Guıa Semana 6 - Universidad de Chile

Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo Diferencial e Integral 07-2
Guı́a
Semana 6
Ejercicios
1. Sea
Z R una función racional en la cual aparecen sólo sen x y cos x. Escribir la integral
R(sen x, cos x)dx usando el cambio de variable u = tan(x/2).
2. Usando integración por partes calcule las siguientes primitivas
Z
Z
Z
x
(k)
x2 senh(x).
(a)
x sen(x).
(f )
.
2
1
+
x
Z
Z
x
Z
√
.
(g)
(b)
x cos(x).
2
(l)
x2 cosh(x).
x −1
Z
Z
(c)
xex .
(h)
x2 sen(x).
Z
x2
Z
Z
(m)
.
1 + x2
(d)
x senh(x).
(i)
x2 cos(x).
Z
Z
Z
x2
2 x
√
.
(n)
(j)
x e .
(e)
x cosh(x).
x2 − 1
3. Establezca fórmulas de recurrencia para la expresión In , dada por
Z
Z
(a) In = xn sen(x).
(d) In = senn (x).
Z
Z
(b) In = xn cos(x).
(e) In = cosn (x).
Z
(c) In = xn ex .
4. Utilizando integración de funciones racionales calcule las siguientes primitivas
Z
Z
1
1
(a)
.
.
(d)
1+x
1 − x2
Z
Z
1
1
.
(b)
(e)
.
x2 + 2x + 1
(1
+
x2 )2
Z
1
(c)
.
1 + x2
5. Aplique el cambio de variable u = tan( x2 ) para calcular las siguientes primitivas
Z
Z
1
1
(a)
.
.
(d)
sen(x)
1 − cos(x)
Z
Z
1
1
(b)
.
.
(e)
cos(x)
sen(x) + cos(x)
Z
1
(c)
.
1 + sen(x)
Ejercicio 3.1
Problemas
P1. Calcular la siguiente integral
Z
sen(x)
dx.
1 + sen(x)
Z
cos(nx)
dx.
(cos(x))n
(1) Calcular I1 , I2 .
Z
sen(x)
(2) Calcular
dx.
(cos(x))n+1
(3) Encontrar una relación de recurrencia para expresar In+1 en función de In .
Z √ 2
a − x2
dx.
(b) Calcular la primitiva
x2
Z
dx
P3. (a) Calcule
.
x(ln(x) + ln2 (x))
Z
cos(x)
dx.
(b) Usando el cambio de variables tan( x2 ) = u, calcule
1 + cos(x)
Z
Z
(c) Sean I =
cos(ln(x))dx y J =
sen(ln(x))dx. Usando integración por partes,
P2. (a) Sea In =
plantee un sistema lineal que permita calcular I y J. Calcule I y J.
Z
5x2 + 12x + 1
dx.
P4. (a) Calcule
x3 + 3x2 − 4
Z
(b) Deducir una fórmula de recurrencia para Im,n = xm (ln(x))n dx. Use la fórmula
Z
para calcular x2 ln x.
2