Regla del Trapecio Corregida
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Regla del Trapecio Corregida Para encontrar esta regla de integración, debemos construir el polinomio interpolante de Hermite p (Ver Capı́tulo 6 de [1]) que cumpla: p(a) = f (a), p(b) = f (b), p0 (a) = f 0 (a), p0 (b) = f 0 (b). La forma de Newton de este polinomio es p(x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)2 (x − b) con 1 0 c0 = f (a), c1 = f 0 (a), c2 = (b−a) 2 [f (b) − f (a) − f (a)(b − a)], 1 2 0 0 c3 = (b−a)2 [f (b) + f (a)] − (b−a)3 [f (b) − f (a)]. Entonces, Z b Z f (x)dx ≈ a b p(x)dx = a (b − a)2 0 b−a [f (a) + f (b)] + [f (a) − f 0 (b)]. 2 12 La deducción usando la forma de Lagrange del polinomio puede ser vista en [2, Página 128]. Regla compuesta Dado un n, definimos h = (b − a)/n y xi = a + ih, i = 0, . . . , n. Entonces Z b f (x)dx = a n−1 X Z xi+1 i=0 ≈ f (x)dx xi n−1 Xn h 2 [f (xi ) + f (xi+1 )] + h2 0 12 [f (xi ) o − f 0 (xi+1 )] i=0 = " # n−1 X h h2 f (x0 ) + 2 f (xi ) + f (xn ) + [f 0 (x0 ) − f 0 (xn )]. 2 12 i=1 References [1] D. Kincaid, and W. Cheney. Numerical Analysis: Mathematics of scientific computing. Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, 1996. Second edition. [2] J. Stoer, and R. Bulirsch. Introduction to numerical analysis. Springer– Verlag, New York, 1993. Second edition. 1
