manejo del cálculo integral para la solución de problemas

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
MANEJO DEL CÁLCULO INTEGRAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Al finalizar la unidad el resolverá
problemas prácticos usando integrales
Reforma Académica 2003
85
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas IV:
Introducción al
Cálculo Diferencial
e Integral
Módulo
1. Manejo de las
funciones y su
cambio para la
solución de
problemas.
12 h
2. Manejo del
Cálculo
Diferencial, para
la solución de
problemas.
30 h
3. Manejo del
Cálculo Integral,
para la solución
de problemas.
30 h
1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la
solución de problemas prácticos.
1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de
problemas prácticos.
Resultados de
Aprendizaje
2.1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y
para determinar propiedades de las funciones.
2.2 Graficar una función con la información obtenida de la primera
y la segunda derivada.
3.1 Calcular el cambio acumulado
3.2 Usar integrales en la solución de problemas.
86
Reforma Académica 2003
4h
8h
15 h
15 h
15 h
15 h
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
SUMARIO
3.1. Calcular el cambio acumulado
3.1.1. Integral definida
• Cambio acumulado
• La integral definida
• Evaluación de una integral definida a
partir de una tabla o gráfica
3.1.2. La integral definida como área
• La integral definida como el área bajo
la curva
• Área entre dos curvas
• El teorema fundamental del cálculo
3.2. Usar integrales en la solución de
problemas
3.2.1. Antiderivadas
• Derivación e integración como
procesos inversos
• Integrales indefinidas
• Integral de una suma
• Integrales inmediatas
• Uso de las antiderivadas para
encontrar integrales definidas
3.2.2. Cambio de variable
• Integrales reducibles a integrales
inmediatas
• Integrales trigonométricas
• Integrales por partes
• Integrales
por
sustitución
triginométrica
• Integración de fracciones racionales
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
3.1 Calcular el cambio acumulado.
3.2 Usar integrales en la solución de
problemas.
3.1.1. INTEGRAL DEFINIDA
• Cambio acumulado
En las secciones anteriores se analizó la
forma de calcular la rapidez de cambio de
una función, ahora se revisará el proceso
inverso, es decir, si conocemos la rapidez
de cambio cómo determinar cuáles son los
valores de la función, o los cambios en la
misma.
Ejemplo 3.1
Supongamos que se conoce que la rapidez
de cambio de la población de una ciudad
es de 20000 por año, y que en los
siguiente tres el crecimiento es de 22000
habitantes por año, para calcular el cambio
total de la población en esos seis años, se
calcularía el cambio en cada periodo y
después se suma.
Cambio total= Rapidez de cambio por año
* Número de años
Cambio total= 20,000(3) +22,000(3)=
= 126,000 habitantes.
El cambio total en la población ascendió a
126,000 habitantes en los seis años.
Ejemplo 3.2
Consideremos ahora el ejemplo del
capítulo anterior que se refiere a la
partícula que recorre cierta distancia en un
tiempo dado, la velocidad es la rapidez de
Reforma Académica 2003
87
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
cambio de esa función. Supongamos que
su velocidad es 10 metros por segundo,
con esta información se puede calcular la
distancia recorrida en 8 segundos,
despejando la fórmula se obtiene:
Velocidad =
Distancia
Tiempo
m
seg
* 8 seg
=80 m
Si se traza la gráfica de la velocidad
recorrida contra el tiempo se obtiene un
rectángulo cuya área, base por altura,
estará representando a la distancia
recorrida
Gráfica 3.1
m
m
)(4 seg) +(12
)(4 seg)
seg
seg
= 68 m
Para precisar más, ahora consideremos que
se mide la velocidad de la partícula cada
dos segundos, a partir del primer segundo:
Tiempo
Velocidad
Distancia = Velocidad * Tiempo
Distancia= 10
Distancia = (5
1
2
3
6
5
10
7
14
9
18
Para estimar la distancia total recorrida se
podría pensar que durante los primeros
dos segundos la partícula tendría por lo
menos una velocidad de 2 m/seg, en los
siguientes dos segundos sería por lo menos
6 m/seg, y así sucesivamente.
Distancia:
(2)(2) + (6)(2)+(10)(2)+(14)(2)= 64 m
Entonces se estima que en los 8 segundos
la partícula recorre 64 m. El área
sombreada en la figura 3.2 representa la
distancia recorrida
Gráfica 3.2
Imaginemos que la partícula se mueve a
diferentes velocidades, por ejemplo,
durante los primeros 4 segundos se mueve
a 5 m/seg y enseguida se mueve cuatro
segundos más pero ahora a una velocidad
de 12 m/seg, para calcular la distancia
recorrida se tienen que sumar las distancias
en los dos tramos:
88
Sin embargo existe otro enfoque, se puede
considerar que durante los dos primeros
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
segundos la partícula a lo mas tendría una
velocidad de 6 m/seg, en los siguientes dos
segundos la velocidad sería a lo mas de 10
m/seg, de esta manera la estimación de la
distancia es otra cifra.
La estimación de la distancia con el
enfoque ‘al menos’ sería:
(2)(1)+(4)(1)+(6)(1)
+(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)=
72
Distancia:
Gráfica 3.4
(6)(2)+(10)(2)+(14)(2)+ (18)(2)= 96 m
Con este enfoque el área sombreada es
mayor:
Gráfica 3.3
y con el enfoque ‘cuando más’
(4)(1)+(6)(1)
+(8)(1)+(10)(1)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+
(18)(1)=88
Gráfica 3.5
La diferencia entre ambas estimaciones es
de 32 metros. Se puede afirmar que la
distancia recorrida por la partícula está
entre 64 y 96 metros.
64< distancia< 96
Con el fin de ser aún más precisos, se
podría considerar que las mediciones se
realizan cada segundo, de esta manera las
velocidades disponibles son las siguientes:
Tiempo
Velocidad
1
2
2
4
3
6
4
8
5
6
7
8
9
10 12 14 16 18
Con estas nuevas estimaciones la distancia
se encuentra entre 72 y 88 m.
Reforma Académica 2003
89
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Haciendo los intervalos más pequeños, con
∆t =1, n= 9
• La integral definida
En el ejemplo 3.2, se estimó la distancia
total acumulada con base en la velocidad,
se observó que a medida que se
disminuyen los periodos de tiempo de
medición y se aumentan el número de
datos entonces mejora la precisión.
Ejemplo 3.3
Supongamos que se conoce la función de
rapidez con la que aumenta una población
de insectos, f(t) = .5t2 +t +4, durante 12
horas, y deseamos calcular el crecimiento
total de la población, se usarán
subintervalos de tiempo de 3, 2 y 1 hora,
utilizaremos ∆t para identificar la longitud
del subintervalo, y n para indicar el número
de ellos.
El incremento en la población de insectos
está dado por:
f(t) = .5t2 +t +4 número de insectos por
hora
en donde t está en horas, y se calculará el
cambio total con base en subintervalos ∆t
y se utilizará el enfoque de cambio ‘al
menos’.
