Tarea #1 de Introducción a las comunicaciones
Enero – junio 2019
Fecha de entrega: marzo 28, 2019
Equipo:
Diana Estefanía Díaz Lechuga.
Arturo Pérez Ruiz.
1) Realice una investigación para ubicar las diferentes bandas de
frecuencia del espectro electromagnético. De cada banda incluya su
nombre y su rango de frecuencias correspondiente. Comience desde la
banda de frecuencias extremadamente bajas (Extremely low
frequencies, ELF) hasta las frecuencias de los rayos cósmicos.
NOMBRE
Muy Baja Frecuencia
Onda Larga
Onda Media
Onda Corta
Muy Alta Frecuencia
Ultra Alta Frecuencia
Microondas
Infrarrojo lejano
Infrarrojo medio
Infrarrojo cercano
Luz Visible
Ultravioleta cercano
Ultravioleta extremo
Rayos X
Rayos gamma
FRECUENCIA
< 30𝑥103 𝐻𝑧
> 30𝑥103 𝐻𝑧
> 650𝑥103 𝐻𝑧
> 1,7𝑥106 𝐻𝑧
> 30x106 Hz
> 300x106 Hz
> 3x108 Hz
> 300x109 Hz
> 6,00x1012 Hz
> 120x1012 Hz
> 384x1012 Hz
> 7,89x1014 𝐻𝑧
> 1,5x1015 Hz
> 30,0x1015 Hz
> 30,0x1018 Hz
2) Realice una investigación sobre las siguientes organizaciones. Indique
año de fundación, país, funciones y atribuciones: a) IEEE b) Instituto
Federal de Telecomunicaciones (IFT) c) Unión Internacional de
Telecomunicaciones (ITU).
a) IEEE es una organización con asociación en el desarrollo tecnológico en
áreas como sistemas aeroespaciales, ordenadores, telecomunicaciones,
ingeniería biomédica, generación eléctrica o electrónica de consumo, entre
otras; Con el objetivo de fomentar el interés en la profesión ingenieril. Su
nombre completo es el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos,
conocido normalmente con las letras I-E-E-E. Tiene alrededor de 395,000
miembros en 160 países.
b) Instituto Federal de Telecomunicaciones (IFT) es el organismo encargado de
supervisar el uso y la prestación de servicios adecuados, asociados a la
radiodifusión, demás fomenta la competencia sana en un sector muy
importante para el desarrollo de nuestro país. Fue fundado en 1939 en base
a la visión de un grupo de pequeño de científicos quienes creían que la
comunicación y la tecnología eran esenciales para el progreso. Después de
75 años creció y causó tal impacto por lo que actualmente cuenta con
miembros en más de 95 países alrededor del mundo.
c) La ITU fue fundada en 1865 para facilitar la conectividad internacional de las
redes de comunicaciones, atribuye en el plano mundial el espectro de
frecuencias radioeléctricas y las órbitas de satélite, elabora las normas
técnicas que garantizan la interconexión armoniosa de redes y tecnologías,
y nos mejorara el acceso a las TIC para las comunidades insuficientemente
atendidas del mundo entero. Su actual composición de sus miembros es en
193 países y más de 800 entidades del sector privado e instituciones
académicas.
3) Suponga que tiene un canal de comunicación que deja pasar señales
mayores o iguales que 𝟐𝟓𝟎 𝑯𝒛 y menores o iguales que 𝟕𝟓𝟎 𝒌𝑯𝒛. La
potencia de la señal de información es de 𝟒𝟓𝟎 𝒎𝑾 y la potencia del
ruido en el canal es de 𝟎. 𝟗𝟓𝝁𝑾.
a) Calcule el ancho de banda del canal.
b) ¿Cuál es la razón señal a ruido (SNR)?
c) ¿Cuál es la capacidad de información del canal en bps?
d) ¿Cuál es la razón señal a ruido (SNR) en decibeles?
e) ¿Cuánto tiempo se tardaría en transmitir un archivo de 𝟓𝟎 𝑴𝑩𝒚𝒕𝒆𝒔?
f) ¿Cuál es la capacidad de información del canal en bps si la SNR
cambia a 26 dB?
g) Si la SNR cambia a 𝟑𝟒 𝒅𝑩 y requiere una capacidad de información
del canal de 𝟏𝟐𝟖 𝒌𝒃𝒑𝒔. ¿Cuánto ancho de banda se necesita que
tenga el canal de común comunicación?
