Solucionario UNI Matematica

Examen de admisión 2019-1
SOLUCIONARIO UNI
Matemática
PREGUNTA N.º 1
El perímetro de un triángulo es 50 m y sobre cada
lado del triángulo se forma un cuadrado cuyo lado
coincida con el lado del triángulo. Como resultado,
la suma de las áreas de los cuadrados formados
es 900 m2 y el lado del primer cuadrado es al del
segundo como, el lado del tercero es a la mitad del
primero. La relación del mayor y el menor de los
lodos del triángulo es de (Considere que los lados
del triángulo son números naturales)
A)
B)
C)
D)
E)
2a1
5a2
3a1
5a1
11 a 2
Reemplazamos (III) en (II).
b2 + c2 + 2bc = 900
b + c = 30
(IV)
Reemplazamos (IV) en (I).
a + 30 = 50
a = 20
De (III) y (IV)
b = 10
c = 20
Entonces
lado mayor 20
= =2
lado menor 10
Por lo tanto, la relación es de 2 a 1.
RESOLUCIÓN
Respuesta: 2 a 1
Tema: Áreas de regiones cuadrangulares
PREGUNTA N.º 2
Análisis y procedimiento
Las magnitudes X e Y son tales que (Y – 2) y
(X2 + 1) son inversamente proporcionales. Se sabe
que cuando X = 2, se tiene que Y = 3. Determine la
ecuación que relaciona X e Y
b
b
a
A) Y =
a
c
B) Y = −
c
C) Y =
Datos:
a + b + c = 50
a2 + b2 + c2 = 900
a2 = 2bc
3
X 2 −1
D) Y =
(I)
(II)
(III)
E) Y =
+2
5
X 2 +1
20
X 2 +1
+4
−1
11 + X 2
X 2 +1
7 + 2X 2
X 2 +1
1
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RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Magnitudes proporcionales
Tema: Regla de mezcla
Análisis y procedimiento
Sabemos que para dos magnitudes A y B
Si A IP B, entonces
Análisis y procedimiento
Recuerde que
• PC: precio de costo
 valor   valor 
 de A   de B  = cte
• PV: precio de venta
• G: ganancia
PV=PC+G
En el problema, para las magnitudes x e y
(Y − 2) IP ( X 2 + 1)
Además, cuando x = 2 se tiene que y = 3.
Del enunciado se tiene que al tostar el café crudo se
pierde el 20 % de su peso, entonces
Generamos la igualdad según los datos dados.
(Y − 2) ( X 2 + 1) = (3 − 2) ( 2 2 + 1)
PC(S/)
(Y − 2) ( X 2 + 1) = 5
Y − 2=
5
X 2 +1
5
Y= 2
+2
X +1
Y=
Y=
2
X 2 +1
7 + 2X 2
Cualquier tipo de café crudo pierde el 20 % de su
peso al tostarlo. Se ha comprado dos tipos de café
crudo cuyos precios por kilogramo son 10 y 15 soles
respectivamente.
Si todo el café tostado se vendiera a 15 soles el
kilogramo no se ganaría ni se perdería, pero se
vendió todo el café tostado en S/3240 ganando el
20 % del costo. Halle la suma de los pesos iniciales
y dé como respuesta la diferencia de la mayor cifra
con la menor cifra del resultado.
2
10
15
peso inicial (kg) (café crudo)
5a
5b
peso final (kg) (café tostado)
4a
4b
Se vendió todo el café tostado a S/3240 ganando
el 20 % del costo.
PV(total) = 120 %PC(total)
X 2 +1
PREGUNTA N.º 3
A) 6
D) 3
II
15(4a + 4b) = 10(5a) + 15(5b)
10a = 15b
↓
↓
3n 2n
X 2 +1
Respuesta: Y =
I
Si todo el café tostado se vendiera a 15 soles el
kilogramo no se ganaría ni se perdería.
PV(total) = PC(total)
5 + 2 ( X 2 + 1)
7 + 2X
Tipo de café
B) 5
C) 4
E) 2
3240 = 120% [10 (5a ) + 15 (5b )]
3240 = 120 %(300n)
3240 = 360n
n=9
Luego
suma de pesos iniciales = 5a + 5b = 25n = 225
Piden
5–2=3
Respuesta: 3
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PREGUNTA N.º 4
El número de hijos por familia en una determinada
ciudad es una variable aleatoria H, cuya función de
probabilidad es
Kx
f ( x)= P [ H = x ] =
5
x = 1; 2; 3; 4; 5
¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga 3
hijos dado que tiene al menos dos hijos?
A) 0,200
D) 0,267
B) 0,333
C) 0,214
E) 0,357
De lo que nos piden podemos notar que es una
probabilidad condicional.
P ( H = 3) ( H ≥ 2) =
P ( H = 3) ( H ≥ 2) =
P [( H = 3) ∩ ( H ≥ 2)]
P ( H ≥ 2)
3
15
2 3 4
5
+
+
+
15 15 15 15
3
3
= 0, 21428...
P ( H = 3) ( H ≥ 2) = 15 =
14
15
14
Por lo tanto, la probabilidad será aprox. 0,214.
RESOLUCIÓN
Tema: Probabilidades
Respuesta: 0,214
Análisis y procedimiento
Considerando la variable aleatoria
H = número de hijos por familia en una determinada ciudad
PREGUNTA N.º 5
cuya función de probabilidad está definida por
kx
f( x ) = P [ H = x ] =
1 ≤ x ≤ 5 ( x ∈Z + )
5
Hallamos la distribución de probabilidad.
H = xi
1
2
3
4
5
P[H = xi]
k ⋅1
5
k⋅2
5
k ⋅3
5
k ⋅4
5
k ⋅5
5
Se tienen 496 números naturales consecutivos. Al
dividir el número anterior al mayor entre el número
menor de la lista de números, se obtiene como
residuo 49 y como cociente un número natural
diferente a 6. Indique la cifra de las centenas del
número que se obtiene al multiplicar el trigésimo
segundo número y el centésimo tercer número.
A) 0
D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
RESOLUCIÓN
Tema: Operaciones fundamentales
n
Por la propiedad de ∑ f(x ) =1, hallaremos el valor de k.
i=1
i
5
 k ⋅ x i  k 2k 3k 4 k 5k
+
=1
+
+
= +
5  5 5
5
5
5
i=1
∑ 
k=
Análisis y procedimiento
Sean los 496 números naturales consecutivos.
t1
t2
t3
t495
t496
(a + 1); (a + 2); (a + 3); ...; (a + 495); (a + 496)
1
3
menor
número
Entonces la distribución de probabilidad quedará de
la siguiente manera:
H = xi
1
2
3
4
5
P[H = xi]
1
15
2
15
3
15
4
15
5
15
mayor
número
Por condición
(a + 495)
49
(a + 1)
q
Dato: q ≠ 6
3
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Resolvemos.
(a + 495) = (a + 1) · q + 49; a + 1 > 49
a + 446 = (a + 1) · q
°
• a b 1 b a = 11
+−+−+←
°
2a − 2b + 1 = 11
a + 1 + 445
=q
a +1
1+445=q
a+1
1
5
89
445




