APUNTE: TABLA DE DER APUNTE: TABLA DE DERIVADAS

APUNTE: TABLA DE DERIVADAS
DERIVADAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO
Asignatura: Matemática 1
Carreras: Lic. en Economía
Profesor: Prof. Mabel Chrestia
Semestre: 1ero
Año: 2015
f (x)
f ′(x)
k (constante)
x
xn
0
1
n ⋅ x n −1
1
x
ex
a x ⋅ ln(a )
1
− 2
x
1
ln( x)
ex
ax
1
x
x
2 x
cos(x)
− sen(x)
sen(x)
cos(x)
1
= sec 2 ( x)
cos 2 ( x)
1
tg (x)
arcsen(x)
−
arccos( x)
1− x2
1
1− x2
1
1+ x2
arctg (x)
Propiedades de las Derivadas:
1) ( f + g ) ′( x) = f ′( x) + g ′( x)
2) ( f − g ) ′( x) = f ′( x) − g ′( x)
Regla del Producto
(u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
Regla del Cociente
′
 u  u ′ ⋅ v − u ⋅ v′
  =
v2
v
Regla de la Cadena
(f
Definición de Función Derivada
3) ( k ⋅ f ) ′( x) = k ⋅ f ′( x)
′
ο g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x)
f ′(x) =
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x
∆x → 0
lim
Ejemplos resueltos:
1) Hallar la derivada de: f ( x) = x 2 + tg ( x)
Como f (x) es una suma, entonces su derivada será la derivada de cada uno de los sumandos:
f ′( x) = 2 x +
1
= 2 x + sec 2 ( x)
cos 2 ( x )
2) Hallar la derivada de: p ( x) = 7 x 3
Como p (x) es el producto de una constante por una función, aplicando la propiedad 3), la derivada será:
p ′( x) = 7 ⋅ 3 x 2 = 21x 2
3) Hallar la derivada de: f ( x) = x 4 ⋅ sen( x)
Aplicando la regla del producto, obtenemos: f ′( x) = 4 x 3 ⋅ sen( x) + x 4 ⋅ cos( x)
4) Hallar la derivada de: g ( x) =
x
cos( x)
1
2 x
Aplicando la regla del cociente: g ′( x) =
cos( x) − x ⋅ (− sen( x) )
cos 2 ( x)
cos( x)
+ x ⋅ sen( x)
1
x ⋅ tg ( x)
2
x
=
+
=
2
cos ( x)
cos( x)
2 x cos( x)
Recordar que tg ( x) =
sen( x)
cos( x)
5) Hallar la derivada de: h( x) = sen( x)
Como h( x) = ( f ο g )( x) , es decir, es la composición de dos funciones f ( x) =
utilizaremos la regla de la cadena:
1
′
h ′(x) = ( f ο g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) =
x y g ( x) = sen( x) ,
⋅ cos( x)
2 sen( x)
(
6) Hallar la derivada de: m( x ) = ln x 5 + sen( x)
)
Como m( x) = ( f ο g )( x) , es decir, es la composición de dos funciones f ( x) = ln( x) y
g ( x) = x 5 + sen( x) , utilizaremos la regla de la cadena:
′
m ′(x) = ( f ο g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) =
1
⋅ 5 x 4 + cos( x)
x + sen( x )
5
[
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