Integraci n de funciones racionales

IES PADRE FEIJOO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Se llaman funciones racionales a las funciones del tipo
P( x)
P( x) y Q( x)
donde
Q( x)
Las integrales que se presentan de la forma
P(x)
∫ Q ( x ) dx
son polinomios.
se denominan Integrales Racionales.
Para calcular dichas integrales distinguiremos los dos casos siguientes:
1. Qué el grado del polinomio del numerador sea igual o mayor que el grado del polinomio del
denominador.
En este caso se efectúa la división, con lo que se obtiene:
P( x) = Q( x) ⋅ C ( x) + R( x)
y la integral se descompone en suma de dos integrales
∫
Ejemplo:
∫
P(x)
Q( x)
dx =
∫
Q( x) ⋅ C ( x) + R( x)
Q( x)
dx =
∫ C ( x ) dx
+
R( x)
∫ Q( x)
dx
x3 + 2
dx
x −1
2. Qué el grado del polinomio del numerador sea menor que el grado del polinomio del denominador.
a) Las raíces son reales y distintas.
Supongamos que el grado del polinomio
Q ( x ) sea
distintas de dicho polinomio. En este caso, la fracción
n
y sean
P( x)
α 1 , α 2 , ... ,α n
las
n
raíces reales y
admite la siguiente descomposición en
Q( x)
suma de fracciones simples:
An
A1
A2
P( x)
=
+
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
Q( x)
x − α1
x − α2
x − αn
con
La obtención de estos
A1 , A2 , . . . . . . An
A1 , A2 , . . . . . . An
números reales únicos.
se puede realizar sumando las fracciones del segundo miembro
e identificando con el primero o dándole a x los valores
x1, x 2 , . . . . , x n
al igualar los numeradores.
P( x)
∫ Q ( x ) dx
=
∫
A1
dx +
x − α1
= A1 ⋅ L x − α 1
∫
Ejemplos:
∫
A2
dx + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
x − α2
+ A2 ⋅ L x − α 2
x
dx
( x −1) ⋅ ( x − 2 )
∫
∫
An
dx =
x − αn
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + An ⋅ L x − α
n
+ C
3 x 2 + 12 x + 1
dx
x3 + 3 x 2 − x − 3
b) Las raíces son reales y múltiples.
P( x)
∫ Q ( x ) dx
P( x)
La fracción
=
∫ ( x −α
P( x)
dx
⋅ ( x − α 2 ) h2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( x − α s ) hs
1)
h1
se descompone en este caso en los siguientes sumandos:
Q( x)
Ah1
Bh1
A1
B1
P( x )
=
+⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅ +
+ ⋅⋅⋅⋅+
h1
Q( x)
x −α1
( x − αs )
( x − α1 )
( x − α s ) hs
h1 + h2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + h s = n = grado Q ( x )
Ejemplos:
∫
x2 + 1
dx
( x +1) 2 ⋅ ( x − 3 )
2x +1
∫ ( x − 1)
2
dx