°
°
2a − 2b = 11− 1 = 11+ 10
–6
°
a − b = 11+ 5 =
5
a+1 es divisor
de 445=5×89
°
• a − b = −6 ∧ ba = 4
→ a = 444
↓ ↑
2 8
Luego se tendría
(t32) · (t103) = (444 + 32) · (444 + 103)
= (476) · (547)
= 260 372
↓
82
... no cumple
°
• a − b = 5 ∧ ba = 4
↓ ↑
8 3
6 1
↑
↓
38
16
... no cumple
... cumple
cifra de centenas
Piden el residuo que se obtiene al dividir ab1ba
entre 5.
Respuesta: 3
PREGUNTA N.º 6
º
Halle un número de la forma ab1ba tal que sea 44.
Dar como respuesta el residuo que se obtiene al dividir
dicho número entre 5.
A) 0
D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
°
°
→ ab1ba = 6b1b6 = 5 + 6 = 5 + 1
↓
°
5+ 1
Por lo tanto, el residuo es 1.
Respuesta: 1
RESOLUCIÓN
PREGUNTA N.º 7
Tema: Teoría de divisibilidad
Análisis y procedimiento
Recuerde que
Calcule 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 + 2, 2
Dar como respuesta la primera cifra decimal.
°
si N =
a
A) 0
D) 3
B) 1
C) 2
E) 4
°
b
°
RESOLUCIÓN
→ N = MCM (a; b )
Tema: Radicación
Del enunciado
°
°
ab1ba = 44 =
par
4
4
°
11
Análisis y procedimiento
Para hallar la primera cifra decimal, debemos hallar
la suma de las raíces cúbicas.
3
20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 + 2, 2
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Dándole forma convenientemente
3
(2 +
(2 +
3
3
(2 − 2 )
2 ) + ( 2 − 2 ) + 2, 2
2) +
3
+ 2, 2
4 + 2,2 = 6,2
Por lo tanto, la primera cifra decimal es 2.
II. Falso
Veamos un contraejemplo
(3−
5 ) + (
3−
5)=
irracional
irracional
6
racional
Por lo tanto, la suma de dos números irracionales
puede resultar un número racional.
III. Verdadero
Se sabe que el conjunto de los números
racionales es un conjunto denso; es decir,
entre dos racionales cualesquiera hay infinitos
racionales.
Respuesta: 2
Por lo tanto, entre dos racionales diferentes
siempre existe otro números racionales.
PREGUNTA N.º 8
Indique la secuencia correcta después de determinar
si la proposición es verdadera (V) o Falsa (F).
I. El producto de un número irracional por otro
irracional es siempre irracional.
II. La suma de dos números irracionales siempre
es un número irracional.
III. Entre dos números racionales diferentes siempre
existe otro número racional.
A)
B)
C)
D)
E)
VVV
VFV
VFF
FFF
FFV
Respuesta: FFV
PREGUNTA N.º 9
Sean A, B y D subconjuntos de los números reales
y definimos el operador * mediante
A * B = (A ∩ B)*
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
I. (A * B) * D = A *(B * D)
II. (A * B) * A = A * (B * A)
III. A * ∅ = ∅
Donde AC indica el complemento de A.
A) VFF
D) FFF
B) FVV
C) VVV
E) FVF
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Conjunto de los racionales
Tema: Teoría de conjuntos
Análisis y procedimiento
I. Falso
Veamos un contraejemplo
Análisis y procedimiento
Recuerde
Ley conmutativa: A ∩ B ≡ B ∩ A
(
1) · (
1) = 5 −1
5 −
5 +
irracional
irracional
Ley de De Morgan: (A ∩ B)C ≡ AC ∪ BC
racional
Por lo tanto, el producto de dos números
irracionales puede resultar un número racional.
C
Ley del complemento: ( A C ) ≡ A
(f)C ≡ U
5
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RESOLUCIÓN
Del enunciado
A, B y D son subconjuntos de R
Tema: Teoría de conjuntos
A*B = (A ∩ B)C
Análisis y procedimiento
Entonces
B*A = (B ∩ A)C
A = { x ∈ / x + 1 − 3 x − 2 = 1}
Sea
De allí tenemos que A*B ≡ B*A.
I.
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3
x − 2 = m → x = m3 + 2
Reemplazamos en la ecuación.
Falsa
(
A
*
B)
*
D
=
(A ∩ B) *D
C
( A ∩ B) ∩ D 
C
(A ∩ B) ∪ DC
C
)
A *(
B *D
A*(B ∩ D)C
C C
m3 + 2 + 1 − m = 1
m 3 + 3 = m + 1; m ≥ − 1
 A ∩ ( B ∩ D ) 
Elevamos al cuadrado.
AC ∪ (B ∩ D)
m3 + 3 = m2 + 2m + 1
m3 – m2 –2 m + 2 = 0
II. Verdadera
(
A
*
B)
*
A = A * ( B * A)
m2(m – 1) – 2(m – 1) = 0
A * (
A * B)
(m – 1)(m2 – 2) = 0
(m − 1) (m + 2 ) (m − 2 ) = 0
A* (B*A)
→ m =1 ∨ m = − 2 ∨ m = 2
III. Falsa
A* φ = φ

