Instrucciones: Lea cada pregunta minuciosamente. No se

U.P.R.
MATE 4009
Departamento de Ciencias Matemáticas
RUM
Primer Examen Parcial
19 de septeimbre de 2013
Nombre: ________________________________ Sección:_______
Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de
libros, libretas, solo puede usar el papel especi…cado en clase. Está prohibido
consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar.
Instrucciones:
1.
Conteste las siguientes preguntas:
(a)
(4 puntos) Dada la ecuación diferencial y(4) (sin x) y00 + ex y0 + 4 ln y = cos
indique su orden, grado, si es lineal y homogénea.
1
(x)
Orden 4, no lineal y no homogénea.
(b)
(5 puntos) Resuelva la ecuación diferencial
(c)
Aplicando tan : y 0 = tan x la cual es una ED en varaibles separables.
R
R
dy = tan xdx + c ) y = ln jsec xj + c
1
(y 0 ) = x
(7 puntos) Halle la ecuación diferencial cuya solución general es y = c1 e
Derivando dos veces a: y = c1 e x + c2 e2x
y 0 = c1 e x + 2c2 e2x ; y 00 = c1 e x + 4c2 e2x
Las constantes se eliminan al considerar la ED y 00
(d)
tan
y0
x
+c2 e2x
2y = 0
(6 puntos) Determine si el teorema de existencia y unicidad se cumple
y(1) = 0
para el problema de valor inicial y0 =pxy;
p p
p
f (x; y) = xy = x y; considere un rectángulo que contenga al punto (1; 0) : El cual puede
contener al punto (1; 0:001) en el cual la función f no está de…nida, por ende no es continua y por
lo tanto no se cumple el teorema de existencia y unicidad.
(e)
(4 puntos) A continuación se muestra el campo direccional de la ecuación
diferencial y0 = xx + yy ; trace dos curvas soluciones que pasen por los puntos
( 1; 1) y (1; 0)
y
2
1
x
−2
−1
1
2
−1
−2
−3
1
3
(f)
(6 puntos) Dada la ecuación diferencial
críticos y clasifíquelos.
dy
= y 2 +4y; determine
dt
los números
f (y) = y 2 + 4y = y (y + 4) = 0, los números críticos son y = 4; y = 0:
( 1; 4) ( 4; 0) (0; 1)
y+4
+
+
y = 4 es asíntoticamente estable
)
y
+
y = 0 es inestable
y (y + 4)
+
+
2.
(10 puntos) Resuelva la ecuación
diferencial con coe…cientes homogéneos
Z
p
dy
p 1
du = sin 1 ua + c
x =y + x2 y 2 ; considere y = ux
a u
dx
2
2
Calculando el diferencial: dy = udx + xdu y luego sustituyendo en la ED, se obtiene:
p
p
udx + xdu
du
= x u + 1 u2 simpli…cando se obtiene:
= ux + x2 x2 u2 ) x u + x
x
dx
dx
p
du
u+x
= u + 1 u2 eliminando u se obtiene la ED en variables separables:
dx
R
R dx
du p
du
x
= 1 u2 ) p
=
+ c integrando
2
dx
x
1 u
3.
sin
1
sin
1
(u) = ln x + c sustituyendo u se obtiene la solución general:
y
= ln x + c
x
(10 puntos) Resuelva la ecuación diferencial no exacta
determinando su factor integrando y luego resuélvala.
6xydx+ 4y + 9x2 dy = 0;
Calculamos las derivadas parciales correspondientes:
My = 6x
)la ED no es exacta.
Nx = 18x
Analizamos
Nx
My
M
=
18x 6x
2
= = f (y)
6xy
y
2
dy
2
y
Por lo tanto el factor integrando es dado por: u (y) = e
= e2 ln y = eln y = y 2
R
Luego se consideran:
f = uM = 6xy 3
g = 18xy 2
M
M
fdx + N
e dy = 0 es exacta.
) ey
)la ED M
3
2 2
e
N = uN = 4y + 9x y
Nx = 18xy 2
Se calcula la función:
R
f (x; y) = 6xy 3 dx + g(y) = 3x2 y 3 + g(y)
Luego derivando con respecto a y : fy = 9x2 y 2 + g 0 (y) = 4y 3 + 9x2 y 2
y se obtiene: g 0 (y) = 4y 3 ) g (y) = y 4
La solución general es: f (x; y) = 3x2 y 3 + y 4 = c
2
4.