Tabla 3.1
T (horas)
1
f(t) insectos
por hora
2
2
3
4
5
6
7
8
9
4
6
8
10
12
14
16
18
Si ∆t =3, n=3
Cambio total = (2)(3) + (8)(3) +(14)(3)
=72
90
Cambio total = (2)(1) +(4) (2) +(6) (1)
+(8)(10)+(12)(1)+(14)(1)+(16)(1)+(18)(1)
=90
La estimación del cambio total se puede
hacer más precisa si la longitud de los
intervalos se hace cada vez más pequeña, y
n crece; la estimación será exacta si se
calcula la suma de los rectángulos cuando
n→∞
Considere que f(t) es una función continua
en el intervalo (a,b), y se definen n
subintervalos iguales, cada uno de
longitud ∆t, de tal forma que:
∆t =
b−a
n
Sean to, t1, t2, t3, .... tn, los puntos que
definen los subintervalos, y definimos la
suma de los rectángulos considerando los
dos enfoques, ‘al menos’ y ‘cuando más’,
en el primer caso, suma por la izquierda,
la altura del rectángulo se define por el
valor izquierdo del intervalo; y para el otro
caso, la suma por la derecha se utilizan los
valores de la derecha de cada intervalo
para calcular la altura del rectángulo
Suma por la izquierda= f(to)∆t + f(t1) ∆t
+f(t2) ∆t +......f(tn-1) ∆t
Suma por la derecha = f(t1)∆t + f(t1) ∆t
+f(t2) ∆t +......f(tn) ∆t
Podemos abreviar las sumas utilizando el
símbolo de ∑ que es la letra griega S, y que
representa la suma:
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
n
Suma por la derecha = ∑ f (t i )Δt = f(t1)∆t
i =1
+ f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(tn) ∆t
n −1
Suma por la izquierda= ∑ f(t i )Δt = f(to)∆t
i =1
+ f(t1) ∆t +f(t2) ∆t +......f(n-1) ∆t
Cuando la función es continua y el límite
de estas sumas cuando n → ∞ coincide
para ambas sumas, entonces se dice que
existe el límite y se le conoce como
integral definida.
La integral definida de f en el intervalo
[a,b] se denota como:
[a,b] intervalo de integración
f es el integrando
• Evaluación de una integral definida
a partir de una tabla o gráfica
Para evaluar la integral a partir de una
tabla se calculan las sumas por la izquierda
y por la derecha, veamos un ejemplo:
En la tabla 3.2 se presentan valores de una
función de ingreso marginal de un
fabricante. Se desea calcular el ingreso
total del fabricante cuando la producción
aumenta de 10 a 20.
Tabla 3.2
b
∫a f (t )dt
es el límite de las sumas por la izquierda o
derecha con n subintervalos de [a,b] a
medida que n se hace arbitrariamente
grande.
b
∫a f (t )dt = lim (suma por la izquierda) =
n →∞
n −1
lim ∑ f (t i )Δt
n →∞
i =1
b
(suma por la derecha)= nlim
∫ f (t )dt = nlim
→∞
→∞
a
n
∑ f (t i ) Δt =
i =1
q
Ingreso
10
12
14 16
18
20
235 220 202 182 160 135
Para calcular
20
∫ f (q )dq
se utilizarán los
10
valores de la función en la tabla para
determinar la suma por la izquierda y por
la derecha:
Suma
por
la
izquierda
=f(10)*2
+f(12)*2+f(14)*2 +f(16)*2 +f(18)*2
=235*2
+220*2
+202*2 +182*2 +160*2
=1998
y la suma por la derecha sería:
Cada una de estas sumas se le llama suma
de Riemann,
Los elementos que aparecen en la notación
de la integral son:
a es el límite inferior de la integral
b es el límite superior de la integral
x es la variable de la integral
Suma por la izquierda = f(12)*2+f(14)*2
+f(16)*2 +f(18)*2 +f(20)*2
=220*2
+202*2
+182*2 +160*2 + 135*2
=1798
Reforma Académica 2003
91
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
entonces:
Longitud
de la base
1998< ∫ f (q )dq <1798
6/4
7/4
0.125
0.125
Para efectos prácticos la integral de la
función de ingreso marginal la obtenemos
promediando ambas sumas:
Para facilitar la estimación de la integral
podemos utilizar en la computadora una
hoja de cálculo, al capturar los datos
observamos que las fracciones se
transforman en decimales, de una forma
muy ágil calculamos las suma por la
izquierda y la suma por la derecha.
10
20
∫ f (q )dq
=(1998 +1798)/2 = 1898
10
7/4
8/4
Es importante destacar que la unidad de
medida para
20
∫ f (q )dq
está dada por las
10
unidades de medida para f(q) y q, en este
ejemplo el resultado de la integral son
$1898 pesos, porque el ingreso marginal
está dado en $ por unidad vendida y dq
son unidades vendidas. Los $1,898
representan el cambio total en el ingreso
por el incremento en las ventas de 10 a 20
productos.
Veamos otro ejemplo, para calcular el área
bajo la curva y=x2 y la línea x=2, podemos
utilizar 8 rectángulos, dividimos el
intervalo, [0,2], en ocho subintervalos de
longitud 1/4, esto es [0,1/4] [1/4,2/4]
[2/4,3/4] [4/4,5/4] [6/4,7/4] [7/4,8/4]; en
cada intervalo calculamos la altura del
rectángulo con y= x2 , la aproximación de
la integral será la suma de las áreas de los
ocho subintervalos.
Intervalo
Longitud
de la base
0
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
92
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
6/4
Altura
y=x2
Área
Base*altura
Reforma Académica 2003
Altura
y=x2
Área
Base*altura
Intervalo
20
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
2
2.1875< ∫ x 2 dx <3.1875
0
Al sumar obtenemos valores que son sólo
es una aproximación de la integral, y es
razonable pensar que entre mayor sea el
número intervalos más precisa será la
estimación del área.
Si en lugar de disponer de una tabla se
tiene una gráfica entonces el cálculo de la
integral se obtiene definiendo el tamaño
de los intervalos, trazando los rectángulos,
y sumando las áreas de los mismos.
También se calculan las sumas por la
izquierda (conocidas también sumas por
Reforma Académica 2003
93
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
defecto) y por la derecha (sumas por
exceso), para ello, en el primer caso el
rectángulo se traza considerando la altura
como la ordenada del primer valor del
intervalo, en cambio, en el segundo caso,
la altura se define con la ordenada del
segundo valor del intervalo..
En la gráfica 3.6 se puede apreciar que los
rectángulos se trazan considerando la
ordenada del primer valor del subintervalo,
en cambio en la gráfica 3.7 se observa que
los rectángulos se trazan con la segunda
ordenada. En la primera los rectángulos
quedan por debajo de la función, y en la
segunda están por encima de la función,
en el primer caso las áreas de los
rectángulos ri subestiman el verdadero
valor del área bajo la curva, y en el
segundo los rectángulos Ri sobreestiman
el valor del área.
Está claro que entre más pequeños sean
los subintervalos y por lo tanto sean más
rectángulos, se obtiene mayor precisión en
la estimación de la integral.
Gráfica 3.6
Gráfica 3.7
3.1.2. LA INTEGRAL DEFINIDA
COMO ÁREA
• La integral definida como el área
bajo la curva
Con los ejemplos de las secciones
anteriores, se puede apreciar que a medida
que el ancho ∆t de los rectángulos se
aproxima a cero, los rectángulos se
aproximan más a la gráfica de la curva, por
lo que la suma de sus áreas se acerca más
al área bajo la curva.
Si f(x) es positiva y a<b:
Área bajo la gráfica de f entre a y b
b
∫ f ( x )dx
a
Las gráficas 3.6 y 3.7 en donde se
calcularon las áreas ri y Ri son
aproximaciones de las áreas Ai que en
conjunto son:
b
Área = ∫ f ( x )dx
a
94
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
En otro ejemplo, la gráfica 3.8. , muestra la
gráfica de una función, para calcular la
integral entre 0 y 5, hay que medir el área
bajo la curva en ese intervalo ver gráficas
3.9.