no
( A ∩ f) C
Como
x = m3 + 2
→ x = 3; x = 2 2 + 2
C
φ)
(
U
Luego el conjunto por extensión sería
{
Verificamos las proposiciones.
I. Falsa
II. Verdadera
III. Falsa
PREGUNTA N.º 10
Definimos el conjunto
{
A = x ∈R
}
x +1 − 3 x − 2 =1
Considere las siguientes proposiciones:
I. La suma de los elementos del conjunto A es 7.
II. Card(A) = 2
III. 2 2 − 2 ∈A
Determine de las proposiciones dadas cuáles son
verdaderas.
A) solo I
D) I y II
6
}
A = 3; 2 2 + 2
Respuesta: FVF
B) solo II
C) solo III
E) I y III
Respuesta: solo II
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PREGUNTA N.º 11
1
Sea f : ; + ∞ → R una función definida por
2
2x − 1
f( x ) =
1
2x 2 − x +
2
Entonces el rango de f es el conjunto
2
A)  ; + ∞
3
2
D) 0; 
3
B)
3
0; 
2
E)
RESOLUCIÓN
Análisis y procedimiento
2x − 1
1
∧ x>
f( x ) =
1
2
x ( 2 x − 1) +
2 x −1 > 0
2
Sea
a = 2x –1 > 0
a +1
↔
=x
2
Reemplazamos
a
2a
=
f( x ) =
1 a2 + a +1
 a +1

a+
2 
2
2
a +1+
3
; +∞
2
2
−∞; 
3
2
Respuesta: 0; 
3
PREGUNTA N.º 12
Halle el polinomio p(x) de coeficientes racionales de
menor grado con raíces 1 y 1 + 2 , y que además
cumpla p(0) = 1. Dé como respuesta la suma de los
coeficientes del polinomio.
A) –2
D) 1
Tema: Funciones
f( x ) =
C)
2
∴ Ranf= 0; 
3
B) –1
C) 0
E) 3
RESOLUCIÓN
Tema: Polinomios
Análisis y procedimiento
Del dato se tiene que 1 es una raíz.
Entonces
P(1) = 0
Por propiedad
P(1) = suma de coeficientes
→ P(1) = 0 = suma de coeficientes
Respuesta: 0
1
a
PREGUNTA N.º 13
Sea f: R → R una función definida por
Del dato:
1
a>0 → a+ ≥2
a
1
1+ a + ≥ 3
a
1
0<
≤
1 3
a +1+
a
2
2
0<
≤
1 3
a +1+
a
+1
inversa
f( x ) = 2 x −
1
f( x )
por 2
1
2x
Entonces podemos decir que la función inversa f*
de f, está dada por (en caso exista)
A)
1  x + x2 + 4 
ln 


2 
2
C) no existe f*
 x + x2 + 4 
D) log 2 



2
B)
1  x − x2 + 4 
ln 


2 
2
 x − x2 + 4 
E) log 2 



2
7
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RESOLUCIÓN
PREGUNTA N.º 14
Tema: Función inversa
1 0 0
Dada la matriz A = 6 4 0  . Considere una matriz
6 5 9 
S de orden 3 × 3 triangular inferior de términos
positivos, tal que
Análisis y procedimiento
1
La gráfica de f( x ) = 2 x − x es creciente.
2
()
1
2
Y
x
Y
2x
X
()
– 1
2
( )
f(x)=2x+ – 1 x
2
X
S2 = A, diag(S) = (1; 2; 3)
Calcule
Traza S S T + 16
K=
A
(
)
x
A) 1/2
D) 2
B) 1
C) 3/2
E) 5/2
Entonces sí existe f *.
Hallemos la regla de correspondencia de f *(x).
Despejamos x.
1
y = 2 x − x ; sea a = 2x > 0
2
1
y=a−
a
0 = a2 – ya – 1
Usamos la fórmula general de la ecuación cuadrática.
a=
y ± y2 + 4
pero a > 0
2
a=
y + y2 + 4
2
2
y+ y +4
2
 y + y2 + 4 
↔ log 2 2 x = log 2 



