Guía Práctica para el aprendizaje del cálculo diferencial, integral y multivariable

GUÍA PRÁCTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL CÁLCULO
DIFERENCIAL, INTEGRAL Y MULTIVARIABLE
Realizado por: Angela Quiñonez Pesca
CÁLCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial, un campo de las matemáticas, es el estado de cómo
cambian cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el
cálculo diferencial es la derivada.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la
derivada derivada de una función en un cierto punto es una medida de la
tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto
es, una derivada imbolucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio.
Una derivada es el cáculo de las pendientes instantaneas de F(x) en cada
punto x. Esto se coprresponde a las pendientes tangentes de la gráfica de
dicha función en sus puntos (una tangente por punto). Las derivadas pueden
ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de
crecimiento, sus máximos y mínimos.
Fórmula general:
Para comprobar la fórmula desarrollaremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.
Ejemplo 2:
Métodos de derivación:
Ejemplos de Derivadas:
Nomencladores:
CÁLCULO INTEGRAL
El cálculo integral, enmarcado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las
matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de
integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes,
Newton y Barrow, este último fue el que junto con aportes de Newton,
crearon el teorema fundamental del cálculo integral que propone que la
derivación y la integración son procesos inversos.
Sus principales objetivos de estudios con:







Integral indefinida.
Integral definida.
Cambio de variable.
Teorema fundamental del cálculo.
Método de integración.
Integrales impropias.
Integrales trigonométricas logarítmicas y exponenciales.
INTEGRAL -> ANTIDERIVADA:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN:
1. Algebraica:
 Por sustitución:
Ejemplos:
 Por partes:
 Por fracciones parciales:
REGLA DE L’HOPITAL
En matemáticas, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de
L’hopital es utilizada para determinar límites que de otra manera sería
complicado calcular (por no decir que imposible).
La regla dice que dadas dos funciones F(x) y G(x) continuas y derivables en
x=c, si F(x) y G(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite
cundo x tiende a c del cociente de F(x) y G(x) es igual al límite cuando x
tiende a c del cociente de las derivadas de F(x) y G(x) siempre que este límite
exista (c puede ser infinito o finito).
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII
Guillaume Francois Antoine, marqués de L’Hopital (1661 – 1704), quien dio a
conocer la regla en su obra “Analyse dos infiniment petits pour l’intelligense
des lignes courbes” (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo
diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johan
Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
LÍMITES:

Inmediatos: son aquellos que cuyo valor al ser evaluado es
determinado (un número real). Ejemplo:
lim 3x  5  11
x 2

Indeterminados: son aquellos límites que al ser evaluados en x, se
presenta alguna respuesta de la siguiente forma:
0 
, , ,,0 0 ,  0 ...
0 
REGLA FORMAL:
Si
Entonces
EJEMPLOS:
EJERCICIOS RESUELTOS:
TABLA DE LOGARITMOS NATURALES PARA LÍMITES:
Lim F x   G x   F a   Ga  
xa
EJEMPLOS:
0 
, , ,,...
0 
Lim F x   G x   F a   Ga  
x  a
algebraicas.
EJEMPLOS:
0 
, , ,,...debe realizarse operaciones
0 
 0
ÚLTIMO CASO 1 ,0 :
EJERCICIOS RESUELTOS:
INTEGRALES IMPROPIAS
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando
uno o ambos extremos del intervalo de integración se acrecan a un número
real específico, a  o a  .
EJERCICIOS PROPUESTOS
POLINOMIOS DE TAYLOR Y Mc CLAUREN
FORMA GENERAL:
F ' c x  c  F ' ' c x  c 
F ' ' ' c x  c 
F n c x  c 
Px   F c  


 ... 
1!
2!
3!
n!
2
3
Donde c es el punto a evaluar, n es el grado del polinomio y F(x) es cualquier
función.
EJEMPLO:
P4  F x   cos 3x con c = 0.
n
DERIVADAS PARCIALES:
EJERCICIOS RESUELTOS:
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR:
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es
su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras,
constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría
diferencial.
EJEMPLOS:
EJERCICIOS RESUELTOS:
- EJERCICIO 1: F x,1  2 x 2 y  5 xy3
- EJERCICIO 1: z  x 2 sen2 y