Solución:
250𝐻𝑧 ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 750𝐻𝑧
𝑆 = 450𝑚𝑊
𝑁 = 0.95𝜇𝑊
//Ancho de banda del canal…
𝐵𝑊𝐶 = 𝑓𝑚á𝑥. − 𝑓𝑚𝑖𝑛. = 750𝐻𝑧 − 250𝐻𝑧 = 500𝐻𝑧
//𝑆𝑁𝑅…
𝑆𝑁𝑅 =
𝑆 𝑃𝑠 450𝑚𝑊
=
=
= 473.684 × 103
𝑁 𝑃𝑛 0.95𝜇𝑊
//Capacidad de información en 𝑏𝑝𝑠…
𝑆
𝐶 = 𝐵𝑊𝐶 (3.32) log10 (1 + )
𝑁
450𝑚𝑊
)
0.95𝜇𝑊
𝐶 = 500𝐻𝑧(3.32) log10 (1 +
𝐶 = 9.421 × 106 𝑏𝑝𝑠
//𝑆𝑁𝑅 en 𝑑𝐵…
𝑆⁄𝑁 (𝑑𝐵) = 10 log10 (
𝑆⁄𝑁 (𝑑𝐵) = 10 log10 (
𝑃𝑆
)
𝑃𝑁
450𝑚𝑊
)
0.95𝜇𝑊
𝑆⁄𝑁 (𝑑𝐵) = 56.754𝑑𝐵
// Tiempo en que se tardaría en transmitir un archivo de 50 𝑀𝐵𝑦𝑡𝑒𝑠…
50𝑀𝐵𝑦𝑡𝑒𝑠 (
1024𝑘𝐵 1024𝐵 8𝑏𝑖𝑡𝑠
)(
)(
) = 419.43 × 106 𝑏𝑖𝑡𝑠
1𝑀𝐵
1𝑘𝐵
1 𝐵𝑦𝑡𝑒
//Retomando la respuesta del inciso c…
𝐶 = 9.421 × 106 𝑏𝑝𝑠 ∴
419.43 × 106 𝑏𝑖𝑡𝑠
= 44.520 𝑠𝑒𝑔
9.421 × 106 𝑏𝑖𝑡⁄𝑠
//Por lo que tomaría 45 segundos la transmisión del archivo
//Capacidad de información del canal en bps si la SNR cambia a 26 dB
𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 26𝑑𝐵
26
𝑆𝑁𝑅 = 1010
𝑆𝑁𝑅 = 398.107
𝐶 = (500𝑘𝐻𝑧)3.32 log10 (1 + 398.107)
𝐶 = 4.137𝑥106 𝑏𝑝𝑠
//G…
𝑆
𝐶
𝐶 = 𝐵𝑊𝐶 ∗ (3.32 log10 (1 + )) ∴ 𝐵𝑊𝐶 =
𝑆
𝑁
3.32 log10 (1 + 𝑁)
//De 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 a 𝑆𝑁𝑅
34
𝑆𝑁𝑅 = 1010
𝑆𝑁𝑅 = 2511.886
//Por lo que…
𝐵𝑊𝐶 =
128𝑥103 𝑏𝑝𝑠
3.32 log10 (1 + 2511.886)
𝐵𝑊𝐶 = 11.338𝑥103
4) Calcule la serie de Fourier (trigonométrica) de la señal periódica
representada por la función.
a) Grafique la forma de onda con 𝑽 = 𝟏 volts.
b) Grafique el espectro de frecuencia de la señal.
