1.0 m kg = ω ω ω ω 1.0 m kg = ω ω

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
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SOLUCIONARIO
Primera Prueba de Cátedra
Física Contemporánea
Semestre de Primavera
25 de noviembre de 2008
Problema obligatorio:
1. (3.0 ptos.) Una partícula de m = 1.0 ( kg ) se mueve a lo largo del eje x sometida a las
siguientes fuerzas: i) una fuerza armónica dirigida hacia el origen: Fe = −10 x , ii) una fuerza de
roce Fr = −6 x y iii) una fuerza externa F = 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t ) .
a) Escriba la ecuación de movimiento
b) Encuentre la solución xH de la ecuación homogénea. Determine si la solución es
transientes o no, y en caso afirmativo, diga de qué tipo se trata.
c) Encuentre la solución particular x p de la ecuación inhomogénea
d) Escriba la solución general del movimiento
e) Haga un dibujo esquemático, pero correcto, de la solución general
Solución:
a) Escriba la ecuación de movimiento
Usando la segunda ley de Newton, se escribe
FR = −10 x − 6 x + 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t ) = mx
(1)
Dado que m = 1.0 ( kg ) , escribimos
x + 6 x + 10 x = 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t )
(2)
b) Encuentre la solución xH de la ecuación homogénea. Determine si la solución es transiente o
no, y en caso afirmativo, diga de qué tipo se trata.
La ecuación homogénea viene dada por
xH + 6 x H + 10 xH = 0
(3)
Postulamos que la solución tiene la siguiente forma:
xH = eα t
(4)
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Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial (3), se obtiene una ecuación algebraica de
segundo grado:
α 2 + 6α + 10 = 0
(5)
α = 3±i
(6)
cuya solución viene dada por
La solución de la parte homogénea se expresa en la forma:
xH = Ae −3t + it + Be −3t −it
(7)
xH = e −3t ( Aeit + Be − it )
(8)
Donde A y B son constantes indeterminadas. Usando el teorema de Euler, esta solución se puede
expresar como
xH = Re −3t sin(t + φ0 )
(9)
Donde R y φ0 son otras constantes indeterminadas. Esta solución es claramente armónica
transiente y sub-amortiguada.
c) Encuentre la solución particular x p de la ecuación inhomogénea
Dada la forma de la parte inhomogénea, proponemos la siguiente solución particular:
x p = a cos ω1t + b sin ω1t + c cos ω2t + d sin ω2t
(10)
Las constantes deben ser determinadas al reemplazar esta solución en la ecuación diferencial
inhomogénea (2). Derivando y reemplazando en la ecuación (2), se tiene:
( −ω a cos ω t − bω
2
1
1
2
1
sin ω1t − cω22 cos ω2 t − d ω22 sin ω2 t ) +
6 ( −aω1 sin ω1t + bω1 cos ω1t − cω2 sin ω2 t + d ω2 cos ω2 t ) +
(11)
10 ( a cos ω1t + b sin ω1t + c cos ω2 t + d sin ω2 t ) = 2cos(ω1t ) + 3sin(ω2t )
Juntando términos semejantes al lado izquierdo y luego comparando con los términos del lado
derecho, se obtienen relaciones entre los coeficientes de las funciones trigonométricas, que permiten
que la relación (11) sea válida ∀t . Específicamente, se obtiene
a (10 − ω12 ) + 6ω1b = 2
b (10 − ω12 ) − 6ω1a = 0
(12)
y
d (10 − ω22 ) − 6ω2 c = 3
c (10 − ω22 ) + 6ω2 d = 0
(13)
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Resolviendo estos sencillos sistemas, se obtiene,
a=
c=
2 (10 − ω12 )
⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤
1
1
⎣⎢
⎦⎥
−18ω2
⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤
2
2
⎢⎣
⎥⎦
; b=
; d=
12ω1
⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤
1
1
⎣⎢
⎦⎥
3 (10 − ω22 )
⎡(10 − ω 2 )2 + ( 6ω )2 ⎤
2
2
⎢⎣
⎥⎦
(14)
(15)
d) Escriba la solución general del movimiento
La solución general viene dada por x(t ) = xH + x p . Usando (9) y (10), escribimos
xH = Re −3t sin(t + φ0 ) + a cos ω1t + b sin ω1t + c cos ω2 t + d sin ω2 t
(16)
Donde R y φ0 son constantes arbitrarias y a , b , c y d son conocidas de acuerdo a (14) y (15).
