Transformada inversa de Laplace

3. Transformada inversa de Laplace
El proceso matemático de pasar la expresión en variable compleja a la expresión en función del tiempo se denomina transformación
inversa. Como notación para la transformación inversa se utiliza ! −1 de modo que:
! −1 [F ( s )] = f (t )
Supóngase que se tiene:
3
9 
2
= 2 + 3e − 2 t + 3 sen 3t
+ 2
f ( t ) = ! −1  +
 s s + 2 s + 9 
En este caso la obtención de f(t) ha sido fácil, pues la función estaba dada en fracciones parciales y se puede utilizar una tabla de
transformadas de Laplace para hallar f(t). Normalmente este no es el caso, y en la mayoría de las veces habrá que proceder al
desarrollo en fracciones parciales del F(s) obtenido.
En general la función F(s) viene dada por el cociente de 2 polinomios:
F ( s) =
N ( s ) a n s n + a n −1 s n −1 + " + a1 s + a 0
=
D ( s ) bm s m + bm −1 s m −1 + " + b1 s + b0
Donde los coeficientes de los polinomios son números reales y los términos m y n son enteros positivos. Se dice que F(s) es una
función racional de s puesto que es el cociente de dos polinomios en s. Las raíces del polinomio del denominador D(s) son las raíces
de la ecuación D(s)=0 y se llaman polos de F(s). Las raíces del polinomio del numerador se llaman ceros de F(s).
Pueden suceder dos casos:
Si m>n
F(s) se denomina función racional propia
Si m≤n
F(s) se denomina función racional impropia
Sólo las funciones racionales propias se pueden se pueden desarrollar en una suma de fracciones parciales. Sin embargo no presenta
ningún problema para las funciones racionales impropias, ya que siempre se pueden desarrollar en un polinomio más una función
racional propia dividiendo el numerador por el denominador hasta que el resto sea una función racional propia. Por ejemplo:
F ( s) =
s 4 + 13s 3 + 66s 2 + 200s + 300
s 2 + 9 s + 20
Si dividimos numerador por denominador hasta que el resto sea una función racional propia, se obtiene:
F ( s ) = s 2 + 4 s + 10 +
30 s + 100
s 2 + 9 s + 20
Que es suma de términos simples que tienen transformada inversa dada en tablas y un término que es una función racional propia que
se puede descomponer en fracciones parciales simples por los métodos que vamos a describir a continuación. Dependiendo del tipo de
raíces de D(s) se describirá un método que puede hacer posible la descomposición.