Formulario Basicas

ÍNDICE
MATEMÁTICAS
Geometría
Trigonometría
Números Complejos
Geometría Analítica del Espacio
Reglas Generales de Derivación
Tablas de Integrales
Vectores
Integrales Múltiples
Fórmulas Misceláneas
FÍSICA
Cinemática
Dinámica
Trabajo, Energía y Conservación de la Energía
Impulso e Ímpetu
Electricidad y Magnetismo
Constantes
Factores de conversión
QUÍMICA
Tabla Periódica de los Elementos
Serie Electroquímica de los Metales
Tabla de Afinidades Electrónicas
Energías de Ionización de los primeros 20 elementos
Electronegatividades Relativas
Espectro Electromagnético
Longitudes de Onda Espectrales y los Colores
Tabla de Pesos Atómicos
XIV Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2006
1
1
2
2
3
4
6
10
11
13
14
14
14
15
15
15
18
19
20
20
22
23
23
24
24
24
25
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen = 43 π r
r
3
Área de la Superficie = 4π r 2
r
Volumen
= π r 2h
h
Área de la superficie lateral = 2π rh
r
Volumen = 13 π r 2 h
h
l
Área de la superficie lateral
= πr r 2 +h2 = πr l
Volumen = 13 π h (a 2 + a b + b 2 )
a
Área de la superficie lateral
= π (a + b ) h 2 + (b − a )
2
= π (a + b ) l
l
h
b
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2
Trigonometría
sen 2 A + cos 2 A = 1
sen 2 A = 12 − 12 cos 2A
sec 2 A − tan 2 A = 1
cos 2 A = 12 + 12 cos 2A cos 2 A = 12 + 12 cos 2A
csc 2 A − cot 2 A = 1
sen 2A = 2sen A cos A
senA
cos A
cos A
cot A =
senA
senA csc A = 1
cos 2A = cos 2 A − sen 2 A
tan A =
sen (A ± B ) = sen A cos B ± cos A sen B
cos (A ± B ) = cos A cos B ± sen A sen B
tan (A ± B ) =
cos A sec A = 1
tan A cot A = 1
sen
sen (−A ) = senA
A
2
tan A ± tan B
1 ∓ tan A tan B
1− cos A
2
=±
1 + cos A
2
2
1 ⎡
sen A sen B = 2 ⎣ cos (A − B ) − cos (A + B )⎤⎦
cos (−A ) = cos A
cos
tan (−A ) = − tan A
A
=±
sen A cos B = 12 ⎡⎣sen (A − B ) + sen (A + B )⎤⎦
cos A cos B = 12 ⎡⎣ cos (A − B ) + cos (A + B )⎤⎦
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,
C.
Ley de los senos
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
A
Ley de los cosenos
c
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C
C
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
B
Ley de las tangentes
a + b tan 12 (A + B )
=
a − b tan 12 (A − B )
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
p
⎡ r (cos θ + i sen θ )⎤ = r p (cos p θ + i sen p θ )
⎣
⎦
Sea n cualquier entero positivo y p = 1 , entonces
n
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b
a
3
