Biología. - Instituto Tecnológico de Chetumal

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL
CUADERNILLO DEL CURSO DE NIVELACIÓN 2016
PARA LAS CARRERAS DE:
INGENIERÍA CIVIL
INGENIERÍA ELÉCTRICA
INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL
BIOLOGÍA
Circunferencia goniométrica
A LOS ESTUDIANTES
El presente Curso de Nivelación forma parte del ingreso al Instituto
Tecnológico de Chetumal y está dirigido a los aspirantes que han sido
aceptados en las carreras de licenciatura.
El objetivo del curso es profundizar y aumentar los conocimientos
matemáticos que se estudian en las distintas Instituciones de Educación Media
Superior, de manera que todos los estudiantes puedan acceder a los primeros
semestres de su carrera con un adecuado nivel de conocimientos y de dominio,
tanto en los conceptos como en los métodos matemáticos y lograr un mejor
desempeño académico durante su formación profesional.
Para realizar el repaso de estos tan necesarios conocimientos, que se utilizan
en las materias de las distintas carreras, se trabaja con las nociones básicas. En
cada tema tratado se incluyen ejercicios resueltos que el estudiante deberá
desarrollar y comparar sus resultados con los aquí presentados.
Para lograr terminar su carrera profesional, es indispensable que el estudiante
verdaderamente lo desee y este convencido de realizar el esfuerzo para
estudiar y adquirir los conocimientos necesarios de su profesión. Este curso es
el primer paso para lograr esta meta.
Bienvenido al Instituto Tecnológico de Chetumal.
Curso de nivelación 2013
Índice
TEMA I: ALGEBRA
1
EXPONENTES
1.1
LEYES DE LOS EXPONENTES
2.1
2.2
2.3
2.4
BINOMIO AL CUADRADO
BINOMIO AL CUBO
BINOMIOS CONJUGADOS
BINOMIOS CON UN TERMINO COMUN
3.1
3.2
3.3
3.4
3.4.1
3.4.2
3.5
3.6
3.7
3.8
FACTOR COMUN
FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
2
POLINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c
CUANDO a =1
CUANDO a ≠ 1
DIFERENCIA DE CUADRADOS
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
METODO DE EVALUACION (DIVISIÓN SINTÉTICA)
FACTORIZACIÓN TOTAL. MISCELÁNEA DE LOS CASOS
2
PRODUCTOS NOTABLES
3
4
FACTORIZACION
FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.1
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.2
MINIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
4.3
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.3.1 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.3.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
5
RADICALES
5.1
SIMPLIFICACION DE RADICALES
5.2
RACIONALIZACION DE RADICALES
5.2.1 CASO I: EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO
5.2.2 CASO II: EXPRESIONES CONJUGADAS
5.2.3 CASOS ESPECIALES: RACIONALIZAR EL NUMERADOR
6
GRAFICACIÓN DE RECTAS. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS
6.2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7
ECUACIONES CUADRÁTICAS
3
3
3
5
5
6
6
6
7
7
9
10
12
12
12
14
14
16
17
20
21
22
26
26
28
30
30
31
31
32
33
34
34
35
36
Curso de nivelación 2013
8 DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES SIMPLE
37
TEMA 2: GEOMETRIA PLANA
41
1 ANGULO
1.1 SISTEMA DE MEDICION DE ANGULOS
1.1.1 SEXAGESIMAL
1.1.2 RADIÁN O ARCO CIRCULAR
1.2 CLASIFICACION DE ANGULOS
1.2.1 SEGÚN SU MEDIDA
1.2.2 SEGÚN SU POSICION RELATIVA
1.2.3 SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
1.3 ANGULOS FORMADOS POR 2 PARALELAS Y 1 SECANTE
2.1
2.2
2 EL TRIANGULO
CLASIFICACION DE TRIANGULOS
LADOS Y ANGULOS DE TRIANGULOS
3
SEMEJANZA
41
41
41
41
42
43
44
44
45
46
46
47
47
3.1
3.2
3.3
TEOREMA DE TALES
TEOREMA DE TALES EN EL TRIANGULO
CRITERIOS DE SEMEJANZA PARA 2 TRIANGULOS
47
48
49
51
4.1
4 TEOREMA DE PITAGORAS
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
TEMA 3: TRIGONOMETRIA
52
1 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
52
2 LEY DE SENOS Y COSENOS
55
2.1 LEY DE SENOS
2.2 LEY DE COSENOS
3
51
55
55
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
57
TEMA I: ALGEBRA
1.-EXPONENTES
Exponentes enteros
Los exponentes enteros son una forma de expresar la multiplicación de una expresión por sí misma
un número determinado de veces.
n
Definición:
𝐚𝐧 = 𝐚 ∗ 𝐚 ∗ 𝐚 … 𝐚
a  aaa a
n veces
A la letra a se le llama la base y a la letra n se le llama exponente.
Veamos algunos ejemplos
𝟐𝟑 = 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟐
Base 2, exponente 3
𝟓𝟕 = 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓 ∗ 𝟓
Base 5, exponente 7
𝐲𝟔 = 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲 ∗ 𝐲
Base y, exponente 6
1.1.-LEYES DE EXPONENTES:
Las leyes de exponentes nos permiten evaluar y simplificar expresiones matemáticas. La tabla
siguiente nos ilustra cuales son:
DESCRIPCIÓN
1) Producto de dos
factores con igual
base
2) Producto de dos
factores elevado a
un exponente
3) El cociente
elevado a un
exponente
ILUSTRACIÓN DE LA LEY
EXPRESIÓN
n m
a a =a
a3 a4 = (a ∗ a ∗ a)(a ∗ a ∗ a ∗ a)
=a∗a∗a∗a∗a∗a∗a
= a7
3
( a  b)
 ( a  b)  ( a  b)  ( a  b)
n+m
(a ∗ b)n = an ∗ bn
n
n
a a
   n
b b
a
 
b
5



4)Expresión
exponencial elevado
a su vez a un
exponente
5) El cociente de dos
expresiones
exponenciales
6) Cero como
exponente donde
a0
7) Exponentes
enteros negativos
a 
5
(a n )m  a nm
2

(a  a  a )(b  b  b)

a 3  b3
a a a a a
         
b b b b b
aaaaa
bbbbb
a5
b5
 a  a  a  a  a
2
a  a  a  a  a
 aaaaaaaaaa
 a10
an
 a nm
m
a
a6
aaaaaa

4
a
aaaa
 aa
 a2
a2 a  a

a2 a  a
a0  1
an 
1
an
a 3 
a2
aa
1


a5 a  a  a  a  a a3
2
EJEMPLOS: Simplifique la expresión
Ejemplo 1:
27y 9 z 6
3y 4 z 2
Observe que para resolver este tipo de expresión algebraica utilizaremos la ley #5 y propiedades
de la multiplicación de expresiones racionales.
