UNIDAD N°1. Casos de factoreo
Factorizar un polinomio significa expresar el polinomio como el producto de dos o varios monomios, binomios, trinomios,
etc.
1° caso: Factor común
Para factorizar un polinomio a través del factor común, tiene que haber algo en común en todos los términos del polinomio.
Puede ser un divisor o una variable con el menor exponente. Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra
repetido en cada término. Luego se divide cada término por el factor común y se ubica entre paréntesis.
Ejemplo:
2𝑥 2 − 4𝑥 = 2𝑥(𝑥 − 2)
16𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 4 = 2(8𝑥 3 + 4𝑥 2 − 1𝑥 + 2)
6𝑥 4 + 5𝑥 5 − 2𝑥 2 = 𝑥 2 (6𝑥 2 + 5𝑥 3 − 2)
1. Indica cuál son los polinomios correctamente factorizados
a. 𝑥 4 + 5𝑥 3 = 𝑥 3 (𝑥 − 5)
3
2
6
1
2
3
2
d. −𝑥 5 + 𝑥 4 = −𝑥 4 (𝑥 + 1)
1
3
4
b. − 𝑥 2 − 𝑥 = − 𝑥 (𝑥 + )
e. −9𝑥 2 − 4 = −9 (𝑥 2 + 9)
c. 2𝑥 − 𝑥 = 𝑥(𝑥 5 − 1)
f.
5𝑥 6 + 5𝑥 2 = 5𝑥 2 (𝑥 3 + 1)
2. Factoriza los siguientes polinomios
a.
b.
c.
d.
e.
24𝑥 3 + 16𝑥 2 − 4𝑥 4
25𝑥 4 + 10𝑥 3 − 5𝑥 2
8𝑥 3 − 5𝑥 2
12𝑥 3 + 6𝑥 2 − 3𝑥
3𝑥 3 + 6𝑥 2 − 12𝑥 + 9
f. 5𝑥 4 − 10𝑥 + 15𝑥 3 + 20𝑥 2
g. 10𝑥 3 + 15𝑥 2
9
h. 6𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 12𝑥
i.
1 3
𝑥
2
3
1
+ 2 𝑥2 − 2 𝑥
2° Caso: Factor común por grupos
Para poder aplicar este método debemos tener en cuenta que el polinomio debe tener una cantidad par de términos. Se
forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en cada uno de ellos haya un factor común. Al aplicar factor
común lo que queda dentro del paréntesis debe ser igual en cada uno de los grupos. Por último agrupamos los factores
comunes.
Ejemplo:
𝑥 5 − 2𝑥 4 − 3𝑥 + 6
3. Factoriza por el segundo caso de factoreo
a. 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 − 3
b. 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2
c. 2𝑥 5 + 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2
d. 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 − 1
e. 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 6𝑥 − 3
f. 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 3𝑥 − 6
9
9
h. 6𝑥 3 − 3𝑥 2 − 24𝑥 + 12
i. 12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 10𝑥 + 15
g. 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4 𝑥 + 4
3 Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto = Cuadrado de binomio
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 2
Para poder utilizar este caso debemos tener en cuenta que el polinomio debe tener 3 términos. Se calculan las raíces
cuadradas de los extremos, el término del medio indica el signo y se utiliza para verificar.
Ejemplo:
9𝑥 2 + 30𝑥 + 25 = (3𝑥 + 5)2
4. Escribe Verdadero o Falso según corresponda
a. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2
b. 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 = (𝑥 + 4)2
c. 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)2
d. 4𝑥 2 + 20𝑥 + 25 = (2𝑥 + 5)2
5. Expresa cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de binomio
a.
b.
c.
d.
9
4𝑥 2 − 4𝑥 + 1
𝑥 2 − 4𝑥 + 4
16 − 8𝑥 + 𝑥 2
𝑥 6 + 4𝑥 3 + 4
e. 𝑥 2 + 3𝑥 + 4
f. 25𝑥 2 + 30𝑥 + 9
g. 𝑥 4 + 10𝑥 2 + 25
4
4
h. 𝑥 2 − 3 𝑥 + 9
4° Caso de factoreo: Cuatrinomio cubo perfecto = cubo de binomio
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎3 + 3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 + 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 2 + 𝑏 3
Para poder utilizar este caso debemos tener en cuenta que el polinomio debe tener 4 términos. Se calculan las raíces
cubicas de los extremos, el último término indica el signo, y verificamos con los términos restantes.
6.
a.
b.
c.
d.
Factoriza
𝑥 3 + 15𝑥 2 + 75𝑥 + 125
𝑥 3 − 12𝑥 2 + 48𝑥 − 64
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1
𝑥 6 + 15𝑥 5 + 75𝑥 4 + 125𝑥 3
e. 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 48𝑥 − 64
f.
1 3
𝑥
8
3
3
3
− 4 𝑥2 + 2 𝑥 − 1
g. 𝑥 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8
3
3
1
h. 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 4 𝑥 + 8
5° Caso de factoreo: Diferencia de cuadrados
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2
𝑥 2 − 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos. Y se multiplica la suma por la diferencia de los resultados de las raíces.
7.
a.
b.
c.
d.
Factoriza por el quinto caso
𝑥 6 − 36
100𝑥 4 − 81
𝑥 2 − 144
36𝑥 8 − 16
e. 9 − 25𝑥 2
f. 4𝑥 8 − 121𝑥 4
g. 64𝑥 4 − 9
h.
1 2
𝑥
25
−
49
100
6° Caso de factoreo: Suma y resta de potencias de igual exponente
𝑥 5 + 32
Planteamos una ecuación igualando la función a 0, para hallar la raíz. (Siempre debe ser exacta).