Esta solución tiene una parte transiente armónica (amortiguada) y una parte estacionaria que
también es armónica.
e) Haga un dibujo esquemático, pero correcto, de la solución general
Problemas optativos:
2. (3.0 ptos.) Dos oscilaciones armónicas de igual frecuencia y distinta dirección, se superponen
en un lugar del espacio.
x = 3cos ( 2t + φ0 )
π⎞
⎛
y = 4sin ⎜ 2t + ⎟
6⎠
⎝
(17)
a) Calcule la ecuación de la trayectoria de una partícula sometida a la acción simultánea de los
dos osciladores.
b) Analice los tipos de movimiento que resultan para los siguientes valores distintos de las
constante de fase iniciales: φ0 =
π
6
, φ0 =
2π
5π
y φ0 =
. En cada caso, haga un dibujo
3
12
esquemático, pero correcto, de la trayectoria que resulta.
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Solución:
a) Calcule la ecuación de la trayectoria de una partícula sometida a la acción simultánea de los
dos osciladores.
En primer lugar definamos la resta de las dos constantes de fase usando el parámetro δ :
δ = φ0 −
π
6
, lo que implica que φ0 =
π
6
+ δ , y escribamos las dos relaciones (17), en la siguiente
forma:
π
⎛
⎞
x = 3cos ⎜ 2t + + δ ⎟
6
⎝
⎠
π⎞
⎛
y = 4sin ⎜ 2t + ⎟
6⎠
⎝
Definamos una variable temporal γ = 2t +
π
6
(18)
, entonces (18), queda:
x = 3cos ( γ + δ )
(19)
y = 4sin γ
Ahora despejemos las funciones trigonométricas en la forma:
x
= cos ( γ + δ )
3
y
= sin γ
4
(20)
Aplicando la fórmula del coseno de la suma a la ecuación para x , escribimos:
x
= cos γ cos δ − sin γ sin δ
3
y
= sin γ
4
(21)
Ahora podemos eliminar el seno y el coseno de γ de la relación para x , usando la relación para y .
Recordemos que
y2
42
(22)
x
y2
y
= 1 − 2 cos δ − sin δ
3
4
4
(23)
cos γ = 1 − sin 2 γ = 1 −
Reemplazando en la relación (21), se tiene
Reordenando y elevando al cuadrado, se tiene
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⎛
y2 ⎞
⎛x y
⎞
2
sin
δ
cos
δ
1
+
=
−
⎜
⎜
⎟
2 ⎟
⎝3 4
⎠
⎝ 4 ⎠
(24)
x2 y2
y2
xy
2
+
sin
δ
+
cos 2 δ + 2 sin δ = cos 2 δ
2
2
2
3
4
4
12
(25)
x2 y2
xy
+ 2 + 2 sin δ = cos 2 δ
2
3
4
12
(26)
2
Esta relación representa una elipse con sus ejes girados respecto de los ejes x, y .
b) Analice los tipos de movimiento que resultan para los siguientes valores distintos de las
constante de fase iniciales: φ0 =
Dado que δ = φ0 −
π
6
π
6
, φ0 =
, entonces, si φ0 =
π
6
2π
5π
y φ0 =
.
3
12
, se tiene que δ = 0 . En ese caso, la relación (26), queda
x2 y 2
+
=1
32 42
(27)
Esta relación representa una elipse con los ejes coincidentes con los ejes x, y
si φ0 =
2π
π
, se tiene que δ = . En ese caso, la relación (26), queda
2
3
x2 y 2
xy
+ 2 +2 =0
2
3
4
12
(28)
Que se puede escribir como un cuadrado de binomio:
2
⎛x y⎞
⎜ + ⎟ =0
⎝3 4⎠
(29)
Por lo tanto, se debe cumplir que
y=−
4x
3
(30)
Que corresponde a la ecuación de un segmento de línea recta
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si φ0 =
5π
π
, se tiene que δ = . En ese caso, la relación (26), queda
4
12
π
π
x2 y2
xy
+ 2 + 2 sin = cos 2
2
3
4
12
4
4
(31)
x2 y 2
2 1
+ 2 + xy
=
2
3
4
12 2
(32)
Esta relación representa a una elipse con los ejes corridos.
