U.P.R. MATE 4009 Departamento de Ciencias Matemáticas RUM Primer Examen Parcial 19 de septeimbre de 2013 Nombre: ________________________________ Sección:_______ Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de libros, libretas, solo puede usar el papel especi…cado en clase. Está prohibido consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar. Instrucciones: 1. Conteste las siguientes preguntas: (a) (4 puntos) Dada la ecuación diferencial y(4) (sin x) y00 + ex y0 + 4 ln y = cos indique su orden, grado, si es lineal y homogénea. 1 (x) Orden 4, no lineal y no homogénea. (b) (5 puntos) Resuelva la ecuación diferencial (c) Aplicando tan : y 0 = tan x la cual es una ED en varaibles separables. R R dy = tan xdx + c ) y = ln jsec xj + c 1 (y 0 ) = x (7 puntos) Halle la ecuación diferencial cuya solución general es y = c1 e Derivando dos veces a: y = c1 e x + c2 e2x y 0 = c1 e x + 2c2 e2x ; y 00 = c1 e x + 4c2 e2x Las constantes se eliminan al considerar la ED y 00 (d) tan y0 x +c2 e2x 2y = 0 (6 puntos) Determine si el teorema de existencia y unicidad se cumple y(1) = 0 para el problema de valor inicial y0 =pxy; p p p f (x; y) = xy = x y; considere un rectángulo que contenga al punto (1; 0) : El cual puede contener al punto (1; 0:001) en el cual la función f no está de…nida, por ende no es continua y por lo tanto no se cumple el teorema de existencia y unicidad. (e) (4 puntos) A continuación se muestra el campo direccional de la ecuación diferencial y0 = xx + yy ; trace dos curvas soluciones que pasen por los puntos ( 1; 1) y (1; 0) y 2 1 x −2 −1 1 2 −1 −2 −3 1 3 (f) (6 puntos) Dada la ecuación diferencial críticos y clasifíquelos. dy = y 2 +4y; determine dt los números f (y) = y 2 + 4y = y (y + 4) = 0, los números críticos son y = 4; y = 0: ( 1; 4) ( 4; 0) (0; 1) y+4 + + y = 4 es asíntoticamente estable ) y + y = 0 es inestable y (y + 4) + + 2. (10 puntos) Resuelva la ecuación diferencial con coe…cientes homogéneos Z p dy p 1 du = sin 1 ua + c x =y + x2 y 2 ; considere y = ux a u dx 2 2 Calculando el diferencial: dy = udx + xdu y luego sustituyendo en la ED, se obtiene: p p udx + xdu du = x u + 1 u2 simpli…cando se obtiene: = ux + x2 x2 u2 ) x u + x x dx dx p du u+x = u + 1 u2 eliminando u se obtiene la ED en variables separables: dx R R dx du p du x = 1 u2 ) p = + c integrando 2 dx x 1 u 3. sin 1 sin 1 (u) = ln x + c sustituyendo u se obtiene la solución general: y = ln x + c x (10 puntos) Resuelva la ecuación diferencial no exacta determinando su factor integrando y luego resuélvala. 6xydx+ 4y + 9x2 dy = 0; Calculamos las derivadas parciales correspondientes: My = 6x )la ED no es exacta. Nx = 18x Analizamos Nx My M = 18x 6x 2 = = f (y) 6xy y 2 dy 2 y Por lo tanto el factor integrando es dado por: u (y) = e = e2 ln y = eln y = y 2 R Luego se consideran: f = uM = 6xy 3 g = 18xy 2 M M fdx + N e dy = 0 es exacta. ) ey )la ED M 3 2 2 e N = uN = 4y + 9x y Nx = 18xy 2 Se calcula la función: R f (x; y) = 6xy 3 dx + g(y) = 3x2 y 3 + g(y) Luego derivando con respecto a y : fy = 9x2 y 2 + g 0 (y) = 4y 3 + 9x2 y 2 y se obtiene: g 0 (y) = 4y 3 ) g (y) = y 4 La solución general es: f (x; y) = 3x2 y 3 + y 4 = c 2 4. (11 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial no lineal Reescribiendo la ED se obtiene: y 0 considere la sustitución: u = y 1 3y 2 y = 2x 3y 2 y 0 1 2 2 2 3y xy n ) u0 y x x , y (1) = 1 y2 y = 21 xy 2 que es una ED de BErnoulli con n = 2: 2x = y 3 ) u0 = 3y 2 y; luego multiplicando la ED por 3y 2 : 3 y= 2x 3 dx 2x = e R 2y 0 = 3 2x que es una ED lineal 3 2 ln x = x 3=2 y multiplicando por v : El factor integrando es: v = e 3 5=2 3 x 3=2 y = 32 xx 3=2 ) x 3=2 u0 x y = 23 x 1=2 reescribiendo: x 3=2 u0 2x 2 R d R 3 1=2 x 3=2 u = + c ) x 3=2 u = 3x1=2 + c despejando u : 2x dx u = 3x2 + cx3=2 sustituyendo u por y 3 : y3 = 3x2 + cx3=2 ; luego x por 1 y y por 1: 1= 5. 3+c)c=4 (11 puntos) Halle la solución general de la ecuación diferencial y0 considere el cambio de variable u = ey : ex y +ex = 0, Reescribiendo la ED: y0 ex e ey y 0 u0 + ex = 0, multiplicando la ED por ey : ex + ex ey = 0 considerando u = ey ) u0 = ey y 0 y sustituyendo en la ED se obtiene: ex + uex = 0 la cual es una ED en variables separables: u0 R ex (1 R du 1 u u = ec 1 y e =1 6. y u) = 0 ) 1duu ex dx = 0 integrando: R ex dx = 0 ) ln (1 u) ex = c despejando para u : ce ex )u=1 ce ex sustituyendo u se obtiene la solución general: ex (11 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial 3x + 2y dy = ; dx 3x + 2y + 2 y (1) = 1 Considere el cambio de variable: z = 3x + 2y y diferenciando: dz = 3dx + 2dy y despejando dy : dz 3dx dy = y luego sustituyendo en la ED: 2 dz 3dx z dz 3 z dz 3 z 5z + 6 = ) = ) = + = EDVS 2dx z+2 2dx 2 z+2 2dx 2 z+2 2 (z + 2) R z+2 R dz = dx + c 5z + 6 1 4 6 z 5 + 25 ln z + 5 = x + c luego sustituyendo se obtiene: 1 5 (3x + 2y) + 4 25 ln 3x + 2y + 6 5 =x+c 3 7. (10 puntos) Un tanque contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Agua salada entra al tanque a una razón de 3 gal/min y contiene 1lb/gal. La mezcla sal del tanque a una razón de 3 gal/min, determine la cantidad de sal que el tanque contiene en el tiempo t y la cantidad máxima de sal que se puede acumular. Sea x(t) la cantidad de sal en el tiempo t, recuerde la ED asociada con este problema es: dx x x 3 (x 100) EDVS = ratein rateout = 3 1 3 =3 3 = 100 dt 100 + (3 3)t 100 R R dx 3 3 = 100) = 100 t + c ) x (t) = 100 + ce 3t=100 100 dt + c ) ln (x x 100 El valor de c se obtiene al sustituir t por 0 y x por 0: 0 = 100 + c ) c = 100 y se obtiene: x (t) = 100 100e 3t=100 : La cantidad máxima de sal que se puede acumular es 100 libras. 8. (10 puntos) Si la vida media de una sustancia radioactiva es de 32 días. Determine el tiempo en que 24 libras de una sustancia se convierten en 3 libras. Sea x(t) la cantidad de la sustancia radiactiva que queda en el tiempo t, recuerde la ED asociada con este problema es: dx = kx cuya solución general es: x (t) = cekt con las condiciones iniciales x (0) = 24; x (32) = 12 dt Para hallar los valores de las constantes se consideran las condiciones iniciales dadas: x (0) = ce0 = 24 ) c = 24 y se obtiene: x (t) = 24ekt ; luego: x (32) = 24e32k = 12 ) e32k = 32k = ln 2 ) k = x (t) = 24e ln 2 32 1 2 aplicando ln : y se obtiene la ecuación: ln 2 32 t Para determinar el tiempo en que quedan 3 libras de sal se resuelve la ecuación: 24e ln 2 32 t = 3 aplicando ln : 32 ln 8 32 3 ln 2 ln 2 ln 8 ) t = = = 96 días. 32 t = ln 2 ln 2 4