Derivadas Algebraicas

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
3
DERIVADAS ALGEBRAICAS
3 DERIVADAS ALGEBRAICAS
Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto
dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una
recta tangente en él.
3.1. DIFERENCIACIÓN NORMAL
La derivada se puede conocer como un caso particular del límite.
Para conocer numéricamente el valor de la pendiente de una función en un punto dado
es necesario resolver la ecuación:
Pendiente en P1 = Lim
h →0
f ( x1 + h ) − f ( x1 )
h
Para lo cual hay necesidad de utilizar una calculadora y evaluar la ecuación en valores
cercanos a cero (0).
A lo anterior se le conoce como el método numérico, utilizado para conocer la pendiente
de la ecuación de grado menor, pero existe lo que se llama diferenciación formal para
resolver ecuaciones de grado superior.
3.2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS
Existen los conocidos monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una
expresión de la variable, y los segundos corresponden a una suma finita de monomios.
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
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Derivada
Sea y = f ( x ) una función de x. Si el limite
dy
f (x + h ) − f (x )
= f ' ( x ) = Lim
h →0
dx
h
Existe y es finito, diremos que este límite es la derivada de ƒ
respecto a x y que ƒ es diferenciable en x.
A continuación se estudiaran algunas reglas para diferenciación:
Derivada de una Constante
Regla No. 3.1
La derivada de una constante es cero
El significado geométrico de esta afirmación es el hecho que la pendiente de la recta
y = c , para cualquier valor de x, es cero.
Derivada de una potencia entera positiva
Potencias enteras positivas de x
Si n es un número entero positivo, entonces:
Regla No. 3.2
3.- Derivadas Algebraicas
d n
x = n x n −1
dx
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Deducción:
y = f (x ) = x n
Entonces
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
=
∆x
∆x
Como n es un número entero positivo, se puede aplicar:
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ........ + ab n − 2 + b n −1 )
Donde a = x + ∆x , b = x , a − b = ∆x , que reemplazado en la ecuación anterior da:
∆y ( x + ∆x ) − ( x )
=
∆x
∆x
n
(
n
n−2
n −1
∆y ( ∆x ) ( x + ∆x ) + ( x + ∆x ) x + ...... + ( x + ∆x ) x + x
=
∆x
∆x
∆y
n −1
n−2
= ( x + ∆x ) + ( x + ∆x ) x + ...... + ( x + ∆x ) x n− 2 + x n−1
∆x
n −1
n− 2
(
)
Haciendo que ∆x → 0 ,
dy
∆y
= Lim
dx ∆x → 0 ∆x
dy
=
dx
(( x + 0)
n −1
+ ( x + 0)
n−2
x + ........ + ( x + 0 ) x n− 2 + x n−1
dy
= ( x n−1 + x n −1 + ...... + x n −1 + x n −1 )
dx
dy
= n x n −1
dx
Ejemplos.:
a.) Derivar la expresión: y = x 5
d 5
x ) = 5x 4
(
dx
3.- Derivadas Algebraicas
)
)
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b.) Derivar la expresión: y = x 3
d 3
( x ) = 3x 2
dx
Derivada de una Constante por una Función
Constante por una función
Regla No. 3.3
Si u = f (x ) es cualquier función diferenciable de x, y c es
una constante, entonces:
d
du
(c u ) = c
dx
dx
La regla se resume en el hecho que la derivada de una constante por una función es la
constante multiplicada por la derivada de la función.
Geométricamente hablando significa que si multiplicamos la ordenada de una función por
un valor cualquiera, estamos multiplicando por ese mismo número el valor de la
pendiente.
Deducción:
d
cf ( x + ∆x ) − cf ( x )
(cu ) = Lim
=
x
0
∆
→
dx
∆x
d
f ( x + ∆x ) − f ( x )
c
(cu ) = Lim
=
x
0
∆
→
dx
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
d
(cu ) = c Lim
=
∆x → 0
∆x
dx
d
(cu ) = c du
dx
dx
3.- Derivadas Algebraicas
Aplicando la definición de Derivada.
