EMPUJES DE SUELOS APLICADO A UN MURO DE
CONTENCIÓN
TEMA: EMPUJES DE SUELOS
GONZALES OSCCO KARINA MILAGROS1, HUAMANI MENA EVER JOSE
ENRIQUE2, HUANCACHOQUE LEON REYMER HUBER 3
1
USIL
Ate, Lima
karina.gonzales@usil.pe;
2
USIL
La Molina, Lima
ever.huamani@usil.pe
3
USIL
Ate, Lima
reymer.huancachoque@usil.pe
ABSTRACT
En ingeniería civil es muy común el diseño de estructuras de contención para lidiar con los
empujes desarrollados por los suelos. Por ende, es muy necesario el conocimiento profundo de estas
fuerzas laterales o empuje de suelos para un adecuado diseño y construcción de estructuras que lo
retendrán. Este trabajo trata del estudio de las presiones laterales de los suelos específicamente
granulares tomando en cuenta los diferentes factores como la altura del terreno a retener, el nivel
freático, sobrecarga en el terreno, superficie inclinada del terreno, etc.
Este estudio está sujeto a las teorías planteadas por Rankine y Coulomb acerca de empuje de
suelos donde la diferencia de estos métodos gira entorno a la fricción de la pared del muro con el terreno.
Se desarrolla el cálculo de empuje de suelos granulares en un muro y terreno simple luego se va
añadiendo los factores ya mencionados para observar la variación de las fuerza laterales.
Cuando el terreno presenta nivel freático, sobrecarga, superficie inclinada las fuerzas laterales son
alterados aumentando en magnitud. Además también se observó que el método de Rankine es más
conservador que Coulomb conforme a los resultados obtenidos.
Palabras clave: presión lateral, teoría de Coulomb, teoría de Rankine, coeficiente de presión.
P á g i n a 1 | 15
ÍNDICE
1. INTRODUCIÓN ...........................................................................................................................3
2. FUNDAMENTO TEÓRICO ......................................................................................................3
3. CASO ESTUDIADO ...................................................................................................................8
4. ANÁLISIS PARAMÉTRICO ..................................................................................................10
5. CONCLUSIONES .....................................................................................................................15
6. REFERENCIAS .........................................................................................................................15
P á g i n a 2 | 15
1. INTRODUCIÓN
En el diseño de muros de contención es donde se ve con mayor frecuencia la aplicación de las
fuerzas laterales debido a que es muy importante conocer la magnitud de fuerza lateral que será
soportado por el muro.
El objetivo de este trabajo es profundizar el estudio de las fuerzas laterales en suelos granulares
donde la cohesión es igual a cero. En este trabajo se considera los efectos del nivel freático, los efectos
de la sobrecarga y de la superficie inclinados del terreno. Las características del suelo con la cual se
trabajara son las siguientes para cada caso ϒ = 16.5 KN/m3, C’=0, ǿ = 30°.
La metodología de este estudio se basa en las teorías de Rankine y Coulomb. Las fuerzas laterales
serán calculadas por el método de Rankine en cada caso y se analizara las variaciones. También se hará
una comparación de resultados entre los dos métodos para un caso. Al final se mostraran las
conclusiones conforme a los resultados del estudio.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO
Según las investigaciones de Rankine (1857) sobre las condiciones de presión de un
suelo en un estado de equilibrio plástico desarrolló la teoría de la presión de tierra de Rankine.
1.
Estado activo de Rankine
Esta condición sucede cuando el muro se aleja de la masa del suelo una distancia ∆x,
como se muestra en la figura 1. Aquí el esfuerzo principal horizontal efectivo disminuirá hasta
que se produzca la falla del suelo, conocido como estado activo de Rankine. La presión activa
de Rankine se encuentra en la ecuación (1), para suelos no cohesivos (c’=0), la presión activa
de Rankine se muestra en la ecuación (2).
La razón 𝜎′𝑎 a 𝜎′𝑜 (presión de sobrecarga vertical efectiva), se denomina coeficiente de
presión activa de tierra de Rankine, 𝑘𝑎 [ecuación (3)].
Fig. 1: Estado activo de Rankine
Fig. 2: Variación de la presión activa con la profundidad para suelos no cohesivos
P á g i n a 3 | 15
𝜑′
𝜑′
) − 2𝑐′ tan(45 − )
2
2
′
𝜑
𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑜 tan2 (45 − )
2
𝜎′𝑎
𝜑′
𝑘𝑎 =
= tan2 (45 − )
𝜎′𝑜
2
𝜎′𝑎 = 𝛾𝑧 tan2 (45 −
2.
