ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CÁLCULO DE UNA VARIABLE (CUV)
UNIDAD 3: ANTIDERIVADAS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
DEBER No. 8
3.1. DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA, INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS PROPIEDADES
Obtenga la antiderivada general de cada función:
**
1.
𝑓 𝑥 = 𝜋 − 2' 𝑥 −
2.
𝑔 𝑥 = 12 +
3.
ℎ 𝑥 = 3𝑒 7 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 5 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑥 ()
1
1
−/
+ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
𝑥 (.
Con base en la regla generalizada de la potencia, obtenga la antiderivada general de
cada función:
1
𝑥. − 𝜋
=
4.
𝑓 𝑥 =
5.
𝑓 𝑧 = 𝑧 + 𝑠𝑒𝑛 𝑧
6.
Califique como VERDADERA o FALSA la siguiente proposición. Justifique su respuesta.
𝑥
( .
𝑐𝑜𝑠 ?
𝑧
2
“Si 𝑓 es una función continua en un intervalo (𝑎, 𝑏) y 𝐹 es una antiderivada en dicho
(
intervalo, entonces 𝐺 𝑥 = 2 𝐹 𝑥 es una antiderivada de 𝑔 𝑥 =
.”
F 7
7.
Califique como VERDADERA o FALSA la siguiente proposición. Justifique su respuesta.
“Si 𝑓 es una función par, entonces cualquier antiderivada de 𝑓 es impar .”
3.2 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Obtenga la familia de antiderivadas correspondiente, aplicando la técnica de INTEGRACIÓN
POR SUSTITUCIÓN:
8.
2 𝑙𝑛 𝑥 + 1 𝑒 7 HI
9.
𝑥. 9 − 𝑥?
( =
𝑑𝑥
7
𝑑𝑥
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1− 𝑥
3
𝑥
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 ? 𝑥 + 4
1
1 − 𝑥 ? 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3?M
7
−5
𝑥
𝑒 NOI
P
7
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+ 2 𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 Q?
𝑑𝑥
𝑥.
1
𝑒 HI
?7
𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥
𝑑𝑥
𝑒7
𝑑𝑥
25 + 4𝑒 ?7
3𝑥 − 4 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2RST NOI
1 − 𝑥?
7
𝑑𝑥
19. Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 . + 𝐶, determine la antiderivada de la función
ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 , dado que ℎ contiene los puntos 0, − 4 5 y −1, −3 .
20. Un modelo utilizado en aplicaciones de osciladores armónico - periódicos con
retroalimentación negativa, donde 𝑃 𝑥 es la posición del oscilador, es el siguiente:
𝑑𝑃
= 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 ? 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
Determine la expresión matemática para la ECUACIÓN GENERAL de la posición 𝑃 del
oscilador:
(a) Aplicando el cambio de variable 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 .
(b) Aplicando el cambio de variable 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 .
(c) Demuestre que las expresiones obtenidas en los dos literales anteriores son
equivalentes. Justifique su respuesta.
0
