Integración por Partes III Método Tabular

Integración por Partes III
Método Tabular
I.) INTEGRALES NO CÍCLICAS
El método tabular te va a permitir desarrollar cierto tipo de integrales sin tener que utilizar todos
los pasos de la integración por partes.
Para aplicar el método tabular a una integral (no cı́clica), la misma debe tener alguna de las siguientes formas:
Z
xn cos(ax)dx
(1)
Z
xn sen(ax)dx
Z
(3) xn ebx dx
(2)
donde n, a, b son constantes.
Explicaré el método con un ejemplo.
Z
Ejemplo 1: Usa el método tabular para resolver
x2 ex dx
Armarás una tabla que tenga una columna para derivar D y una columna para integrar I. En la
primera columna (D) colocarás el término xn de la integral (¡no el otro!) y lo derivarás hasta que
llegue a 0. En la segunda columna (I) colocarás el otro término y lo integrarás hasta que quede a
la par con el 0. Mira la tabla.
D
I
2
ex
2x
ex
2
ex
0
ex
x
1
Ahora, colocarás flechas y signos como se muestra en la siguiente tabla. Las flechas deben ser
diagonales y los signos van alternados, comenzando por +.
Para escribir la respuesta multiplicarás todo que este diagonal, o bien, cada cosa que esté al extremo
de una de las flechas y poniendo el signo que esté encima de la flecha. Con esto escribes la respuesta
de la siguiente manera:
Z
Z
x2 ex dx = +(x2 )(ex )-(2x)(ex )+(2)(ex ) + C
x2 ex dx = x2 ex − 2xex + 2ex + C = (x2 − 2x + 2)ex + C
Problema Práctico 1: Usa el método tabular para demostrar que
Z
x2 e
3x
2
dx =
2 3x
e 2 (9x2 − 12x + 8) + C
27
2
Z
Ejemplo 2: Usa el método tabular para resolver
x3 cos(2x)dx
Siempre comienza armando la tabla siguiendo las instrucciones del ejemplo anterior
Recuerda multiplicar en diagonal y poner el signo que esta sobre la flecha. Con eso puedes escribir
ya la solución a la integral:
Z
h sen(2x) i
h −cos(2x) i
h −sen(2x) i
h cos(2x) i
x3 cos(2x)dx = [x3 ]
− [3x2 ]
+ [6x]
− [6]
+C
2
4
8
16
=
x3 sen(2x) 3x2 cos(2x) 3xsen(2x) 3cos(2x)
+
−
−
+C
2
4
4
8
Puedes realizar algunas factorizaciones para dejar más nı́tida la respuesta.
1
Z
x2 sen(x)dx ≈ 0.223
Problema Práctico 2: Demuestra que
0
II.) INTEGRALES CÍCLICAS
El método tabular para las integrales cı́clicas es similar al método tabular para las integrales no
cı́clicas.
Para aplicar el método tabular a una integral (cı́clica), la misma debe tener alguna de las siguientes
formas:
Z
(1)
ebx cos(ax)dx
3
Z
(2)
ebx sen(ax)dx
donde b, a son constantes.
Z
Ejemplo 3: Usa el método tabular para encontrar la solución de
ex cos(x)dx
Nuevamente, explicaré el ejemplo paso por paso.
a.) Confecciona una tabla igual a la de los ejemplos anteriores. En este caso, la columna D puede
llevar cualquiera de los dos términos de la integral. La columna I llevará el término que quedó (no
importa el orden que escojas).
Pondré en la columna D el término ex y en la columna I el término cos(x) (te invito a intentarlo de
la otra manera y revisar respuestas). Integraré ( o derivaré, depende de lo que escogiste) la función
trigonometrica hasta volver a quedar en la misma. Osea, mi función trigonométrica original es
cos(x) por eso integré hasta obtener cos(x) nuevamente ( no importa si tiene un coeficiente al
frente ).
D
I
ex
cos(x)
x
e
sen(x)
ex
−cos(x)
b.) Al igual que en los ejemplos anteriores, colocaré flechas diagonales con signos alternados. La
única diferencia es que tendré una lı́nea horizontal en la última fila y esta no llevará ningún signo.
c.) Mi respuesta será la multiplicación de los términos a los extremos de la flecha y usando el signo
que diga la flecha (tal y como hice en los ejemplos anteriores). La diferencia es que meteré dentro
de una integral los términos que están unidos por la flecha horizontal. Te lo muestro
4
Z
ex cos(x)dx = +[ex ][sen(x)]-[ex ][−cos(x)] +
= ex sen(x) + ex cos(x) −
Z
Z
[ex ][−cos(x)]dx
ex cos(x)dx
Mira que la flecha horizontal no tiene signo por eso debes ponerle a la integral el signo de la
multiplicación de los dos términos, en este caso (+ex )(−cos(x)) = −ex cos(x) , por eso lleva un
negativo al frente. No olvides el diferencial.
Ahora diré I =
R
ex cos(x)dx. Finalizando el procedimiento
I = ex [sen(x) + cos(x)] − I
2I = ex [sen(x) + cos(x)]
I=
Z
ex
[sen(x) + cos(x)] + C
2
ex cos(x)dx =
ex
[sen(x) + cos(x)] + C
2
Listo. Ahora intenta el método tu mismo.
Z
Problema Práctico 3: Usa el método tabular para resolver
La respuesta es:
−e−x
2 [cos(x)
+ sen(x)] + C
Z
Problema Práctico 4: Usa el método tabular para resolver
La respuesta es:
ex
2 +2
2
e−x sen(x)dx
[cos(x2 + 1) + sen(x2 + 1)] + C
5
(2x)ex
2
+2
cos(x2 + 1)dx