⎡
⎤
⎣ r (cos θ + i sen θ )⎦
1
n
=r
1
n
⎡ cos θ+2 k π + i sen θ+2 k π ⎤
n
n ⎦⎥
⎣⎢
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo k = 0,1, 2, , n −1
Geometría Analítica del Espacio
Considerando P1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) y P2 = (x 2 , y 2 , z 2 )
Vector que une P1 y P2 :
P1P2 = (x 2 − x 1 ) , ( y 2 − y 1 ) , (z 2 − z 1 ) = (l , m , n )
Distancia entre dos puntos:
d = (x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) + (z 2 − z 1 ) = l 2 + m 2 + n 2
2
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica:
x = x1 + l t
2
2
y = y1 + m t
-Forma Simétrica:
x − x1
t=
l
t=
z = z1 + n t
y − y1
m
t=
z − z1
n
Cosenos Directores:
cos α =
x 2 − x1 l
=
d
d
cos β =
y 2 − y1 m
=
d
d
cos γ =
z 2 − z1 n
=
d
d
donde α, β , γ denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte
positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
→
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a = a1 , a 2 , a 3 :
a1 (x − x 1 ) + a 2 ( y − y 1 ) + a 3 (z − z 1 ) = 0
-Forma General:
Ax + By +Cz + D = 0
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 o
l 2 + m2 + n 2 =1
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
Ax 0 +By 0 + Cz 0 + D
d=
±
A 2 + B 2 +C 2
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4
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
Coordenadas cilíndricas:
⎧
⎪
r = x2+y2
⎧⎪ x = r cos θ
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎨ y = r sen θ o ⎪⎪⎨ θ = tan−1 ( y )
x
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎩ z = z
z =z
⎪
⎪
⎩
z
{
P
(x,y,z)
(r,θ,z)
z
O
y
r
x
θ
y
x
Coordenadas esféricas:
z
⎧
x = r sen θ cos φ
⎪
⎪
⎪
⎨ y = r sen θ sen φ o
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ z = r cos θ
⎧⎪
⎪⎪
2
2
2
⎪⎪ r = x + y + z
⎪⎪
−1 y
⎨ φ = tan ( x )
⎪⎪
⎪⎪
−1
z
⎪⎪θ = cos
x 2 + y 2 +z 2
⎪⎩
(
{
P
(x,y,z)
(r,θ,φ)
r
θ
z
O
x
y
φ
y
x
)
Ángulo entre dos rectas en el plano tan α =
m2 − m1
1 + m1m2
Reglas Generales de Derivación
d
(c ) = 0
dx
d
(cx ) = c
dx
d
(cx n ) = ncx n −1
dx
d
du dv dw
(u ±v ±w ± ) = ± ±
dx
dx dx dx
d
dv
du
(uv ) = u +v
dx
dx
dx
d
du
(cu ) = c
dx
dx
d n
du
u ) = nu n −1
(
dx
dx
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d
dw
dv
du
+u w
+v w
(uvw ) = u v
dx
dx
dx
dx
du
dv
d ⎛u ⎞ v
dx −u
dx
⎜⎜ ⎟⎟ =
dx ⎜⎝v ⎠⎟
(
) (
v2
)
5
dF dF du
(Regla de la cadena)
=
dx du dx
du
1
=
dx dx
du
dF
dF
du
=
dx
dx
du
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6
