CÁLCULO DE UNA VARIABLE (MATG1045) LA ANTIDERIVADA Reglas Función constante ! 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ 𝑥 !"# ! 𝑥 ! 𝑑𝑥 = , 𝑛 + 1 + 𝐶 , 𝑛 ≠ −1 𝑙𝑛(|𝑥|) + 𝐶 , 𝑛 = −1 Función potencia Función exponencial natural ! 𝑒 $ 𝑑𝑥 = 𝑒 $ + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ Función exponencial 𝑎$ ! 𝑎 𝑑𝑥 = +𝐶 ; 𝐶 ∈ℝ 𝑙𝑛(𝑎) ; 𝐶∈ℝ $ ! 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ ! 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ ! 𝑠𝑒𝑐 % (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ Funciones trigonométricas ! 𝑐𝑠𝑐 % (𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ ! 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑡𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ ! 𝑐𝑠𝑐(𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ 1 ! 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ √1 − 𝑥 % 1 𝑥 ! 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 > ? + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ 𝑎 √𝑎% − 𝑥 % Funciones trigonométricas inversas y logarítmicas ! ! ! ! Elaborado por [email protected] 1 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ 1 + 𝑥% 1 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 > ? + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ 𝑎% + 𝑥 % 𝑎 𝑎 1 𝑎% − 𝑥 % 1 E𝑥 % ± 𝑎% 𝑑𝑥 = 1 𝑎+𝑥 𝑙𝑛 BC CD + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ 2𝑎 𝑎−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥 + E𝑥 % ± 𝑎% ) + 𝐶 (𝑎 ≠ 0) ; 𝐶 ∈ ℝ Página 1 de 3 PROPIEDAD DE LINEALIDAD Múltiplo constante ! 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ! 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Suma (resta) de funciones !H𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)J 𝑑𝑥 = ! 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ! 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 Actividad en clase # 1 Obtenga la familia de antiderivadas correspondiente a: (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) !K + 2𝑒 $ M 𝑑𝑥 𝑥 REGLA GENERALIZADA DE LA POTENCIA Siempre que 𝑛 ≠ −1 y 𝑓 sea una función derivable: ![𝑓(𝑥) ]! 𝑓 & (𝑥) [𝑓(𝑥)]!"# 𝑑𝑥 = +𝐶 ; 𝐶 ∈ℝ 𝑛+1 Actividad en clase # 2 Obtenga la familia de antiderivadas correspondiente a: ! 4 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)(𝑠𝑒𝑛% (𝑥) − 𝜋)' 𝑑𝑥 Ejemplo # 1 La eficiencia 𝑬 (en porcentaje) del operador de una máquina, se ha definido como una función del tiempo 𝑡 (en 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 de trabajo); y, está dada para 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟖, por la siguiente integral indefinida: 𝑬(𝒕) = ! B−𝟖𝒕 + 𝟖𝟗 D 𝒅𝒕 𝟑 (a) Obtenga la expresión para 𝑬(𝒕), si se conoce que la eficiencia del operador, cuando ha trabajado 𝟐 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔, es de 𝟕𝟔%; es decir, 𝑬(𝟐) = 𝟕𝟔. (b) Calcule la eficiencia del operador, cuando ha trabajado 𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔. Aproxime su respuesta con dos decimales. Elaborado por [email protected] Página 2 de 3 Solución: Se aplica la PROPIEDAD DE LINEALIDAD: 𝐸(𝑡) = −8 ! 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐸(𝑡) = −4𝑡 % + 89 ! 𝑑𝑡 3 89 𝑡+𝐶 ; 𝐶 ∈ℝ 3 Pero: 𝐸(2) = −4(2)% + 89 (2) + 𝐶 = 76 3 𝐶 = 76 + 16 − 178 178 98 = 92 − = 3 3 3 ∴ 𝐸(𝑡) = −4𝑡 % + 89 98 𝑡+ ; 0≤𝑡≤8 3 3 Se evalúa la función 𝐸, cuando 𝑡 = 3: 𝐸(3) = −4(3)% + 89 98 98 98 257 (3) + = −36 + 89 + = 53 + = ≈ 85.67 3 3 3 3 3 ∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 85.67%. Elaborado por [email protected] Página 3 de 3