En muchas ocasiones, las gráficas abarcan
áreas por debajo del eje de las abscisas, en
donde la función toma valores negativos,
en esos casos, f(x)∆x es negativo, y el área
se contabiliza en forma negativa.
Gráfica 3.8
Veamos un ejemplo, para calcular
2.22
∫ f ( x )dx , gráfica 3.10.,
− 2.22
se obtiene el área la curva y el eje de las x
entre -2.22 y 2.22, el área sombreada es
86.7, por lo tanto
2.22
∫ f ( x )dx =-86.7
− 2.22
3
El área se cubre con 16
cuadros de
4
dimensiones
5*1,
entonces
5
∫ f ( x )dx =16.75*5=83.8
Gráfica 3.10
unidades
0
cuadradas
Gráfica 3.9
Reforma Académica 2003
95
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
En general si una curva presenta áreas
positivas y negativas el cálculo del área
sería de la siguiente manera:
procedimiento analizado en la sección
anterior.
Gráfica 3.11
• Área entre dos curvas
En esta sección, se verá como calcular el
área de una región delimitada por varias
curvas. En forma similar a lo antes visto, el
procedimiento
consiste
en
trazar
rectángulos y utilizar la integral definida, la
altura del rectángulo será f(x)–g(x) y el área
f(x)–g(x)*∆x.
de esta manera podemos calcular la
integral
4.47
2
∫ ((− x + 2 x + 20) − (2 x ))dx
= 60.5
0
Gráfica 3.12
Si f y g son funciones continuas en [a,b] y
g(x) ≤ f(x) entonces el área entre las
gráficas f(x) y g(x) entre a y b es:
35
b
30
a
25
∫ (f ( x ) − g ( x ))dx
Consideremos que f(x)= - x2+ 2x +20 y
g(x)= 2x, para obtener el área entre ambas
funciones, gráfica 3.11, se sigue el
procedimiento de definir rectángulos entre
0 y 4.47, que es el valor de la abscisa en
donde se intersectan ambas funciones,
utilizando una hoja de cálculo en la
computadora se calcula la integral, con el
96
y
y=-x^2+2x+20
20
y=2x
15
Area= 60.55
10
5
0
1
2
Reforma Académica 2003
3
4
5
6
7
x
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
• El teorema fundamental del cálculo
En las secciones anteriores se vio como la
integral definida es el cambio total en una
función calculado con base en la rapidez
de cambio de la función. También se
estableció que dada una función F(t) su
rapidez de cambio es la derivada, F’(t).
Recordemos que para estimar el cambio
total, en un intervalo [a,b], se definen n
subintervalos iguales en to, t1,t2,...tn-1, tn ,
además se definió ∆t como la longitud de
los subintervalos y se calcula como
→∞, de esta manera la suma se convierte
en integral:
Cambio total en F entre a y b:=
lim
n →∞
n
∑ F ' (t i )Δt =
i =1
b
∫ F ' (t )dt
a
Como el cambio total está dado también
por F(b) – F(a) se relaciona con el resultado
anterior y se obtiene:
Teorema fundamental del Cálculo
Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces
b−a
∆t=
.
n
b
∫ F ' (t )dt = F(b) - F(a)
a
Ahora bien, si en el primer subintervalo, se
aproxima la rapidez de cambio con F’(t1)
entonces:
Cambio en F =Rapidez * Tiempo ≈ F’(t1) ∆t
si consideramos en cada subintervalo i la
rapidez de cambio se aproxima con F’(ti),
entonces:
Cambio en F = Rapidez * Tiempo ≈ F’(ti)
∆t
y por lo tanto el cambio total estará dado
por:
Cambio total en F entre a y b:=
F’(t1) ∆t +F’(t2) ∆t+....+ F’(tn)
∆t=
n
∑ F ' (t )Δt
Veamos un ejemplo, se conoce que un
cuerpo se mueve en una recta con
aceleración v’(t)= 6t, también se conoce
que la velocidad del cuerpo es v(t)= 3t2
m/seg entre t=0 y t=10 minutos, se
estimará el cambio la
velocidad total
aplicando el Teorema fundamental del
Cálculo:
Recordemos que la aceleración es la
rapidez de cambio de la velocidad, esto es
el cambio experimentado por la velocidad
por segundo, entonces sus unidades son
m
m / seg
=
seg
seg 2
10
∫ v ' (t )dt = v(10) – v(0)
0
10
i =1
y además dt=seg
2
2
∫ 6(t )dt = 3(10 ) - 3(0)
Para mejorar el resultado, se generan más
intervalos, tomando el límite cuando n
=300 m/seg
0
El cambio total en la velocidad en ese
periodo es de 300 m/seg
Reforma Académica 2003
97
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
RESULTADO DE APRENDIZAJE
Generalizando:
d
d
d
(F ( x ) + C )) =
F (x ) +
(C )
dx
dx
dx
d
=
F (x )
dx
3.2. Usar integrales en la solución de
problemas
= f(x)
3.2.1. ANTIDERIVADAS
• Derivación e integración
procesos inversos
como
La integración tiene, también, otro
enfoque, como procedimiento inverso al
de la derivación, esto es, si una función es
derivada y el resultado se integra entonces
se obtiene la función original, para llegar al
resultado idéntico se tiene que especificar
la constante de integración que se
explicará mas adelante.
Si la derivada de una función F(x) es f(x),
esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que
F(x) es antiderivada de f(x)
La antiderivada de f(x) es una función cuya
derivada es f(x).
Así, por la constante, no queda
determinada completamente una función
cuya derivada se conoce.
• Integrales indefinidas
La antiderivada de una función f(x) difiere
de cualquier otra en una constante, todas
las antiderivadas de f(x) son de la forma
F(x) + C, la forma más general de
denotarlas es con: ∫ f ( x )dx y se le
denomina integral indefinida de f(x).
∫ f ( x )dx = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x)
Al símbolo ∫
se le denomina símbolo de
integral, f(x) es el integrando, y C es la
constante de integración.
Por ejemplo la derivada de x3 es 3x2 por
ello se dice que x3 es la antiderivada de 3x2
La integral indefinida de cualquier función
f con respecto a x se escribe ∫ f ( x )dx , y
Observemos que 3x2 también es la derivada
de x3+4, y también es la derivada de x3+C,
para cualquier valor de C constante
denota una antiderivada arbitraria de f.
b
∫ f ( x )dx
En efecto
y
a
d
( x 3 + C ) = 3x2
dx
por tal razón se dice que x3+C es la familia
de antiderivadas de 3x2
98
Es importante resaltar la diferencia entre
∫ f ( x )dx , la primera expresión es
un número, en cambio la segunda denota
una familia de funciones. Se usa de manera
indistinta la palabra integración ya sea
para encontrar la antiderivada como para
calcular integrales definidas.
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
• Integral de una suma
f)
Entre las propiedades de la antiderivada se
encuentran las siguientes:
g)
∫e
kx
dx =
x
∫ a dx =
1 kx
e +c
k
ax
+ c; a = cte
ln a
Una antiderivada de la suma de dos
funciones es la suma de sus antiderivadas.
Ocurre lo mismo con la diferencia.
h) ∫ xe x dx = e x ( x − 1) + c
∫ [f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx
i) ∫ ln xdx =x(lnx-1) + c
Una antiderivada de una constante por una
función es la constante por una
antiderivada de la función:
j) ∫ ln( xy )dx = x ln( xy ) − x + c
∫ c (f ( x ))dx = c ∫ f ( x )dx
Ejemplos:
∫
En la siguiente sección veremos algunos
ejemplos.