(1)
(2)
(3)
Estado pasivo de Rankine
Sucede cuando la pared es empujada poco a poco sobre la masa de suelo, como se
muestra en la figura 2, en este caso, el esfuerzo principal efectivo 𝜎𝐻′ aumentará hasta alcanzar
un estado de tensión donde se producirá la falla del suelo, esto se conoce como estado pasivo
de Rankine. La presión pasiva de Rankine se muestra en la ecuación (4); para suelos no
cohesivos (c’=0) [ecuación (5)].
La razón 𝜎′𝑃 a 𝜎′𝑜 se denomina coeficiente de presión activa de tierra de Rankine,
𝑘𝑃 [ecuación (6)]
Fig. 3: Estado pasivo de Rankine
Fig. 4: Variación de la presión pasiva con la profundidad para suelos no cohesivos
𝜑′
𝜑′
) − 2𝑐′ tan(45 + )
2
2
′
𝜑
𝜎′𝑝 = 𝜎′𝑜 tan2 (45 + )
2
𝜎′𝑝
𝜑′
𝑘𝑝 =
= tan2 (45 + )
𝜎′𝑜
2
𝜎′𝑝 = 𝛾𝑧 tan2 (45 +
(4)
(5)
(6)
P á g i n a 4 | 15
Sin embargo, los muros de contención no solo pueden presentar movimiento por
traslación también experimentan movimiento por rotación alrededor de la parte inferior.
Para el análisis por rotación se considera un muro de contención sin fricción por un
plano AB, en la figura 5, se puede observar que si la pared AB gira lo suficientemente cerca de
su fondo a una posición A’B, un terreno triangular masivo ABC’ adyacente a la pared alcanzará
el estado activo de Rankine.
Fig. 5: Rotación de la pared sin fricción alrededor del fondo (caso activo)
De la misma forma, si la pared sin fricción AB gira lo suficientemente dentro de la masa
del suelo a una posición A’’B, la masa triangular ABC’’ alcanzará un estado pasivo de Rankine.
Fig. 6: Rotación de la pared sin fricción alrededor del fondo (caso pasivo
3.
Diagramas para la distribución de la presión lateral de tierra en función de
los muros de contención
La figura7 y 8 muestran un muro de contención con relleno del suelo no cohesivo que
tiene una superficie horizontal de terreno. El peso unitario y el ángulo de fricción del suelo son
𝛾 𝑦 ∅′, respectivamente.
3.1
Caso Activo
Para el estado activo de Rankine, la presión de tierra a cualquier profundidad contra el
muro de contención puede obtenerse por medio de la ecuación (7).
En la figura 7, muestra la distribución de presión contra un muro de contención para el
suelo de relleno no cohesivo con la superficie horizontal del terreno, además se puede observar
que 𝜎𝑎 aumenta linealmente con la profundidad, donde la fuerza total 𝑃𝑎 por unidad de longitud
de la pared será igual al área del diagrama de presión, como se muestra en la ecuación (8)
P á g i n a 5 | 15
Fig. 7: Distribución de presiones para el estado activo de Rankine
𝜎𝑎 = 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎 𝛾𝑧 (𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑐 ′ = 0)
1
𝑃𝑎 = 𝑘𝑎 𝛾𝐻 2 − 2√𝐾𝑎 𝑐′𝐻
2
3.2
(7)
(8)
Caso Pasivo
Un muro de contención de altura H en estado pasivo de Rankine, 𝜎𝑜 también varía
linealmente con la profundidad, como se muestra en la figura 8. La presión lateral a cualquier
profundidad z es como se muestra en la ecuación (9), asimismo para calcular la fuerza total 𝑃𝑃
por unidad de longitud del muro es como la ecuación (10).
Fig. 8: Distribución de presiones para el estado pasivo de Rankine
𝜎𝑝 = 𝜎′𝑝 = 𝑘𝑝 𝛾𝐻 (𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑐 ′ = 0)
1
𝑃𝑝 = 𝑘𝑎 𝛾𝐻 2 + 2√𝐾𝑎 𝑐′𝐻
2
(9)
(10)
4. Presión activa Rankine con relleno granular inclinado
En algunos casos el relleno puede tener una inclinación continua en un ángulo α con la
horizontal, como se muestra en la figura 13. En este caso las presiones activas o pasivas de
Rankine están inclinadas en un ángulo α con la horizontal. Para un relleno granular con
𝜑 ′ 𝑦 𝑐 ′ = 0, se tiene la presión activa y pasiva de Rankine:
La presión, coeficiente y fuerza activa de Rankine se puede dar como se describe en las
ecuaciones (17), (18) y (19) sucesivamente.
