EL 57A clase 4 - U

Escuela de
Ingeniería
Universidad
de Chile
EL 57A SISTEMAS
ELECTRICOS DE POTENCIA
Clase 4: Introducción a Sistemas
de Potencia
Luis Vargas
AREA DE ENERGIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA
EL 57A Sistemas Eléctricos de Potencia
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Prof. Luis Vargas
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Otoño 2009
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Contenido (II)
2. Conceptos matemáticos básicos para el estudio de
sistemas trifásicos
2.1 Introducción
2.2 Sistemas de corriente alterna: términos y modelos
2.3 Sistemas equilibrados
2.4 Equivalentes monofásicos
2.5 Potencia en sistemas alternos
2.6 Magnitudes y cálculo en por unidad
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Introducción (I)
Herramientas básicas de análisis adquiridas en otros cursos
Cálculo con números complejos, representación fasorial, cálculo matricial,
funciones de transferencia.
Representación sinusoidal y fasorial de corrientes y voltajes
F tiene la propiedad de ser lineal y biyectiva.
Espacio Complejo
Dominio del tiempo
F
v
v' 
2V sin( t   )
Ve
2V sin(  t  t 0    )
F
F


1
Ve

j
j (   t0 )

2Vsen t     Ve j
F 1 Ve j   2Vsen t   
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Introducción (I)
Representación sinusoidal y fasorial de corrientes y voltajes
j
vmax
V´
v
imax
V


ωt0
t
i
j
V
VX

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I
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i
VR
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i
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Introducción (II)
Concepto de Valor Efectivo o RMS
1T 2
Vmax
V
 v t dt 
T0
2
Vrms 
Tiempo
Prom.
Vp
2
Relación entre valor efectivo (rms)
y forma de onda original
Voltaje
Voltaje2
Valor efectivo (rms) en
función de la potencia
Tiempo
Ref: White, Doering
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Ref: White, Doering
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Introducción (III)
Representación fasorial a través de Valor Efectivo
V  Ve
j
 V cos   j sin  
- La suma de dos funciones sinusoidales en el tiempo
corresponde con la suma de vectores en el plano
complejo.
- Derivadas y/o integrales de funciones del tiempo
(capacidades, inductancias) se traducen en el plano
complejo en giros de fasores. Ecuaciones diferenciales
comunes se transforman en ecuaciones algebraicas.
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Introducción (IV)
Diferenciación
Integración
F i (t )  F I max cos(t   )  I max e j
 i (t )dt 
di t  d I max cos(t   ) 

dt
dt
 I max sin(t   )

 I max cos(t    )
2
 
 di (t ) 

F
  F I max cos(t    )
2 
 dt 

 I max e
j  j

2
 F i (t )e
j

2
 jF i (t )
-Diferenciación -> fasor gira /2 en contra del sentido del reloj y es
amplificado en un factor 
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Introducción (V)
Voltaje en bobina
Voltaje en capacidad
1
v(t )   i (t )dt
C
di (t )
v(t )  L
dt
1
U
I   jX C I
j C
U  jLI  jX L I
XC: reactancia capacitiva
XL: reactancia inductiva
Representación general de una impedancia
Z
V
 Z (cos z  jsin z )
I
-Definiciones asociadas: R, X, Y, G, B
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Sistemas de Corriente Alterna, Términos y Modelos (I)
Representación de sistemas trifásicos
- 3 tensiones de igual magnitud desfasadas en 120o
- Carga simétrica --> tres corrientes de igual magnitud y desfasadas en 120

va t   Vmax cost  vb t   Vmax cos t  120o
Va
Vb
0
Vc
Ib
Ia
j
Vc
Ic
20
10
Ic
120 o
t / ms
Va