3
4dx =
3
4 x +C
3
3
∫ − 5 dx = - 5 x + C
∫ 5dt = 5t +C
• Integrales inmediatas
Las reglas para la integración que se
obtienen directamente al invertir las reglas
correspondientes a la diferenciación son las
siguientes:
b) ∫ Kdx = K ∫ dx = Kx + C
cualquier constante
c)
∫x
n
dx =
x
n +1
1
d) ∫ dx = ln | x | + c
x
e)
∫e
x
2
∫ x dx =
x2
+ C)= x2 +C
2
x3
+C
3
x −3
+C
−3
1 8x
8x
∫ e dx = 8 e + C
1
-0.03t
−0.03t
+C
∫ e dt = − .0.03 e
−4
∫ x dx =
a) ∫ dx = x + C
n +1
∫ 2 xdx = 2 ∫ xdx =2(
n≠ -1
en donde K es
∫ (2 x + cos x )dx = ∫ 2 xdx
+
∫ cos xdx =
x2 +
sen x
1
1
∫ 5 • x dx = 5 • ∫ x dx = 5·Lnx
+C
dx = e x + c
Reforma Académica 2003
99
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
• Uso de las antiderivadas para
encontrar integrales definidas
Con base en el Teorema Fundamental del
Cálculo y utilizando las reglas de las
antiderivadas se pueden calcular, de una
manera más eficiente, las integrales
definidas, en efecto, el Teorema nos dice si
F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces
b
∫ F ' (t )dt = F(b) - F(a)
a
La función de costo marginal de un
fabricante es
d
C = 0.6q +2,
dq
si conocemos que la producción actual es
igual a q=80 unidades por semana, para
calcular
qué
tanto
más
costaría
incrementar la producción a100 unidades
por semana, se utiliza la integral definida.
Como se conoce el costo marginal, al
integrar se determina el costo:
Nos permite calcular de una manera exacta
las áreas bajo la curva, así como el cambio
total acumulado de la funciones.
C(100) – c(80) =
100
Observemos que al tomar la diferencia
F(b) - F(a) se cancela la constante de
integración.
Ejemplos:
Consideremos la función de la velocidad de
una partícula en movimiento rectilíneo,
que se analizó en alguna sección anterior:
Como ∫ 2 xdx = x2 +C
entonces
9
∫ 2tdt
∫
80
100
⎤
⎡ 0.6q 2
dc
+ 2q ⎥
= ⎢
=
dq
⎦ 80
⎣ 2
(0.3(1002 + 2(100)) – (0.3(802 + 2(80))=
3200 – 2080.
Ejemplo
Si co es el consumo anual de un mineral en
el tiempo t=0, entonces con un consumo
continuo la cantidad total de mineral que
se utiliza en el intervalo [0,t1] es:
∫ c0e
kt
dt .
0
= F(9) – F(1) =[(9)2 +C] - [(1)2 +C] =
1
(9) 2 - (1)2 = 83
Recordemos que en nuestra mejor
aproximación habíamos estimado, con n
=8, que 77<velocidad <88
Ejemplo
Determinemos la integral para una mineral
se ha determinado que
co = 3000
unidades y k=0.05:
t1
∫ 3000e
0
.05t
3000 .05t
dt =
e
.05
t1
=
0
(60000 e kt1 - 60000e0)=
60000( e kt1 -1)
Veamos otros ejemplos:
100
t1
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
9
9
t2
tdt
=2(
∫
2
1
5
∫ (− x
2
Si bien no está definido el límite superior,
se observa que el área converge a un
número.
)
1
3.2.2. CAMBIO DE VARIABLE
+ 2 x + 20)dx =
0
En los análisis anteriores, se ha supuesto
que la integral definida
b
∫ f ( x )dx
a
tiene límites de integración finitos, y el
integrando f es continuo. Sin embargo, se
presentan casos en los que uno de los
límites (o ambos) es infinito o no existe,
esta clase de integrales se les conoce como
integrales impropias. A pesar de no tener
definido un límite, algunas convergen a un
número, este es el caso de
y=
1
, en el que
x2
Gráfica 3.13
• Integrales reducibles a integrales
inmediatas
En ocasiones, es posible modificar
algebraicamente una función, de tal
manera que se convierte en una expresión
cuya integral es inmediata. Por ejemplo
∫e
x2
xdx , se reduce a
1 u
e du simplemente
2∫
considerando u=x2 , y du= 2xdx.
Ejemplo
Obtener ∫ x 2 x + 1dx
∞
1
∫ x 2 dx =1
1
u=
Se resuelve considerando
entonces x=u-1 dx =du
x+1
x2 = (u-1)2 = u2 -2u +1
y
1
x +1 =
u2
Así:
1
2
∫ x x + 1dx =
2
∫ (u − 2u + 1)u 2 du
=∫
5
u2
−
3
2u 2
7
+
5
1
u 2 du
3
2
4 2
2
u + u2 + c
3
7
5
7
5
2
4
= ( x + 1) 2
( x + 1) 2
7
5
= u2 -
2
3
3
+ ( x + 1) 2 + c
Reforma Académica 2003
101
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
•
Integrales trigonométricas
Las integrales trigonométricas más usuales
son:
∫ senxdx = -cosx + c
∫ cos xdx = senx + c
• Integrales por partes
Existe otro método muy útil de integración,
se le denomina integración por partes, éste
proviene de la fórmula para la derivada del
producto de dos.
Si f y g son funciones diferenciables:
∫ tan xdx = ln | sec x | +c
∫ cot xdx = ln | sin x | +c
∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +c
∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +c
∫ sec xdx = tan x + c
∫ csc xdx = − cot x + c
∫ sec x tan xdx = sec x + c
∫ csc x cot xdx = − csc x + c
dx
1
x
∫ x + a = a arctan a
∫ f ( x) g ' ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f ' ( x)dx
A la ecuación anterior se le llama fórmula
de integración por partes. Se le puede
expresar de otra manera al considerar:
2
u = f ( x) y
v = g ( x)
2
2
∫x
2
Entonces tenemos
du = f ' ( x) y v = g ( x)
con lo que se transforma a:
∫ udv = uv − ∫ vdu
2
dx
1
x−a
=
ln
+c
2
2a x + a
−a
Está formula expresa la integral
términos de otra integral,
1 a+x
dx
∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + c
Es posible resolver otras integrales con
base en las anteriores realizando algunas
sustituciones algebraicas y trigonométricas.
Ejemplo:
∫ sen
3
x dx =
2
=
=
-cosx +
2
1
cos3x + c
3
en
∫ vdu . Por medio
de una elección adecuada de u y dv, puede
ser más fácil evaluar la segunda integral
que la primera. Cuando se eligen
sustituciones para u y dv, por lo general se
desea que dv sea el factor más complicado
del integrando que se pueda integrar
directamente y que u sea una función cuya
derivada sea una función más simple.
Ejemplo:
senx dx
∫ (1 − cos x )senxdx
2
∫ senxdx + ∫ cos x (−senx )dx
=
102
∫ sen
∫ udv
Encontrar ∫ xe x dx
Consideremos u =x y dv = exdx
Entonces du=dx y v= ∫ e x dx =ex + c
Por lo tanto:
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
∫ xe
x
dx = uv - ∫ vdudx
=x(ex +c1)- ∫ (e x + c1 ))dx
= xex +c1x –ex – c1x +c
= xex – ex +c = ex( x-1) +c
Ejemplo:
1 − sin 2 θ = cos 2 θ
Determinar
1 + sin 2 θ = sec 2 θ
∫ x cos xdx
sec 2 θ − 1 = tan 2 θ
Sea u=x y dv=cosxdx.
