1 tanh(x)

Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Pauta Certamen 2
1.
1. El valor de
R
1
tanh(x)
Z
1
dx =
tanh(x)
dx es:
Solución:
Z
cosh(x)
dx =
sinh(x)
Z
1
du
u
donde u = sinh(x)
ln | sinh(x) | +c
0
También (− ln | csch(x) | +c) = −
1
csch(x)
· −csch(x) coth(x) =
1
tanh(x)
2.
1. La ecuación del plano que pasa por los puntos P (1, −1, −2), Q(3, 1, 1)
y que es perpendicular al plano de ecuación x − 2y + 3z − 5 = 0 es:
Solución: < (4, −1, −2), (1, −2, 3) >= 0 y
4 · 1 − (−1) − 2 · (−2) = 9
4 · 3 − (1) − 2 · (1) = 9
4x − y − 2z = 9
3.
1. El valor de
R3
2
1
x2 −1
dx es:
Solución:
Z 3
2
Z 3
1
1 1
1
1
x−1 3
dx =
(
−
) dx = ln |
|]
2
x −1
x+1
2
x+1 2
2 2 x−1
Z 3
1
1
2
1
1 3
dx = (ln | | − ln | |) = ln( )
2
2
4
3
2 2
2 x −1
1
4.
1. Considere el subespacio de R3 dado por:
W = (x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + 3z = 0
de las siguientes proposiciones:
I.- La dimensión del subespacio sobre R es 2.
II.- W = h{(1, 2, 0) , (0, 3, 1)}i
1
, 1, 0 , (0, 0, 1)
III.- W =
2
son verdaderas:
Solución: Sólo I
y II
1
Como (0, 0, 1) ∈
, 1, 0 , (0, 0, 1) , pero (0, 0, 1) ∈
/ W , entonces III
2
es falsa.
Como W es un subespacio vectorial, 0 ≤ dimW ≤ 3, supongamos dimW =
3 entonces W = R3 , pero (1, 1, 1) ∈
/ W contradicción. Supongamos dimW =
0, pero (1, 2, 0) ∈ W , contradicción. Supongamos dimW = 1 entonces
W =< (1, 2, 0) >, pero como (0, 3, 1) ∈ W y es l.i con (1, 2, 0) contradicción.
Por lo tanto dimW = 2 y I es verdadera.
Como < (1, 2, 0), (0, 3, 1) > tiene dimensión 2 y está contenido en W
entonces son iguales y II es verdadera. Por lo tanto sólo I y II.
5.
1. El valor de
R2
1
√
4−x2
x2
dx es:
Solución: Si x = 2 sin θ, dx = 2 cos θdθ entonces:
Z
√
2
1
4 − x2
dx =
x2
arcsin 1
arcsin
1
2
2 cos θ2 cos θ
dθ =
4 sin2 θ
√
2
Z
Z
1
Z
1
2
Z
arcsin 1
arcsin
cot2 θdθ
1
2
π
4 − x2
arcsin 1
2
dx
=
(−
cot
θ
−
θ)
|
1 = (− cot θ − u) | π
arcsin 2
6
x2
√
4 − x2
π π
π π √
π
dx
=
cot
+
−
cot
− = 3−
2
x
6
6
2
2
6
2
6.
−
1. Para que valores de α el vector →
w = (2 , α , 2) pertenece al espacio
→
−
−
generado por los vectores v 1 = (1 , 2 , 1) y →
v 2 = (0 , −1 , 2) ?
−
Solución: Si el vector →
w = (2 , α , 2) pertenece al espacio generado por los
→
−
−
vectores v 1 = (1 , 2 , 1) y →
v 2 = (0 , −1 , 2) entonces existen m, n ∈ R
tales que:
(2, α, 2) = m(1, 2, 1) + n(0, −1, 2) = (m, 2m − n, m + 2m)
de donde m = 2 y n = 0 entonces 2m − n = 4 = α.
R
7. La integral 1∞ xp √dx1+x4 diverge para:
Solución:
∀ p ∈ ] − ∞, −1]
Z ∞
dx
dx
√
√ =J
≤
I=
p
4
p
x 1+x
x x4
1
1
J converge si y solo si p + 2 > 1 entonces I diverge para p ≤ −1.
Z
∞
8.
1. Considere la matriz
A=
2 1
−1 4
De las siguientes afirmaciones:
(I) λ = 3 es el único autovalor de A.
(II) (1, 1) es un autovector de A
(III) La matriz A es diagonalizable.
¿Cuál(es) es(son) verdadera(s)?
Solución:
det(A − xI) = (2 − x)(4 − x) + 1 = (x − 3)2 = 0
entonces I es verdadera. A(1, 1) = (3, 3), y II es verdadera. Como hay un
sólo vector propio A no es diagonalizable.