P á g i n a 6 | 15
Fig. 9: Muro de contención vertical sin fricción con relleno inclinado.
(17)
𝜎′𝑎 = 𝛾𝑧𝐾𝑎
𝐾𝑎 = cos 𝛼
cos 𝛼 −
√cos 2 𝛼
−
cos 2 𝜑′
cos 𝛼 + √cos 2 𝛼 − cos 2 𝜑′
1
𝑃𝑎 = 𝑘𝑎 𝛾𝐻 2
2
(18)
(19)
5. Teoría de Coulomb de la presión de tierra sobre muros de contención con
fricción
En realidad, los muros de contención son ásperos y las fuerzas de corte se desarrollan entre
la cara del muro y el relleno. Coulomb (1776) presentó una teoría de presiones activas y pasivas
contra los muros de contención. En esta teoría Coulomb supone que la superficie de falla es un
plano. La fricción de la pared se ha tenido en consideración.
5.1 Caso activo
Las fuerzas que están involucradas en este caso son: el peso efectivo de la cuña del suelo
(W); la resultante de las fuerzas de corte y normal sobre la superficie de falla, BC, con una
inclinación 𝜑’ a la normal trazada al plano BC; la fuerza activa por unidad de longitud de la
pared. La dirección de 𝑃𝑎 está inclinada en un ángulo 𝛿 ′ a la normal trazada a la cara de la pared
que soporta el suelo, 𝛿 ′ es el ángulo de fricción entre el suelo y la pared (figura 14).
En la ecuación (20) se presenta la fuerza activa por unidad de longitud de Coulomb, siendo
𝐾𝑎 el coeficiente de presión activa de Coulomb [ecuación (21)]
Similar al caso activo, la fuerza pasiva por unidad de longitud de Coulomb se describe en
la ecuación (22), donde 𝐾𝑝 es el coeficiente de presión pasiva para el caso de Coulomb
[ecuación (23)]
Fig. 10: Presión activa de Coulomb
P á g i n a 7 | 15
1
𝑃𝑎 = 𝐾𝑎 𝛾𝐻 2
2
𝐾𝑎 =
(20)
cos2 (𝜑′ − 𝜃)
sin(𝛿 ′ +𝜑′ ) sin(𝜑′ −𝛼)
cos2 𝜃 cos(𝛿 ′ + 𝜃)[1 + √ cos(𝛿 ′ +𝜃) cos(𝜃−𝛼)
]2
(21)
Fig. 11: Presión pasiva de Coulomb
1
𝑃𝑝 = 𝐾𝑝 𝛾𝐻 2
2
𝐾𝑝 =
(22)
cos2 (𝜑′ + 𝜃)
sin(𝜑′ −𝛿′) sin(𝜑′ +𝛼)
cos 2 𝜃 cos(𝛿 ′ − 𝜃)[1 − √ cos(𝛿 ′ −𝜃) cos(𝛼−𝜃)
]2
(23)
3. CASO ESTUDIADO
Fig. 9: Muro en voladizo simple, con sus parámetros.
Si la pared de retención que se muestra en la figura 9 no puede moverse, ¿cuál será la fuerza
lateral por unidad de longitud de la pared cuando se genere una presión?
POR EL METODO DE RANKINE:
P á g i n a 8 | 15
Fig. 10: Distribución de presiones para el estado activo de Rankine.
Usando la ecuación 4 de estado activo de Rankine, para calcular el coeficiente activo:
𝑘𝑎 =
𝜎′𝑎
𝜑′
30°
= tan2 (45 − ) = 𝑡𝑎𝑛2 ( 45° −
) = 0,33
𝜎′𝑜
2
2
Ahora haremos el cálculo de la presión activa, usando la ecuación 8:
𝑃𝑎 = 0,5 𝐾𝑎 𝛾𝐻 2 − 2√𝐾𝑎 𝑐′𝐻
𝑃𝑎 = 0,5 𝑥 0,33 𝑥 16,5 𝑥 62 − 2√0,26 𝑥0𝑥6 = 98,10 𝑘𝑁/𝑚
Método de coulomb
Caso de estudio
Obtención del coeficiente de presión activa de coulomb
2
𝜑 ′ = 30 , 𝛿 ′ = 3 𝜑 ′ = 20, 𝜃 = 0, 𝛼 = 0,
𝐾𝑎 =
cos 2 (30 − 0)
sin(20+30) sin(30−0)
cos2 0 cos(20 + 0)[1 + √
𝐾𝑎 =
cos(20+0) cos(0−0)
]2
cos 2 (30 − 𝜃)
sin(𝛿 ′ +𝜑′ ) sin(𝜑 ′ −𝛼)
cos2 𝜃 cos(𝛿 ′ + 𝜃)[1 + √ cos(𝛿′ +𝜃) cos(𝜃−𝛼)
]2
𝐾𝑎 = 0.297
Con la ecuación definida por coulomb para empuje activo calculamos dicha fuerza
P á g i n a 9 | 15
1
𝑃𝑎 = 𝐾𝑎 𝛾𝐻 2
2
1
𝑃𝑎 = ∗ 0.297 ∗ 16.5 ∗ 62
2
𝑃𝑎 = 88.209 𝐾𝑁
4. ANÁLISIS PARAMÉTRICO
-Presencia del Nivel Freático
Fig. 11: Muro en voladizo simple, con sus parámetros y estrato de nivel freático.