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
loga e du
d
loga u =
a > 0, a ≠ 1
dx
u dx
d
d
1 du
ln u =
loge u =
dx
dx
u dx
d u
du
a = a u ln a
dx
dx
d u
du
e = eu
dx
dx
d v
d
d
du
dv
u = e v ln u = e v lnu
[v ln u ] = vu v −1 + u v ln u
dx
dx
dx
dx
dx
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
du
dx
du
cos u = − sen u
dx
du
tan u = sec 2 u
dx
1
du
sen −1u =
1−u 2 dx
−1 du
cos−1 u =
1−u 2 dx
1 du
tan −1 u =
1 + u 2 dx
−1 du
cot −1 u =
1 + u 2 dx
d
du
cot u = − csc 2 u
dx
dx
d
du
sec u = sec u tan u
dx
dx
d
du
csc u = − csc u cot u
dx
dx
sen u = cos u
⎡− π2 < sen −1u < π2 ⎤
⎣⎢
⎦⎥
⎡ 0 < cos−1 u < π ⎤
⎢⎣
⎥⎦
⎡− π2 < tan −1 u < π2 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
⎡ 0 < cot −1 u < π ⎤
⎢⎣
⎥⎦
d
1
du
±1 du
sec−1 u =
=
dx
u u 2 −1 dx u u 2 −1 dx
∓1 du
−1
d
du
=
csc−1 u =
dx
u u 2 −1 dx u u 2 −1 dx
⎡ +si 0 < sec−1 u < π2 ⎤
⎢
⎥
⎢−si π < sec−1 u < π ⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
⎡ −si 0 < csc−1 u < π2 ⎤
⎢
⎥
⎢+si − π < csc−1 u < 0⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
du
senh u = cosh u
dx
dx
d
du
cosh u = senh u
dx
dx
d
du
tanh u = sec h 2u
dx
dx
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d
du
coth u = − csc h 2 u
dx
dx
d
du
sec h u = − sec h u tanh u
dx
dx
d
du
csc h u = − csc h u coth u
dx
dx
7
d
1
du
senh -1u =
2
dx
u + 1 dx
⎡+ si
⎢
⎢− si
⎢⎣
±1 du
d
cosh -1 u =
dx
u 2 −1 dx
d
1 du
tanh −1 u =
dx
1−u 2 dx
d
1 du
coth −1 u =
1−u 2 dx
dx
±1 du
d
sech -1u =
dx
u u 2 −1 dx
cosh −1 u > 0, u > 1⎤⎥
cosh −1 u < 0, u < 1⎥⎥⎦
[−1 < u < 1]
⎡u > 1 o u < −1⎤
⎣
⎦
⎡− si sech−1u > 0, 0 < u < 1⎤
⎢
⎥
⎢+ si sech −1u < 0, 0 < u < 1⎥
⎣⎢
⎦⎥
d
−1
du
∓1 du
⎡− si u > 0, +
csch -1u =
=
⎣
2
2 dx
dx
dx
u 1+u
u 1+u
si u < 0⎤⎦
Tablas de Integrales
∫ u dv = uv − ∫ v du
∫u
n
du =
1
u n +1 + C
n +1
∫ cscu cot u du = − cscu +C
∫ tan u du = ln secu +C
n ≠ −1
∫ cot u du = ln senu +C
du
∫ u = ln u +C
u
u
∫ e du = e +C
u
∫ a du =
∫ secu du = ln secu + tan u +C
∫ cscu du = ln cscu − cot u +C
au
+C
ln a
∫ senu du = − cos u +C
∫
∫ cos u du = senu +C
∫
∫ sec
2
u du = tan u + C
∫
∫ csc
2
u du = − cot u + C
∫
∫ sec u tan u du = secu +C
∫
∫u
a 2 + u 2 du =
2
a 2 +u 2 du =
u
2
u
∫
a 2 +u 2 +
a 2 + 2u 2 )
(
8
a2
2
du
u
+C
a
a −u
du
1
u
= tan −1 + C
2
2
a +u
a
a
du
1
u
= sec−1 + C
2
2
a
a
u u −a
du
1
u +a
= ln
+C
2
2
a −u
2a u − a
du
1
u −a
= ln
+C
2
2
u −a
2a u + a
2
2
ln u + a 2 + u 2 + C
a 2 +u 2 −
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a2
8