CASO I. Integrandos que contienen
Entonces du=dx y v=sinx
a2 − x2 ,
Por lo tanto, tenemos
∫
= x sin x + cos x + c
Determinar
∫ tan
−1
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin 2 θ
= a 2 (1 − sin 2 θ )
xdx
Sea u=tan-1x y dv=dx.
dx
Entonces du=
y v=x
1+ x2
= a 2 cos 2 θ
= a cos θ
Cuando
a 2 − x 2 aparece
en
el
denominador de un integrando; existe la
restricción adicional -π/2 ≤ θ ≤ π/2
De esta forma,
−1
xdx = x tan −1 x − ∫
xdx
1+ x2
1
= x tan −1 x − ln(1 + x 2 ) + C
2
• Integrales
por
trigonométrica
CASO II.
a2 + x2 ,
sustitución
Cuando un integrando contiene potencias
enteras de x y potencias enteras de alguna
de las expresiones
a2 − x2 ,
a 2 + x 2 , o bien
a>0
Consideremos:
x=a sinθ , -π/2 ≤ θ ≤ π/2 entonces
x cos x = x sin x − ∫ sin xdx
∫ tan
es posible que se pueda evaluar las
integrales por medio de una sustitución
trigonométrica.
Los
tres
casos
considerados a continuación dependen,
respectivamente de las identidades:
x2 − a2 , a > 0
Integrandos
a>0
que
contienen
Supongamos que x=a tanθ, en donde -π/2
≤ θ ≤ π/2. Entonces
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 θ
= a 2 (1 + tan 2 θ )
= a 2 sec 2 θ
= a sec θ
Reforma Académica 2003
103
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Después de la integración puede eliminarse
la variable θ empleando un triangulo
Caso III.
x2 − a2 ,
Integrandos
a>0
que
rectángulo en donde tan θ=x/a. Veamos la
siguiente figura.
contienen
∫
Si en este último caso se utiliza la
sustitución x = a sec θ, en donde 0 ≤ θ ≤
π/2, o bien π ≤ θ ≤ 3π /2, entonces
∫
= a (sec θ − 1)
2
= a 2 tan 2 θ
∫
x2
9 − x2
dx
La identificación
sustituciones
x=3sen θ
x2
9− x
dx =
2
9 − 9 sin θ
2
(3 cosθdθ ) = 9∫ sin 2 θdθ
9
9
9
(1 − cos 2θ )dθ = θ − sin 2θ + c
∫
2
2
4
sin θ = x / 3, cosθ = 1− sin2 θ = 9 - x2 / 3, y θ = sin-1(x/3)
a=3
conduce
a
las
puesto que 2θ = 2 senθ cos θ , resulta que
∫
dx=3cosθ dθ
x2
9− x
2
dx =
en donde -π/2 ≤ θ ≤ π/2. La integral se
convierte en
104
9 sin 2
Para expresar este resultado otra ves en
término de la variable x, observamos que
= a tan θ
Evaluar
9− x
2
dx = ∫
Recuerda que para evaluar está última
integral trigonométrica se hace uso de
sin 2 θ = (1 − cos 2θ ) / 2
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 θ − a 2
2
x2
Reforma Académica 2003
9 −1 x 1
− x 9 − x2 + c
sin
2
3 2
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
• Integración
racionales
de
fracciones
menor grado
denominador.
que
el
polinomio
del
Veamos el procedimiento:
Una función algebraica se puede expresar
como el cociente de dos polinomios. En
teoría toda función racional tiene una
integral que puede expresarse en términos
de funciones elementales. Si una función
racional
no
se
puede
integrar
directamente, se utiliza el método de
fracciones parciales para transformar la
fracción racional en una suma de funciones
más sencillas que pueden integrarse por
medio de las fórmulas normales.
a) Se expresa el denominador de la
fracción como un producto de factores
lineales de la forma ax + by de factores
cuadráticos irreductibles de la forma
ax2+bx +c.
b) Se determina la forma de las fracciones
parciales, y dependerá de los factores que
se definan en el denominador:
Este método se utiliza únicamente para a
fracciones propias, esto es aquellas en la
que el polinomio del numerador es de
Factor presente en el
denominador
Fracción parcial correspondiente
a) Factor lineal único:
ax +b
A
siendo A una constante que debe
ax + b
determinarse
b)Factor lineal repetido:
(ax-b)n
A1
A2
An
+
+.....+
ax + b
ax + b
ax + b
en donde A1, A2,... An son constantes que
deben determinarse
c)Factor cuadrático único
ax2 +bx +c
Ax + B
ax + bx + c
2
en donde A y B son constantes que deben
determinarse
d) Factor cuadrático repetido:
(ax2 +bx +c )n
A1 x + B1
ax 2 + bx + c
A2 x + B 2
+
2
ax + bx + c
+...+
Reforma Académica 2003
An x + B n
ax 2 + bx + c
105
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Y
c) Determinar las constantes que se
presentan en los numeradores de las
fracciones
parciales.
Cuando
se
descompone una fracción racional en
fracciones parciales, la ecuación resultante
es una identidad, o sea, que es verdadera
para todos los valores significativos de las
variables. El método para evaluar las
constantes que se presentan en las
fracciones parciales está basado en un
teorema de álgebra que establece que si
dos polinomios de un mismo grado son
idénticos, deben ser iguales los coeficientes
que corresponden a potencias iguales de la
variable, en ambos polinomios
Ejemplo
Determinar
( x + 3)dx
∫ x 2 + 3x + 2
( x + 3)dx
( x + 3)dx
2dx
dx
∫ ( x + 1)( x + 2) = ∫ x + 1 - ∫ x + 2
=2 ln(x+1) –ln(x+2) +c
=ln
Competencia analítica.
Calcular integrales
integración.
1
∫ 2 dx
3) ∫ (r 5 − 5r )dr
B ⎤
⎡ A
+
⎥dx
⎣ x +1 x − 2⎦
⎡ A( x + 2) + B ( x + 1)dx ⎤
= ∫⎢
⎥dx
( x + 1)( x + 2)
⎦
⎣
=∫⎢
Por lo tanto:
4)
2
∫ e − x dx
∫ dw
6) ∫ ( x + 3) 8 dx
7) ∫ 3x 2 ( x 3 + 7) 3 dx
2
8) ∫ 2 xe x dx
5)
2
X+3 = A(x+2) +B(x+1)
=(A+B)x + (2A +B)
9) ∫ − 4t − 4 dt
Igualando los coeficientes de potencias
iguales:
10) ∫ ( x + 1)e x
1
3
1
A+B = 1
2A+B = 3
A=2
B= -1
106
usando
fórmulas
Determina las integrales que se indican:
2) ∫ x 8dx
( x + 3)dx
+c
Realización del ejercicio
1)
∫ x 2 + 3x + 2 = ∫ ( x + 1)( x + 2)
( x − 1) 2
x+2
Reforma Académica 2003
2
+2 x
dx
de
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje
3
Práctica número
7
Nombre de la
práctica
Modelación matemática de problemas
de poblaciones.
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el alumno modelará problemas de
poblaciones usando integrales.