Solución:
−9y 5 z 4
Ejemplo 2:
(8x 2 y)(4xy 2 )(2x 5 y 3 )
Solución:
(8 ∗ 4 ∗ 2)(x 2 ∗ x1 ∗ x 5 )(y1 ∗ y 2 ∗ y 3 ) = 64x 8 y 6
Ejemplo 3:
Determina el valor numerico de la expresion 34 ∗ 35
Solución:
34 ∗ 35 = 34+5 = 39
Ejemplo 4:
Determina el valor numérico de
517
− 12
5
Solución:
517
− 12 = −517−12 = −55
5
Ejemplo 5:
Determina el valor numérico de
37 (34 )3
=
(33 )6
Solución:
37 (34 )3 37 (34∗3 ) 312+7 319
=
= 18 = 18 = 319−18 = 31 = 3
(33 )6
33∗6
3
3
Ejemplo 6:
Determina el valor numérico de
(54 )6
515
Solución:
−
(54 )6 54∗6 524
= 15 = 15 = 524−15 = 59
515
5
5
Ejercicios. Taller de exponentes
Simplifica las siguientes expresiones
Ejercicio
= 340
1.
(−35 )8
2.
(321 ∗ 26 )2
(−38 )5
=
3.
35 ∗ (−34 )
= −35+4 = −39
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Solución
321∗2 ∗ 26∗2 342 ∗ 212
=
= −342−40 ∗ 212 = −32 ∗ 212
−38∗5
−340
4
4.
517
−512
= −517−12 = −55
5.
710
−710
6.
37 (34 )3
(33 )6
=
37 (34∗3 ) 37 ∗ 312 312+7 319
=
= 18 = 18 = 31 = 3
33∗6
318
3
3
7.
(52 ∗ 34 )3
(5 ∗ 32 )4
=
52∗3 ∗ 34∗3 56 ∗ 312
= 4
= 56−4 ∗ 312−8 = 52 ∗ 34
54 ∗ 32∗4
5 ∗ 38
8.
9.
−(43 ∗ 34 ∗ 55 )2
(43 ∗ 32 ∗ 52 )4
Efectuando
[(−2𝑎2 𝑏 −5 )3 ]3
= −710−10 = −70 = 1
=−
43∗2 ∗ 34∗2 ∗ 55∗2 46 ∗ 38 ∗ 510
=
43∗4 ∗ 32∗4 ∗ 52∗4 412 ∗ 38 ∗ 58
= −46−12 ∗ 38−8 ∗ 510−8 = −4−6 ∗ 30 ∗ 52 = −
52
46
𝑎) 2𝑎2 𝑏
𝑏) 12𝑎8 𝑏
𝑐) − 512𝑎18 𝑏 −45
𝑑) − 256 𝑎9 𝑏 −15
2.- PRODUCTOS NOTABLES
En matemáticas, continuamente encontramos expresiones que mantienen la misma mecánica, son
tan repetitivas que no necesitamos realizar la operación para conocer su respuesta, a este tipo de
operaciones se les llama notables, y puede encontrarse su respuesta con un mínimo de esfuerzo.
El primer producto notable que consideramos es:
2.1.- BINOMIO AL CUADRADO
Básicamente se escriben así:
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Se lee, cuadrado de un binomio
Como se puede ver en ambos casos se sigue la misma mecánica y si se sustituye “a” o “b” o
ambos por expresiones que incluyan tanto números como letras (𝟐𝟓𝒙𝒚𝟑 𝒛𝟐 )seguirán exactamente
la misma mecánica. Se puede acortar como:
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝑏 𝟐
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Que se leen respectivamente:
2
2
 El cuadrado de la suma de dos cantidades ( (a+b) ) es igual al cuadrado de la primera (a )
2
más el doble producto de ellas (2ab) más el cuadrado de la segunda (b ).
2
 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( (a - b) ) es igual al cuadrado de la
2
2
primera (a ) menos el doble producto de ellas (-2ab) más el cuadrado de la segunda (b ).
Ejemplo:
(𝟖𝒚 + 𝟑𝒙)𝟐 = (𝟖𝒚)𝟐 + 𝟐(𝟖𝒚)(𝟑𝒙) + (𝟑𝒙)𝟐 = 𝟔𝟒𝒚𝟐 + 𝟒𝟖𝒙𝒚 + 𝟗𝒙𝟐
(𝟏𝟑𝒎𝒏𝟑 − 𝟕𝒎𝟐 𝒏)𝟐 = 𝟏𝟔𝟗𝒎𝟐 𝒏𝟔 − 𝟏𝟖𝟐𝒎𝟑 𝒏𝟒 + 𝟒𝟗𝒎𝟒 𝒏𝟐
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
5
2.2.- BINOMIO AL CUBO
Las siguientes son las formas básicas de los cubos de binomio.
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
EJEMPLO
(𝒙 + 𝟖)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝒙 + 𝟓𝟏𝟐
𝟐
𝟑
(𝟐𝒙𝒛 − 𝟑𝒚) = (𝟐𝒙𝒛𝟐 )𝟑 − 𝟑(𝟐𝒙𝒛𝟐 )𝟐 (𝟑𝒚) + 𝟑(𝟐𝒙𝒛𝟐 )(𝟑𝒚)𝟐 − (𝟑𝒚)𝟑
(𝟐𝒙𝒛𝟐 − 𝟑𝒚)𝟑 = 𝟖𝒙𝟑 𝒛𝟔 − 𝟑𝟔𝒙𝟐 𝒚𝒛𝟒 + 𝟓𝟒𝒙𝒚𝟐 𝒛𝟐 − 𝟐𝟕𝒚𝟑
2.3.- BINOMIOS CONJUGADOS
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades conocido como binomios conjugados.
Básicamente se escriben así:
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
Se lee: la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus
cuadrados
Ejemplo:
(3𝑚𝑛2 + 7𝑥 2 𝑚)(3𝑚𝑛2 − 7𝑥 2 𝑚) = (3𝑚𝑛2 )2 − (7𝑥 2 𝑚)2 = 9𝑚2 𝑛4 − 49𝑥 4 𝑚2
(𝑥 + 𝑦 + 1)(𝑥 + 𝑦 − 1) = [(𝑥 + 𝑦) + 1][(𝑥 + 𝑦) − 1] = (𝑥 + 𝑦)2 − 12 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1
Como puede verse en el último ejemplo se puede convertir un polinomio de más de dos términos
en un binomio con solo usar paréntesis y tomar lo que se encuentra en el paréntesis como un todo.
2.4.- BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Tenemos los binomios (m + c)(m + b), donde “m” es el termino común, ahora desarrollamos la
multiplicación. Como notable nos queda:
(𝒎 + 𝒄)(𝒎 + 𝒃) = 𝒎𝟐 + (𝒄 + 𝒃)𝒎 + 𝒃𝒄
Se lee:
El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado de ese
término, más el producto de este por la suma algebraica de los otros dos, más el producto de
estos.
