Estadística _________________ Tema 10. Generación de valores de una variable aleatoria. Pág. 1 10 Generación de valores de una variable aleatoria. 10.1 Método de la transformación inversa. 10.1.1 Caso: Variables discretas. 10.1.2 Caso: Variables contínuas. 10.1 Método de la transformación inversa. Lo que vamos a ver está basado en una distribución U~U(0,1) 1 = 1, x ∈ (0,1) 1− 0 x−a = x x ∈ (0,1) b−a F ( x) = 0 x≤0 1 x ≥1 f ( x) = R| |S || T 10.1.1 Caso: Variables discretas. Veamos un ejemplo: X=x P[X=x] 1 0’1 R|1 2 | g (U ) = Y = S3 ||4 |T5 2 0’2 3 0’3 4 0’25 5 0’15 0 < U ≤ 01 ' = FX (1) 01 ' < U ≤ 0'3 = FX (2 ) 0'3 < U ≤ 0'6 = FX (3) 0'6 < U ≤ 0'85 = FX (4 ) 0'85 < U < 1 = FX (5) P[Y=1] = P[0< U ≤0’1] = 0’1–0 = 0’1 P[Y=2] = P[0’1< U ≤0’3] = 0’3–0’1 = 0’2 P[Y=3] = P[0’3< U ≤0’6] = 0’6–0’3 = 0’3 P[Y=4] = P[0’6< U ≤0’85] = 0’85–0’6 = 0’25 P[Y=5] = P[0’85< U <1] = 1–0’85 = 0’15 U X 0’02011 1 0’85393 5 0’97265 5 0’61680 4 0’16656 2 El proceso de transformación inversa consiste en (1) Obtener un valor U~U(0,1) (2) Devolver X = xi. F(xi–1) < U ≤ F(xi ) Estadística _________________ Tema 10. Generación de valores de una variable aleatoria. Pág. 2 10.1.2 Caso: Variables contínuas. Proposición: Sea X una v.a. con función de distribución F(x). Supongamos que F(x)’ es contínua y estrictamente creciente. Sea U~U(0,1). Entonces Y=F–1(U) es una v.a. con la misma distribución que la v.a. X. q 0F = P[Y ≤ x] = P[ F −1 Y (U ) ≤ x ] = P[U ≤ F ( x)] = FX ( x ) ∈( 0 ,1) n Transformación inversa: (1) Obtener U~U(0,1) (2) Generamos X=Fx–1(U) Ejemplo: f(x) = λe–λx, x>0 X~Exp(λ) F(x)=1–e–λx, x>0 U = 1–e–λx e–λx = 1–U = U ’ –λx = ln U’ x=− ln U ' λ U 0’20969 0’52666 0’30680 0’00849 0’60672 X =− ln U 3 0’5207 0’2137 0’3939 0’1873 0’1666 Ejemplo: Si F(x) es tal que es complicado hacer su inversa, podemos hacer lo siguiente, siempre que esté tabulada su función de distribución F(x) = φ(x) X~N(0,1)→ F ( x ) = z 2 x −∞ 1 − 2u e du 2π A esto sería difícil hacerle FX–1(h). ¿Cómo encontraríamos un valor entre x1 y x2? U~U(0,1)1 X=Fx–1(U)=φ–1(U) lim inf lim sup 1–U 0’81647 0’9021 φ(0’90)=0’8159 φ(0’91)=0’8186 0’30995 –0’495972 φ(0’49)=0’6879 φ(0’50)=0’6915 0’69005 0’76393 0’719129 φ(0’71)=0’7611 φ(0’72)=0’9642 0’07856 –1’14148299 φ(1’41)=0’92073 φ(1’42)=0’92220 0’92144 0’06121 –1’5447107 0’27756 –0’5412121 1º: UV W 0'91 − 0'90 = 0'01 → φ (0'91) − φ (0'90) = 0'8159 − 0'8186 = 0'0027 0'00057 h= ⋅ 0'01 = 0'0021 h → 0'81647 − 0'8159 = 0'00057 0'0027 2º: φ(-x)=1–φ(x) porque el valor 0’30995 no aparece en la tabla. Volvemos a hacer la regla de tres pero para el valor φ(-x) el resultado se le pone signo negativo. Si dan X~N(3,5) se hace como en ejercicios anteriores con N(0,1) cambiándolo a N(3,5) e igual que arriba. 1 tomamos para U~U(0,1) los valores de la columna 5 de random numbers