Escenario
Aula
Duración
2h
Materiales
Maquinaria y equipo
Herramienta
.
• Bitácora
• Papel
• Lápiz
Reforma Académica 2003
107
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
108
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las
instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al
número de equipos formados en el grupo.
a. Se predice que la población mundial t años después del 2000 será de P =
6.1e0.0125t miles de millones. , ¿Qué población se predice que habrá en el 2010?,
¿Cuál es la población promedio quCe se predice que habrá entre el 2000 y el 2010?
b. Un pueblo tiene una población de 1000. Llene la siguiente tabla suponiendo que la
población crece a: 50 personas por año y al 5% por año
Año
0
Población 1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c. El tamaño de una población de bacterias es de 4000. Encuentre una fórmula para el
tamaño, P, de la población t horas después si la población está disminuyendo a:
100 bacterias por hora y al 5% por hora. ¿En qué caso la población de bacterias
llega primero al 0?
d. Con frecuencia, las tasas de nacimiento y mortalidad se registran como nacimientos
o muertes por miles de habitantes de la población. ¿Cuál es la razón de crecimiento
relativa de una población con una tasa de nacimientos de 30 nacimientos por 1000
y una tasa de mortalidad de 20 muertes por 1000?
e. Una población tiene 100 habitantes en un tiempo t = 0, con t en años. Si la
población tiene una razón de crecimiento absoluta constante de 10 personas por
año, encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Si la
población tiene una razón de crecimiento relativa constante del 10% por año,
encuentre una fórmula para el tamaño de la población en el tiempo t. Grafique
ambas funciones en los mismos ejes.
2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando
las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.
3. Presentar conclusiones por equipo.
4. Establecer conclusiones grupales
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado
Reforma Académica 2003
109
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Procedimiento
para su posterior envió a reciclaje.
110
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 7:
Modelación matemática de problemas de poblaciones
Portafolios de evidencias
Fecha: ______________
Nombre del alumno: ______________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del
alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por
el alumno durante su desempeño.
Desarrolló
Sí
No
No
aplica
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la
práctica
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo
1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del
PSA
• Resolvió el ejercicio a
• Resolvió el ejercicio b
• Resolvió el ejercicio c
• Resolvió el ejercicio d
• Resolvió el ejercicio e
2. Elaboró en cartulinas los ejercicios
3. Cada equipo nombró un relator
• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios
• Resolvieron dudas y preguntas
4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales
5. Elaboró conclusiones
6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe
incluir las conclusiones de la misma
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las
mismas
Observaciones:
Reforma Académica 2003
111
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
112
Reforma Académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje
3
Práctica número
8
Nombre de la
práctica
Determinación de áreas usando
integrales
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el alumno determinará áreas usando
integrales.
Escenario
Aula
Duración
3h
Materiales
Maquinaria y equipo
Herramienta
• Bitácora
• Lápiz
• Papel
• Juego de geometría
Reforma Académica 2003
113
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de poblaciones de acuerdo a las
instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al
número de equipos formados en el grupo.
a. Use el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la gráfica de f(x)
= 1/(x+1) entre x = 0 y x= 2.
b. Use el Teorema Fundamental para calcular el valor de b si el área bajo la gráfica de
f(x) = 4x entre x = 1 y x = b es igual a 240. Suponga que b > 1.
∞
c. i) Grafique el área representada por la integral impropia
b
∫ xe
−x
∫ xe
0
−x
dx
ii) Calcule
dx
para b = 5, 10, 20. La integral impropia (i) converge. iii) Utilice sus
respuestas del inciso (ii) para evaluar su valor.
0
2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando
las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.
3. Presentar conclusiones por equipo.
4. Establecer conclusiones grupales
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado
para su posterior envió a reciclaje.
114
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 8:
Determinación de áreas usando integrales
Portafolios de evidencias
Fecha: ______________
Nombre del alumno: ______________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del
alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por
el alumno durante su desempeño.
Desarrolló
Sí
No
No
aplica
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la
práctica
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo
1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del
PSA
• Resolvió el ejercicio a
• Resolvió el ejercicio b
• Resolvió el ejercicio c
2. Elaboró en cartulinas los ejercicios
3. Cada equipo nombró un relator
• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios
• Resolvieron dudas y preguntas
4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales
5. Elaboró conclusiones
6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe
incluir las conclusiones de la misma
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las
mismas
Observaciones:
Reforma Académica 2003
115
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
116
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje
3
Práctica número
9
Nombre de la
práctica
Resolución de integrales por partes.
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales usando la
fórmula de la integración por partes.
Escenario
Aula
Duración
3h
Materiales
Maquinaria y equipo
Herramienta
• Bitácora
• Lápiz
• Papel
Reforma Académica 2003
117
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
En ésta práctica se van a realizar integrales por partes:
1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes de
acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de
acuerdo al número de equipos formados en el grupo.
a.∫ x cos xdx
b.∫ xe ax dx
c.∫ ln xdx
d .∫ eθ cos θ dθ
e.∫ x 2 e − x dx
2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA, utilizando
las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.
3. Presentar conclusiones por equipo.
4. Establecer conclusiones grupales
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado
para su posterior envió a reciclaje.
Nota: Esta práctica se realizará las veces necesarias, hasta que el alumno alcance la
competencia.
118
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 9:
Resolución de integrales por partes.
Portafolios de evidencias
Fecha: ______________
Nombre del alumno: ______________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del
alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por
el alumno durante su desempeño.
Desarrolló
Sí
No
No
aplica
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la
práctica
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo
1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del
PSA
• Resolvió el ejercicio a
• Resolvió el ejercicio b
• Resolvió el ejercicio c
• Resolvió el ejercicio d
• Resolvió el ejercicio e
2. Elaboró en cartulinas los ejercicios
3. Cada equipo nombró un relator
• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios
• Resolvieron dudas y preguntas
4. Participo en el establecimiento de conclusiones grupales
5. Elaboró conclusiones
6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe
incluir las conclusiones de la misma
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las
mismas
Observaciones:
Reforma Académica 2003
119
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
120
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje
3
Práctica número
10
Nombre de la
práctica
Resolución de integrales de fracciones
parciales.
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el alumno realizará integrales de fracciones
parciales.
Escenario
Aula
Duración
3h
Materiales
Maquinaria y equipo
Herramienta
• Bitácora
• Lápiz
• Papel
Reforma Académica 2003
121
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
En ésta práctica se van a realizar integrales por partes:
1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de integrales por partes, de
acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de
acuerdo al número de equipos formados en el grupo.
a.∫
2x + 3
dx
x + x2 − 2 x
b.∫
x3 + 1
dx
x( x − 1)3
c.∫
4dx
x + 4x
3
3
2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando
las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.
3. Presentar conclusiones por equipo.
4. Establecer conclusiones grupales
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado
para su posterior envió a reciclaje.
122
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 10:
Resolución de integrales de fracciones parciales.
Portafolios de evidencias
Fecha: ______________
Nombre del alumno: ______________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del
alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por
el alumno durante su desempeño.
Desarrolló
Sí
No
No
aplica
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la
práctica
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo
1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las instrucciones del
PSA
• Resolvió el ejercicio a
• Resolvió el ejercicio b
• Resolvió el ejercicio c
2. Elaboró en cartulinas los ejercicios
3. Cada equipo nombró un relator
• El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios
• Resolvieron dudas y preguntas
4. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales
5. Elaboró conclusiones
6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe
incluir las conclusiones de la misma
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las
mismas
Observaciones:
Reforma Académica 2003
123
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
124
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje
1,2,3
Práctica número
11
Nombre de la
práctica
Determinación del excedente del
consumidor
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el alumno determinará el excedente del
consumidor utilizando integrales.