Ejemplo:
(𝒚 − 𝟓)(𝒚 + 𝟑) = 𝒚𝟐 + 𝒚(−𝟓 + 𝟑) + (−𝟓)(𝟑) = 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓
(𝒎 + 𝟓)(𝒎 − 𝟑) = 𝒎𝟐 + 𝟐𝒎 − 𝟏𝟓
(𝒎 − 𝟏)(𝒎 − 𝟑) = 𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟑
Ejercicios. Taller de productos notables
Realiza los productos notables
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1.
(𝒙 + 𝟐)𝟐
Solución: (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙(𝟐) + 𝟐𝟐 (Desarrollando el cuadrado de la suma)
= 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒
2.
3.
4.
5.
6.
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 3)
Solución: (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 + (𝟐 + 𝟑)𝒙 + (𝟐 ∗ 𝟑) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟏
Solución:
(𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠)
(𝒏 + 𝟑)(𝒏 + 𝟓)
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: (𝒏 + 𝟑)(𝒏 + 𝟓) = 𝒏𝟐 + (𝟑 + 𝟓)𝒏 + (𝟑 ∗ 𝟓) = 𝒏𝟐 + 𝟖𝒏 + 𝟏𝟓
(𝒎 + 𝟑)(𝒎 − 𝟑)
(𝒎 + 𝟑)(𝒎 − 𝟑) = 𝒎𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝒎𝟐 − 𝟗
Solución:
(𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔)
(𝒂 + 𝒃 − 𝟏)(𝒂 + 𝒃 + 𝟏)
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
(𝒂 + 𝒃 − 𝟏)(𝒂 + 𝒃 + 𝟏) = [(𝒂 + 𝒃) − 𝟏][(𝒂 + 𝒃) + 𝟏] (𝑨𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆)
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
6
7.
8.
9.
= (𝒂 + 𝒃)𝟐 − 𝟏𝟐 (𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔)
= 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟏(𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐)
(𝟏 + 𝒃)𝟑
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: (𝟏 + 𝒃)𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟑(𝟏𝟐 )𝒃 + 𝟑(𝟏)𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
(𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜)
= 𝟏 + 𝟑𝒃 + 𝟑𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
(𝒂𝟐 + 𝟒)(𝒂𝟐 − 𝟒)
Solución:
(𝒂𝟐 + 𝟒)(𝒂𝟐 − 𝟒) = (𝒂2 )𝟐 − 𝟒𝟐
(𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔)
= 𝒂𝟐 − 𝟏𝟔
(𝟑𝒂𝒃 − 𝟓𝒙𝟐 )𝟐
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
(𝟑𝒂𝒃 − 𝟓𝒙𝟐 )𝟐 = (𝟑𝒂𝒃)𝟐 − 𝟐(𝟑𝒂𝒃)(𝟓𝒙𝟐 ) + (𝟓𝒙𝟐 )𝟐 (𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐)
= 𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟐 − 𝟑𝟎𝒂𝒃𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟒
3.-FACTORIZACIÓN
Antes de comenzar directamente con los casos de factorización vamos a necesitar
algunas definiciones:
 Factor: Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios,
cada polinomio del producto es un factor del polinomio original.
 Factorización: Es el proceso con el cual expresamos un polinomio como un producto.
 Primo: Se dice que un polinomio es primo o irreducible cuando no puede
escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo.
Al factorizar un polinomio el objetivo es expresarlo como un producto de polinomios primos o
potencias de polinomios primos, tratando principalmente de trabajar con los números enteros.
La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la matemática,
pues nos permite convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando
así su estudio. Para factorar un monomio se realiza por pura inspección, separando los números y
las letras entre sí.
Prueba general de los factores
En cualquiera de los casos de factores la prueba es la misma: multiplicación de los polinomios
primos para ver si el resultado es el polinomio original.
3.1.- FACTOR COMÚN
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra,
se encuentra en todos los términos del polinomio. Si en todos los términos de un polinomio figura
un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al
dividir cada término por ese factor. Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este
se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el
menor exponente de todas.
Ejemplo:
x
𝟓𝒙𝟒 𝒚 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟑
5
Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio,
como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el
factor común 𝟓𝒙𝟐 .Nos queda como respuesta:
𝟓𝒙𝟐 (𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑 − 𝟔𝒙𝒚𝟑 )
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
7
Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:
1) 𝟖𝒎𝒙 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝟓𝟖𝒙𝟑 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙(𝟒𝒎 + 𝟗𝒙𝒚 − 𝟏𝟐𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟐 )
𝟒𝟒𝒎𝒙𝟖 + 𝟏𝟐𝟏𝒎𝟐 𝒙𝟒 − 𝟖𝟖𝒎𝟑 𝒙𝟓 = 𝟏𝟏𝒎𝒙𝟒 (𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟏𝒎 − 𝟖𝒎𝟐 𝒙)
𝟏𝟑𝒂𝒗 − 1𝟓𝟔𝒂 + 𝟏𝟑𝟎𝒂𝒙 = 𝟏𝟑𝒂(𝒗 − 𝟏𝟐 + 𝟏𝟎𝒙)
2) 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 = 𝒚(𝒙 + 𝒛)
3 ) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
4 ) 𝑥 3 + 𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 + 1)
Ejercicios. Taller de factor común
1. Encontrar un factor común en 2a+4
Paso 1. Buscamos el factor común de 2a y 4.
Como el factor común de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo:
𝟐𝒂 + 𝟒 = 𝟐 ∗ 𝒂 + 𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟐(𝒂 + 𝟐)
2
2. Encontrar un factor común en a+a
2
Paso 1. Buscamos el factor común de a y a
2
Como el factor común de a y a es a, procedemos a factorizarlo:
𝒂 + 𝒂𝟐 = 𝒂 ∗ 𝟏 + 𝒂 ∗ 𝒂 = 𝒂(𝟏 + 𝒂)
2
3
3. Encontrar el factor común en b + b
2
3
Paso 1. Buscamos el factor común en b y b
2
3
2
Como el factor común en b y b es b , procedemos a factorizarlo:
𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 = 𝒃𝟐 ∗ 𝟏 + 𝒃𝟐 ∗ 𝒃 = 𝒃𝟐 (𝟏 + 𝒃)
2
3
4. Encontrar un factor común en 3a + 4a + 5a
2
3.