Ib
Vb
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
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o
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Ia
i
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Sistemas de Corriente Alterna, Términos y Modelos (II)
Relaciones válidas en sistemas equilibrados
V a Vb V c  0
- factor de giro
j120o
1
3
ae
  j
2
2
1
3
2
j 240o
a e
  j
2
2
2
1 a  a  0
- relaciones adicionales
1  a  3e
2
j 30 o
  ja 3
a  1  3e
j150o
  ja
a  a  3e
j 270 o
j 3
2
2
3
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Sistemas de Corriente Alterna, Términos y Modelos (III)
- Representación matemática de voltajes fase-neutro
Vc
Vca
V a V a
Vb  a Va
2
Vab
Ic
V c  aV a
- Relación entre voltajes fase-neutro y fase-fase
V ab  V a  V b  V a (1  a )  3V a e
j 30 o
V bc  V b  V c  V a (a  a)  3V a e
j 270 o
2
2
V ca  V c  V a  V a (a  1)  3V a e
Ib
Ia
Vb
j150 o
Esta operación puede realizarse en forma análoga para las corrientes
respectivas.
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Va
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Sistemas Equilibrados (I)
Cargas simétricas en conexión estrella
Conexión estrella Y
Z  Ze j z  R  jX
Z V aZ
Corrientes resultantes
Z V bZ
V az
V bz
V cz
Ia 
, Ib 
, Ic 
Z
Z
Z
Z V cZ
I a  aI b  a I c
c
2
b
a
Corriente por el neutro
I N  Ia  Ib  Ic  0
Razón por la cual es posible eliminar conductor neutro
V  3V
I I
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Sistemas Equilibrados (II)
Cargas simétricas en conexión delta
Conexión delta 
Z  Ze j z  R  jX
Corrientes resultantes
I ab
V ab
V bc
V ca

, I bc 
, I ca 
Z
Z
Z
Para el circuito en Delta se cumple
1
I ab  I bc  I ca  V ab  V bc  V ca   0
Z
I a   I ca  I ab
Ia  Ib  Ic  0
I b  I bc  I ab
c
V ca
Z
b
V bc
Z
a
V ab
Z
V V
I c  I ca  I bc
I  3I 
¿Qué sucede en un cambio de conexión de estrella a delta, para el caso de cargas iguales?
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Equivalentes Monofásicos (I)
Representación fasorial de consumos trifásicos
- Relación válida en general para consumos trifásicos
V a   A B C I a 
  
 

V b   C A B I b 
V c   B C A I c 
Red constituida por
elementos pasivos !
- Caso particular: conexión
simétrica, considerando
acoplamiento entre conductores
- Caso particular: conexión
simétrica, sin considerar
acoplamiento entre conductores
V a   A B B   I a 
  
 I 
V
A
B
b  B
  
 b 
V c   B B A  I c 
V a   A 0 0   I a 
  
 I 
V

0
A
0
 b 
 b 
V c   0 0 A  I c 
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Matriz
cíclica !!
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Equivalentes Monofásicos (II)
- Suficiencia de representación monofásica
I N  0; 
 I a  ( I b  I c )
V a  AI a  B( I b  I c )
B
N1
Va


 ( A  B)
Ia
B
A
B
A
A
Análogamente para otros conductores
V a   A B B I a 
  
 I 
V
A
B
b  B
  
 b 
V c  B B A I c 
Va
A B
Matriz
cíclica
y simétrica
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N1  N 2  N
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N2
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Potencia en Sistemas Alternos (I)
Potencia instantánea
vt   Vmax sint 
V 0
i  t   I max sin t   
I 
1
sin x sin y  (cos( x  y )  cos( x  y ))
2
Vmax I max
p(t )  v(t )i (t ) 
(cos( )  cos(2t   ))
2
 VI cos( )  VI cos(2t   )
Propiedad
trigonométrica
Potencia
aparente
Potencia instantánea transmitida: forma sinusoidal, doble
de la frecuencia de la tensión aplicada, oscila en torno a
valor promedio (potencia media, real o activa).
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Potencia en Sistemas Alternos (II)
Potencia instantánea en forma gráfica
V
I
p (t )  VI cos( )  VI cos(2t   )
 P (1  cos(2t ))  Q sin(2t )

P  VI cos( ) Potencia activa (MW)
Q  VI sin( ) Potencia reactiva (MVAr)
VI cos( )
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Potencia en Sistemas Alternos (III)
Potencia activa, reactiva y aparente en forma gráfica
v t 
i t 
P  VI cos( )

 
p t 
 
 

 
tt
p t 
P(1  cos(2t ))
P  VI cos( )
Q  VIsen( )
Qsen(2t )
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t
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Potencia en Sistemas Alternos (IV)
Potencia fasorial o potencia compleja
V  V 0
S
*
S  V I  VI cos   jVI sin 
o
*
I  I  
 P  jQ  Z I I  Z I
2
Circuito trifásico
p3  vaia  vbib  vcic

 
 
 

p3 VIcos   cos2t    cos   cos2t  240o    cos   cos2t  480o  

 2VI sint sint   sint 120o sint 120o   sint  240o sint  240o 
p3  3VI cos  3Vf nI cos  3Vf  f I cos  3p1
La potencia instantánea trifásica es constante y vale 3 veces la potencia media de
cada fase. De lo anterior se desprende que no existe una potencia reactiva trifásica (si
existe por cada una de las fases --> caso similar al de las corrientes).
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Magnitudes y Cálculo en por Unidad (I)
Definición
Un sistema en „por unidad“ o en „tanto por uno“ se realiza expresando las
diversas magnitudes eléctricas (V, I, Z, etc.) como proporciones de magnitudes
base o de referencia apropiadas:

Valor( pu)  Valoro / 1 
Valor real
Valor base
Ventajas
- Debido a que los valores reales se mueven entre fronteras estrechas, se
facilita la detección de valores erróneos.
- Se simplifica el trabajo a través de distintos niveles de tensión, debido a que
en el modelo equivalente no es necesario considerar el transformador ideal.
Estos pueden ser reemplazados por su impedancia serie equivalente
- En el sistema expresado en „por unidad“, los valores de los voltajes son
cercanos a uno.
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Magnitudes y Cálculo en por Unidad (II)
Sistemas Monofásicos
- V, I, S, Z, son cantidades relacionadas entre sí --> fijando dos
valores --> se fijan los otros dos.
- Generalmente se emplea la tensión VB (kV) y la potencia aparente SB
(MVA) como bases de referencia --> bases de corriente (A) e
impedancia () se calculan posteriormente
IB 
SB
VB
ZB 
2
VB V B
S B  VB I B  VB

ZB ZB
V B2
VB

I B SB
Z B  X B  RB
- Valores base son escalares !
PB  QB  S B
- Forma general de cálculo para magnitudes conocidas!
V pu 
V Volts
VB Volts
I pu
I Amp.

I B Amp.
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S pu 
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S VoltAmp.
S B VoltAmp.
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Z pu 
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Z Ohm
Z B Ohm
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Magnitudes y Cálculo en por Unidad (III)
- Transformador
V1n V2 n
I
N1
II
N2
- Transformador con razón de transformación N1:N2 e impedancia serie Z
- Suponemos impedancia referida al lado I, Z1
2
- Z1 puede ser referido al lado II como
N 
Z 2   2  Z1
 N1 
- Definiendo impedancias base para cada uno de los sectores se obtiene:
Z BI 
Si
V BI2
SB
Z BII 
V BII2
SB
ZS
Z1 ( pu )  1 2 B
V BI
2
Z 2 V BI
Z 2 ( pu ) 
Z1 ( pu )
2
Z1 V BII
VBII N 2

VBI
N1
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Z 2 ( pu ) 
Z2SB
V BII2
2
2
 N 2  V BI
Z 2 ( pu )    2 Z1 ( pu )
 N1  V BII
Z 2 ( pu )  Z1 ( pu )
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Magnitudes y Cálculo en por Unidad (IV)
Situación de cálculo en pu en sistema monofásico
Generador
datos
entregados
en base propia
10 MVA
15 kV
Transformador
datos
entregados
en base propia
25 MVA
10:100 kV
Datos de Línea
y consumos
entregados en otras
bases
Seleccionar una potencia base común para
todo el sistema (ejemplo 10 MVA)
Voltajes base para el sector verde y rojo deben ser elegidos,
de forma que la razón entre ellos sea 1:10
(ejemplo 10 kV (verde) y 100 kV (rojo))
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Magnitudes y Cálculo en por Unidad (V)
Operatoria General
1- Se elige una potencia base SB común a todo el sistema
2- Se elige una tensión base en alguno de los sectores. Criterio de
simplicidad para calcular otras tensiones base en el sistema
3- Las tensiones base en los sectores deben cumplir las relaciones
VBI V1n

VBII V2n
V1n V2n
Z2
Z1
sec tor I
sec tor II
4- Teniendo VB y SB en cada sector --> impedancias en por uno (cuidado
con valores expresados en base propia !)
S B1  VB 2 


Z ( pu base 1)  Z ( pu base 2)
S B 2  VB1 
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2
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Magnitudes y Cálculo en por Unidad (VI)
Sistemas trifásicos
Para los sistemas trifásicos se tienen las mismas ventajas y procedimientos
antes señalados, en la medida que se respeten las siguientes reglas:
1- Se hace uso de una potencia base trifásica común para todo el sistema
S base 3  3S base 1
2- Una vez elegido un voltaje base en un punto del sistema, los voltajes
base para otros sectores deben variar acorde a la razón de
transformación fase-fase de los transformadores.
3- Fórmulas convenientes que relacionan sistemas trifásicos y monofásicos
S base 1  Vbase f  n I base
I base 1 
S base1
V base1
S base 3

V base f -f
2
3  1 S base 3
3 V base 3
3
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Z base 
-
2
V base
f n
S base 1
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V base f  f



2
3
V



 base f  f
S base 3
S base 3
3
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