Escenario
Aula
Duración
3h
Materiales
Maquinaria y equipo
Herramienta
• Bitácora
• Lápiz
• Papel
• Juego de geometría
Reforma Académica 2003
125
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
1. Lee con cuidado lo siguiente:
Excedente del Consumidor
Una de aplicación de las integrales en Economía, es la determinación del Excedente del
Consumidor. En la gráfica 1, se presentan las curvas de oferta y demanda de un producto,
en la primera se observa el precio p por unidad al cual el fabricante vende (ofrece) q
unidades. En la segunda, demanda, se aprecia el precio p por unidad al cual los
consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto (po, qo)en donde se intersectan
las curvas se le denomina punto de equilibrio, sus elementos se interpretan de la siguiente
manera: po es el precio por unidad al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad qo
que los fabricantes desean vender a ese precio. Si el mercado se encuentra en equilibrio y el
precio del producto es po, de acuerdo con la curva de demanda, existen consumidores que
estarían dispuestos a pagar más que po , por ejemplo al precio p1 los consumidores
comprarían q1 unidades, estos consumidores se benefician del menor precio de equilibrio.
El rectángulo sombreado en la figura 1, representa el área p∆q que es la cantidad total de
dinero que los consumidores gastarían comprando ∆q unidades si el precio fuera p, como
el precio es po los consumidores sólo gastan po ∆q y se benefician con la cantidad
p∆q - po∆q, que se puede escribir como (p- po)∆q, ver figura 2.
Figura 1
126
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Procedimiento
Figura 2
p0
∆q
Considerando las áreas de todas los rectángulos de q= 0 a q= qo, el área se obtiene
mediante la integral:
q0
∫ ( p − p )dq
o
0
La integral representa la ganancia total para los consumidores que están dispuestos a
pagar un precio superior al de equilibrio y se le denomina excedente de los consumidores
ver figura 3.
Figura 3
EC
p0
qo
Reforma Académica 2003
127
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Procedimiento
2. Analizar en grupo la lectura anterior.
3. Resolver en grupo el siguiente problema:
Las siguientes ecuaciones representan la demanda y la oferta de un producto:
P=900 – q2
P=100 + q2
encuentrar el precio y cantidad de equilibrio, graficar y determinar el excedente del
consumidor.
4. En grupo elaborarán conclusiones.
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado
para su posterior envió a reciclaje.
128
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Procedimiento
Reforma Académica 2003
129
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 11:
Determinación del excedente del consumidor
Portafolios de evidencias
Fecha: ______________
Nombre del alumno: ______________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del
alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por
el alumno durante su desempeño.
Desarrolló
Sí
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la
práctica
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo
1. Leyó con atención la teoría
2. Analizó en grupo el concepto de excedente del consumidor
3. Resolvió en grupo el problema
4. Participó en la elaboración de conclusiones del problema
5. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe
incluir las conclusiones de la misma
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las
mismas
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
130
Reforma Académica 2003
No
No
aplica
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESUMEN
Conociendo la rapidez de cambio de
una función se puede determinar los
valores de la función y los cambios
totales en la misma, esto es se puede
seguir el proceso inverso a lo visto en la
sección anterior.
x es la variable de la integral
[a,b] intervalo de integración
f es el integrando
Así , si f(x) es positiva y a<b: Área bajo
la gráfica de f entre a y b
b
La integral definida de f en el intervalo
[a,b] se denota como:
∫ f ( x )dx
a
El Teorema fundamental del Cálculo
señala
b
∫ f (t )dt
a
es el límite de las sumas por la izquierda
o derecha con n subintervalos de [a,b] a
medida que n se hace arbitrariamente
grande.
n −1
b
∫
f (t )dt = lim ∑
n∞
a
b
∫
a
f (t )dt =
f (ti )Δt
b
∫ F ' (t )dt
a
= F(b) - F(a)
La integración tiene, también, otro
enfoque, como procedimiento inverso
al de la derivación, esto es, si una
función es derivada y el resultado se
integra entonces se obtiene la función
original
i =1
n
lim ∑
n→∞
i =1
Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b
entonces
f (ti )Δt =
Cada una de estas sumas se le llama
suma de Riemann,
Si la derivada de una función F(x) es f(x),
esto es F’(x) = f(x), entonces se dice que
F(x) es antiderivada de f(x)
Los elementos que aparecen en la
notación de la integral son:
a es el límite inferior de la integral
b es el límite superior de la integral
La antiderivada de f(x) es una función
cuya derivada es f(x).
∫ f ( x )dx = F(x) + C si y sólo si F(x) = f(x)
Reforma Académica 2003
131
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
1. ¿Cuál es el concepto de Límite?
2. ¿Qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se
aproxima) a un valor determinado?
3. ¿Qué es el incremento de una variable?
4. ¿Cómo se representa el incremento de una variable?
5. ¿Cómo se le llama a una función que tiene derivada?
6. ¿Cómo se denomina al proceso de encontrar la derivada de una función?
7. ¿Cuáles son las dos aplicaciones principales de la derivada?
8. Hallar la derivada de la función dada en el siguiente ejercicio: f (x) = 7
9. Aplique la definición (°) para hallar la derivada de la función en a: ƒ(X)=2-X3; a=-2
10. ¿Cuáles son los criterios de continuidad en un número? (Expresar el concepto en
lenguaje algebraico)
11. ¿Cuáles son los tipos de discontinuidad de una función?
12. Resuelva el siguiente ejercicio: Trace la gráfica de la función; luego, observando dónde
hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la
función es discontinua. Muestre cuál criterio no se cumple de la definición de continuidad
de una función en un punto.
13. ¿Cuál es la función de los teoremas?
14. Teorema de derivadas: “la derivada de una función multiplicada por una constante es
igual al producto de la constante por la derivada de la función” Sea K una constante
cualquiera y f y g dos funciones, tales que
f (x) = k g(x), entonces, si g'(x) está definida, f '(x) = k g'(x),
¿Cómo quedaría la conclusión del teorema en lenguaje algebraico?
132
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
15. ¿Cuál es la definición de diferencial?
16. Un barco sale de un puerto al mediodía y viaje hacia el oeste a 20 nudos. Al mediodía
del día siguiente, un segundo barco sale del mismo puerto con dirección noroeste a la
velocidad de 15 nudos. ¿Con qué rapidez se alejan entre sí los dos barcos cuando el
segundo de ellos ha recorrido 90 millas náuticas?
17. ¿A qué se le llama rapidez de variación de la función?
18. Halle la derivada de la función correspondiente mediante la aplicación de los teoremas
de los siguientes ejercicios:
19. Resuelva los siguientes ejercicios: elabore una tabla de valores de x, y, y m en el
intervalo [a, b]; incluya todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal.
Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos
localizados.
20. ¿Qué es la operación sumatoria?
21. ¿Qué signo se utiliza para la notación de sumatoria?
22. Evalúe la integral definida del siguiente ejercicio:
Reforma Académica 2003
133
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
23. Calcule la derivada del siguiente ejercicio:
24. Menciona los dos teoremas fundamentales del cálculo
134
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
Reforma Académica 2003
135
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
1. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
(diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que
tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o
al infinito.
2. La función se acerca a un valor constante, cuando la variable independiente se aproxima
también a un valor constante.