(11 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial no lineal
Reescribiendo la ED se obtiene: y 0
considere la sustitución: u = y 1
3y 2 y
=
2x
3y 2 y 0
1
2
2
2 3y xy
n
) u0
y
x
x
, y (1) = 1
y2
y
= 21 xy 2 que es una ED de BErnoulli con n = 2:
2x
= y 3 ) u0 = 3y 2 y; luego multiplicando la ED por 3y 2 :
3
y=
2x
3
dx
2x = e
R
2y 0 =
3
2x
que es una ED lineal
3
2 ln x = x 3=2 y multiplicando por v :
El factor integrando es: v = e
3 5=2
3
x 3=2 y = 32 xx 3=2 ) x 3=2 u0
x
y = 23 x 1=2 reescribiendo:
x 3=2 u0
2x
2
R d
R 3 1=2
x 3=2 u =
+ c ) x 3=2 u = 3x1=2 + c despejando u :
2x
dx
u = 3x2 + cx3=2 sustituyendo u por y 3 :
y3 =
3x2 + cx3=2 ; luego x por 1 y y por 1:
1=
5.
3+c)c=4
(11 puntos) Halle la solución general de la ecuación diferencial y0
considere el cambio de variable u = ey :
ex
y
+ex = 0,
Reescribiendo la ED:
y0
ex e
ey y 0
u0
+ ex = 0, multiplicando la ED por ey :
ex + ex ey = 0 considerando u = ey ) u0 = ey y 0 y sustituyendo en la ED se obtiene:
ex + uex = 0 la cual es una ED en variables separables:
u0
R
ex (1
R
du
1 u
u = ec
1
y
e =1
6.
y
u) = 0 ) 1duu ex dx = 0 integrando:
R
ex dx = 0 ) ln (1 u) ex = c despejando para u :
ce
ex
)u=1
ce
ex
sustituyendo u se obtiene la solución general:
ex
(11 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial
3x + 2y
dy
=
;
dx
3x + 2y + 2
y (1) = 1
Considere el cambio de variable: z = 3x + 2y y diferenciando: dz = 3dx + 2dy y despejando dy :
dz 3dx
dy =
y luego sustituyendo en la ED:
2
dz 3dx
z
dz
3
z
dz
3
z
5z + 6
=
)
=
)
= +
=
EDVS
2dx
z+2
2dx 2
z+2
2dx
2 z+2
2 (z + 2)
R z+2
R
dz = dx + c
5z + 6
1
4
6
z
5 + 25 ln z + 5 = x + c luego sustituyendo se obtiene:
1
5
(3x + 2y) +
4
25
ln 3x + 2y +
6
5
=x+c
3
7.
(10 puntos) Un tanque contiene inicialmente 100 galones de agua pura.
Agua salada entra al tanque a una razón de 3 gal/min y contiene 1lb/gal.
La mezcla sal del tanque a una razón de 3 gal/min, determine la cantidad
de sal que el tanque contiene en el tiempo t y la cantidad máxima de sal
que se puede acumular.
Sea x(t) la cantidad de sal en el tiempo t, recuerde la ED asociada con este problema es:
dx
x
x
3
(x 100) EDVS
= ratein rateout = 3 1 3
=3 3
= 100
dt
100 + (3 3)t
100
R
R
dx
3
3
=
100) = 100
t + c ) x (t) = 100 + ce 3t=100
100 dt + c ) ln (x
x 100
El valor de c se obtiene al sustituir t por 0 y x por 0:
0 = 100 + c ) c =
100 y se obtiene: x (t) = 100
100e
3t=100
:
La cantidad máxima de sal que se puede acumular es 100 libras.
8.
(10 puntos) Si la vida media de una sustancia radioactiva es de 32 días.
Determine el tiempo en que 24 libras de una sustancia se convierten en 3
libras.
Sea x(t) la cantidad de la sustancia radiactiva que queda en el tiempo t, recuerde la ED asociada con
este problema es:
dx
= kx cuya solución general es: x (t) = cekt con las condiciones iniciales x (0) = 24; x (32) = 12
dt
Para hallar los valores de las constantes se consideran las condiciones iniciales dadas:
x (0) = ce0 = 24 ) c = 24 y se obtiene: x (t) = 24ekt ; luego:
x (32) = 24e32k = 12 ) e32k =
32k =
ln 2 ) k =
x (t) = 24e
ln 2
32
1
2
aplicando ln :
y se obtiene la ecuación:
ln 2
32 t
Para determinar el tiempo en que quedan 3 libras de sal se resuelve la ecuación:
24e
ln 2
32 t
= 3 aplicando ln :
32 ln 8
32 3 ln 2
ln 2
ln 8 ) t =
=
= 96 días.
32 t =
ln 2
ln 2
4