2
2x =
 y + y2 + 4 
x = log 2 



2
Intercambiamos x con y.
 x + x2 + 4 
log
y
=


2



2
*
f( x )
 x + x2 + 4 
Respuesta: f(*x ) = log 2 



2
8
RESOLUCIÓN
Tema: Matrices y determinantes
Análisis y
a

Sea S =  b
d
procedimiento
0 0
c 0  ; por dato, S2 = A
e f 
Así

a2

S 2 =  ab + bc

ad + be + df
0
c2
ce + ef
0  1 0 0

0  = 6 4 0 

f 2  6 5 9 
Como los términos de S son positivos, entonces
a = 1; b = 2; c = 2; d = 1; e = 1; f = 3
Entonces
1 0 0 1 2 1 1 2 1 
SS T =  2 2 0  0 2 1 =  2 8 4 
1 1 3 0 0 3 1 4 11
traza (SST) = 1 + 8 + 11 = 20
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también
Como
1 0 0
A = 6 4 0 = 1 × 4 × 9 = 36
6 5 9
 2 1
A=
 →
 4 3
Entonces
traza ( SS T ) + 16 20 + 16
K=
=
=1
A
36
K=1
Sean A, B, X e Y matrices de orden 2 × 2 tales que
1 2
2 4
AX + BY = 
y 2 AX − BY = 

;
 3 1
0 2
 2 1
si A = 
 , entonces la suma de los elementos de
 4 3
1  3 −1
2  −4 2 
1 2
De AX = 

1 1 
1 2
X = A −1 

1 1 
X=
1  3 −1 1 2
2  −4 2  1 1 
X=
12 5
2  −2 −6 
Respuesta: 1
PREGUNTA N.º 15
A −1 =
5

1
X=
2


−
1
−
3

Por lo tanto, la suma de los elementos de la matriz
X es – 0,5.
Respuesta: – 0,5
la matriz X es
A) – 0,4
D) – 0,7
B) – 0,5
C) – 0,6
E) – 0,8
RESOLUCIÓN
PREGUNTA N.º 16
Tema: Matriz inversa
Dado el problema
Análisis y procedimiento
Tenemos.
1 2
AX + BY = 

 3 1
2 4
2 AX − BY = 

0 2
Sumamos.
 3 6
3 AX = 
 →
 3 3
mín
 {ax + by}
( x ; y ) ∈D
con (x0; y0) ∈ D solución única, establecer cuál de
las siguientes proposiciones son correctas.
I. Siempre existe una recta L tal que
{
}
L ∩ D = ( x 0 ; y0 )
1 2
AX = 

1 1 
II. El punto (x0; y0) pertenece al interior del
conjunto D.
III. ∀ (x; y) ∈ D, ax0 + by0 ≥ ax + by
A) solo I
D) I y II
B) solo II
C) solo III
E) I, II y III
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RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Programación lineal
Tema: Sucesiones y series
Análisis y procedimiento
Tenemos mín
 {ax + by}
( x ; y ) ∈D
Análisis y procedimiento
I. Falso
Si an = (–2)n, tenemos que {(–1)n an} = {2n} es
monótona y no es constante.
(x0; y0) solución única
→ (x0; y0) es un punto extremo.
II. Falso
Si an=(–1)n, tenemos que {|an|}={|(–1)n|}={1}
Sean las rectas de nivel
LK: ax + by = K
I.
converge a 1, pero {an} = {(–1)n} diverge.
III. Verdadero
Como 0 ≤ an +|an| ≤ 2|an|
Verdadero
Existe una recta de nivel LK tal que
+∞
L K ∩ D = {( x 0 ; y0 )}
II. Falso
Como (x0; y0) es un punto extremo, entonces no
pertenece al interior del conjunto D.
III. Falso
Como (x0; y0) es la solución única del P.P.L.
mín{ax + by}
→ ax0 + by0 ≤ ax + by; ∀ (x; y) ∈ D
+∞
+∞
0 ≤ ∑ (an + an ) ≤ 2 ∑ an →∑ (an + an ) converge
n=1
n=1 n=1
converge
Además,
+∞
∑ − an
converge
n=1
Luego
+∞
+∞
+∞
n
=1
=
1
n
=1
n
converge
converge
∑ (an + an ) + ∑ − an = ∑ (an + an − an )
Respuesta: solo I
converge
+∞
= ∑ an converge
PREGUNTA N.º 17
n=1
Dadas las siguientes proposiciones:
{
n
}
Si la sucesión ( −1) an es monótona, entonces
dicha sucesión es constante.
II. Si la sucesión an es convergente, entonces
{an} es también convergente.
I.
{ }
∞
∞
III. Si la serie ∑ an es convergente, entonces ∑ an
n=1
n=1
es convergente.
Son correctas
A) solo I
D) I y ll
10
B) solo II
C) solo III
E) I y III
Nota
Este teorema se conoce como convergencia absoluta.
Por lo tanto, es correcta solo III.
Respuesta: solo III
UNIMatemática
2018-1
Solucionario
de Matemática
UNI 2019-1
PREGUNTA N.º 18
PREGUNTA N.º 19
Se tiene una sucesión geométrica (an)n
razón r. Siendo a4 = 4 y a7 = 12.
Calcule r3 + a10.
A) 39
D) 45
B) 40
C) 42
E) 48
∈ N
con
Dado el conjunto
S = {x ∈ R / 0 < Log|x –1| < 1}
Determine S ∩ ([0; 2] ∪ [12; 20]).
A) f
D) [12; 15]
B) ⟨1; 2⟩
C) [15; 20]
E) [12; 20]
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Sucesiones
Tema: Inecuación logarítmica
Análisis y procedimiento
Como la sucesión (an)n ∈ N es geométrica
→ an = arn –1, r = razón
Análisis y procedimiento
Tenemos
S = {x ∈ R / 0 < log|x –1| < 1}
De
0 < log10|x –1| < 1
10° < |x –1| < 101
1 < |x –1| < 10
→ –10 < x –1 < –1 ∨ 1 < x –1 < 10
– 9 < x < 0 ∨ 2 < x < 11
Por dato:
a4 = 4 → ar3 = 4
a7 = 12 → ar6 = 12
Dividimos (II) ÷ (I).
4
r3 = 3 → a =
3
Luego
3
a10 = ar9 = a(r3)
4 3
→ a10 =   ( 3)
3
→ a10 = 36
(I)
(II)
Luego
S =⟨– 9; 0⟩ ∪ ⟨2; 11⟩
Piden S ∩ ([0; 2] ∪ [12; 20]).
S
–∞ –9
0
2
11 12
+∞
3
∴ r + a10 = 39
∴ S ∩ ([0; 2] ∪ [12; 20]) = f
Respuesta: 39
Respuesta: f
11
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PREGUNTA N.º 20
RESOLUCIÓN
Grafique la región
x