Paso 1. Buscamos el factor común en 3a, 4a y 5a
2
3
Como el factor común de 3a, 4a y 5a es a, procedemos a factorizarlo:
𝟑𝒂 + 𝟒𝒂𝟐 + 𝟓𝒂𝟑 = (𝒂 ∗ 𝟑) + (𝒂 ∗ 𝟒𝒂) + (𝒂 ∗ 𝟓𝒂𝟐 ) = 𝒂(𝟑 + 𝟒𝒂 + 𝟓𝑎𝟐 )
3
2
5. Encontrar un factor común en 5x + 2x - 3x
3
2
Paso 1. Buscamos el factor común en 5x , 2x y 3x
3
2
Como el factor común de 5x , 2x y 3x es x, procedemos a factorizarlo:
𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = (𝒙 ∗ 𝟓𝒙𝟐 ) + (𝒙 ∗ 𝟐) − (𝒙 ∗ 𝟑𝒙) = 𝒙(𝟓𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝟑𝒙)
2
3
6. Encontrar un factor común en 4b - 12b +8b
2
3
Paso 1. Buscamos el factor común en 4b, 12b y 8b
2
3
Como el factor común de 4b, 12b y 8b es 4b, procedemos a factorizarlo:
𝟒𝒃 − 𝟏𝟐𝒃𝟐 + 𝟖𝒃𝟑 = (𝟒𝒃 ∗ 𝟏) − (𝟒𝒃 ∗ 𝟑𝒃) + (𝟒𝒃 ∗ 𝟐𝒃𝟐 ) = 𝟒𝒃(𝟏 − 𝟑𝒃 + 𝟐𝒃𝟐 )
2
3
5
7. Encontrar un factor común en 5m +10m -15m
2
3
5
Paso 1. Buscamos el factor común en 5m , 10m y 15m
2
3
5
2
Como el factor común de 5m , 10m y 15m es 5m , procedemos a factorizarlo:
𝟓𝒎𝟐 + 𝟏𝟎𝒎𝟑 − 𝟏𝟓𝒎𝟓 = (𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟏) + (𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟐𝒎) − (𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟑𝒎𝟑 ) = 𝟓𝒎𝟐 (𝟏 + 𝟐𝒎 − 𝟑𝒎𝟑 )
En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue con la
misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley distributiva: a(b+c)=ab+ac.
1.
2.
3.
4.
Factorizar x(m+n) + y(m+n)
Paso 1. Buscamos el factor común entre x(m+n) y y(m+n), como el factor común es (m+n),
podemos factorizarlo:
𝒙(𝒎 + 𝒏) + 𝒚(𝒎 + 𝒏) = (𝒎 + 𝒏)(𝒙 + 𝒚)
Factorizar a(x-y) + b(x-y)
Paso 1. Buscamos el factor común, que es (x-y), podemos factorizarlo:
𝒂(𝒙 − 𝒚) + 𝒃(𝒙 − 𝒚) = (𝒙 − 𝒚)(𝒂 + 𝒃)
Factorizar r(m+n) –s(m+n)
Paso 1. Buscamos el factor común, que es (m+n), podemos factorizarlo:
𝒓(𝒎 + 𝒏) − 𝒔(𝒎 + 𝒏) = (𝒎 + 𝒏)(𝒓 − 𝒔)
Factorizar x(a+b) –a – b
Paso 1. Factorizamos el -1 de –a-b
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8
5.
6.
𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝒂 − 𝒃 = 𝒙(𝒂 + 𝒃) − (𝒂 + 𝒃)
Paso 2. Buscamos el factor común de x(a+b) y (a+b), como es (a+b), entonces:
𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝒂 − 𝒃 = 𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝟏(𝒂 + 𝒃) = (𝒂 + 𝒃)(𝒙 − 𝟏)
Factorizar a(c-d) + xc - xd
Paso 1. Factorizamos la x de xc-xd
𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙𝒄 − 𝒙𝒅 = 𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙(𝒄 − 𝒅)
Paso 2. Buscamos el factor común de a(c-d) y x(c-d), que es (c-d) entonces:
𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙𝒄 − 𝒙𝒅 = 𝒂(𝒄 − 𝒅) + 𝒙(𝒄 − 𝒅) = (𝒄 − 𝒅)(𝒂 + 𝒙)
Factorizar a(m+2n) + bm + 2bn
Paso 1. Factorizamos la b de bm+2bn
𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃𝒎 + 𝟐𝒃𝒏 = 𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃(𝒎 + 𝟐𝒏)
Paso 2. Localizamos el factor común (m+2n), entonces:
𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃𝒎 + 𝟐𝒃𝒏 = 𝒂(𝒎 + 𝟐𝒏) + 𝒃(𝒎 + 𝟐𝒏) = (𝒎 + 𝟐𝒏)(𝒂 + 𝒃)
3.2.- FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden
reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el
factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca
este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más
sencillo el resolver estos problemas.
𝟐𝒂𝒙 + 𝟐𝒃𝒙 − 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂 − 𝒃𝒚 + 𝟓𝒃
Agrupo los términos que tienen un factor común
(2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 ) + ( 2𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 5𝑏 )
Saco el factor común de cada grupo
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
( 2x -y +5 )(a + b)
Que es nuestra respuesta.
Ejemplos:
𝟏𝟕𝒂𝒙 − 𝟏𝟕𝒎𝒙 + 𝟑𝒂𝒚 − 𝟑𝒎𝒚 + 𝟕𝒂𝒛 − 𝟕𝒎𝒛 = 𝒂(𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛) − 𝒎(𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛)
= (𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛)(𝒂 − 𝒎)
𝒎(𝒙 + 𝟐) − 𝒙 − 𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟐)(𝒎 + 𝟑) − 𝟏(𝒙 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟐)[(𝒎 + 𝟑) − 𝟏)]
= (𝒙 + 𝟐)(𝒎 + 𝟑 − 𝟏) (𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒓𝒍𝒐)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)
Ejercicios. Taller de agrupación de términos
1. Factorizar 2xy + y - 6x – 3
2𝑥𝑦 + 𝑦 − 6𝑥 − 3 = 𝑦(2𝑥 + 1) − 6𝑥 − 3 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑦
= 𝑦(2𝑥 + 1) − 3(2𝑥 + 1) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 3
= (2𝑥 + 1)(𝑦 − 3) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 (2𝑥 + 1)
2. Factorizar 3mn + 15n -4m -20
3𝑚𝑛 + 15𝑛 − 4𝑚 − 20 = 3𝑛(𝑚 + 5) − 4𝑚 − 20 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 3𝑛
= 3𝑛(𝑚 + 5) − 4(𝑚 + 5)
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 4
= (𝑚 + 5)(3𝑛 − 4) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑚 + 5)
2
3. Factorizar 2a +6a – 3ab – 9b
2
2𝑎 + 6𝑎 − 3𝑎𝑏 − 9𝑏 = 2𝑎(𝑎 + 3) − 3𝑎𝑏 − 9𝑏 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑎
= 2𝑎(𝑎 + 3) − 3𝑏(𝑎 + 3)
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 3𝑏
= (𝑎 + 3)(2𝑎 − 3𝑏) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎 + 3)
4.
