UMSA-FCPN-Carrera de Matemática
MAT-112
Práctica No. 4: Continuidad
MAT–112: Cálculo Diferencial e Integral I
a) f (x) = 2x − 5, x ∈ R, a = 3
x2 − 2
, x 6= 0, g(2)=4, a = 2
x−2
√
x−3
1
h(x) =
, x 6= 9, h(9) = , a = 9
x−9
6
3
2
x − 2x + x − 17
r(x) =
, x 6= ±1, a = 1
x2 − 1
π
s(x) = tan x, x 6= + kπ, k ∈ Z, a = 0
2
t(x) = x, si x es racional; t(x) = 0, si x es irracional , a = 0
b) g(x) =
c)
d)
e)
f)
SA
1. Verificar la continuidad de los siguientes funciones en el punto a dado para cada función.
2. Hallar todos lo puntos de continuidad y discontinuidad de las siguientes funciones
UM
x2 − 9 7x + 11
+
+ 3x csc x, x 6= 1, x 6= 3, x 6= kπ para k ∈ Z
x−3
x−1
x2 − 1
sen x
b) g(x) =
, x 6= 2, x 6= 0
(x − 2)(x2 + 2x + 2) x
a) f (x) =
ex − e−x
+ log(x + 1), x > −1
ex + e−x
1
2
sen(x + π) − (x − 1) cos
x+1
d ) r(x) =
,
2
2x + 3x + 2
x
√
e) s(x) = √
, 4<x<5
x−4− 5−x
c) h(x) =
1
x 6= 2, x 6= , x 6= −1
2
3. En el punto de continuidad de f en a ∈ Df . Si f (a) > 0, hallar δ > 0 tal que f (x) > 0 para
|x − a| < δ. De la misma manera, si f (a) < 0, hallar δ > 0 tal que f (x) < 0 para |x − a| < δ.
g) f (x) = x2 − 10, x ∈ R, a = 1
a) f (x) = 3x − 1, x ∈ R, a = 0
π
2
f (x) = exp(−x), x ∈ R, a = 0
√
f (x) = x, x ≥ 0, a = 7
√
√
f (x) = x + 1 − x, x ≥ 0, a = 2
x2 − 4
f (x) =
, x 6= 4, a = 0
x−4
b) f (x) = sen(x + 1), x ∈ R, a =
c)
d)
e)
f)
Semestre II/2019
h) f (x) = −1, x ∈ R, a = 100
1
i ) f (x) =
1
, x 6= 0, a = 0.0001
x
j ) f (x) =
1
, x 6= 0, a = 1000
x2
Dr. Porfirio Suñagua S.
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π
π
k ) f (x) = tan x, x 6= + kπ, k ∈ Z, a =
2
4
4.
MAT-112
a) Dar una función que no sea continua en ningún a 6= 0.
b) Dar un ejemplo de una función que no sea en ningún punto y que su valor absoluto sea
continua en todo R.
1 1
c) Hallar una función discontinua en los puntos 1, , , · · ·; pero continua en los demás
2 3
puntos.
SA
5. Supóngase que f satisface f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R y que f es continua en 0.
Demostrar que f es continua en cualquier punto.
6. Demostrar que si f y g son continuas en a, entonces máx{f, g} y mı́n{f, g} son continuas en
a.
7. Si f es continua en [a, b], entonces existe una función g que es continua en R tal que g(x) =
f (x), ∀x ∈ [a, b].
UM
8. Enumerar los puntos de discontinuidad evitable de las funciones del Ejercicio 2.
Semestre II/2019
2
Dr. Porfirio Suñagua S.
