tema XI.1: La derivada

Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA
VARIABLE
XI.1. La derivada: definición y primeras
propiedades
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.1. La derivada: definición y primeras propiedades
1. Definición de derivada
DEF. Sea f : A ⊂ R → R y a un punto interior del dominio.
Se llama derivada de f en a al límite (si existe):
f ′ (a) = lim
x→a
Se dice que f es derivable en a
f (x) − f (a)
x −a
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2. Derivadas laterales
DEF. Las derivadas laterales de f en a son los límites
laterales:
f (x) − f (a)
derivada por la izquierda
f ′ (a− ) = lim
−
x −a
x→a
f ′ (a+ ) = lim
x→a+
f (x) − f (a)
x −a
derivada por la derecha
f (x) − f (a)
x→a
x −a
⇔ existen y son iguales f ′ (a) = f ′ (a− ) = f ′ (a+ )
Observación:
Si el dominio de f es un intervalo cerrado, se pueden definir las
derivadas laterales en los extremos aunque pueden no existir
f es derivable en a ⇔ existe f ′ (a) = lim
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3. Relación entre continuidad y derivabilidad
Sea f : A ⊂ R → R y a ∈ Int(A),
Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
Dem.: a ∈ Int(A) ⇒ a ∈ A y a ∈ A′ , así que:
f continua en a ⇔ lim f (x) = f (a)
x→a
f (x) − f (a)
x→a
x −a
f (x) − f (a)
Dado x ∈ A, x 6= a, f (x) − f (a) =
(x − a)
x −a
Tomando límites, lim (f (x) − f (a)) = f ′ (a) · 0 = 0
f derivable en a ⇒ existe f ′ (a) = lim
x→a
Observación: No toda función continua es derivable
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4. Operaciones con funciones derivables
Sea f , g : A ⊂ R → R derivables en a ∈ Int(A),
f + g : A ⊂ R → R es derivable en a
(f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a)
f · g : A ⊂ R → R es derivable en a
(f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a)
f (x)g(x) − f (a)g(a)
=
x −a
f (x) − f (a)
g(x) − g(a)
lim
g(x) + f (a) lim
=
x→a
x→a
x −a
x −a
′
′
f (a)g(a) + f (a)g (a)
Dem.:(f · g)′ (a) = lim
x→a
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4. Operaciones con funciones derivables (II)
Sea f , g : A ⊂ R → R derivables en a ∈ Int(A),
Si f (a) 6= 0, 1/f es derivable en a
′
1
f ′ (a)
(a) = −
f
(f (a))2
f
Si g(a) 6= 0, entonces es derivable en a
g
′
f
f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a)
(a) =
g
(g(a))2
Si c ∈ R, entonces cf : A ⊂ R → R es derivable en a
(cf )′ (a) = cf ′ (a)
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5. Función derivada
DEF. Sea f : A ⊂ R → R una función derivable en todo A
abierto,
entonces se dice que f es derivable en A y se puede definir la
función derivada de f como
f′ : A ⊂ R →
R
′
x
7→ f (x)
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6. Derivadas de las funciones elementales
Función
R →
R
x 7→ c constante
R →
R
x 7→ x n , n ∈ N
R+ →
R
x 7→ x α , α ∈ R
R → R
x 7→ ex
R+ → R
x 7→ ln x
R →
R
x 7→ sen x
R →
R
x
→
7
cos
x
R − π2 + 2k π, k ∈ Z
→ R
x
7→ tg x
Función derivada
0
nx n−1
αx α−1
ex
1
x
cos x
− sen x
1
= 1 + tg2 x
cos2 x