ln u + a 2 +u 2 +C
= sen −1
du
∫u
∫u
a 2 +u 2
du
2
a 2 +u 2
1
= − ln
a
=−
a 2 +u 2 + a
+C
u
a 2 +u 2
+C
a 2u
8
∫
a 2 +u 2
a + a 2 +u 2
du = a 2 + u 2 − a ln
+C
u
u
∫
∫
a 2 +u 2
a 2 +u 2
du
=
−
+ ln u + a 2 + u 2 + C
u2
u
du
= ln u + a 2 + u 2 + C
2
2
a +u
∫
∫
u 2du
∫
a 2 +u 2
u
=
a 2 +u 2 −
2
a2
2
a 2 −u 2
1
u
du = − a 2 −u 2 − sen −1 + C
2
u
u
a
2
2
u du
u 2
a
u
a −u 2 + sen −1 + C
=−
a
2
2
a 2 −u 2
∫
∫
du
∫u
∫u
a 2 −u 2
du
1 a + a 2 −u 2
= − ln
+C
a
=−
a 2 −u 2
2
u
1
a 2 −u 2 + C
2
au
u
3
2
2 2
2
2
∫ (a −u ) du = − 8 (2u − 5a )
∫
ln u + a 2 + u 2 + C
du
(a
2
−u
2
)
3
=
2
u
a 2 a 2 −u 2
a 2 −u 2 +
3a 4
u
sen −1 + C
8
a
+C
∫
u 2du
1
2
= 3 ⎡⎢(a + bu ) − 4a (a + bu ) + 2a 2 ln a + bu ⎤⎥ + C
⎣
⎦
a + bu 2b
+u
)
a
∫
du
1
u
∫u
2
+C
du
1
b
a + bu
= − + 2 ln
+C
au a
u
(a + bu )
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2
u
+C
a 2 +u 2
a 2 −u 2 +
2
a2
u
2u 2 − a 2 )
(
8
u
sen −1 + C
a
2
a 2 −u 2 +
a4
8
sen −1
u
+
a
a 2 −u 2
a + a 2 −u 2
2
2
du = a −u − a ln
+C
u
u
u 2 − a 2 du =
u
2
u 2 −a 2 −
a2
2
ln u + u 2 − a 2 + C
u 2 2 2 2 a4
2
2
2
u
u
a
du
−
=
(2u −a ) u −a − ln u + u 2 −a2 +C
∫
8
8
∫
u 2 −a 2
a
du = u 2 − a 2 − a cos−1 + C
u
u
∫
u 2 −a 2
u 2 −a 2
du
=
−
+ ln u + u 2 − a 2 + C
2
u
u
du
= ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
u −a
u 2du
u
a2
=
u 2 − a 2 + ln u + u 2 − a 2 + C
2
u 2 −a 2 2
∫
∫
du
u 2 −a 2
du
2
(u
2
−a
2
∫
∫u
)
3
=
=−
2
u 2 −a 2
+C
a 2u
u
a 2 u 2 −a 2
+C
u 2du
2
=
(8a 2 + 3b 2u 2 − 4abu ) a + bu
a + bu 15b 3
du
1
a + bu − a
=
ln
+ C , si a > 0
a + bu
a
a + bu + a
=
∫ u (a + bu ) = a ln a + bu
u
=
a 2 −u 2 du =
∫
∫
2
(a
2 3/ 2
2
2
2
∫ u a −u du =
∫u
udu
1
∫ a + bu = b (a + bu − a ln a + bu ) +C
du
2
2
a + bu
tan −1
+ C , si a < 0
−a
−a
∫
a + bu
du
du = 2 a + bu + a ∫
u
u a + bu
∫
a + bu
a + bu b
du
du = −
+ ∫
2
u
u
2 u a + bu
9
udu
∫ (a + bu )
2
=
a
b (a + bu )
2
1
+ ln a + bu + C
b
∫u
n
a +bu du =
∫
du
1
1
a + bu
=
− 2 ln
+C
2
a (a + bu ) a
u
u (a + bu )
∫
∫
⎞
u 2du
1 ⎛⎜
a2
a
bu
=
+
−
− 2a ln a + bu ⎟⎟⎟ + C
2
3⎜
a + bu
⎠⎟
(a + bu ) b ⎜⎝
∫ un
∫u
∫
a + budu =
3
2
⎡ n
n−1
a +bu du ⎤⎥
⎢u (a +bu ) 2 −na ∫ u
⎦
b (2n +3) ⎣
u n du
2u n a + bu
2na
u n −1du
=
−
b (2n + 1) b (2n + 1) ∫ a + bu
a + bu
b (2n − 3)
du
a + bu
du
=−
−
n −1
∫
n −1
a (n −1)u
2a (n −1) u
a + bu
a + bu
3
2
3bu − 2a )(a + bu ) 2 + C
2 (
15b
udu
2
= 2 (bu − 2a ) a + bu
a + bu 3b
∫ sen u du =
2
∫ cos
1
2
u − 14 sen2u + C
∫ csc u du = −
3
1
2
csc u cot u + 12 ln csc u − cot u + C
2