3
9.
1. La ecuación en coodenadas cartesianas de la curva r2 = 2 sin(2θ) es:
Solución: Como sin 2θ = 2 sin θ cos θ y x = r sin θ y = r cos θ entonces
x · y = r2 sin θ cos θ
r2 = 2 sin(2θ) = 2 sin 2θ = 4 sin θ · cos θ =
4yx
r2
por otra parte r2 = x2 + y 2 de donde:
(x2 + y 2 )2 = 4xy
11.
1. Sea V un espacio vectorial de dimensión tres y sea {v1 , v2 , v3 } ⊆ V un
conjunto linealmente independiente. Considere las siguientes afirmaciones:
(I) {v1 , v1 − v2 , v1 − v3 } es un conjunto l.i.
(II) {v1 , v2 , v3 , v4 } es l.d.
∀v4 ∈ V
(III) {v1 − 3v2 , , v2 − 4v3 , −2v1 + 4v2 + 8v3 } es un conjunto l.i.
Solución:
Sea
→
−
αv1 + β(v1 − v2 ) + γ(v1 − v3 ) = (α + β + γ)v1 − βv2 − γv3 = 0
como {v1 , v2 , v3 } es l.i entonces (α + β + γ) = 0, β = 0 y γ = 0 de donde
α = 0, β = 0 y γ = 0 entonces I es verdadera.
Como {v1 , v2 , v3 } es l.i y V tine dimensión 3 entonces es una base de V y
II es verdadera.
Claramente
(−2)(v1 − 3v2 ) + (−2)(v2 − 4v3 ) = −2v1 + 4v2 + 8v3
y entonces III es falso.
10..
4
1. El área común que determinan los cı́rculos r = sin(θ) y
es:
r = cos(θ)
Solución: se tiene sin θ = cos θ para θ = π4 del dibujo de r1 = sin(θ) y
r2 = cos(θ) y la simetrı́a de la región común, calculamos primero
Z π
Z π
π
1 4 2
1 4
1 1
1 π 1
1
r1 dθ =
sin θ2 dθ = ( θ − sin 2θ)]04 = ( − )
2 0
2 0
2 2
4
2 8 4
de donde el área es: A = ( π8 − 14 ).
12I.
1. Considere el espacio vectorial real R3 , π el plano de ecuación x+y +z =
1 y l la recta que pasa por el origen en la dirección de (1, 1, 1). Con
respecto a las afirmaciones:
(I) π es un subespacio vectorial de R3 .
(II) B = {(−1, −1, −1)} es una base de l.
(III) π ∩ l consiste de un punto en R3 .
Solución: El vector nulo (0, 0, 0) ∈
/ π entonces I es falsa. Como L =
{(t, t, t) | t ∈ R}, claramente (−1, −1, −1) es una base y II es verdadera.
L ∩ π = {( 31 , 13 , 13 )} y III es verdadera.
13..
1. El valor de la siguiente integral impropia:
R ∞ e−√x
√
dx
0
x
es:
Solución: Consideramos:
Z ∞ −√x
Z 1 − √x
Z d −√x
e
e
e
√ dx =
√ dx +
√ dx
x
x
x
0
c
1
√
Si u = x,
Z −√x
Z
e
√ dx = 2 e−u du = −2e−u
x
5
1
Z
c
√
e−
√
x
x
d
1
Z
1
dx +
lim+
c7→0
√
2
e− x
2
2
2
√ dx = (−2e−u )]1c + (−2e−u )]d1 = ( c − ) + ( − d )
e
e
e e
x
Z
√
e−
√
c
x
2
dx = (2 − )
e
x
de donde
Z
0
∞
√
e−
√
Z
lim
d7→∞
d
√
e−
√
1
x
x
dx =
2
e
x
x
dx = 2
14..
1. Considere la matriz A ∈ M3×3 (R) definida por


α 1 2
A= 0 β 3 
0 0 5
posee sólo dos valores propios y su traza es tal que traza(A) ≤ 7 para:
Con respecto a los valores de α y β que permitan verificar las condiciones previamente sealadas. Cuál (es) de las siguentes afirmaciones
es (son) correcta (s) ?
(I) α = β y α ≤ 1.
(II) α = β y β > 1.
(III) α = 5 y β = −3.
Solución: El polinomio caracterı́stico es PA (x) = (α − x)(β − x)(5 − x).
Si α = β y ellos son distintos de 5 hay dos valores propios, como α ≤ 1,
α + α + 5 ≤ 7 y I es verdadera.
Si α = β y ellos son distintos de 5 hay dos valores propios, como β > 1,
β + β + 5 > 7 y II es falsa.
Si α = 5 y β = −3, A tiene dos valores propios distintos y como 5 +
(−3) + 5 = 7 entonces III es verdadera.
6