Ecuaciones Braquitocrona

Descripción matemática
Presentaremos el tiempo teórico usando el calculo de variaciones y la física por las dos trayectorias, para ambas trayectorias utilizamos una canica de radio "r".
La trayectoria curva descrita por la cicloide se denomina "Braquistócrona".
Calculo del tiempo que demora en caer una esfera sólida de radio "r" a lo largo de
la curva Braquistócrona.
Sabemos que la ecuación paramétrica de la cicloide es:
x = R(θ + sen(θ))
y = R(1 - cos(θ))
Donde R es el radio de la circunferencia que genera la cicloide
Entonces derivamos respecto a θ:
dx
= R(1 + cos(θ))
dθ
dy
= R(sen(θ))
dθ
Tomamos un diferencial de longitud de la curva cicloide
»
»
√
ds = dx2 + dy 2 → ds = R2 (1 + cos(θ))2 + R2 (sen(θ))2 dθ → ds = R 2(1 + cos(θ)) dθ...(1)
Por el principio de conservación de la energía tenemos:
EI = Ef
1 2
1
mv + Iω 2 + mgy
2
2 Ç
åÇ å
1 2
1 2 2 v2
mg(2R) = mv +
mr
+ mgy
2 Ç
2 5
r2
å
1 2 2
v2
+
v + gy
2gR =
2
2Ç 5
å
2 2
v
2g(2R − y) = 1 +
5
7
2g(2R-y)= v 2
5
5»
2g(2R − y) . . . (2)
v=
7
mg(2R) =
Sabemos que :
ds
ds
v=
→ dt =
Ahora reemplazamos (1) y (2) en esta ecuación
dt
v
»
R 2(1 + cos(θ))dθ
ds =
5»
2g(2R − y)
7
1
Pero y = R(1 - cos(θ))
»
R 2(1 + cos(θ))dθ
ds =
5»
2g(2R − R + Rcos(θ))
7»
R 2(1 + cos(θ))dθ
ds =
5»
2gR(1 + cos(θ))
7
Simplificando
dt=
s
7
5
R
dθ
g
Ahora integramos
dicha expresión:
s
Z t
Z π
7 R
dt=
dθ
5 g 0
0
s
7R
s
5g
Aquí mostramos el tiempo teórico, para nuestro caso R = 14 cm(radio de la cicloide), g=
∴t=π
9.81m/s2 reemplazando en la fórmula t ≈ 444 ms.
Como observamos en este caso, el tiempo no depende de "r"
Calculo del tiempo que demora en caer una esfera sólida de radio "r" a lo largo del
plano inclinado.
Por el principio de conservación de la energía tenemos:
EI = EF
mg(2R) =
1 2
1
mv + Iω 2
2
2
1
1
mg(2R) = mv 2 +
2
2
v2
1 2 2
2gR =
+
v
2
2 5
Ç
v=
Ç
2 2
mr
5
åÇ 2 å
v
r2
å
20 √
gR . . . (1)
7
2
Ecuaciones dinámicas:
τo = Io α (Rotación)
P
Sabemos que a = αR
Ç
fs R =
fs =
åÅ ã
a
2
2
mR
5
R
2
ma . . . (2)
5
F = ma (Traslación)
P
mgsen(θ) - fs = ma . . . (3)
De (2) y (3)
mgsen(θ) = ma + fs
mgsen(θ) = ma +
a=
2
ma
5
5
gsen(θ) . . . (4)
7
Como el movimiento se produce en linea recta
Vf = VI + at
La esfera parte del reposo, es decir VI =0
VF = at
De (1) y (4)
20 √
gR =
7
s
t=
Ç
å
5
gsen(θ) t
7
28R
csc(θ) segundos
5g
Donde θ = acrtan( π2 ) ≈ 32.480
Reemplazando R = 0.14m, g = 9.81 m/s2 , θ ≈ 32.480
3
∴ t ≈ 526 ms (milisegundos)
Como observamos en este caso, el tiempo tampoco depende de "r"
4