u du = 12 u + 14 sen2u + C
∫ sen u du = − n sen
∫ tan
2
u du = tan u −u + C
∫ cos
∫ cot
2
u du = − cot u −u + C
∫ tan
n
∫
∫ cos u du = (2 + cos u ) senu +C
∫
∫ tan
3
u du = 12 tan 2 u + ln cos u + C
∫ csc
∫ cot
3
u du = − 12 cot 2 u − ln senu + C
∫
3
2
1
3
∫ sec u du =
3
2
1
3
1
2
secu tan u + 12 ln secu + tan u +C
∫ senau cos bu du = −
cos (a −b )u cos (a + b )u
−
+C
2 (a −b )
2 (a + b )
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n −1
u cos u +
u du = n1 cos n −1 usenu +
n −1
sen n −2u du
∫
n
n −1
cos n −2 u du
∫
n
1
tan n −1 u − ∫ tan n −2 u du
n −1
−1
cot n u du =
cot n −1 u − ∫ cot n −2 u du
n −1
1
n −2
sec n u du =
tan u secn −2 u +
secn −2 u
∫
n −1
n −1
∫ sen u du = − (2 + sen u ) cos u +C
3
n
1
n
u du =
n
u du =
1
n −2
cot u cscn −2 u +
csc n −2 u
n −1
n −1 ∫
senau senbu du =
∫ cos au cos bu du =
∫u
n
sen (a − b )u
2 (a − b )
sen (a − b )u
2 (a − b )
−
+
sen (a + b )u
2 (a + b )
sen (a + b )u
2 (a + b )
cos u du = u n senu − n ∫ u n −1senu du
+C
+C
10
∫ sen u cos
n
∫ usenu du = senu −u cos u +C
∫ u cos u du = cos u + usenu +C
∫u
n
−1
∫ cos
−1
u du = u cos−1 u − 1−u 2 + C
−1
u du = u tan −1 u − 12 ln (1 + u 2 ) + C
∫ tan
∫ ue
au
du =
1
a
2
=−
sen n −1u cos m +1 u
n −1
+
n +m
n +m
∫ sen
=−
sen n +1u cos m −1 u
m −1
+
n +m
n +m
∫ sen u cos
n −2
u cos m u du
n
∫ ln u du = u ln u −u +C
(au −1)e au +C
n −1 au
∫ u e du
n
∫ u ln u du =
e au
(asenbu −b cos bu ) +C
a 2 +b 2
e au
au
∫ e cos bu du = a 2 + b 2 (a cos bu + bsenbu ) + C
au
∫ e senbu du =
∫ senhu du = cosh u +C
∫ cosh u du = senhu +C
∫ tanh u du = ln cosh u +C
∫ coth u du = ln senhu +C
∫ sech u du = tan senhu +C
−1
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u du
1 ⎢⎡ n +1 −1
u n +1du ⎤⎥
u
sen u − ∫
, n ≠ −1
n + 1 ⎢⎣
1− u 2 ⎥⎦
1 ⎢⎡ n +1
u n +1du ⎤⎥
n
−1
−1
∫ u cos u du = n +1 ⎢u cos u + ∫ 1−u 2 ⎥ , n ≠ −1
⎣
⎦
n +1
⎡
⎤
1
u du
n
−1
n +1
−1
∫ u tan u du = n +1 ⎢⎢⎢u tan u − ∫ 1 + u 2 ⎥⎥⎥ , n ≠ −1
⎣
⎦
n
−1
∫ u sen u du =
2u 2 −1 −1
u 1−u 2
+C
sen u +
4
4
1 n au n
n au
∫ u e du = a u e − a
m −2
2u 2 −1 −1
u 1− u 2
+C
cos u −
4
4
u 2 + 1 −1
u
−1
=
u
u
du
tan
tan u − + C
∫
2
2
u du = usen −1u + 1−u 2 + C
−1
∫ usen u du =
u du
−1
∫ u cos u du =
senu du = u n cos u + n ∫ u n −1 cos u du
∫ sen
m
u n +1 ⎡
n + 1) ln u −1⎤⎦ + C
2 (
(n +1) ⎣
1
∫ u ln u du = ln ln u +C
∫ sech u du = ln tan u +C
∫ sech u du = tanh u +C
∫ csch u du = − coth u +C
∫ sech u tanh u du = −sech u +C
∫ csch u coth u du = −csch u +C
1
2
2
2
11
∫
2