Factorizar m(4x-1) + 12x – 3
Paso 1. Factorizamos el 3 de 12x – 3
𝑚(4𝑥 − 1) + 12𝑥 − 3 = 𝑚(4𝑥 − 1) + 3(4𝑥 − 1)
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9
5.
Paso 2. Localizamos el factor común (4x-1), entonces:
𝑚(4𝑥 − 1) + 3(4𝑥 − 1) = 𝑚 ∗ (4𝑥 − 1) + 3(4𝑥 − 1) = (4𝑥 − 1)(𝑚 + 3)
Factorizar y(5x+2) – 15x - 6
Paso 1. Factorizamos el 3 de 15x + 6:
𝒚(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝒚(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟑(𝟓𝒙 + 𝟐)
Paso 2. Localizamos el factor común (5x+2), entonces:
𝒚(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝒚 ∗ (𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟑 ∗ (𝟓𝒙 + 𝟐) = (𝟓𝒙 + 𝟐)(𝒚 − 𝟑)
3.3.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus
términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos
cuadrados.
𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟒
2
2
Es un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x) =36x , el último
2
2 2
4
es el cuadrado de y pues (y ) =y , y el segundo término es el doble producto de las bases de
2
2
2
estos cuadrados, es decir 6x y y , pues 2*6x*y =12xy .
𝟐
𝟐
𝟐
(𝟔𝒙 + 𝒚 ) = (𝟔𝒙 + 𝒚 )(𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 ) = 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟒
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el
término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos
del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
(𝟔𝒙 − 𝒚𝟐 )𝟐 = (𝟔𝒙 − 𝒚𝟐 )(𝟔𝒙 − 𝒚𝟐 ) = (𝟔𝒙)𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + (𝒚𝟐 )𝟐
O también así
(𝒚𝟐 − 𝟔𝒙)𝟐 = (𝒚𝟐 − 𝟔𝑥)(𝒚𝟐 − 𝟔𝒙) = (𝟔𝒙)𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝒚𝟐 + (𝒚𝟐 )𝟐
Ambas son respuestas aceptables.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra
son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el
doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplos:
25 + 10𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 = (5 + 𝑥𝑦)2
1 + 𝑎10 − 2𝑎5 = (1 − 𝑎5 )2
225𝑥 4 + 25𝑚2 𝑛4 − 150𝑥 2 𝑚𝑛2 = (15𝑥 2 + 5𝑚𝑛2 )2
𝑥 2 + 2𝑥(𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)2 = [x + (𝑥 − 𝑦)]2 = (2𝑥 + 𝑦)2
Ejercicios. Taller de factorización de trinomios cuadrados perfectos
1. Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
a) 𝒙𝟐 es el cuadrado de x.
b) 2xy es el término donde aparece x
c) 2y es la parte restante de x del término anterior
d) y es la mitad de esa parte restante
e) 𝒚𝟐 es el cuadrado de esa mitad
f) 𝒚𝟐 es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = (𝒙 − 𝒚)𝟐 𝐸𝑙 "-" 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑒𝑛 − 2𝑥𝑦
𝟐
2. Factorizar 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟒
a) 𝒙𝟐 es el cuadrado de x.
b) 4x es el término donde aparece x
c) 4 es la parte restante a x del término anterior
d) 2 es la mitad de esa parte restante
e) 𝟐𝟐 = 𝟒 es el cuadrado de esa mitad
f) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 = (𝒙 + 𝟐)𝟐 𝐸𝑙 "+"𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 + 4𝑥
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10
3.
4.
Factorizar 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗
a) 𝟒𝒙𝟐 es el cuadrado de 2x.
b) 12x = 6*2x es el término donde aparece 2x
c) 6 es la parte restante a 2x del término anterior
d) 3 es la mitad de esa parte restante
e) 𝟑𝟐 = 𝟗 es el cuadrado de esa mitad
f) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 = (2𝑥 + 3)2 𝐸𝑙 "+"𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 + 12𝑥
𝟒
Factorizar 𝟏𝟔𝒂 − 𝟐𝟒𝒂𝟐 𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
a) 16𝑎4 es el cuadrado de 4𝑎2
b) 24𝑎2 𝑏 = 6 ∗ 4𝑎2 𝑏 es el término donde aparece 4𝑎2
c) 6b es la parte restante a 4𝑎2 del paso anterior
d) 3b es la mitad de esa parte restante
e) (3𝑏)2 = 9𝑏 2 es el cuadrado de esa mitad
f) 9𝑏 2 es en efecto, el tercer término del trinomio
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
16𝑎4 − 24𝑎2 𝑏 + 9𝑏 2 = (4𝑎2 − 3𝑏)2 𝐸𝑙 " − "𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎l 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 − 24𝑎2 𝑏
5.
Factorizar
a)
9𝑥 2
𝑒𝑠
4
d)
e)
f)
3𝑥
2
4
4𝑦 2
9
3𝑥
𝑑𝑒 2
+ 2𝑥𝑦 +
𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
b) 2𝑥𝑦 =
c)
9𝑥 2
4
∗ 3 ∗ 𝑦 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒
3𝑥
2
4
3𝑥
𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
3
2
2
𝑦 es la mitad de esa parte restante.
3
2
2
4𝑦 2
(3 𝑦) = 9 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑.
4𝑦 2
𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜, 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
9
Por lo tanto, el trinomio es cuadrado perfecto.
9𝑥 2
4𝑦 2
3𝑥 2 2
+ 2𝑥𝑦 +
= ( + 𝑦) 𝐸𝑙 "+"𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑒𝑛 + 2𝑥𝑦
4
9
2 3
Creación de trinomios cuadrados perfectos
Existe una manera de lograr trinomios cuadrados perfectos a partir de binomios si simplemente les
sumamos y restamos el término que le haga falta.
1. Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los
siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto:
o Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos.
o Se encuentra el doble producto de estas raíces.
o Este doble producto se suma y se resta a los dos términos que son cuadrados
perfectos.
Ejemplo:
9𝑥 2 + 36 → 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 3𝑥, 6 → 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜: 2(3𝑥)(6) = 36𝑥
𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 9𝑥 2 + 36𝑥 + 36 − 36𝑥
2
2. Si tenemos un binomio de la forma x + bx hace falta completarlo con el cuadrado de la
mitad del coeficiente de la raíz del término de la derecha.
Ejemplo:
16𝑥 2 + 16𝑥𝑦 → 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑠: 4𝑥 → 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠: 4𝑦 → 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑒𝑠 2𝑦
𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: 16𝑥 2 + 16𝑥𝑦 + (2𝑦)2 − (2𝑦)2
Pero para que el resultado original del polinomio no varíe se le debe restar lo que se añadió.
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11
3.4.- POLINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
3.4.1.- Cuando a=1.
