AB@C77:>=9A` Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite

U.P.R.
MATE 4009
Departamento de Ciencias Matemáticas
RUM
Primer Examen Parcial
13 de septiembre de 2012
Nombre: ________________________________ Sección:_______
Instrucciones: Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de
libros, libretas, solo puede usar el papel especi…cado en clase. Está prohibido
consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar.
1.
Conteste las siguientes preguntas:
(a)
(4 puntos) Escriba una ecuación diferencial no lineal de orden 4.
Por ejemplo: xy (4)
(b)
(c)
y 0 = arctan x EDVS
R
R
dy = arctan xdx + c ) y = x arctan x
x
1
2
tan y 0 = x
ln 1! + x2 + c
(7 puntos) Halle la ecuación diferencial cuya solución general es y = c1 e2x +c2 e
La ED es: y 00
x
;
y0
y 0 = 2c1 e2x
c2 e
x
;
y 00 = 4c1 e2x + c2 e
x
2y = 0
(7 puntos) Veri…que que la familia de curvas y2
solución de la ecuación diferencial (2y 2) y0 = 2x 1
Derivando implíitamente: 2yy 0
(e)
1
(7 puntos) Resuelva la ecuación diferencial
y = c1 e2x + c2 e
(d)
(sin x) y 00 + ey y = sin
2y 0 = 2x
2y = x2
x+c
es una
1, que representa la ED dada.
(6 puntos) Determine si el teorema de existencia y unicidad se cumple
p
para el problema de valor inicial y0 = x 1 y;
y(1) = 1
3
p
f (x; y) = x 3 1
y es continua en un rectángulo que contiene a (1; 1) :
x
fy (x; y) =
2 no es continua en un rectángulo que contiene a (1; 1) ; por lo tanto no se
3 (1 y)
cumple el TEU.
1
x
(f)
(4 puntos) A continuación se muestra el campo direccional de la ecuación
diferencial y0 = sin x cos y; trace dos curvas soluciones que pasen por los puntos (1; 2) y (0; 1)
y
2
1
x
−2
−1
1
2
3
−1
−2
−3
(g)
(6 puntos) Dada la ecuación diferencial
números críticos y clasifíquelos.
Resolviendo la ecuación y (2 y) (4
y = 0 y y = 4; son inestables
y = 2 es asíntoticamente estable.
2.
dy
= y (2
dt
y) (4
y) ;
determine los
y) = 0 se obtienen los puntos críticos y = 0; y = 2; y = 4:
(13 puntos) Resuelva
h la ecuación diferencial
i con coe…cientes homogéneos
xdy = y +
p
x2 + y 2 dx
R
p 1
du
a2 +u2
= ln u +
p
a2 + u2
Considere: y = ux, diferenciando: dy = udx + xdu y sustituyendo en la ED:
p
p
x (udx + xdu) = ux + x2 + u2 x2 dx ) xudx + x2 du = uxdx + x 1 + u2 dx
p
Simpli…cando: x2 du = x 1 + u2 dx EDVS, integrando:
p
p
R du
R
p
= dx
1 + u2 = ln x + ln c ) u + 1 + u2 = cx
x + c ) ln u +
1+u2
q
2
Sustituyendo u = xy : xy + 1 + xy = cx
3.
(13 puntos) Resuelva la ecuación diferencial no exacta
determinando su factor integrando y luego resuélvala.
M = 6xy
My = 6x
)
N = 4y + 9x2
Nx = 18x
18x 6x
2
= = s (y)
6xy
y
R 2
dy
2
El factor intedrando es: u = e y = eln y = y 2
Se considera:
Nx
My
La ED no es exacta
M
=
f = 6xy 3
f = 18xy 2
M
M
) ey
3
2 2
e
N = 4y + 9x y
Nx = 18xy 2
La ED es exacta
2
6xydx+ 4y + 9x2 dy = 0;
R
f (x; y) =
6xy 3 dx + h(y) = 3x2 y 3 + h(y)
fy = 9x2 y 2 + h0 (y) = 4y 3 + 9x2 y 2 ) h (y) = y 4
La solución general es: f (x; y) = 3x2 y 3 + y 4 = c
4.
(13 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial no lineal
6
xy =
1=3
Dividiendo por x : y 0
Considere: u = y 1
n
=y
xy 0 = 6y + 12x4 y 2=3 .
12x3 y 2=3 , ED de Bernoulli con n = 2=3
; derivando implícitamente
u = 13 y 2=3 y 0 , multiplicando la ED por 13 y 2=3 , se obtiene:
1
2 1=3
2=3 0
y
= 4x3 que es una EDL de primer orden.
3y
xy
u0 x2 u = 4x3 , el factor integrando es:
R
2
ln x 2
2
x dx
0
v=e
2 0
x
x
d
dx
=x
; se tiene:
2x u = 4x, y se puede expresar:
2
u = 4x integrando:
R
x 2 u dx = 4xdx + c ) x
3
y 1=3 = 2 + cx2 ) y = 2 + cx2
5.
2
; multiplicando la última ED por x
3
u
d
dx
R
=e
2
u = x2 + c ) u = 2 + cx2 y sustituyendo u = y 1=3
(13 puntos) Halle la solución general de la ecuación diferencial
f (x);
y(0) = 2;
x si 0 x < 1
0 si
x 1
f (x) =
Resolvemos la EDL y 0 + 2xy = x para 0
R
Factor integrando: u = e
2
2
2
x<1
x2
2xdx
= e ; luego:
2
2
d
ex y = xex integrando:
ex y 0 + 2xex y = xex ) dx
R x2
R d
2
2
x2
xe dx + c1 ) ex y = 12 ex + c1 considerando las condiciones iniciales:
dx e y dx =
2=
1
2
+ c1 ) c1 =
Para x
R dy
y =
3
2
y se obtiene: y =
1
2
2
+ 23 ex para 0
x<1
1 : se resuelve la ED: y 0 + 2xy = 0 que es una EDVS:
R
2
2xdx + c ) ln y = x2 + c2 ) y = c2 e x
Por continuidad se tiene:
lim c2 e
x2
x!1+
= c2 e
1
y
1
2
lim
x!1
2
+ 32 ex
=
1
2
+ 32 e ) c2 e
1
=
1
2
+ 32 e ) c2 = 21 e +
La solución al problema de valor inicial es:
(
1
3 x2
si 0 x < 1
2 + 2e
y=
1
3
x2
e
+
e
si
x 1
2
2
6.
(11 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial
Considere la sustitución: z = y
x+5 y diferenciando: dz = dy
Sustituyendo en la ED:
dz + dx
dz
= 1 + ez )
= ez EDVS
dx
dx
R dz R
= dx + c ) e z = x + c sustituyendo z :
ez
e
(y x+5)
=
x+c)
(y
y 0 = 1 + ey
x + 5) = ln (c
x) ) y = x
3
5
x+5
dx ) dy = dz + dx
ln (c
x)
3
2
y 0 + 2xy =