1
R = ( x; y ) ∈R 2 y ≤ 2 x , y ≥   , x + y ≤ 3


2


Tema: Gráfica de relaciones
A)
B)
Y
Análisis y procedimiento
Se tiene
x


1
R = ( x; y ) ∈R 2 y ≤ 2 x ; y ≥   ; x + y ≤ 3


2


Reordenamos.
Y
3
3
1
3
y ≤ 2x
1
X
3
X
1
y≥ 
 2
x
y ≤ 3–x
C)
Graficamos.
Y
Y
2x
3
1
3
3
X
1
2
1
D)
E)
Y
3
Y
3
3
1
Respuesta:
1
3
X
3
Y
X
3
1
3
12
X
x
X
UNIMatemática
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UNI 2019-1
PREGUNTA N.º 21
Sabiendo que L 1 //L 2 y θ es la medida de un ángulo
agudo. Calcule el mínimo valor entero de x.
A
θ
∴ x mínimo = 46°
L1
valor
entero
α
α
x
β
β
A) 41°
D) 45°
Pero θ es agudo, entonces
180° – 2x < 90°
45° < x
Respuesta: 46°
L2
PREGUNTA N.º 22
En un triángulo ABC, m  BAC = 2(m  ACB) = 30°,
si se traza la mediana BM, calcule m  ABM.
B) 42°
C) 44°
E) 46°
A) 75°
D) 100°
B) 80°
C) 90°
E) 105°
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Aplicaciones de la congruencia
Tema: Ángulo entre dos bisectrices
Análisis y procedimiento
Nos piden m ABM = x.
Análisis y procedimiento
Nos piden x(mínimo valor entero).
Dato: θ es la medida de un ángulo agudo.
L1
θ
P
α
α
x
β
Datos:
m BAC = 2(m ACB) = 30°
BM es mediana
30º 60º
a
β
θ
β
L2
B
x
45º 75º
75º
30º
a
A
a
a
60º
a
M
15º
45º
C
Del gráfico se observa
α
x α
β
β
Por teorema
θ
x = 90 − ; θ = 180 − 2 x
2
Se prolonga AB y se traza CP ⊥ AB.
θ
En el
APC, se traza PM, entonces, PM = a.
En el
BPM, isósceles, m PBM = m BMP = 75°.
∴ x = 105°
Respuesta: 105°
13
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PREGUNTA N.º 23
PREGUNTA N.º 24
El cateto AB del triángulo rectángulo ABC se divide
en 8 partes congruentes. Por los puntos de división
se trazan 7 segmentos paralelos al cateto AC tal como
se muestra en la figura. Si AC = 10 m, halle la suma
(en m) de las longitudes de los 7 segmentos.
En un cuadrilátero ABCD, las diagonales miden
AC = 17 cm y BD = 15 cm; sea M punto medio de AC
y F punto medio de BD; los ángulos interiores de B
y D miden 90°. Calcule MF en cm.
A) 2
D) 5
C
B) 3
C) 4
E) 6
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas en el cuadrilátero
B
A) 33
D) 36
A
B) 34
C) 35
E) 37
Análisis y procedimiento
Piden MF = x.
Dato: AC = 17; BD = 15
RESOLUCIÓN
B
Tema: Semejanza de triángulos
b
15
F
x
Análisis y procedimiento
Nos piden Sx.
Sx: suma de longitudes de los 7 segmentos.
17
M
C
A
B
m
x
m
2x
m
3x
m
4x
m
5x
m
6x
7x
8x
10
m
Sx = x(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)
5
S x = 28  
4
∴ Sx = 35
Respuesta: 35
14
x=
5
4
d
D
Por teorema de Euler
2
m
Sx = x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x
AC = 8 x = 10 →
c
2
2
2
a
b2 + c
d2 = ( AC ) + ( BD ) + 4 x 2
+ + A
Al trazar los segmentos paralelos a AC se determinan
triángulos rectángulos semejantes.
Entonces
Sx = 28x
C
(17) 2 + (17) 2 = (17) 2 + (15) 2 + 4 x 2
4x2 = 64
∴ x=4
Respuesta: 4
PREGUNTA N.º 25
Al cortarse dos cuerdas de una misma circunferencia
perpendicularmente, una de ellas queda dividida en
segmentos de 3 y 4 unidades y la otra en segmentos
de 6 y 2 unidades. Determine el diámetro de la
circunferencia.
A)
D)
87
65
B)
73
C)
E)
68
63
UNIMatemática
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Solucionario
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RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas en triángulos rectángulos
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Análisis y procedimiento
Piden 2R.
Análisis y procedimiento
Piden a.
M
P
13
3
R
A
6
2 13
2
a: longitud de la circunferencia menor