𝑥 5 + 32 = 0
𝑥 = −2
Aplicamos Ruffini
Y expresamos como producto
(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8𝑥 + 16)(𝑥 + 2)
Cuando es una suma o resta de potencias impares, se debe hallar la raíz y realizar la división por Ruffini. Y se expresa como
el producto del polinomio resultante por el binomio compuesto por el opuesto de la raíz. Se debe tener en cuenta que
cuando es una resta de potencias pares, se puede aplicar diferencia de cuadrado. Cuando es una suma de potencia pares no
existe.
8. Factoriza por el sexto caso
a.
b.
c.
d.
𝑥7 + 1
𝑥 3 + 27
𝑥 5 − 32
𝑥 3 + 125
9. Factoriza aplicando el caso que corresponda.
a. 𝑥 4 − 1
b.
2 2
𝑥
3
3
4
8
− 9 𝑥3 + 3 𝑥4
c. 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 2 + 2
d. 𝑥 3 + 1
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
1 2
𝑥 − 0,01
4
3 2
𝑥 − 3𝑥 3 + 9𝑥
4
1 2
𝑥 − 6𝑥 + 36
4
1
9
27
𝑥 6 − 25 𝑥 4 + 5 𝑥 2
125
3
2
− 27
10𝑥 + 2𝑥 + 15𝑥 + 3
𝑥 3 − 1000
16𝑥 2 + 72𝑥 + 81
125 − 225𝑥 2 + 135𝑥 4 − 27𝑥 6
Teorema de Gauss
𝑝
Si el polinomio 𝑃(𝑥) de grado n, con coeficientes enteros y términos enteros no nulo, admite una raíz nacional 𝑞 (fracción
irreducible), entonces 𝑝 es divisor del término independiente y 𝑞 lo es del coeficiente principal.
Para hallar las raíces racionales de 𝑃(𝑥)
Se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal.
𝑝→ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
Se buscan las posibles raíces: 𝑞→
Halladas las raíces se factoriza el polinomio
Ejemplo: 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 8𝑥 − 3
𝑓(−1) = 0
𝑓
1
(− )
2
=0
𝑓(3) = 0
Aplicamos ruffini con cualquiera de ellas.
1
2(𝑥 + 1) (𝑥 + ) (𝑥 − 3)
2
Halla las raíces del polinomio y factorícenlos
a. −𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 − 6
b. −4𝑥 3 + 𝑥 − 3
c. 𝑥 3 − 3𝑥 + 2
d. 𝑥 4 + 6𝑥 3 + 8𝑥 2 − 6𝑥 − 9
e. 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 15𝑥 2 + 4𝑥 − 20
f. 𝑥 5 + 4𝑥 4 − 10𝑥 2 − 𝑥 + 6
Casos combinados
En algunos polinomios de debe aplicar varias veces los distintos casos de factorización hasta que los factores de los mismos
sean primos. Se debe tratar de normalizar el polinomio, es decir sacar factor común el coeficiente principal. Ejemplos:
𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 − 1)2
𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
1
8𝑥 3 − 1 = 8 (𝑥 3 − )
8
−3𝑥 3 + 15𝑥 2 − 24𝑥 + 12 = −3(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)2
Indica el caso aplicado
a. −4𝑥 2 + 8𝑥 − 4
= −4(𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
= −4(𝑥 − 1)2
b. 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3
= 𝑥 2 (𝑥 − 3) − (𝑥 − 3)
2
= (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
= (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
3
1
c. −2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2 𝑥 + 4
3
3
1
= −2 (𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − )
2
4
8
1 3
= −2 (𝑥 − )
2
Expresa la función en función de sus raíces
a. 𝑥 4 − 𝑥 2
b. 𝑥 3 + 𝑥 2 +
h. 20𝑥 3 − 60𝑥 2 + 45𝑥
i. 𝑥 5 − 4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 32
1
𝑥
4
1
j.
2𝑥 3 −16
9
4
k.
c. 𝑥 6 − 16 𝑥 2
d.
3
e. −𝑥 + 3𝑥 −
l.
9 2
𝑥
4
2
1 4
𝑥
2
3 5
𝑥
4
2
− 3𝑥 3 + 6𝑥 2 − 4𝑥
3
− 32 𝑥 2
1
3𝑥 − 3
m. 2𝑥 2 + 𝑥 +
f. 6𝑥 4 − 3𝑥 3 − 24𝑥 + 12𝑥
g. 3𝑥 4 − 4𝑥 2 + 1
1
8
1
n. 16𝑥 5 − 2
Ecuaciones de grado mayor que dos
Para resolver este tipo de ecuaciones hay que igualarlas a cero y factorizar. Ejemplo:
𝑥 3 − 𝑥 2 − 16𝑥 = −16
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
Aplicar la ley de nulidad del producto: para que un producto sea cero, tendrá que serlo al menos uno de sus factores.
𝑎∙𝑏 =0⟺𝑎 =0∨𝑏 =0
𝑥−4=0
𝑥=4
Por lo tanto 𝑆 = {4, −4,1}
Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 𝑥 3 − 𝑥 − 1 = −1
b) 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 + 10 = 16
c) 2𝑥 4 − 𝑥 3 − 22𝑥 2 = 8𝑥 2 + 3𝑥 3
d) 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 13𝑥 2 − 14𝑥 − 14 = −38
e) 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 7𝑥 + 7 = 10
f)
𝑥 5 + 4𝑥 3 + 16𝑥 2 = 8𝑥 2 − 32
∨
∨
𝑥+4=0
𝑥 = −4
∨
∨
𝑥−1=0
𝑥=1
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.