𝑻
𝟐 } 𝒂𝒏𝒅 𝑻 = 𝟏𝟎𝒎𝒔
𝑻
≤𝒕≤𝑻
𝟐
𝑽,
𝟎≤𝒕<
𝒇(𝒕) = {
−𝑽 ,
Solución:
//Calculando la serie de Fourier…
1 T
A0 = ∫ x(t)dt
T 0
T⁄
2
1
A0 = [∫
T 0
T
Vdt + ∫ −Vdt]
T⁄
2
T⁄
2
V
A0 = [∫
T 0
A0 =
A0 =
T
dt − ∫ dt]
T⁄
2
V T⁄2
[t| − t|TT⁄ ]
T 0
2
V T
T
[ −0−T+ ]
T 2
2
A0 =
V 2T
[ − T]
T 2
A0 =
V
[T − T]
T
A0 = 0
//Como la función es impar se asimila que An = 0 …
//Sacando 𝐵𝑛 …
T⁄
2
2
Bn = [∫
T 0
T
V sin(nωt) dt − ∫ V sin(nωt) dt]
T⁄
2
T⁄
2
2V
Bn =
[∫
T 0
T
sin(nωt) dt − ∫ sin(nωt) dt]
T⁄
2
T⁄
T
2V − cos(nωt) 2 cos(nωt)
Bn =
[
| +
| ]
T
nω
nω
T⁄
0
2
Bn =
T⁄
2V
[− cos(nωt)|0 2 + cos(nωt)|TT⁄ ]
Tnω
2
1
//Sabiendo que ω = 2πf y f = T…
T
⁄2
1
1 T
Bn =
[− cos (n2π t)| + cos (n2π t)| ]
1
T 0
T T⁄2
Tn2π T
2V
T
⁄2
V
1
1 T
Bn =
[− cos (n2π t)| + cos (n2π t)| ]
nπ
T 0
T T⁄2
Bn =
V
[− cos(nπ) + 1 + cos(2πn) − cos(nπ)]
nπ
Bn =
V
[−2 cos(nπ) + cos(2πn) + 1]
nπ
//En fin la serie de Fourier queda:
𝑛
2𝜋𝑛
2𝜋𝑛
𝑥(𝑡) = 𝐴0 + ∑ 𝐵𝑛 ∗ sin (
𝑡) + 𝐴𝑛 ∗ cos (
𝑡)
𝑇
𝑇
𝑖=1
∞
V 2 Vcos(nπ) 𝑉 cos(2πn)
2𝜋𝑛
𝑥(𝑡) = ∑ ( −
+
) ∗ sin (
𝑡)
nπ
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑇
𝑛=1
//Sustituyendo V (𝑉 = 1)…
∞
𝑥(𝑡) = ∑ (
𝑛=1
1 2 cos(nπ) cos(2πn)
2𝜋𝑛
−
+
) ∗ sin (
𝑡)
nπ
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑇
//Gráfica forma de onda…
//Gráfica espectro de frecuencia…
//Se calculan primero los valores…
n
1
2
3
4
5
6
7
𝑯𝒛
4⁄
𝜋
0
4⁄
3𝜋
0
4⁄
5𝜋
0
4⁄
7𝜋
5) Calcule la serie de Fourier (trigonométrica) de la señal periódica
representada por la función.
a) Grafique la forma de onda con 𝑽 = 𝟏 volts.
b) Grafique el espectro de frecuencia de la señal.
𝑻
𝟑
𝑻
𝟐𝑻
𝒂𝒏𝒅 𝑻 = 𝟏𝟎𝟎𝒎𝒔
<𝒕≤
𝟑
𝟑
𝟐𝑻
< 𝒕 ≤ 𝑻}
𝟑
𝑽,
𝒇(𝒕) =
𝟎≤𝒕≤
𝟎,
𝑽
{𝟐 ,
Solución:
//Calculando la serie de Fourier…
1 T
A0 = ∫ x(t)dt
T 0
T⁄
3
1
A0 = [∫
T 0
Vdt + ∫
2T⁄
3
T⁄
3
T⁄
3
V
A0 = [∫
T 0
0dt + ∫
2T⁄
3
V
dt]
2
1 T
dt + 0 + ∫ dt]
2 2T⁄
3
V T⁄3 𝑡 T
A0 = [t|0 + |
]
T
2 2T⁄3
A0 =
T
V 𝑇 𝑇 𝑇
[ + − ]
T 3 2 3
A0 =
VT 1 1 1
[ + − ]
T 3 2 3
1
A0 = V [ ]
2
A0 =
V
2
//Sustituyendo el valor del voltaje (𝑉 = 1)
A0 =
1
2
//Sacando An …
𝑇⁄
3
2
𝐴𝑛 = [∫
𝑇 0
𝑇
𝑉 cos(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡 + ∫
2𝑇⁄
3
𝑉
cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡]
2
𝑇⁄
3
2𝑉
𝐴𝑛 =
[∫
𝑇 0
1 𝑇
cos(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡 + ∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡]
2 2𝑇⁄
3
𝑇⁄
𝑇
2𝑉 sin(𝑛𝜔𝑡) 3 sin(𝑛𝜔𝑡)
𝐴𝑛 =
[
| +
|
]
𝑇
𝑛𝜔
2𝑛𝜔 2𝑇⁄
0
3
𝑇
𝑇⁄
2𝑉
sin(𝑛𝜔𝑡)
𝐴𝑛 =
[sin(𝑛𝜔𝑡)|0 3 +
|
]
𝑇𝑛𝜔
2
2𝑇⁄
3
1
//sabiendo que ω = 2πf y f = T
An =
T⁄
3
2V
1
[sin (n2π t)|
1
T 0
Tn2π T
T⁄
3
An =
V
1
[sin (n2π t)|
nπ
T 0
+
T
1
sin (n2π T t)
|
2
]
2T⁄
3
1 T
sin (n2π T t)
+
|
2
2T⁄
3
4nπ
V
2nπ
sin(2nπ) sin ( 3 )
An =
[sin (
)+
−
]
nπ
3
2
2
//Sacando 𝐵𝑛 …
]
T⁄
3
2
Bn = [∫
T 0
T
V sin(nωt) dt + ∫
2T⁄
3
V
sin(nωt) dt]
2
T⁄
3
2V
Bn =
[∫
T 0
1 T
sin(nωt) dt + ∫ sin(nωt) dt]
2 2T⁄
3
T⁄
T
2V − cos(nωt) 3 cos(nωt)
Bn =
[
| −
|
]
T
nω
2nω 2T⁄
0
3
T
T⁄
2V
cos(nωt)
Bn =
[− cos(nωt)|0 3 −
|
]
Tnω
2
2T⁄
3
1
//sabiendo que ω = 2πf y f = T
Bn =
T⁄
3
2V
1
[− cos (n2π t)|
1
T 0
Tn2π T
T⁄
3
Bn =
V
1
[− cos (n2π t)| −
nπ
T 0
−
1
cos (n2π T t)
2
T
|
]
2T⁄
3
T
1
cos (n2π T t)
2
|
]
2T⁄
3
4nπ
V
2nπ
cos(2πn) cos ( 3 )
Bn =
[− cos (
)+1−
+
]
nπ
3
2
2
4nπ
cos ( 3 ) cos(2πn)
V
2nπ
Bn =
[1 +
−
− cos (
)]
nπ
2
2
3
//En fin la serie de Fourier queda:
𝑛
2𝜋𝑛
2𝜋𝑛
𝑥(𝑡) = 𝐴0 + ∑ 𝐵𝑛 ∗ sin (
𝑡) + 𝐴𝑛 ∗ cos (
𝑡)
𝑇
𝑇
𝑖=1
𝑛
1 1
4nπ
𝑉 cos(2πn)
2nπ
2𝜋𝑛
𝑥(𝑡) = +
∑ (V + Vcos (
)−
− V cos (
)) ∗ sin (
𝑡)
2 nπ
3
2
3
𝑇
𝑖=1
4nπ
2nπ
𝑉 sin(2nπ) 𝑉 sin ( 3 )
2𝜋𝑛
+ (𝑉 sin (
)+
−
) ∗ cos (
𝑡)
3
2
2
𝑇
//Sustituyendo V (𝑉 = 1)…
𝑛
1 1
4nπ
cos(2πn)
2nπ
2𝜋𝑛
𝑥(𝑡) = +
∑ (1 + cos (
)−
− cos (
)) ∗ sin (
𝑡)
2 nπ
3
2
3
𝑇
𝑖=1
4nπ
2nπ
sin(2nπ) sin ( 3 )
2𝜋𝑛
+ (sin (
)+
−
) ∗ cos (
𝑡)
3
2
2
𝑇
//Gráfica forma de onda…
//Gráfica espectro de frecuencia…
//Se calculan primero los valores…
n
1
2
3
𝒄𝒐𝒔 𝑯𝒛
0.1591
0.0795
0.0530
𝒔𝒊𝒏 𝑯𝒛
0.4134
−0.2067
0
4
5
6
7
0.0397
0.0318
0.0265
0.0227
0.1033
−0.0670
−0.0262
−0.0257
//Gráfica de cosenos…
//Gráfica de senos…
6) Para las señales de los problemas 4) y 5) calcule los coeficientes de la
serie de Fourier (forma compacta/amplitud-fase) y grafique el espectro
de amplitud y espectro de fase.