13
P
B
B
A
R 4
b
M
Q
Q O
N
Dato: R: longitud de la circunferencia mayor
Del gráfico
R = 10π y AB = 24
AP=MB= 13
En el
R
a
Del gráfico
M, A y P son colineales.
N, B y P son colineales.
APQ
2R= 13 5
Luego, APBQ es un rectángulo.
∴ 2R= 65
→ PQ
= AB
= 24
R = 10π= 2πR → R = 5
Respuesta: 65
P
24
5
5
a
PREGUNTA N.º 26
La figura muestra tres semicircunferencias y la
longitud de la circunferencia mayor es 10π u. Si
AB = 24 u, siendo AB tangente a las semicircunferencias interiores, calcule la longitud (en u) de la
circunferencia menor.
Q O
1
M
4
En el
2
PQO, (QO) = 5 2 − 24
2
QO = 1
→ QM = 2a = 4
A
a=2
B
a = 2π(2)
∴ a = 4π
A) 2π
D) 5π
B) 3π
C) 4π
E) 6π
Respuesta: 4π
15
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PREGUNTA N.º 27
PREGUNTA N.º 28
Para tres circunferencias tangentes (exteriormente)
dos a dos, la suma de sus radios es 10 cm y el
producto de los mismos es 40 cm3. Halle el área
(en cm2) de la región triangular cuyos vértices son
los centros de la circunferencia.
El punto A está a 8 m encima de un plano horizontal
P, y el punto B se halla a 4 m encima del mismo
plano. Si C es un punto del plano P tal que
AC
+ BC
es mínimo y el ángulo que forman la recta CB con el
plano P es 53°, entonces (en m) AC es
A) 18
D) 19,5
B) 18,5
C) 19
E) 20
A) 8
D) 9,5
B) 8,5
C) 9
E) 10
RESOLUCIÓN
Tema: Área de regiones triangulares
Análisis y procedimiento
Piden A O O O
1 2 3
Dato: r1 + r2 + r3 = 10 y r1r2r3 = 40
RESOLUCIÓN
r1
O1
r2
b
r2
r1
Tema: Geometría del espacio
Análisis y procedimiento
A
O2
B
a
8m
c
r3
C
r3
r1 = P – c; r2 = P – a y r3 = P – b
Por teorema de Herón
A
O1O2O3 =
P ( P − c ) ( P − a ) ( P − b ) = 10r1r2r3
O1O2O3 =
Respuesta: 20
16
P
Piden AC
C∈
P
de los datos CB = 5 m y d ≥ 8 m
Condición
BC + d (mínimo)
Como BC = 5, entonces d debe ser mínimo.
Luego d = 8.
Como r1r2r3 = 40
A
4m
53º
O3
a + b + c = 2r1 + 2r2 + 2r3 = 20 = 2P → P = 10
d
10 ( 40 ) = 20
∴ AC=8
Respuesta: 8
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Solucionario
de Matemática
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PREGUNTA N.º 29
PREGUNTA N.º 30
Las caras de un triedro equilátero de vértice V miden
60°. En una de sus aristas se considera un punto R
de tal manera que VR = 2 cm. Por R pasa un plano
perpendicular a VR que interseca a las otras aristas
en S y T. Halle el área del triángulo RST (en cm2).
Sea el tetraedro regular de arista a, con a un
entero positivo diferente de múltiplo de 3. Se
unen los baricentros de las caras del tetraedro
regular formando un tetraedro nuevo y así se
S
243 6
repite el proceso n veces. Si n =
, donde
Vn
4
Sn y Vn son el área total y el volumen del tetraedro
respectivamente en el proceso n-ésimo. Halle
81 6 hn, siendo hn la altura del tetraedro en el
proceso n-ésimo.
A) 3 2
B) 2 6
C)
D) 3 3
26
E) 4 2
RESOLUCIÓN
Tema: Ángulo triedro
A) 8 3
D) 16 2
Análisis y procedimiento
Nos piden A RST
C) 8 6
E) 32
RESOLUCIÓN
Dato: El ángulo triedro es equilátero de caras iguales
a 60°, VR = 2.
plano tangente
a VR
V
60º
B) 16
Tema: Poliedros regulares
Análisis y procedimiento
Tenemos en cuenta que en todo tetraedro regular
A superficie
total
60º
volumen
=
6 6
a
4
2
a
4
30º S
2 3
R
H
2 2
2
3
30º
2
4
2
Dato:
Sn
Vn
=
243 6
4
T
En el VRT, notable de 30° y 60°, RT = 2 3 y VT = 4.
Además,
VST es equilátero y ST = 4.
RST, RH es altura,
Luego, en el
Piden
81 6hn (hn: altura del tetraedro regular n-ésimo)
6
3
entonces, HS = HT = 2 y RH = 2 2.
Como hn = an
Finalmente

