MATEMATICAS 1 PROFESOR: JUAN MANUEL ACOSTA GARCIA Integración LA INTEGRAL INDEFINIDA • Dada una función f, si F es una función tal que: F´(X)=f(x), • entonces F se llama antiderivada de f. o en forma equivalente, en notación diferencial, dF=f(x)dx • Por ejemplo, como la derivada de x2 es 2x, x2 es una antiderivada de 2x. • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 = 2𝑥, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 2 − 5 = 2𝑥 • Dos antiderivadas cualesquiera de una función difieren sólo en una constante. • Como x2 +C describe todas las antiderivadas de 2x, podemos referirnos a ella como la antiderivada más general de 2x, denotada por , que se lee “integral indefinida de 2x con respecto a x” • 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶 • El símbolo ∫ se llama símbolo de integración, 2x es el integrando y C la constante de integración. x es la variable de integración. • ∫ integrando f(x) dx símbolo de integración • Como todas las antiderivadas de f difieren sólo en una constante, si F es cualquier antiderivada de f, entonces: • 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 donde C es una constante • Integrar f significa encontrar 𝑓 𝑥 𝑑𝑥. • 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 si y solo si F´(x)=f(x) • Ejemplo: • Encontrar 5 𝑑𝑥 • 5 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝐶 • Fórmulas básicas de integración: • Integrales indefinidas de una constante y de una potencia de x • Ejemplo 1: • 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 • Ejemplo 2: • 𝑥 5 𝑑𝑥 • Por la formula 2 con n=5 • 5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 5+1 5+1 +𝐶 = 𝑥6 6 +𝐶 • Integral indefinida de una constante por una función de x • Ejemplo: • Encontrar 7𝑥 𝑑𝑥 • por la fórmula 4 con k=7 y f(x)=x • 7𝑥 𝑑𝑥 = 7 𝑥 𝑑𝑥 • Como x es x1, por la fórmula 2 tenemos • • 𝑥 1+1 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝐶1 = + 𝐶1 1+1 2 𝑥2 7𝑥 2 7 𝑥 𝑑𝑥 = 7 + 𝐶1 = + 2 2 1 𝐶 • Ejercicios: • 1. 5𝑑𝑥 • 2. • 3. 1 𝑑𝑥 2 𝑥 8 𝑑𝑥