ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CÁLCULO DE UNA VARIABLE (CUV) UNIDAD 3: ANTIDERIVADAS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN DEBER No. 8 3.1. DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA, INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS PROPIEDADES Obtenga la antiderivada general de cada función: ** 1. 𝑓 𝑥 = 𝜋 − 2' 𝑥 − 2. 𝑔 𝑥 = 12 + 3. ℎ 𝑥 = 3𝑒 7 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 5 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑥 () 1 1 −/ + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 𝑥 (. Con base en la regla generalizada de la potencia, obtenga la antiderivada general de cada función: 1 𝑥. − 𝜋 = 4. 𝑓 𝑥 = 5. 𝑓 𝑧 = 𝑧 + 𝑠𝑒𝑛 𝑧 6. Califique como VERDADERA o FALSA la siguiente proposición. Justifique su respuesta. 𝑥 ( . 𝑐𝑜𝑠 ? 𝑧 2 “Si 𝑓 es una función continua en un intervalo (𝑎, 𝑏) y 𝐹 es una antiderivada en dicho ( intervalo, entonces 𝐺 𝑥 = 2 𝐹 𝑥 es una antiderivada de 𝑔 𝑥 = .” F 7 7. Califique como VERDADERA o FALSA la siguiente proposición. Justifique su respuesta. “Si 𝑓 es una función par, entonces cualquier antiderivada de 𝑓 es impar .” 3.2 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Obtenga la familia de antiderivadas correspondiente, aplicando la técnica de INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN: 8. 2 𝑙𝑛 𝑥 + 1 𝑒 7 HI 9. 𝑥. 9 − 𝑥? ( = 𝑑𝑥 7 𝑑𝑥 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 1− 𝑥 3 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 ? 𝑥 + 4 1 1 − 𝑥 ? 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3?M 7 −5 𝑥 𝑒 NOI P 7 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Q? 𝑑𝑥 𝑥. 1 𝑒 HI ?7 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑒7 𝑑𝑥 25 + 4𝑒 ?7 3𝑥 − 4 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2RST NOI 1 − 𝑥? 7 𝑑𝑥 19. Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 . + 𝐶, determine la antiderivada de la función ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 𝑥 , dado que ℎ contiene los puntos 0, − 4 5 y −1, −3 . 20. Un modelo utilizado en aplicaciones de osciladores armónico - periódicos con retroalimentación negativa, donde 𝑃 𝑥 es la posición del oscilador, es el siguiente: 𝑑𝑃 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 ? 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Determine la expresión matemática para la ECUACIÓN GENERAL de la posición 𝑃 del oscilador: (a) Aplicando el cambio de variable 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 . (b) Aplicando el cambio de variable 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . (c) Demuestre que las expresiones obtenidas en los dos literales anteriores son equivalentes. Justifique su respuesta.
