Regla del Trapecio Corregida

Regla del Trapecio Corregida
Para encontrar esta regla de integración, debemos construir el polinomio
interpolante de Hermite p (Ver Capı́tulo 6 de [1]) que cumpla:
p(a) = f (a), p(b) = f (b), p0 (a) = f 0 (a), p0 (b) = f 0 (b).
La forma de Newton de este polinomio es
p(x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)2 (x − b)
con
1
0
c0 = f (a), c1 = f 0 (a), c2 = (b−a)
2 [f (b) − f (a) − f (a)(b − a)],
1
2
0
0
c3 = (b−a)2 [f (b) + f (a)] − (b−a)3 [f (b) − f (a)].
Entonces,
Z b
Z
f (x)dx ≈
a
b
p(x)dx =
a
(b − a)2 0
b−a
[f (a) + f (b)] +
[f (a) − f 0 (b)].
2
12
La deducción usando la forma de Lagrange del polinomio puede ser vista en
[2, Página 128].
Regla compuesta
Dado un n, definimos h = (b − a)/n y xi = a + ih, i = 0, . . . , n. Entonces
Z
b
f (x)dx
=
a
n−1
X Z xi+1
i=0
≈
f (x)dx
xi
n−1
Xn
h
2 [f (xi )
+ f (xi+1 )] +
h2 0
12 [f (xi )
o
− f 0 (xi+1 )]
i=0
=
"
#
n−1
X
h
h2
f (x0 ) + 2
f (xi ) + f (xn ) + [f 0 (x0 ) − f 0 (xn )].
2
12
i=1
References
[1] D. Kincaid, and W. Cheney. Numerical Analysis: Mathematics of scientific
computing. Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, 1996. Second
edition.
[2] J. Stoer, and R. Bulirsch. Introduction to numerical analysis. Springer–
Verlag, New York, 1993. Second edition.
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