Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- SOLUCIONARIO Primera Prueba de Cátedra Física Contemporánea Semestre de Primavera 25 de noviembre de 2008 Problema obligatorio: 1. (3.0 ptos.) Una partícula de m = 1.0 ( kg ) se mueve a lo largo del eje x sometida a las siguientes fuerzas: i) una fuerza armónica dirigida hacia el origen: Fe = −10 x , ii) una fuerza de roce Fr = −6 x y iii) una fuerza externa F = 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t ) . a) Escriba la ecuación de movimiento b) Encuentre la solución xH de la ecuación homogénea. Determine si la solución es transientes o no, y en caso afirmativo, diga de qué tipo se trata. c) Encuentre la solución particular x p de la ecuación inhomogénea d) Escriba la solución general del movimiento e) Haga un dibujo esquemático, pero correcto, de la solución general Solución: a) Escriba la ecuación de movimiento Usando la segunda ley de Newton, se escribe FR = −10 x − 6 x + 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t ) = mx (1) Dado que m = 1.0 ( kg ) , escribimos x + 6 x + 10 x = 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t ) (2) b) Encuentre la solución xH de la ecuación homogénea. Determine si la solución es transiente o no, y en caso afirmativo, diga de qué tipo se trata. La ecuación homogénea viene dada por xH + 6 x H + 10 xH = 0 (3) Postulamos que la solución tiene la siguiente forma: xH = eα t (4) _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial (3), se obtiene una ecuación algebraica de segundo grado: α 2 + 6α + 10 = 0 (5) α = 3±i (6) cuya solución viene dada por La solución de la parte homogénea se expresa en la forma: xH = Ae −3t + it + Be −3t −it (7) xH = e −3t ( Aeit + Be − it ) (8) Donde A y B son constantes indeterminadas. Usando el teorema de Euler, esta solución se puede expresar como xH = Re −3t sin(t + φ0 ) (9) Donde R y φ0 son otras constantes indeterminadas. Esta solución es claramente armónica transiente y sub-amortiguada. c) Encuentre la solución particular x p de la ecuación inhomogénea Dada la forma de la parte inhomogénea, proponemos la siguiente solución particular: x p = a cos ω1t + b sin ω1t + c cos ω2t + d sin ω2t (10) Las constantes deben ser determinadas al reemplazar esta solución en la ecuación diferencial inhomogénea (2). Derivando y reemplazando en la ecuación (2), se tiene: ( −ω a cos ω t − bω 2 1 1 2 1 sin ω1t − cω22 cos ω2 t − d ω22 sin ω2 t ) + 6 ( −aω1 sin ω1t + bω1 cos ω1t − cω2 sin ω2 t + d ω2 cos ω2 t ) + (11) 10 ( a cos ω1t + b sin ω1t + c cos ω2 t + d sin ω2 t ) = 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t ) Juntando términos semejantes al lado izquierdo y luego comparando con los términos del lado derecho, se obtienen relaciones entre los coeficientes de las funciones trigonométricas, que permiten que la relación (11) sea válida ∀t . Específicamente, se obtiene a (10 − ω12 ) + 6ω1b = 2 b (10 − ω12 ) − 6ω1a = 0 (12) y d (10 − ω22 ) − 6ω2 c = 3 c (10 − ω22 ) + 6ω2 d = 0 (13) _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Resolviendo estos sencillos sistemas, se obtiene, a= c= 2 (10 − ω12 ) ⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤ 1 1 ⎣⎢ ⎦⎥ −18ω2 ⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤ 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ; b= ; d= 12ω1 ⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤ 1 1 ⎣⎢ ⎦⎥ 3 (10 − ω22 ) ⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤ 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ (14) (15) d) Escriba la solución general del movimiento La solución general viene dada por x(t ) = xH + x p . Usando (9) y (10), escribimos xH = Re −3t sin(t + φ0 ) + a cos ω1t + b sin ω1t + c cos ω2 t + d sin ω2 t (16) Donde R y φ0 son constantes arbitrarias y a , b , c y d son conocidas de acuerdo a (14) y (15). Esta solución tiene una parte transiente armónica (amortiguada) y una parte estacionaria que también es armónica. e) Haga un dibujo esquemático, pero correcto, de la solución general Problemas optativos: 2. (3.0 ptos.) Dos oscilaciones armónicas de igual frecuencia y distinta dirección, se superponen en un lugar del espacio. x = 3cos ( 2t + φ0 ) π⎞ ⎛ y = 4sin ⎜ 2t + ⎟ 6⎠ ⎝ (17) a) Calcule la ecuación de la trayectoria de una partícula sometida a la acción simultánea de los dos osciladores. b) Analice los tipos de movimiento que resultan para los siguientes valores distintos de las constante de fase iniciales: φ0 = π 6 , φ0 = 2π 5π y φ0 = . En cada caso, haga un dibujo 3 12 esquemático, pero correcto, de la trayectoria que resulta. _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Solución: a) Calcule la ecuación de la trayectoria de una partícula sometida a la acción simultánea de los dos osciladores. En primer lugar definamos la resta de las dos constantes de fase usando el parámetro δ : δ = φ0 − π 6 , lo que implica que φ0 = π 6 + δ , y escribamos las dos relaciones (17), en la siguiente forma: π ⎛ ⎞ x = 3cos ⎜ 2t + + δ ⎟ 6 ⎝ ⎠ π⎞ ⎛ y = 4sin ⎜ 2t + ⎟ 6⎠ ⎝ Definamos una variable temporal γ = 2t + π 6 (18) , entonces (18), queda: x = 3cos ( γ + δ ) (19) y = 4sin γ Ahora despejemos las funciones trigonométricas en la forma: x = cos ( γ + δ ) 3 y = sin γ 4 (20) Aplicando la fórmula del coseno de la suma a la ecuación para x , escribimos: x = cos γ cos δ − sin γ sin δ 3 y = sin γ 4 (21) Ahora podemos eliminar el seno y el coseno de γ de la relación para x , usando la relación para y . Recordemos que y2 42 (22) x y2 y = 1 − 2 cos δ − sin δ 3 4 4 (23) cos γ = 1 − sin 2 γ = 1 − Reemplazando en la relación (21), se tiene Reordenando y elevando al cuadrado, se tiene _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⎛ y2 ⎞ ⎛x y ⎞ 2 sin δ cos δ 1 + = − ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎝3 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ (24) x2 y2 y2 xy 2 + sin δ + cos 2 δ + 2 sin δ = cos 2 δ 2 2 2 3 4 4 12 (25) x2 y2 xy + 2 + 2 sin δ = cos 2 δ 2 3 4 12 (26) 2 Esta relación representa una elipse con sus ejes girados respecto de los ejes x, y . b) Analice los tipos de movimiento que resultan para los siguientes valores distintos de las constante de fase iniciales: φ0 = Dado que δ = φ0 − π 6 π 6 , φ0 = , entonces, si φ0 = π 6 2π 5π y φ0 = . 3 12 , se tiene que δ = 0 . En ese caso, la relación (26), queda x2 y 2 + =1 32 42 (27) Esta relación representa una elipse con los ejes coincidentes con los ejes x, y si φ0 = 2π π , se tiene que δ = . En ese caso, la relación (26), queda 2 3 x2 y 2 xy + 2 +2 =0 2 3 4 12 (28) Que se puede escribir como un cuadrado de binomio: 2 ⎛x y⎞ ⎜ + ⎟ =0 ⎝3 4⎠ (29) Por lo tanto, se debe cumplir que y=− 4x 3 (30) Que corresponde a la ecuación de un segmento de línea recta _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- si φ0 = 5π π , se tiene que δ = . En ese caso, la relación (26), queda 4 12 π π x2 y2 xy + 2 + 2 sin = cos 2 2 3 4 12 4 4 (31) x2 y 2 2 1 + 2 + xy = 2 3 4 12 2 (32) Esta relación representa a una elipse con los ejes corridos. 