∫ u 2au −u du =
∫
∫
∫
⎛ a −u ⎞⎟
+C
cos−1 ⎜⎜
⎜⎝ a ⎠⎟⎟
2
∫
⎛ a −u ⎞⎟
= cos−1 ⎜⎜
+C
⎜⎝ a ⎠⎟⎟
2a u −u
⎛a −u ⎞⎟
2u −au −3a 2
a3
2au −u 2 + cos−1 ⎜⎜
⎟ +C
⎜
⎝ a ⎠⎟
6
2
∫
⎛ a −u ⎞⎟
= − 2a u −u 2 + a cos−1 ⎜⎜
+C
⎜⎝ a ⎠⎟⎟
2au −u
2au −u 2 du =
2a u −u 2
u2
u −a
2
2au −u 2 +
a
2
⎛ a −u ⎞⎟
du = 2a u −u + a cos ⎜⎜⎜
⎟ +C
⎝ a ⎠⎟
2
−1
⎛ a −u ⎞⎟
− cos−1 ⎜⎜
+C
⎜⎝ a ⎠⎟⎟
u
u
⎛ a −u ⎞⎟
(u + 3a )
u 2du
3a 2
=−
2au −u 2 +
cos−1 ⎜⎜
⎟ +C
⎜
2
⎝ a ⎠⎟
2
2
2au −u
2a u −u 2
2
du = −
2 2a u −u 2
XIV Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2006
∫u
du
2
u du
2
du
2a u −u 2
=−
2a u −u 2
au
+C
12
Vectores
A • B = A B cos θ
0≤θ ≤π
donde θ es el ángulo formado por A y B
A • B = A1B1 + A2 B 2 + A3 B3
donde A = A1i + A2 j + A3k , B = B1i + B 2 j + B3k
Son resultados fundamentales:
i
j
Producto cruz: AxB = A1 A2
k
B1 B 2
A3
B3
= (A2 B3 − A3 B 2 ) i + (A3 B1 − A1B3 ) j + (A1B 2 − A2 B1 ) k
Magnitud del Producto Cruz
AxB = A B sen θ
El operador nabla se define así:
∇ =i
∂
∂
∂
+j
+k
∂x
∂y
∂z
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas
parciales.
Gradiente de U = grad U
⎛ ∂
∂
∂ ⎞⎟
∂U
∂U
∂U
⎟U =
= ∇U = ⎜⎜i
+j
+k
i+
j+
k
⎜⎝ ∂ x
∂y
∂ z ⎠⎟⎟
∂x
∂y
∂z
⎛ ∂
∂
∂ ⎞⎟
⎟ • (A1i + A2 j + A3k )
+j
+k
⎜⎝ ∂ x
∂y
∂ z ⎠⎟⎟
Divergencia de A = div A = ∇ • A = ⎜⎜i
⎜
=
∂A1 ∂A2 ∂A3
+
+
∂x ∂ y
∂z
⎛ ∂
∂
∂ ⎞⎟
⎟×(A1i + A2 j + A3k )
Rotacional de A = rot A = ∇× A = ⎜⎜i
+j
+k
⎜⎝ ∂ x
∂y
∂ z ⎠⎟⎟
=
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
A1
A2
A3
⎛ ∂A ∂A ⎞ ⎛ ∂A ∂A ⎞ ⎛ ∂A ∂A ⎞
= ⎜⎜ 3 − 2 ⎟⎟⎟ i + ⎜⎜ 1 − 3 ⎟⎟⎟ j + ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟⎟ k
⎜⎝ ∂ y ∂ z ⎠⎟ ⎝⎜ ∂ z ∂ x ⎠⎟ ⎝⎜ ∂ x ∂ y ⎠⎟
Laplaciano de U = ∇2U = ∇ • (∇U ) =
XIV Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2006
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
+
+
∂x2 ∂ y2 ∂z 2
13
Integrales Múltiples
b
f 2 (x )
=
=f 1 (x )
∫x a ∫ y
=∫
b
x =a
{∫
F (x , y )dydx
f 2 (x )
y =f 1 ( x )
}
F (x , y )dy dx
donde y = f 1 (x ) e y = f 2 (x ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y
b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
d
g2 (y )
=
= g1( y )
∫ y c ∫x
F (x , y )dxdy = ∫
d
y =c
{∫
g2 (y )
x = g 1( y )
}
F (x , y )dx dy
donde x = g 1 ( y ) , x = g 2 ( y ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y
d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para
considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
t
s = s (t ) = ∫ r ′(t ) dt
a
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a , t .
