda, la fuerza es: Fizq = Ilêy × B0 êx = −IlB0 êz . (17) 4 Figura 3. Momento magnético de una espira plana. El momento generado se debe a las fuerzas de ambos conductores. En el caso del conductor de la derecha se tiene un brazo de palanca dado por rder = w2 êx , para el conductor de la izquierda se tiene que rder = − w2 êx . Por ende, el momento es: w w êx × IlB0 êz − êx × −IlB0 êz = B0 Iwl (−êy ) = B0 IA (−êy ), (18) 2 2 donde A es el área de la espira. En general, la ec.(18) es válida para cualquier espira plana, independientemente de su forma geométrica. El momento magnético m de una espira plana de corriente se define como: τ= m = IAên , donde el vector unitario normal ên se determina por medio de la regla de la mano derecha. El momento debido a una espira plana de corriente es: (19) τ = m × B. (20) El concepto de momento magnético se aplica a las partículas que están cargadas y que orbitan alrededor de un punto. Por ejemplo, si se tiene una carga positiva q que se mueve en una órbita circular a una ω velocidad v, o una velocidad angular ω, se genera una corriente I = 2π q, la cual da lugar al momento magnético m= ω qAên , 2π (21) el cual se ilustra en la fig.4. Figura 4. Momento magnético de una carga puntual q. En la presencia de un campo magnético B se tendrá un momento τ = m × B el cual tratará de hacer girar lazo de corriente hasta que m y B tengan la misma dirección, causando que el momento sea cero, es decir, que τ = 0.