Solución:
//Coeficientes de la serie de Fourier del 4) en forma compacta…
𝐴0 = 𝐶0 = 0
𝐶𝑛 = √𝐴𝑛 2 + 𝐵𝑛 2
2
√02
𝐶𝑛 =
1
2 cos(nπ) cos(2πn)
+( −
+
)
nπ
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝐶𝑛 =
1 2 cos(nπ) cos(2πn)
−
+
nπ
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝜃𝑛 = tan−1 (
𝐵𝑛
)
𝐴𝑛
𝐵𝑛
𝜃𝑛 = tan−1 ( )
0
//Como se indetermina podemos asumir que el ángulo…
𝜃𝑛 = 90
//Por lo que…
𝑛
𝑥(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶𝑛 ∗ cos(𝑛𝜔𝑡 + 𝜃𝑛 )
𝑖=1
𝑛
1 2 cos(nπ) cos(2πn)
𝑥(𝑡) = 0 + ∑ ( −
+
) ∗ cos(𝑛𝜔𝑡 + 90)
nπ
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑖=1
𝑛
𝑥(𝑡) = ∑ (
𝑖=1
1 2 cos(nπ) cos(2πn)
−
+
) ∗ cos(𝑛𝜔𝑡 + 90)
nπ
𝑛𝜋
𝑛𝜋
//Gráfica espectro amplitud…
//Se calculan primero los valores…
n
1
2
3
4
𝑪𝒏
1.273
0
0.424
0
5
6
7
0.254
0
0.181
//Gráfica espectro de fase…
//Se calculan primero los valores…
n
1
2
3
4
5
6
7
𝜽𝒏
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
//Coeficientes de la serie del 5) en forma compacta…
𝐴0 = 𝐶0 =
1
2
𝐶𝑛 = √𝐴𝑛 2 + 𝐵𝑛 2
2nπ
4nπ 2
4nπ
2nπ 2
sin (
) sin(2nπ) sin (
)
cos (
) cos(2πn) cos (
)
1
3 +
3 ) +( +
3 −
3 )
𝐶𝑛 = √(
−
−
nπ
2nπ
2nπ
nπ
2nπ
2nπ
nπ
𝜃𝑛 = tan−1 (
𝐵𝑛
)
𝐴𝑛
4nπ
2nπ
cos ( 3 ) cos(2πn) 2cos ( 3 )
2
+ 2nπ
− 2nπ −
2nπ
𝜃𝑛 = tan−1 2nπ
2nπ
4nπ
2sin ( 3 ) sin(2nπ) sin ( 3 )
+ 2nπ − 2nπ
(
)
2nπ
1
4nπ
2nπ
(2 + cos ( 3 ) − cos(2πn) − 2cos ( 3 ))
2nπ
𝜃𝑛 = tan−1 (
)
1
2nπ
4nπ
(2sin
(
)
+
sin(2nπ)
−
sin
(
))
2nπ
3
3
𝜃𝑛 = tan
−1
4nπ
2nπ
2 + cos ( 3 ) − cos(2πn) − 2cos ( 3 )
(
)
2nπ
4nπ
2sin ( 3 ) + sin(2nπ) − sin ( 3 )
//Por lo que…
𝑛
𝑥(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶𝑛 ∗ cos(𝑛𝜔𝑡 + 𝜃𝑛 )
𝑖=1
2nπ
4nπ 2
4nπ
2nπ 2
𝑛
sin (
) sin(2nπ) sin (
)
cos (
) cos(2πn) cos (
)
1
1
3 +
3 ) +( +
3 −
3 )
𝑥(𝑡) = + ∑ √(
−
−
2
nπ
2nπ
2nπ
nπ
2nπ
2nπ
nπ
𝑖=1
(
4nπ
2nπ
2 + cos (
) − cos(2πn) − 2cos (
)
3
3 ))
−1
∗ cos (𝑛𝜔𝑡 + tan (
2nπ
4nπ
2sin (
) + sin(2nπ) − sin (
)
3
3
//Gráfica espectro amplitud…
//Se calculan primero los valores…
n
1
2
3
4
5
6
7
𝑪𝒏
0.257
0.384
0.106
0.096
0.1539
0.053
0.036
)
//Gráfica espectro de fase…
//Se calculan primero los valores…
n
1
2
3
4
5
6
7
𝜽𝒏
−0.456°
−0.879°
−1.588°
−2.385°
−3.639°
−5.769°
−7.102°
7) Investigue cuales son las condiciones de Dirichlet y su relación con las
series de Fourier.
Las condiciones Dirichlet garantizan la existencia y convergencia en las series
transformadas de Fourier.
Existen 2 tipos de condiciones:
1) Condiciones débiles:
• Para la serie de Fourier: El integral del valor absoluto de la señal debe
ser finito, tal que:
𝑇
∫ |𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 < ∞
0
•
Para la transformada de Fourier: La transformada de Fourier debe de
ser menor que infinito en todas partes, tal que:
∞
∫ |𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 < ∞
−∞
2) Condiciones Fuertes:
La transformada de Fourier existe si la señal tiene un número finito de
discontinuidades y un número finito de máximos y mínimos. Para que las
series de Fourier existan las siguientes dos condiciones se deben de
satisfacer:
1. En un periodo, 𝑓(𝑡) tiene solo un número finito de mínimos y máximos.
2. En un periodo, 𝑓(𝑡) tiene un numero finito de discontinuidades y cada una
es finita.
Referencias
(ITU), I. T. (2019). ITU. Retrieved from Committed to connecting the world: www.itu.int
Administrador. (2006, Abril 08). REGION IEEE 8. Retrieved from IEEE WIE Spain:
http://www.dinel.us.es/wie/?q=node/10
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0