POR EL METODO DE RANKINE:
Fig. 12: Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de contención para
suelo de relleno no cohesivo.
𝐾𝑎(1) = 𝑡𝑎𝑛2 ( 45° −
30°
2
) = 0,33
,
𝐾𝑎(2) = 𝑡𝑎𝑛2 ( 45° −
35°
2
) = 0,27
𝛾 ′ = 19,20 − 10 = 9,20
𝑃𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑎(1) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(2) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(3) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(4)
P á g i n a 10 | 15
𝑃𝑎(1) = (0,33)(16,5)(3)(3)0,5 = 24,50
𝑃𝑎(2) = (0,27)(16,5)(3)3 = 40,10
, 𝑌(1) =
𝑀𝑎(1) = 96,20 , 𝑀𝑎(2) = 60,15 ,
𝑦=
3
= 1,50 𝑚
2
3
, 𝑌(3) = = 1 𝑚
3
, 𝑌(2) =
𝑃𝑎(3) = (9,20)(3)(3)(0,5)0,27 = 11,18
𝑃𝑎(4) = (10)(3)(3)0,5 = 45
3
+3= 4𝑚
3
, 𝑌(4) = 1 𝑚
𝑀𝑎(3) = 11,18 ,
𝑀𝑎(4) = 45
∑𝑀
212,53
=
= 1, 77 𝑚
∑ 𝑃𝑎
120,33
-Presencia del Nivel Freático con Carga Distribuida
𝑞 = 15 𝑘𝑁/𝑚2
𝐻1 = 3𝑚 , 𝐻2 = 3𝑚
Fig. 13: Muro en voladizo simple, con sus parámetros y estrato de nivel freático.
POR EL METODO DE RANKINE:
P á g i n a 11 | 15
Fig. 14: Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de contención para suelo de
relleno no cohesivo parcialmente sumergido soportando una sobrecarga.
𝐾𝑎(1) = 𝑡𝑎𝑛2 ( 45° −
30°
2
) = 0,33
,
𝐾𝑎(2) = 𝑡𝑎𝑛2 ( 45° −
35°
2
) = 0,27
𝛾 ′ = 19,20 − 10 = 9,20
𝑃𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑎(1) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(2) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(3) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(4) + 𝐴𝑟𝑒𝑎(5)
3
+ 3 = 4,5 𝑚
2
3
𝑃𝑎(2) = (0,33)(16,5)(3)(3)0,5 = 24,50
, 𝑌(2) = + 3 = 4,0 𝑚
3
3
𝑃𝑎(3) = ((0,33)(16,5)(3) + (15)0,33)(3) = 63,86 , 𝑌(3) = = 1,5 𝑚
2
3
𝑃𝑎(4) = (0,33)(9,20)3(3)0,5 = 13,66
, 𝑌(4) = = 1 𝑚
3
𝑃𝑎(1) = (15)(0,33)(3) = 14,85
, 𝑌(1) =
𝑃𝑎(5) = (10)(3)(3)0,5 = 45
𝑀𝑎(1) = 66,83 , 𝑀𝑎(2) = 98 ,
𝑦=
𝑀𝑎(3) = 95,79 ,
, 𝑌(5) = 1 𝑚
𝑀𝑎(4) = 13,66 , 𝑀𝑎(5) = 45
∑𝑀
319,28
=
= 1, 97 𝑚
∑ 𝑃𝑎
161,87
P á g i n a 12 | 15
-Presencia del Relleno Granular Inclinado
𝛿=
2
∗ ∅′
3
𝛼 = 10°
𝐻 = 6𝑚
Fig. 15: Muro de contención vertical sin fricción con relleno inclinado
POR EL METODO DE RANKINE:
Se determina el coeficiente de presión activa de Rankine utilizando la ecuación definida en la
introducción.