3. Es la diferencia entre el valor final y el valor inicial.
4. Se representa por la letra correspondiente de la variable, precedida de la letra griega
delta; y se lee "delta de x", "delta de y"
5. Diferenciable
6. Diferenciación
7. La primera para obtener la pendiente de la recta tangente a la curva de una función en
un punto determinado y la segunda para calcular la velocidad instantánea de un móvil en
un instante dado.
8.
9.
136
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
Con este valor y, aplicando la fórmula, se obtiene:
10. Una función f es continua en un número a de su dominio si se cumplen las tres
condiciones siguientes:
11. La discontinuidad de una función en un punto puede ser una discontinuidad esencial o
una discontinuidad eliminable.
12. (Abajo se observa la gráfica de esta función).
Como f (-3) no existe, la parte (i) de la Definición de continuidad de una función en un
número no se cumple y; por lo tanto
f es discontinua en -3.
Reforma Académica 2003
137
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
13. Nos facilitan el aspecto operativo de la tarea de derivación.
14.
15. La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencia de la
variable independiente
16.
138
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
17. A la intensidad de variación respecto al tiempo.
18. 1. Solución
Reforma Académica 2003
139
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
2. Solución
3. Solución
19.
1. Solución
m(1) = 0
x
y
m
-1
-6
8
0
0
4
1
2
0
2
0
-4
2.5
-2.5
-6
3
-6
-8
140
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
2. Solución
x
y
m
-2
-7
12
-1
0
3
0
1
0
1
2
3
2
9
12
Reforma Académica 2003
141
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
3 Solución
Para ningún valor de x1, m(x1) es cero
x
f (x)
m
-5
3
-0,17
0
2
-0,25
3
1
-0,5
4
0
No existe
20. Es la suma de muchos números.
142
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
21. Para la notación de sumatoria se utiliza la letra griega sigma mayúscula:
22. Solución:
23. Solución:
24. Primer Teorema fundamental del cálculo:
Segundo Teorema fundamental del cálculo:
Reforma Académica 2003
143
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
144
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 1
1) Maíz
1
3
2) p = q +
50
3
3) v = 50000 - 5000t
4) (100,5)
5) 4
6) 3927568
7) a)10 mg b).17 c)5.6
8) a)6 b)-32
9) a)
2
4
6
+
+ 1 b) 2
2
(t − 1)
(t + 3t }
(t − 1)
Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 2
1) a) 20 b) -1 c) 0 d) 0
2) f(2) existe y es igual a. lim f(x)
x →2
3). -34
4) -20
Reforma Académica 2003
145
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
5) a)
3
2
1
x2
b) -2t-1
1
c)
3 2
4
x d) t + 3
2
t
e) 48x2 +18x f)
−3
( x − 1) 2
g) 18(3x+2)5
h)18 e3x
6)
7)
y
60
40
20
-5
146
0
5
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
8) q=40 costo promedio=23
Respuestas de los ejercicios de la unidad de aprendizaje 3
1)
1
x +c
2
2)
x9
+c
9
3)
r 6 5r 2
−
+c
6
2
4)2ex +c
5) w + c
6)
( x + 3) 9
+c
9
7)
( x 3 + 7) 4
+c
4
2
8) e x + c
9)-
7
6
10)
e 3 12
(e − 1)
2
Reforma Académica 2003
147
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS
148
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
GLOSARIO DE TÉRMINOS
Antiderivada
De una función f es una función F tal que F’(x) = f(x).
Contradominio
Son los valores de salida de una función
Derivada de una
función
Para cualquier función f, se define la función derivada , f’
f(a + h ) - f(a)
lim
h
por: f’(a) = h→0
Derivada de una
función
Geométricamente se define como la pendiente de la
tangente a la curva en un punto
Dominio
De la función, son los valores de entrada de una función
Función
Es una regla que asigna a cada número de entrada
exactamente un número de salida.
Función continua
Se dice que una función f es continua en un número c si, f(c)
lim
lim
está definida, si x→c f(x) existe y si x→c f(x) = f(c)
Integral definida
b
En f en el intervalo [a,b] se denota como: ∫ f (t )dt , y es
a
n
lim ∑ f (t i ) Δt
n →∞
i =1
Integral definida
En f en el intervalo [a,b], también se le define como área bajo
b
la gráfica de f entre a y b y se denota como ∫ f ( x )dx
a
Integral indefinida
De una función f con respecto a x se escribe ∫ f ( x )dx , y
denota una antiderivada arbitraria de f.
Límite
De f(x), se define cuando x tiende a c como el número L, y se
denota lim f(x) = L, si f(x) está arbitrariamente cerca de L
x→ c
para toda x suficientemente cercana a c, pero sin ser igual a
c.
Reforma Académica 2003
149
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
GLOSARIO DE TÉRMINOS
Pendiente de la curva
La pendiente de la tangente a la curva en un punto
Rapidez de cambio
Promedio de una variable y entre el tiempo a y b, se define
como: Cambio de la variable y entre el cambio de la variable
tiempo.
Teorema fundamental
del Cálculo
Si F’(t) es continua para a≤ t ≤ b entonces
b
∫ F ' (t )dt = F(b) - F(a)
a
150
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
REFERENCIAS DOCUMENTALES
1. Hughes, Cálculo Aplicado, México, CECSA, 2004.
2. Granville, W. Cálculo diferencial e integral. 15° México, Limusa, 1992.
3. Faires, Douglas J. y James DeFranzo. Precálculo, México, International Thomson
Editores, 2001.
4. Santaló Sors, Marcelo y Vicente Carbonell Chure. Cálculo Diferencial e Integral,
México, Editorial Exodo, 2001
5. Banach, S. Cálculo Diferencial e Integral, México Limusa 1996
• http://cariari.ucr/~cimm/cap_02/cap2:2-1.html [Consulta 3 de septiembre del 004)
• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaiones_derivada/crec_decrec_1.htm#1
[Consulta 3 de septiembre del 2004]
• http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-1.html [Consulta 3 de septiembre del
2004]
• http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-2.html [Consulta 3 de septiembre del
2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/Continuid
ad_funcion.htm [Consulta 3 de septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_1.htm [Consulta
3 de septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_2.htm [Consulta
3 de septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_3.htm [Consulta
3 de septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_4.htm [Consulta
3 de septiembre 2004]
• www.calc101.com/spanish/chain_rulee.html [Consulta 3 de septiembre 2004]
Reforma Académica 2003
151
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
REFERENCIAS DOCUMENTALES
• www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/
Derivadas_aplicaciones_optimizacion/derivadasaplicaciones4.htm [Consulta 3 de
septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/max_min_1.htm
[Consulta 3 de septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/concavidad_1.htm
[Consulta 3 de septiembre 2004]
• www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/optimiza.htm
[Consulta 3 de septiembre 2004]
152
Reforma Académica 2003
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
MATEMÁTICAS IV. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
SECRETARÍA DE
EDUCACIÓN
PÚBLICA
e-cbcc
Educación-Capacitación
Basadas en Competencias
Contextualizadas
153
Reforma Académica 2003
conalep
PT-Bachiller
Matemáticas IV: Introducción al cálculo diferencial e integral
Matemáticas IV: Introducción al Cálculo
Diferencial e Integral
Manual Teórico-Práctico del Módulo
Autocontenido Integrador
Matemáticas IV
Introducción al
Cálculo Diferencial e Integral
e-cbcc
154
EducaciónCapacitación
Basadas en
Competencias
Contextualizadas
Reforma Académica 2003