Factorizando la constante
Aplicando límite de la constante
Remplazando el limite por la
definición de la derivada.
CALCULO DIFERENCIAL
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Ejemplo: Derivar la expresión y = 7x 5
d
d
7 x 5 ) = 7 (x 5 )
(
dx
dx
d
7 x5 ) = 7 ( 5 x 4 )
(
dx
d
7 x 5 ) = 35 x 4
(
dx
Por tratarse de una constante.
Aplicando la derivada de la
potencia.
Realizando el producto.
Derivada de una Suma
Regla de la suma
Si u y v son funciones diferenciables de x, entonces la
suma u + v es una función diferenciable de x, y
Regla No.3.4
d
(u + v ) = du + dv
dx
dx dx
Para todos los valores de x en que existan las derivadas de
uyv
La idea es que si u y v tiene derivadas en el punto x, entonces sus suma también tiene
derivada en x y corresponde a la suma de las derivadas de u y v en x.
Análogamente, la derivada de la suma de cualquier número
finito de funciones diferenciales es la suma de sus derivadas.
Deducción :
y = u + v ≈ f (x )
y + ∆y = (u + ∆u ) + (v + ∆v) ≈ f ( x + ∆x )
3.- Derivadas Algebraicas
Sumando
en cada término.
CALCULO DIFERENCIAL
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∆y = ∆u + ∆v ≈ f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆y ∆u ∆v f ( x + ∆x ) − f ( x )
=
+
≈
∆x ∆x ∆x
∆x
dy
∆y
(∆u + ∆v)
= Lim
= Lim
dx ∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x
dy
∆u
∆v
= Lim
+ Lim
∆
x
→
0
∆
x
→
0
dx
∆x
∆x
Restando y = u + v
Dividiendo término a término
por la expresión ∆x
Aplicando el límite
cuando ∆x → 0
Por las propiedades de los
límites.
Ejemplo: Derivar la expresión y = x 3 + 7 x 2 − 5 x + 4
dy d 3
d
d
d
=
x ) + (7 x 2 ) − (5 x ) + (4 )
(
dx dx
dx
dx
dx
Derivando cada término
dy
= 3 x 2 + 14 x − 5
dx
y así se puede aplicar para cualquier número finito de términos.
Ejercicios Propuestos:
Dada f ( x ) , obtener f ′ ( x ) :
1.
f ( x ) = 3x4 − 9
3.
f ( t ) = t2 +
5.
1 5
+
t2 t4
x3 + x 2 + x − 7
f ( x) =
x2
7.
f ( x) = x + x
9.
f ( x) =
3.- Derivadas Algebraicas
2.
f ( x ) = x3 + C
4.
f ( x) =
6.
C
x
3x + 5
x+9
8.
f ( x) =
10.
f ( x ) = 2 x2 − 5 x
x
x+
2
t
+ x 3 +C
2
x
x −1
f ( x) =
x +1
4
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3.1.
PRODUCTOS POTENCIAS Y COCIENTES
En esta sección estudiaremos a u y v como dos funciones diferenciables de x.
Derivada de un Producto
Regla del Producto
El producto de las funciones diferenciables u y v
es diferenciable y:
Regla No.3.5
d
dv
du
(u v ) = u + v
dx
dx
dx
Al igual que para la suma, la derivada del producto únicamente existe para aquellos
valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.
y=uv
y + ∆y = ( u + ∆u ) ( v + ∆v )
y + ∆y = u v + u ∆v + v u + ∆u ∆v
∆y = u ∆v + v ∆u + ∆u ∆v
∆y
∆v
∆u
∆v
=u
+v
+ ∆u
∆x
∆x
∆x
∆x
Por definición
Sumando ∆y en ambos lados del igual
Realizando el producto
Restando y = uv en ambos lados.
Dividiendo a ambos lados por ∆x .