3. (3.0 ptos.) Un sistema masa-resorte con m = 1.0 ( kg ) , realiza un movimiento armónico simple,
dado por la ecuación:
x(t ) = C cos(2.7t ) + D sin(2.7t )
a)
(33)
Calcule el periodo T del oscilador y la constante k del resorte.
2π
⎛ rad ⎞
La frecuencia del oscilador es ω = 2.7 ⎜
, el periodo T viene dado por
⎟ , y dado que ω =
T
⎝ s ⎠
2π
2.7
(34)
T = 2.327( s )
(35)
k = mω 2
(36)
T=
2π
ω
=
La constante k viene dada por
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⎛N⎞
k = 1.0 × 2.7 2 = 7.27 ⎜ ⎟
⎝m⎠
b)
(37)
⎛ cm ⎞
⎟ , calcule las
⎝ s ⎠
Si en t = 0( s ) las condiciones iniciales son: x(0) = 2(cm) y x (0) = 8.1⎜
constantes C y D . Escriba la ecuación resultante con dichas constantes.
Evaluando la relación (33) en t = 0 , se tiene
x(0) = 2(cm) = C cos(2.7 × 0) + D sin(2.7 × 0)
(38)
2 = C cos(0)
(39)
C=2
(40)
Derivando la relación (33) para obtener la velocidad, escribirmos
x (t ) = −2.7C sin(2.7t ) + 2.7 D cos(2.7t )
(41)
Evaluando en t = 0 , se tiene,
⎛ cm ⎞
x (t ) = 8.1⎜
⎟ = −2.7C sin(2.7 × 0) + 2.7 D cos(2.7 × 0)
⎝ s ⎠
(42)
8.1 = 2.7 D cos(0)
(43)
D=3
(44)
Ahora podemos escribir la relación (33), usando los valores de las constantes
x(t ) = 2 cos(2.7t ) + 3sin(2.7t )
c)
(45)
A partir del resultado anterior, escriba la ecuación (33) en la forma
x(t ) = A sin(2.7t + φ0 )
(46)
y calcule explícitamente los valores de la amplitud A y de la constante de fase φ0 .
Usando (45), y definiendo A = 22 + 32 = 13 , escribimos
3
⎛ 2
⎞
x(t ) = A ⎜
cos 2.7t +
sin 2.7t ⎟
13
⎝ 13
⎠
(47)
Usando la fórmula del seno suma sin(2.7t + φ0 ) = ⎡⎣sin φ0 cos ( 2.7t ) + cos φ0 sin ( 2.7t ) ⎤⎦ , comparando
con (47), podemos definir lo siguiente
sin φ0 =
2
13
, cos φ0 =
3
13
(48)
Entonces, la relación (47) queda,
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x(t ) = A sin(2.7t + φ0 )
(49)
donde
⎛2⎞
⎝ ⎠
φ0 = arctan ⎜ ⎟ = 0.588 ( rad )
3
(50)
y A = 22 + 32 = 13 . Finalmente podemos escribir:
x(t ) = 13 sin(2.7t + 0.588)
d)
(51)
Hallar todos los tiempos para los cuales se cumple que Ec = 0.36 E , donde Ec es la
energía cinética y E es la energía total del oscilador.
La energía total del oscilador vale E =
energía cinética viene dada por Ec =
1 2
kA , donde A es la amplitud obtenida en (51). La
2
1 2
mx . Aplicando la condición dada para la energía cinética,
2
se tiene
Ec =
1 2
⎛1
⎞
mx = 0.36 ⎜ kA2 ⎟
2
⎝2
⎠
(52)
Usando la relación general (46), la velocidad viene dada por
x (t ) = 2.7 A cos(2.7t + φ0 )
(53)
Reemplazando en la relación (52), se tiene
m2.7 2 A2 cos 2 (2.7t + φ0 ) = 0.36kA2
cos 2 (2.7t + φ0 ) =
0.36k
m2.7 2
(54)
(55)
Pero k = mω 2 = 2.7 2 , luego, (55), queda
cos(2.7t + φ0 ) = 0.6
(56)
De esta relación se obtiene la siguiente condición:
2.7t + φ0 = arccos(0.6) + nπ , n ∈ ]
(57)
Usando φ0 = 0.588 ( rad ) , se tiene
2.7tn + 0.588 = 0.9273 + nπ , n ∈ ]
(58)
tn = 0.1257 + 1.57n, n ∈ ]
(59)
Finalmente,
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