3. (3.0 ptos.) Un sistema masa-resorte con m = 1.0 ( kg ) , realiza un movimiento armónico simple, dado por la ecuación: x(t ) = C cos(2.7t ) + D sin(2.7t ) a) (33) Calcule el periodo T del oscilador y la constante k del resorte. 2π ⎛ rad ⎞ La frecuencia del oscilador es ω = 2.7 ⎜ , el periodo T viene dado por ⎟ , y dado que ω = T ⎝ s ⎠ 2π 2.7 (34) T = 2.327( s ) (35) k = mω 2 (36) T= 2π ω = La constante k viene dada por _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⎛N⎞ k = 1.0 × 2.7 2 = 7.27 ⎜ ⎟ ⎝m⎠ b) (37) ⎛ cm ⎞ ⎟ , calcule las ⎝ s ⎠ Si en t = 0( s ) las condiciones iniciales son: x(0) = 2(cm) y x (0) = 8.1⎜ constantes C y D . Escriba la ecuación resultante con dichas constantes. Evaluando la relación (33) en t = 0 , se tiene x(0) = 2(cm) = C cos(2.7 × 0) + D sin(2.7 × 0) (38) 2 = C cos(0) (39) C=2 (40) Derivando la relación (33) para obtener la velocidad, escribirmos x (t ) = −2.7C sin(2.7t ) + 2.7 D cos(2.7t ) (41) Evaluando en t = 0 , se tiene, ⎛ cm ⎞ x (t ) = 8.1⎜ ⎟ = −2.7C sin(2.7 × 0) + 2.7 D cos(2.7 × 0) ⎝ s ⎠ (42) 8.1 = 2.7 D cos(0) (43) D=3 (44) Ahora podemos escribir la relación (33), usando los valores de las constantes x(t ) = 2 cos(2.7t ) + 3sin(2.7t ) c) (45) A partir del resultado anterior, escriba la ecuación (33) en la forma x(t ) = A sin(2.7t + φ0 ) (46) y calcule explícitamente los valores de la amplitud A y de la constante de fase φ0 . Usando (45), y definiendo A = 22 + 32 = 13 , escribimos 3 ⎛ 2 ⎞ x(t ) = A ⎜ cos 2.7t + sin 2.7t ⎟ 13 ⎝ 13 ⎠ (47) Usando la fórmula del seno suma sin(2.7t + φ0 ) = ⎡⎣sin φ0 cos ( 2.7t ) + cos φ0 sin ( 2.7t ) ⎤⎦ , comparando con (47), podemos definir lo siguiente sin φ0 = 2 13 , cos φ0 = 3 13 (48) Entonces, la relación (47) queda, _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected] Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x(t ) = A sin(2.7t + φ0 ) (49) donde ⎛2⎞ ⎝ ⎠ φ0 = arctan ⎜ ⎟ = 0.588 ( rad ) 3 (50) y A = 22 + 32 = 13 . Finalmente podemos escribir: x(t ) = 13 sin(2.7t + 0.588) d) (51) Hallar todos los tiempos para los cuales se cumple que Ec = 0.36 E , donde Ec es la energía cinética y E es la energía total del oscilador. La energía total del oscilador vale E = energía cinética viene dada por Ec = 1 2 kA , donde A es la amplitud obtenida en (51). La 2 1 2 mx . Aplicando la condición dada para la energía cinética, 2 se tiene Ec = 1 2 ⎛1 ⎞ mx = 0.36 ⎜ kA2 ⎟ 2 ⎝2 ⎠ (52) Usando la relación general (46), la velocidad viene dada por x (t ) = 2.7 A cos(2.7t + φ0 ) (53) Reemplazando en la relación (52), se tiene m2.7 2 A2 cos 2 (2.7t + φ0 ) = 0.36kA2 cos 2 (2.7t + φ0 ) = 0.36k m2.7 2 (54) (55) Pero k = mω 2 = 2.7 2 , luego, (55), queda cos(2.7t + φ0 ) = 0.6 (56) De esta relación se obtiene la siguiente condición: 2.7t + φ0 = arccos(0.6) + nπ , n ∈ ] (57) Usando φ0 = 0.588 ( rad ) , se tiene 2.7tn + 0.588 = 0.9273 + nπ , n ∈ ] (58) tn = 0.1257 + 1.57n, n ∈ ] (59) Finalmente, _________________________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected], [email protected]