Cuando ∆x → 0 , ∆u también lo hace, lo que se puede expresar en la forma:
Lim ∆u = Lim
Luego la expresión
∆y
∆x
∆u
∆x
∆x
= Lim
∆u
du
Lim ∆x =
0=0
∆x
dx
se puede expresar en la forma:
∆y
∆v
∆u
∆v
= Lim u
+ Lim v
+ Lim ∆u
∆x
∆x
∆x
∆x
dy
dv
du
=u
+v
dx
dx
dx
Lim
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
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Al igual que para la suma, la derivada del producto únicamente existe para aquellos
valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.
En La figura anterior se representa gráficamente el significado de la regla del producto.
Hay que tener en cuenta que se trata de la función u multiplicada por la derivada de la
función v.
Ejemplo:
Derivar f
Si :
( t )=
u=
( 1− t )
du 1
= (t
dt 2
t
v = ( 1− t
Entonces:
t
)
)
1
−1
2
=
1
(t
2
)
−
1
2
dv
= −1
dt
dy
dv
du
=u
+v
dt
dt
dt
( t − 1) = 1 − 3t
1 −1
dy
= t ( −1) + ( t − 1) t 2 = − t +
2
dt
2 t
2 t
3.- Derivadas Algebraicas
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Derivada de Potencias enteras positivas de una función diferenciable
Potencias enteras positivas de una función
diferenciable
Regla No 3.6
Si u es una función diferenciable de x, y n es un
es
número entero positivo, entonces u n
diferenciable, y:
d
du
u n ) = n u n−1
(
dx
dx
La ausencia del termino du dx de la ecuación invalida la diferenciación, por lo que hay
que tener cuidado de incluir el diferencial de la ecuación.
DERIVADA DE UN COCIENTE
La razón o cociente u v de dos polinomios en x, no es en general un polinomio. Dicha
razón es una función racional de x.
Regla del Cociente
Regla No 3.7
En los puntos donde v ≠ 0 , el cociente y = u v de
dos
funciones
diferenciables,
es
también
diferenciable y:
( )
d u
=
dx v
v
du
dv
−u
dx
dx
v2
Como sucede en todas las ecuaciones vistas hasta el momento, la anterior regla tiene
valor únicamente en aquellos puntos en dos de las funciones u y v tengan valor y sean
diferenciables.
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
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Al igual que para la suma, la derivada del cociente únicamente existe para aquellos
valores en donde exista la derivada de u y la derivada de v.
y=
y + ∆y =
Ahora restando y = u
∆y =
v
u
v
(u + ∆u )
(v + ∆v )
en ambos lados de la igualdad se tiene:
u + ∆u u ( v u + v ∆u ) − ( u v + u ∆v ) v ∆u − u ∆v
− =
=
v + ∆v v
v ( v + ∆v )
v ( v + ∆v )
Dividiendo a ambos lados por ∆x se tiene.
∆u
∆v
−u
∆y
∆x
= ∆x
∆x v ( v + ∆v )
v
Cuando ∆x → 0 , se puede expresar:
Lim
y
∆u du
=
∆x dx
; Lim
∆v dv
=
∆x dx
Lim ( v ( v + ∆v ) ) = Lim v × Lim ( v + ∆v ) = v × ( v + 0 ) = v 2
ya que:
Lim ∆v = Lim
Luego la expresión
∆y
∆x
∆v
dv
∆x = × 0 = 0
∆x
dx
se puede expresar en la forma:
∆u
∆v
v
−u
∆y dy
∆x
∆x
=
= Lim
Lim
∆x dx
Lim ( v ( v + ∆x ) )
dy
=
dx
3.- Derivadas Algebraicas
v
du
dv
−u
dx
dx
2
v
CALCULO DIFERENCIAL
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Ejemplo 1:
Derivar y =
x2 + x − 2
x3 + 6
u = x2 + x − 2
du
= 2x +1
dx
v = x3 + 6
dv
= 3x 2
dx
3
2
2
dy ( x + 6 ) ( 2 x + 1) − ( x + x − 2 )( 3 x )
=
=
2
3
dx
+
x
6
(
)
4
3
4
3
2
dy ( 2 x + x + 12 x + 6 ) − ( 3 x + 3 x + 6 x )
=
=
2
3
dx
x
6
+
(
)
dy − x 4 − 2 x3 + 6 x 2 + 12 x + 6
=
=
2
dx
( x3 + 6 )
Enunciado del problema
Aplicando derivada de una suma.