𝐾𝑎 = cos 𝛼
cos 𝛼 − √cos 2 𝛼 − cos 2 𝜑′
cos 𝛼 + √cos 2 𝛼 − cos 2 𝜑′
Reemplazando ∅ = 30° y 𝛼 = 10
𝐾𝑎 = cos 10 ∗
cos 10 − √cos 2 10 − cos 2 30
cos 10 + √cos 2 10 − cos 2 30
𝐾𝑎 = 0.3495
El coeficiente de Rankine obtenido es 0.3495
Con la formula definida por Rankine para fuerza activa se calcula dicha fuerza
1
𝑃𝑎 = 𝑘𝑎 𝛾𝐻 2
2
1
𝑃𝑎 = ∗ 0.3495 ∗ 16.5 ∗ 62
2
𝑃𝑎 = 103.8 𝐾𝑁
La fuerza activa que resulta es 103.8 KN
P á g i n a 13 | 15
POR EL METODO DE COULOMB
Se determina el coeficiente de presión activa conforme a la formula dada por Coulomb
cos 2 (𝜑 ′ − 𝜃)
𝐾𝑎 =
cos2 𝜃 cos(𝛿 ′
2
sin(𝛿 ′ +𝜑′ ) sin(𝜑 ′ −𝛼)
+ 𝜃) [1 + √ cos(𝛿′ +𝜃) cos(𝜃−𝛼) ]
2
Reemplazamos 𝛼 = 10, ∅ = 30° y 𝛿 = 3 ∗ ∅ = 20° en la ecuación (𝜃 = 0, el muro no tiene
inclinación)
cos 2 (30 − 0)
𝐾𝑎 =
2
sin(20+30) sin(30−10)
cos2 0 cos(20 + 0) [1 + √
cos(20+0) cos(0−10)
]
𝐾𝑎 = 0.34
Calculamos la presión activa
𝑃𝑎 =
𝑃𝑎 =
1
𝑘 𝛾𝐻 2
2 𝑎
1
∗ 0.34 ∗ 16.5 ∗ 62
2
𝑃𝑎 = 100.98 𝐾𝑁
La fuerza activa que resulta es 100.98 KN
TEORIA
Pa (fuerza activa) (KN)
RANKINE
103.8
COULUMB
100.98
P á g i n a 14 | 15
5. CONCLUSIONES
Conforme a los cálculos del estudio realizado, podemos afirmar que los empujes activos
hallados por Rankine y Coulomb independientemente a las situaciones planteadas. El que ocupa
un mayor peso en fuerza por unidad en longitud, en el muro voladizo incluyéndole el nivel
freático y una carga distribuida.
Además, comparando con las demás situaciones y el muro inicial, donde se obtuvo un
empuje activo por Rankine de 98. 10 Kn/m y por Coulomb 88.209 Kn/m, esto hace que los
resultados posteriores incluyendo los análisis por nivel freático y muro inclinado, es cercana
los resultados pues no hay demasiada variedad de factores externos.
El suelo inicial de una arena no cohesiva, al experimentarle con un relleno inclinado donde
involucran la fricción del suelo y el muro, respetando la variación del empuje activo para
analizar la rugosidad que repercute en el resultado final del empuje activo.
Finalmente, a un muro simple en voladizo, teniéndose inicialmente sus parámetros de
resistencia, por más que se le añadan cargas distribuidas en diferentes puntos, ocasionaran un
incremento en el valor del empuje activo respecto al inicial.
6. REFERENCIAS
[1] Braja M. Das. (2013). Fundamentos de Ingeniería Geotécnica. Mexico: CENGAGE
learning.
[2] Calavera Ruiz, J. (2001). Muros de contención y muros de sótano. Barcelona: Intemac.
[3] Hurtado, D. J. (2009). Diseño de muros de contención. Lima: UNI.
[4] Prada, F y Ramos, A. (2011). “Confiabilidad Aplicada al Diseño de un Muro de Contención”
Obras y Proyectos 9. Colombia pp.49-58
[5] Ballón Benavente, A y Echenique Sosa, J. (2017). “Análisis de estabilidad de muros de
contención de acuerdo a las zonas sísmicas del Perú”. [Online]. Disponible en:
https://repositorioacademico.upc.edu.pe/handle/10757/621687
P á g i n a 15 | 15
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