Generalidades

FUNCIONES. ESTUDIO GENERAL
Definición. Función real de variable real es una aplicación del conjunto de los números reales en sí
mismo, de tal forma que a cada número real le hace corresponder otro número real. Al estar definida la
función entre conjuntos numéricos, la relación entre elementos se puede establecer mediante una
expresión. Según como sea esta expresión tendremos los distintos tipos de funciones:
• Polinómicas
• Racionales
• Irracionales
• Logarítmicas
• Exponenciales
• Trigonométricas
La variable que representa a elementos pertenecientes al conjunto inicial se denomina variable
independiente (x) y la variable que representa a los elementos del conjunto final se denomina variable
dependiente (y) ó función (f(x)).
Dominio. Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Para calcular el
dominio de una función se tendrá en cuenta el tipo de función del que se trate:
(1) Función polinómica, su recorrido es todo R.
(2) Cociente de polinomios, su dominio será todo R menos las raíces del denominador.
(3) Raíces de funciones, el dominio será el conjunto de números que hace positivo el radicando.
(4) Función logarítmica, solo existe para valores positivos.
(5) Función exponencial, válida para todo R.
Junto a estas restricciones, al calcular el dominio, tendremos en cuenta que el dominio de las funciones
compuestas es la intersección de los dominios de las funciones por separado.
Recorrido. Conjunto de valores que toma la función. Se puede calcular, calculando el dominio de la
función inversa.
Ceros. Valores finitos de x (xo) que hacen cero la función. Sí x = xo ⇒ y = 0.
Polos. Valores finitos de x (xo) que hacen infinita la función(y). Sí x = xo ⇒ y = ∞. Para funciones
racionales(cocientes de polinomios), los polos son la raíces de denominador, es decir los valores que lo
anulan.
SIMETRIA
Función PAR – (SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE y) Cuando f (−x) =f (x)
Función IMPAR – (SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN) Cuando f (−x) = −f (x)
OPERACIONES
SUMA: (f + g)(x) = f (x) + g (x)
Propiedades:
• Conmutativa
• Asociativa
• Elemento neutro. Función nula
• Elemento opuesto. función opuesta
PRODUCTO: (f ⋅ g)(x) = f (x) ⋅ g (x)
Propiedades:
• Conmutativa
• Asociativa
• Elemento neutro. Función unidad
•
•
Elemento opuesto. Función inversa.
Distributiva del producto respecto de la suma
COMPOSICIÓN:
Si al valor x se le aplica la función f, se obtiene f(x). S ahora al valor f (x) se le aplica la función g se
obtiene la g(f(x)). A la función que permite obtener el valor g(f(x)) a partir del valor de x se le denomina
función compuesta (g compuesta de f ó f de g )
Propiedades
•
•
•
(f ! g )( x ) ≠ (g ! f )(x ) excepto con la función identidad ó con su inversa
(f ! g )−1 = g −1 ! f −1
f + (g ! h ) = f ! g + f ! h
INVERSA:
Si la función f permite pasar del valor x al valor f(x), la inversa de la función f, f−1(x) permite
calcular el valor de x conocida su imagen f(x)
Cálculo de la inversa
1. Se sustituye x por y e y por x
2. Se despeja y en función de x
3. Se sustituye y por f−1(x)