Ejemplo explicativo: Factorizar 𝑚2 + 8𝑚 + 15
)
1𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑠𝑜(𝑚 )(𝑚
2° 𝑝𝑎𝑠𝑜(𝑚 + )(𝑚 + )
3° 𝑦 4° 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 (𝑚 + 3)(𝑚 + 5)
Ejemplos:
𝑥 2 + 10𝑥 + 24 = (𝑥 + 6)(𝑥 + 4)
𝑎2 − 2𝑎 − 24 = (𝑎 − 6)(𝑎 + 4)
2 4
𝑎 𝑚 + 𝑎𝑚2 − 380 = (𝑎𝑚2 + 20)(𝑎𝑚2 − 19)
𝑥 6 − 21𝑥 3 𝑚 + 98𝑚2 = (𝑥 3 − 7𝑚)(𝑥 3 − 14𝑚)
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos
llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque “x”
es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también
un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada
y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es
descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier
combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán
con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no es un simple numero sino que tiene una
forma "𝒄𝒙𝟐 ", en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se ha tomado como
2
factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta 98m y al sumar 7m + 14m
nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios. Sólo se
necesita que se cumplan las reglas indicadas.
3.4.2.- Cuando a≠1
Ejemplo explicativo:
Factorizar
1er paso
3𝑚2 + 8𝑚 + 5
3(3𝑚2 + 8𝑚 + 5) = (3𝑚)2 + 8(3𝑚) + 15
2° paso
3° paso
(3𝑚
(3𝑚
)(3𝑚
)(3𝑚
3
)
)
4° paso
(3𝑚 + )(3𝑚 +
3
5° paso
(3𝑚 + 3)(3𝑚 + 5)
3
Simplificar
(𝑚 + 1)(3𝑚 + 5)
Ejemplos: Factorizar
𝟏𝟑𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 − 𝟔
(𝟏𝟑)(𝟏𝟑𝒚𝟐 − 𝟕𝒚 − 𝟔) = (𝟏𝟑𝒚)𝟐 − 𝟕(𝟏𝟑𝒚) − 𝟕𝟖
)
(𝟏𝟑𝒚−𝟏𝟑)(𝟏𝟑𝒚+𝟔)
= (𝒚 − 𝟏)(𝟏𝟑𝒚 + 𝟔)
𝟏𝟑
(𝟐𝟏𝒎
+
𝟏𝟒)(𝟐𝟏𝒎
−
𝟑)
𝟐𝟏𝒎𝟐 + 𝟏𝟏𝒎 − 𝟐 → (𝟐𝟏𝒎)𝟐 + 𝟏𝟏(𝟐𝟏𝒎) − 𝟒𝟐 →
= (𝟑𝒎 + 𝟐)(𝟕𝒎 − 𝟏)
𝟐𝟏
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𝟑𝟎𝒑𝟐 + 𝟏𝟕𝒑𝒒 − 𝟐𝟏𝒒𝟐 → (30𝑝)2 + 𝟏𝟕𝒒(𝟑𝟎𝒑) − 𝟔𝟑𝟎𝒒𝟐 → (𝟑𝟎𝒑 + 𝟑𝟓𝒒)(𝟑𝟎𝒑 − 𝟏𝟖𝒑)/𝟑𝟎
= (𝟔𝒑 + 𝟕𝒒)(𝟓𝒑 − 𝟑𝒒)
𝟔(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟕(𝒙 + 𝟑) − 𝟑 → [𝟔(𝒙 + 𝟑)]𝟐 + 𝟕[𝟔(𝑥 + 𝟑)] − 𝟏𝟖 →
= [𝟐(𝒙 + 𝟑) + 𝟑][𝟑(𝒙 + 𝟑) − 𝟏]
[𝟔(𝒙 + 𝟑) + 𝟗][𝟔(𝒙 + 𝟑) − 𝟐]
=
𝟔
Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda, sin olvidar que los
factores del denominador dividen a todos los términos del binomio correspondiente.
2
Ejercicios. Taller de factorización de trinomios de la forma ax +bx+c, en los casos que a=1
y a≠1.
2
1. Factorizar x +4x+3
2
8. Factorizar x -2x-24
a) 3 y 1 suman 4
a) -6 y 4 suman -2
b) 3 por 1 da 3
𝟐
b) -6 y 4 da -24
c) Por lo tanto, 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟑 =
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟏)
c) Por lo tanto
2
2
x -2x-24=(x-6)(x+4)
2. Factorizar x -4x+3
2
9. Factorizar a +5a+6
a) -3 y -1 suman -4
a) 3 y 2 suman 5
b) -3 por -1 da 3
b) 3 por 2 da 6
c) Por lo tanto,
2
c) Por lo tanto
x -4x+3=(x-3)(x-1)
2
2
a +5a+6=(a+3)(a+2)
3. Factorizar x +3x-10
2
10. Factorizar b -7b+12
a) 5 y -2 suman 3
a) -4 y -3 suman -7
b) 5 por -2 da -10
b) -4 por -3 da 12
c) Por lo tanto,
2
c) Por lo tanto
x +3x-10=(x+5)(x-2)
2
2
b -7b+12=(b-4)(b-3)
4. Factorizar x -2x-8
2
11. Factorizar c -4c+3
a) 4 y -2 suman -2
a) -3 y -1 suman -4
b) 4 por -2 da -8
b) -3 por -1 da 3
c) Por lo tanto,
2
c) Por lo tanto
x -2x-8=(x-4)(x+2)
2
2
c -4c+3=(c-3)(c-1)
5. Factorizar x +x-20
2
12. Factorizar 2x + 7x+ 3
a) 5 y -4 suman 1
R: ( 2x + 1)(x + 3)
b) 5 por -4 da -20
2
13. Factorizar 2y + 9y + 4
c) Por lo tanto,
R: (2y + 1)(y + 4)
2
x +x-20=(x+5)(x-4)
2
14. Factorizar 3z - 14z – 5
2
6. Factorizar x -x-12
R: (z - 5)(3z + 1)
2
a) -4 y 3 suman -1
15. Factorizar 4x - 29x + 7
b) -4 por 3 da -12
R: (4x - 1)(x - 7)
2
c) Por lo tanto
16. 5x + 12x– 9
2
x -x-12=(x-4)(x+3)
R: (5x-3)(x+3)
2
2
7. Factorizar x +7x+6
17. Factorizar 6y + 17y +12
R: (3y + 4)(2y + 3)
a) 6 y 1 suman 7
2
18.
Factorizar 7x - 46x – 21
b) 6 por 1 da 6
R: (x - 7)(7x + 3)
c) Por lo tanto
2
19. Factorizar 8y +24y – 32
2
x +7x+6=(x+6)(x+1)
R: (4y+ 16)(2y- 2)=8(y+4)(y-1)
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13
3.5.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les
puede sacar raíz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables teníamos que:
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este tema es el caso contrario:
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus
bases.
Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio
negativo es la raíz del término del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 √𝑥 2 = 𝑥; √𝑦 2 = 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
Ejemplos:
16𝑚2 − 9𝑛2 = (4𝑚 + 3𝑛)(4𝑚 − 3𝑛)
2
2
𝑦 − (3(𝑥 − 1)) = [𝑦 + 3(𝑥 − 1)][𝑦 − 3(𝑥 − 1)] = (𝑦 + 3𝑥 − 3)(𝑦 − 3𝑥 + 3)
49(𝑚 + 𝑛)2 − 144(𝑚 − 𝑛)2 = [7(𝑚 + 𝑛) + 12(𝑚 − 𝑛)][7(𝑚 + 𝑛) − 12(𝑚 − 𝑛)]
= (19𝑚 − 5𝑛)(19𝑛 − 5𝑚)
𝑧 4𝑛 − 900𝑠 8 = (𝑧 2𝑛 + 30𝑥 4 )(𝑧 2𝑛 − 30𝑠 4 )
1) 𝑚2 − 𝑛2 = (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛)
2) 𝑥 2 − 100 = (𝑥 + 10)(𝑥 − 10)
3) 25𝑎2 − 144𝑏 2 = (5𝑎 + 12𝑏)(5𝑎 − 12𝑏)
4) 9𝑥 2 𝑦 4 − 121𝑧 8 = (3𝑥𝑦 2 + 11𝑧 4 )(3𝑥𝑦 2 − 11𝑧 4 )
5)
6)
1
16
𝑎6
36
−
−
𝑥4
25
1
𝑥2
4
5
=( +
49𝑏 4
100
=(
7) 𝑥 2𝑛 𝑏 8𝑛 −
1
169
𝑎3
6
1
𝑥2
4
5
)( −
+
7𝑏 2
10
)(
)
𝑎3
6
= (𝑥 𝑛 𝑏 4𝑛 +
7𝑏 2
−
1
13
10
)
) (𝑥 𝑛 𝑏 4𝑛 −
1
13
)
8) 0.81𝑎6 − 1.21𝑏 8 = (0.9𝑎3 + 1.1𝑏 4 )(0.9𝑎3 − 1.1𝑏 4 )
9) 1.69𝑥 8 − 2.25𝑧12 = (1.3𝑥 4 + 1.5𝑧 6 )(1.3𝑥 4 − 1.5𝑧 6 )
10) 𝑎4𝑛 𝑏 6𝑛 −
𝑐 12𝑥
64
= (𝑎2𝑛 𝑏 3𝑛 +
𝑐 6x
8
)(𝑎2𝑛 𝑏 3𝑛 −
𝑐 6𝑥
8
)
3.6.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
FORMAS BASICAS:
3
3
2
2
SUMA: a +b = (a+b)(a -ab+b )
3 3
2
2
DIFERENCIA : a -b = ( a-b)( a +ab+b )
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio
2) Se forma un producto de dos factores.
3) Los factores binomios son la suma o diferencia de las raíces cúbicas de los términos del
binomio.
4) Los factores se determinan así:
El cuadrado de la primera raíz menos (para la suma), o más (para la diferencia) el producto
de estas raíces para el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo 1: Factorizar 𝒙𝟑 + 𝟏
La raíz cúbica de: 𝒙𝟑 𝒆𝒔 𝒙
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14
La raíz cúbica de: 1 𝑒𝑠 1
𝑥 3 + 1 = (𝑥 + 1)[(𝑥)2 − (𝑥)(1) + (1)2 ]
𝑥 3 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1)
3
Ejemplo 2. Factorizar (8𝑥 + 64)
La raíz cúbica de: 8𝑥 3 𝑒𝑠 2𝑥
La raíz cúbica de: 64 es 4
8𝑥 3 + 64 = (2𝑥 + 4)[(2𝑥)2 − (2𝑥)(4) + (4)2 ] = (2𝑥 + 4)(4𝑥 2 − 8𝑥 + 16)
Ejemplo 3: Factorizar 1000𝑥 6 𝑦 3 + 125𝑧12 𝑤 15
La raíz cúbica de: 1000𝑥 6 𝑦 3 𝑒𝑠 10𝑥 2 𝑦
La raíz cúbica de: 125𝑧12 𝑤 15 𝑒𝑠 5𝑧 4 𝑤 5
Según procede
1000𝑥 6 𝑦 3 + 125𝑧12 𝑤 15 = (10𝑥 2 𝑦 + 5𝑧 4 𝑤 5 )[(10𝑥 2 𝑦)2 − (10𝑥 2 𝑦)(5𝑧 4 𝑤 5 ) + (5𝑧 4 𝑤 5 )2 ]
1000𝑥 6 𝑦 3 + 125𝑧12 𝑤 15 = (10𝑥 2 𝑦 + 5𝑧4𝑤 5 )(100𝑥 4 𝑦 2 − 50𝑥 2 𝑦𝑧 4 𝑤 5 + 25𝑧 8 𝑤 10 )
3
Ejemplo 4: Factorizar y - 27
3
La raíz cúbica de: y es y
La raíz cúbica de: 27 es 3
𝑦 3 − 27 = (𝑦 − 3)[(𝑦)2 + (𝑦)(3) + (3)2 ]
𝑦 3 − 21 = (𝑦 − 3)(𝑦 2 + 3𝑦 + 9)
3
Ejemplo 5: Factorizar 125x - 1000
3
La raíz cúbica de: 125x es 5x
La raíz cúbica de: 1000 es 10
125𝑥 3 − 1000 = (5𝑥 − 10)[(5𝑥)2 + (5𝑥)(10) + (10)2 ]
125𝑥 3 − 1000 = (5𝑥 − 10)(25𝑥 2 + 50𝑥 + 100)
9 12 15
30 18a
Ejemplo 6: Factorizar 216x y z - 343m w
9 12 15
3 4 5
La raíz cúbica de: 216x y z es 6x y z
30 18a
10 6a
La raíz cúbica de: 343m w es 7m w
216𝑥 9 𝑦12 𝑧15 − 343𝑚30 𝑤 18𝑎
= (6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 − 7𝑚10 𝑤 6𝑎 )[(6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 )2 + (6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 )(7𝑚10 𝑤 6𝑎 ) + (7𝑚10 𝑤 6𝑎 )]
= (6𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 − 7𝑚10 𝑤 6𝑎 )(36𝑥 6 𝑦 8 𝑧10 + 42𝑥 3 𝑦 4 𝑧 5 𝑚10 𝑤 6𝑎 + 49𝑚20 𝑤 12𝑎 )
Ejercicios. Taller de factorización de suma y diferencia de cubos
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1 + 𝑥 3 𝑅: (1 + 𝑥)(1 − 𝑥 + 𝑥 2 )
𝑥 3 + 1000𝑅: (𝑥 + 10)(𝑥 2 − 10𝑥 + 100)
27𝑎3 + 125𝑏 3 𝑅: (3𝑎 + 5𝑏)(9𝑎2 − 15𝑎𝑏 + 25𝑏 2 )
64𝑥 3 𝑦 6 + 216𝑧 9 𝑅: (4𝑥𝑦 2 + 6𝑧 3 )(16𝑥 2 𝑦 4 − 24𝑥𝑦 2 𝑧 3 + 36𝑧 6 )
512𝑥 6𝑎 + 729𝑦 3𝑏 𝑅: (8𝑥 2𝑎 + 9𝑦 𝑏 )(64𝑥 4𝑎 − 72𝑥 2𝑎 𝑦 𝑏 + 81𝑦 2𝑏 )
1
1
1
5𝑥
+ 125𝑥 3 𝑅: (2 + 5𝑥) (4 − 2 + 25𝑥 2 )
8
1
𝑥6
1
𝑥2
1 𝑥2
𝑥4
+
𝑅:
(
+
)
(
–
+
)
27
216
3
6
9 18
36
6
12
2
4
4
2
𝑎
8𝑏
𝑎
2𝑏
𝑎
2𝑎 𝑏4
+
𝑅:
(
+
)
(
−
343
1000
7
10
49
70
3
4𝑏8
𝑎2
+ 100) = ( 7 +
𝑏4
𝑎4
)
(
5
49
−
𝑎 2 𝑏4
35
𝑏8
+ 25)
9) 1000 – 𝑚 𝑅: (10 − 𝑚)(100 + 10𝑚 + 𝑚2 )
10) 8𝑎3 − 64𝑏 3 𝑅: (2𝑎 − 4𝑏)(4𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 16𝑏 2 )
11) 125𝑥 9 𝑦18 − 512𝑧 27 𝑅: (5𝑥 3 𝑦 6 − 8𝑧 9 )(25𝑥 6 𝑦12 + 40𝑥 3 𝑦 6 𝑧 9 + 64𝑧 18
12) 216𝑥 12 − 729𝑦 21𝑎 𝑅: (6𝑥 4 – 9𝑦 7𝑎 )(36𝑥 8 + 54𝑥 4 𝑦 7a + 81𝑦14a )
13) 343𝑥 3𝑎 – 512𝑦 6𝑏 𝑅: (7𝑥 𝑎 – 8𝑦 2𝑏 )(49𝑥 2𝑎 + 56𝑥 𝑎 𝑦 2𝑏 + 64𝑦 4𝑏 )
14) (𝑥 + 4)3 – 8𝑅: (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 10𝑥 + 28)
15) (3𝑎 + 2𝑏)3 – (2𝑎 + 2𝑏)3 𝑅: 𝑎(19𝑎2 + 30𝑎𝑏 + 12𝑏 2 )
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15
3.7.- METODO DE EVALUACION (DIVISIÓN SINTÉTICA)
Procedimiento