Enunciado del problema.
Aplicando derivada de una suma
Aplicando la definición de la derivada
de un cociente:
Realizando las multiplicaciones
indicadas.
Factorizando y agrupando términos.
Ejemplo 2:
Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f ( x ) = x 3 + 6 x 2 para los
puntos x = 2 y x = −2 ; determinar si estas rectas se cortan y calcular las coordenadas del
punto de corte.
La primera derivada es: f ′ ( x ) = 3x 2 + 12 x , que evaluada para los dos valores de x , da
los valores de las pendientes de las rectas tangentes, así:
f ′ ( x ) = 3x 2 + 12 x
x=2
= 3 ( 2 ) + 12 ( 2 ) = 12 + 24 = 36
f ′ ( x ) = 3x 2 + 12 x
x =−2
2
= 3 ( −2 ) + 12 ( −2 ) = 12 − 24 = −12
2
Para conocer los valores de y en los dos lugares indicados, se procede de la siguiente
manera:
3.- Derivadas Algebraicas
CALCULO DIFERENCIAL
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Para x = 2 , se tiene : f ( x ) = y = x 3 + 6 x 2
Para x = −2 , se tiene : f ( x ) = y = x 3 + 6 x 2
f ( 2 ) = 23 + 6 ( 2 ) = 8 + 24 = 32 ;
2
f ( −2 ) = ( −2 ) + 6 ( −2 ) = −8 + 24 = 16 ;
3
2
Para obtener las dos ecuaciones de las rectas tangentes, se utiliza la forma y = mx + b ,
así:
Para x = 2 , el valor de b se obtiene como 32 = 36 ( 2 ) + b
b = 32 − 72 = −40
Para x = −2 , el valor de b se obtiene como 16 = ( −12 )( −2 ) + b
b = 16 − 24 = −8
Luego las dos ecuaciones son:
Para x = 2 , la ecuación de la recta tangente es: y = 36 x − 40 , y
Para x = −2 , la ecuación de la recta tangente es: y = −12 x − 8
Para determinar si se cortan, se igualan entre si estas dos ecuaciones :
36 x − 40 = − 12 x − 8
36 x + 12 x = 40 − 8
48 x = 32
x=
32 2
= ≈ 0.666
48 3
El valor de y correspondiente a x = 2 , es: y = 36
3
Luego las coordenadas del punto de corte son :
2
− 40 = 24 − 40 = −16
3
2
, − 16
3
Ejercicios Propuestos :
En los siguientes ejercicios, dada y = f ( x ) , encontrar
3.- Derivadas Algebraicas
dy
:
dx
CALCULO DIFERENCIAL
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1
3
5
7
9
11
13
15
3
5 x5
y = − x 4 + 3x 2 − 6 x + 1
2 1
y= − 2
x x
y = ( x 2 + 2 )( x3 + 1)
y=
2
4
6
8
y = ( x 2 + 17 )( x3 − 3 x + 1)
10
1
y= 2
4 x − 3x + 9
2 x2 − 1
y=
3x + 5
x2 − x + 1
y=
x2 + 1
17
y = x2 1 − x2
19
3x − 1
y= 2
x +3
21
y=
12
14
16
18
y = 11x 4 − 3 x + 9
y = 3x 7 − 9 x 2 + 21
1
y=
+ 2x
2x
y = ( x 4 − 1)( x 2 + 1)
y=
3x + 1
x −1
y=
x +1
2 x 2 − 3x + 1
y=
2x +1
2
x − 2x + 5
y= 2
x + 2x − 3
x
y=
3 2
x +4
2
20
1
y=
2
x +1
x +1
2
2x
x +1
En los siguientes ejercicios hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto
dado:
a.
f ( x ) = 3 x 2 − 1 para
b.
f ( x) =
3.- Derivadas Algebraicas
( 3,5 )
1
x 2 + 5 para
3x
( 2,2 )