Vector tangente unitario
En parámetro arbitrario:
r ′(t )
t (t ) =
r ′(t )
Vector normal principal
n (t ) = b (t )×t (t )
Vector binormal
b (t ) =
r ′× r ′′(t )
r ′ ×r ′′(t )
En parámetro s:
t (s ) = r (s )
n (s ) =
b (s ) =
r (s )
r (s )
r (s )× r (s )
r (s )
Los vectores unitarios t , n , b forman un triedo positivo (b = t × n , n = b ×t , t = n ×b )
Recta tangente en t 0
Ecuación vectorial:
r (λ ) = r (t 0 ) + λ r ′ (t 0 )
Ecuación paramétrica
x −x0 y − y0 z −z0
=
=
x 0′
y 0′
x 0′
Plano osculador (t , n ) en t 0
Ecuación vectorial
(r − r (t 0 )) • (r ′ (t 0 ) xr ′′ (t 0 )) = 0
XIV Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2006
Ecuación paramétrica
x −x0 y − y0 z −z0
x 0′
y 0′
z 0′ = 0
x 0′′
y 0′′
z 0′′
14
Curvatura y Torsión
r ′ (t )× r ′′ (t )
κ (t ) =
r ′ (t )
τ (t ) =
3
r ′ (t )⋅(r ′′ (t )× r ′′′ (t ))
r ′ (t ) xr ′′ (t )
2
κ (s ) = r (s )
Plano Normal
Ecuación vectorial:
(r − r (t 0 ))⋅ r ′ (t 0 ) = 0
Ecuación paramétrica:
x 0′ (x − x 0 ) + y 0′ ( y − y 0 ) + z 0′ (z − z 0 ) = 0
Plano Rectificante (t , b ) en t 0
Ecuación vectorial:
Ecuación paramétrica:
x - x0
y - y0
x 0′
y 0′
y 0′z 0′′− y 0′′z 0′ z 0′x 0′′− z 0′′x 0′
(r − r (t 0 ))⋅ n (t 0 ) = 0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
→
a
T
→
→
= a ⋅T =
→
ν. a
→
ν
→
a
→
N
→
ν x a
→
= a .N =
→
ν
Propiedades de la Divergencia
→
→
→
→
i) div ( F + G ) = div ( F ) +div ( G )
→
→
→
ii) div ( φ F ) = φ div( F ) + ( grad φ ) • F
→
→
→
→
→
iii) div ( F + G ) = G • [rot ( F )]- F • [ rot ( G )]
XIV Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2006
z -z0
z 0′
=0
x 0′ y 0′′− x 0′′y 0′
15
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t ∈ R
x = a (t − sen t )
y = a (1− cos t )
b
Trabajo
W = ∫ F • dr
Longitud de arco de y = f (x )
m=∫
∫ ρ (x , y )dA
Comp b a =
a
a •b
b
b
[a , b ] = ∫a 1 + ( y ′) 2 dx
en
Mx = ∫
R
∫ y ρ (x , y )dA
My =∫
R
∫ x ρ (x , y )dA
R
1 b
2
f (x )] dx
[
∫
∫
a
, y=2 b
x = ab
∫ f (x )dx
∫ f (x )dx
b
Centro de gravedad de una región plana
xf (x )dx
a
a
Longitud de arco en forma paramétrica L = ∫
⎛ dx ⎞⎟ ⎛ dy ⎞⎟
⎜⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ dt
⎝⎜ dt ⎠⎟ ⎝⎜ dt ⎠⎟
2
β
α
Momento de inercia de R respecto al origen = I o = ∫
2
∫ (x
2
+ y 2 ) ρ (x , y )dA
R
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
b
S = ∫ 2π F (x ) 1+ (f (x )) d x
2
a
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
b
V = ∫ 2 π t F (t ) d t
a
b
b
V = ∫ π (f (x )) dx
V = ∫ A(x ) dx
Cálculo del volumen
2
a
a
y ′ + P (x ) y = Q (x )
Ecuación diferencial de primer orden
Solución
y e∫
→
P ( x ) dx
= ∫ Q (x )e ∫
P ( x ) dx
dx + k
t
Ecuación del resorte helicoidal
r (t ) = cos t ,sen t ,
Derivada direccional
Du f (x , y , z ) = ∇f (x , y , z ) • u ( u vector unitario)
2π
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC
b
Fuerza ejercida por un fluído
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F = ∫ γ y ⋅ L ( y ) dy
a
Lq ′′ + Rq ′ +
1
C
q = E (t )
16
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo
XIV Evento Nacional de Ciencias Básicas, 2006
F = δ A 2x0 g − δ A 2x g