 Vn
6
6
→ 81 6hn = 81 6  an
⋅6 6 ⋅
 = 81 6 

3
3 
 Sn
A
∴ A
RST=
(4 ) ( 2 2 )
RST= 4
2
2
Respuesta: 4 2
= 81 6hn ⋅
4
243 6
⋅6 6 ⋅
6
3
∴ 81 6hn = 16
Respuesta: 16
17
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PREGUNTA N.º 31
PREGUNTA N.º 32
En un tronco de pirámide ABC-A 1 B 1 C 1 , los
volúmenes de las pirámides B1-ABC y A-A1B1C1,
miden V 1 y V 2 respectivamente. Determine el
volumen de la pirámide A-CB1C1.
El volumen de un cono de revolución es 36π cm3.
Se inscribe un triángulo equilátero ABC en la base
del cono. El triángulo ABC está circunscrito a una
circunferencia cuyo círculo es base de un cilindro
recto inscrito en el cono. Calcule el volumen del
cilindro (en cm3).
A)
B)
V1V2
V1V2
V1 + V2
C)
D) 2 V1V2
2V1V2
V1 + V2
A)
27 π
10
B)
27 π
8
C)
27 π
5
D)
27 π
2
E) 3 V1V2
RESOLUCIÓN
Tema: Tronco de pirámide
Análisis y procedimiento
Nos piden VA-CB1C1 = Vx.
A
B
A
E) 27π
C
h
A1
B1
B
RESOLUCIÓN
C1
Datos:
V1 =
Ah
V2 =
bh
Análisis y procedimiento
Nos piden Vcilindro.
3
Dato: Vcono = 36π
3
Tenemos.
Vtronco =
h
( a + b + ab )
3
V1 + Vx + V2 =
Vx =
h
ha hb h
+
+
ab
3
3
3
R
ah bh
3
h
3
∴ Vx = V1V2
Respuesta: V1V2
18
Tema: Cono de revolución
60º
R
h
h
2R
R
R
60º
R
60º
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Sabemos que
RESOLUCIÓN
Vcilindro = πR2 · h
(I)
Tema: Identidades trigonométricas de ángulos
compuestos
En la base observamos
Análisis y procedimiento
Por condición 1
7
tan α = −
24
7
a ∈ IIC → sen α =
25
24
cos α = −
25
60º
R
R
R
2R
60º
60º
Por condición 2
3
cot β =
4
Del dato Vcono = 36π
4
5
3
cos β = −
5
b ∈IIIC → sen β = −
2
π ( 2R ) · ( 2h)
= 36 π
3
→ R2 · h
27
2
(II)
Luego, reemplazamos (II) en (I).
 7   3   24   4 
sen (α + β ) =    −  +  −
−
 25   5   25   5 
27 π
∴ Vcilindro =
2
Respuesta:
Se busca calcular sen(a+ b).
sen(a + b) = senacosb + cosasenb
∴ sen (α + β ) =
27 π
2
Respuesta:
3
5
3
5
PREGUNTA N.º 33
PREGUNTA N.º 34
7
24
3
y b un ángulo en el III cuadrante con cot (β ) = .
4
Determine el valor de sen(a+ b).
Si la gráfica de y = Aarccos(Bx + C) + D es
Sea a un ángulo en el II cuadrante con tan (α ) = −
A) −
3
D)
5
107
125
B) −
3
5
17
125
107
E)
125
Y
3π
C)
4
–2
–π
X
19
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determine el valor de E = A + B + C.
A) 3
B)
2
3
De (II), multiplicamos A (A > 0)
0A ≤ Aarccos(Bx + C) ≤ Aπ
4
3
14
E)
3
C)
D) 4
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Sumando D
D ≤ Aarccos(Bx + C) + D ≤ Aπ + D
Del gráfico
– π ≤ Aarccos(Bx + C) + D ≤ 3π
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Análisis y procedimiento
Piden E = A + B + C.
Entonces
D = – π y Aπ + D = 3π
→ A=4
∴ E=4+
Y
1 1
− =4
3 3
3π
Respuesta: 4
y=Aarccos(Bx+C)+D
y
–2
4
0
–π
x
Por definición
–1 ≤ Bx + C ≤ 1
0 < arccos(Bx + C) ≤ π
X
PREGUNTA N.º 35
En el círculo trigonométrico de la figura, θ es un
ángulo negativo en posición normal. Si PQ es
perpendicular a MN, halle las coordenadas de
Q(x0; y0) y dé como respuesta x0 – y0.
M
(I)
(II)
Q
Del gráfico
–2 ≤ x ≤ 4
O
Si B > 0
→ – 2B ≤ Bx ≤ 4B
Sumando C
→ C – 2B ≤ Bx + C ≤ 4B + C
De (I)
C – 2B = –1 → B = 1/3
4B + C = 1 → C = –1/3
20
P
A)
B)
C)
D)
E)
θ
2cos(θ) – sen(θ)
cos(θ) – sen(θ)
2sen(θ) – cos(θ)
sen(θ) + cos(θ)
sen(θ) – cos(θ)
N
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RESOLUCIÓN


π 
D)   k π ± ; 1 k ∈Z
3 


Tema: Circunferencia trigonométrica


π 1
E)   k π ± ;  k ∈Z
6 3


Análisis y procedimiento
Y
RESOLUCIÓN
x0 Q
y0
–senθ
y0 –x0
–senθ
P(cosθ; senθ)
Tema: Ecuaciones trigonométricas
x0
45º
X
– cosθ
Análisis y procedimiento
y = 1 – cos(x)
(I)
1 = 4y cos(x)
(II)
Reemplazamos (I) en (II).
1 = 4(1 –c os x)cos x
1 = 4cos x – 4cos2 x
→ 4cos2x – 4cos x + 1 = 0
En la circunferencia trigonométrica, las coordenadas
del punto P serán (cosθ; senθ).
→ (2cos x – 1)2 = 0
En el gráfico
y0 – x0 = ( – cosθ) – ( – senθ)
→ cos x =
y0 – x0 = – cosθ + senθ
∴ x0 – y0 = cosθ – senθ
Respuesta: cosθ – senθ
PREGUNTA N.º 36
Obtenga el conjunto solución del siguiente sistema
de ecuaciones:
y = 1 − cos ( x )

