Propiedades lineales de la integración

INTEGRAL INDEFINIDA
Propiedades lineales de la integración
  f  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx
 k  f ( x) dx  k   f ( x) dx (con k  )
Suma y resta
Producto de un nº real por una función
Integrales inmediatas
Tipo de
función
Nula
Constante
Fórmula general
f ( x)  0 
f ( x)  a 
 0 dx  C
 a dx  ax  C
(con a    0)
 g ( x) 
a
 g ( x)  g ( x) dx 
f ( x)   g ( x)   g ( x) 
a
Potencial
Exponencial
Casos particulares
a 1
(con a     1)
a
f ( x)  a g ( x )  g ( x) 
a 1
g ( x)
 g ( x) dx 
(con a  )
C
g ( x)
a
C
La
a
 x dx 
ax
C
La
 g ( x) dx  e g ( x )  C
x
 a dx 
e
e
g ( x)
x
dx  e x  C
1
Logarítmico
f ( x) 
g ( x)
 log a e 
g ( x)
f ( x)  cos g ( x)  g( x) 
f ( x)  sen g ( x)  g( x) 

 cos g ( x)  g( x) dx  sen g ( x)  C
 sen g ( x)  g( x) dx   cos g ( x)  C
f ( x)  sec2 g ( x)  g ( x) 
Trigonométrico
f ( x) 
f ( x) 
g ( x)
1  g 2 ( x)
g ( x)
1  g 2 ( x)


g ( x)
 log a e dx  log a g ( x)  C
g ( x)

2
 sec g ( x)  g ( x) dx  tg g ( x)  C
 arc sen g ( x)  C
dx  
1  g 2 ( x)
 arc cos g ( x)  C
g ( x)
g ( x)
dx  arc tg g ( x)  C
2
( x)
 1 g
x a 1
C
a 1
 x  log
a
e  dx  log a x  C
g ( x)
 g ( x) dx  L g ( x)  C
1
 x dx  L x  C
 cos x dx  sen x  C
 sen x dx   cos x  C
 sec

2
x dx  tg x  C
 arc sen x  C
dx  
1 x
 arc cos x  C
1
2
1
 1 x
2
dx  arc tg x  C
Métodos de integración
Integración por partes
Nos proporciona una regla que nos permite calcular la integral de un producto de funciones:
 u  dv  u  v   v  du
Integración de funciones racionales
Para resolver integrales del tipo
P ( x)
 Q( x) dx , con P( x) y Q( x) polinomios y siendo grado P( x)  grado Q( x) ,
se siguen los siguientes pasos:
1.
Factorizar el denominador, pudiendo resultar que:
a)
Sólo tenga raíces reales simples
b)
Tenga raíces reales múltiples
c)
Tenga raíces complejas simples
d)
Tenga raíces complejas múltiples
2.
Descomponer la función en fracciones simples.
3.
Integrar los distintos sumandos obtenidos, que resultarán ser, según la factorización del denominador:
a)
Integrales inmediatas de funciones de tipo logarítmico
b)
Integrales inmediatas de funciones de tipo logarítmico y potencial
c)
Integrales inmediatas de funciones de tipo logarítm ico y arcotangente
d)
Integrales inmediatas de funciones de tipo logarítmico, potencial y arcotangente
Integración por sustitución o cambio de variable
Nos proporciona la clave que nos permite calcular la integral de funciones compuestas. Los casos más us uales son los
siguientes:
1.
Tipo irracional: se resuelve mediante un cambio de variable que haga desaparecer todas las raíces, en
caso de que aparezca una única raíz cuadrada el cambio debe ser
2.
Tipo trigonométrico :
cos x  t
a)
Potencia impar en s eno:
b)
Potencia impar en coseno:
c)
Potencia par en seno y coseno:
d)
Otro caso:
tg
x
t
2
sen x  t
tg x  t
radicando t 2