INTEGRACION

MATEMATICAS 1
PROFESOR: JUAN MANUEL ACOSTA
GARCIA
Integración
LA INTEGRAL INDEFINIDA
• Dada una función f, si F es una función tal que:
F´(X)=f(x),
• entonces F se llama antiderivada de f. o en forma equivalente, en
notación diferencial,
dF=f(x)dx
• Por ejemplo, como la derivada de x2 es 2x, x2 es una antiderivada de
2x.
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥2
+ 1 = 2𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥 2 − 5 = 2𝑥
• Dos antiderivadas cualesquiera de una función difieren sólo en una
constante.
• Como x2 +C describe todas las antiderivadas de 2x, podemos
referirnos a ella como la antiderivada más general de 2x, denotada
por , que se lee “integral indefinida de 2x con respecto a x”
•
2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶
• El símbolo ∫ se llama símbolo de integración, 2x es el integrando y C
la constante de integración. x es la variable de integración.
•
∫
integrando
f(x) dx
símbolo de
integración
• Como todas las antiderivadas de f difieren sólo en una constante, si F
es cualquier antiderivada de f, entonces:
•
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 donde C es una constante
• Integrar f significa encontrar 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
•
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 si y solo si F´(x)=f(x)
• Ejemplo:
• Encontrar 5 𝑑𝑥
•
5 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝐶
• Fórmulas básicas de integración:
• Integrales indefinidas de una constante y de una potencia de x
• Ejemplo 1:
• 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
• Ejemplo 2:
•
𝑥 5 𝑑𝑥
• Por la formula 2 con n=5
•
5
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 5+1
5+1
+𝐶 =
𝑥6
6
+𝐶
• Integral indefinida de una constante por una función de x
• Ejemplo:
• Encontrar 7𝑥 𝑑𝑥
• por la fórmula 4 con k=7 y f(x)=x
•
7𝑥 𝑑𝑥 = 7 𝑥 𝑑𝑥
• Como x es x1, por la fórmula 2 tenemos
•
•
𝑥 1+1
𝑥2
𝑥 𝑑𝑥 =
+ 𝐶1 = + 𝐶1
1+1
2
𝑥2
7𝑥 2
7 𝑥 𝑑𝑥 = 7
+ 𝐶1 =
+
2
2
1
𝐶
• Ejercicios:
• 1. 5𝑑𝑥
• 2.
• 3.
1
𝑑𝑥
2
𝑥 8 𝑑𝑥