1 = 4 y cos ( x )


π 1
A)   2k π ± ;  k ∈Z


3 2




π 
B)   2k π ± ; 1 k ∈Z


3




π 1
C)   k π ± ;  k ∈Z


3 2


1
2
(III)
π

x =  2k π ±  ; k ∈
3

Reemplazamos (III) en (I).
1 1
y =1−   =
 2 2
π 1

∴  2k π ± ;  ; k ∈
3 2

π 1
Respuesta:  2k π ± ;  ; k ∈
3 2

PREGUNTA N.º 37
Determine el menor periodo positivo de la función
definida por f( x ) = 1 + cos ( 2 x ) + 1 − cos ( 2 x ) .
π
2
D) 2π
A)
B) π
3π
2
E) 4π
C)
21
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RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas directas
Tema: Ángulos verticales
Análisis y procedimiento
Análisis y procedimiento
θ: ángulo de depresión para un punto del horizonte
f( x ) = 1 + cos 2 x + 1 − cos 2 x
faro
f( x ) = 2 cos 2 x + 2 sen 2 x
h
f( x ) = 2 cos x + 2 sen x
2 cos(x + T) + 2 sen(x + T) = 2 cos x + 2 sen x
cos (x + T ) + sen (x + T ) = cos x + sen x
(*)
Observación
El menor valor positivo para (T) que verifica la condición (*) es
π
, puesto que
2
π

cos  x +  = sen x

2
π

sen  x +  = cos x

2
Respuesta:
π
.
2
horizontal
visual
R
Cálculo del periodo (T) a partir de la igualdad
f(x + T) = f(x)
Por lo tanto, el periodo es
θ
θ
R
O
centro
Tierra
Por definición
R
cos θ =
R+h
→ Rcosθ + hcosθ = R
→ hcosθ = R(1 – cosθ)
h cos θ
∴ R=
1 − cos θ
h cos (θ)
Respuesta:
1 − cos (θ)
PREGUNTA N.º 39
El menor ángulo de un paralelogramo mide a y sus
diagonales miden 2m y 2n. Calcule su área. (m > n)
π
2
A) (m2 – n2)tan(a)
C) (m2 – n2)sec(a)
D) (m2 – n2)csc(a)
B) (m2 – n2)cot(a)
E) (m2 – n2)sen(a)
RESOLUCIÓN
PREGUNTA N.º 38
Un marino que observa el horizonte desde un faro
de altura h, lo hace con un ángulo de depresión θ.
Calcule el radio R de la Tierra en función de h y θ.
Tema: Resolución de triángulos rectángulos
Análisis y procedimiento
B
C
D)
1+ sen (θ)
h sen (θ)
E)
h cos (θ)
1 − sen (θ)
A
a
2n
a
b
D
S: área del paralelogramo
S = ab sen a
22
2m
a
h sen (θ)
h cos (θ)
1+ cos (θ)
A)
B)
C)
(
)
(
)
1 − sen θ
1 − cos θ
h cos (θ)
(I)
UNIMatemática
2018-1
Solucionario
de Matemática
UNI 2019-1
RESOLUCIÓN
Por teorema de cosenos ( ADC)
(2m)2 = a2 + b2 –2ab cos(180º – a)
4m2 = a2 + b2 + 2ab cos a
Por teorema de cosenos ( ABD)
(2n)2 = a2 + b2 – 2ab cos a
4n2 = a2 + b2 – 2ab cos a
Tema: Coordenada polar
(II)
Análisis y procedimiento
r=
(III)
15
4 − 4 cos θ
Ordenando
Restamos (II) y (III).
→ 4r(1 – cosθ) = 15
4m2 – 4n2 = 4ab cos a
Relación entre las coordenadas polares y cartesianas
m2 − n2
= ab
cos α
Reemplazamos en (I).
x
y
cos θ = ; sen θ = ; r = x 2 + y 2
r
r
 m2 − n2 
S=
 sen α
 cos α 
2
(*)
Reemplazamos cosθ en (*).
x

4 r 1 −  = 15

r
2
(m – n )tan a
→ 4r – 4x = 15
∴ S = (m2 – n2)tan a
→ 4r = 4x + 15
Respuesta: (m2 – n2)tan a
PREGUNTA N.º 40
La ecuación de una cónica en coordenadas polares
15
es r =
4 − 4 cos (θ)
Determine una ecuación cuadrática para sus puntos
en coordenadas rectangulares.
15
 15 
y+ 
4 
2
2
15
 15 
B) y =
x+ 
4 
2
2
A) x 2 =
2
15
 15 
y+ 
4 
2
2
15
 15 
x+ 
4 
2
2
D) y 2 = −
15
 15 
y+ 
 2
4
2
E) x 2 = −
C) x 2 = −
→ 4 x 2 + y 2 = 4 x + 15
Elevamos al cuadrado.
16 ( x 2 + y 2 ) = 16 x 2 + 120 x + 225
→ 16y2 = 120x + 225
→ y2 =
120 x 225
+
16
16
∴ y2 =
15
 15 
x+ 
4 
2
Respuesta: y 2 =
2
15
 15 
x+ 
4 
2
2
23