Recordemos que “un polinomio entero y racional en x. que se anula para x=a, es divisible
por x-a” (Corolario del Teorema del residuo)
1. Sacamos los divisores del término independiente
2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el
paso anterior
3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero):
hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x-a
4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la “División Sintética”
Nota: Me parece que este procedimiento es menos laborioso que el que se presenta en Álgebra de Baldor,
pues es más fácil calcular P(x) para varios valores de x que realizar otras tantas divisiones.
Descomponer por evaluación:
1. 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1
Solución:
El término independiente es 1
Los divisores de 1 son 1 y -1.
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1
𝑃(1) = 13 + 12 − 1 − 1 = 1 + 1 − 1 − 1 = 0; 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎
∴ (𝑥 − 1) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 𝑃(𝑥)
∴ (𝑥 − 1) 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)
Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la división sintética:
∟1
1
1
-1
-1
1
2
1
__________________________
1
2
1
0
∴ 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝑦𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2 ( 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜)
De tal manera que
𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
3
2
2. 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 6
Solución:
El término independiente es 6
Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3 y ±6
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6
𝑃(−1) = −13 − (4)(−1)2 + (−1) + 6 = −1 − 4 − 1 + 6 = 0; 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎
∴ (𝑥 + 1) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 𝑃(𝑥)
∴ (𝑥 + 1) 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)
Ahora, encontraremos los coeficientes del otro factor por medio de la división sintética:
1
-4
1
6
∟-1
-1
5
-6
__________________________
1
-5
6
0
∴ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ∶ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝑦𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
De tal manera que
𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
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16
3.8 FACTORIZACIÓN TOTAL. MISCELÁNEA DE LOS CASOS
Estrategia general
1. Factorizar todos los factores comunes.
2. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay:
I.
Cuatro términos: factorizar por agrupación
II.
Tres términos: probar si es TCP y factorizar; si no es TCP, emplear el caso general.
III. Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla.
IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o diferencia de cubos y factorizar.
3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.
Identificación del factor común
Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de término
por un factor. Por ejemplo (3+x)y = 3y + xy. Podemos igualmente usar esta propiedad para
deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos los
términos en la expresión. En la expresión 3y + xy, y es el factor común.
Por lo tanto, nuestra factorización será 3𝑦 + 𝑥𝑦 = (3 + 𝑥)𝑦, o equivalentemente, 3𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑦(3 +
𝑥).
Generalmente conviene factorizar el factor común “máximo” posible. Por ejemplo, en el polinomio
12𝑥 3 𝑦 2 − 9𝑥 2 𝑦 3 + 15𝑥𝑦 4 podemos identificar como factor común a todos los términos, varios
monomios:
xy es factor común porque
12𝑥 3 𝑦 2 = 12𝑥 2 𝑦 ∗ 𝑥𝑦
−9𝑥 2 𝑦 3 = −9𝑥𝑦 2 ∗ 𝑥𝑦
15𝑥𝑦 4 = 15𝑦 3 ∗ 𝑥𝑦
3xy es factor común porque
12𝑥 3 𝑦 2 = 4𝑥 2 𝑦 ∗ 3𝑥𝑦
−9𝑥 2 𝑦 3 = −3𝑥𝑦 2 ∗ 3𝑥𝑦
15𝑥𝑦 4 = 5𝑦 3 ∗ 3𝑥𝑦
Similarmente podemos establecer que 3𝑥𝑦 2 también es factor común.
Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de la
siguiente manera:
Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores obtenidos son
primos (que no pueden ser factorizados más).
Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del paso
previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0 si hay una
factorización en la que el factor no aparezca.
1) Si queremos factorizar el polinomio 30𝑥 3 𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦 3 𝑧, comenzamos factorizando
completamente sus términos:
30𝑥 3 𝑦 2 = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 𝑥 3 𝑦 2 z 0
12𝑥 2 𝑦 3 𝑧 = 22 ∗ 3 ∗ 𝑥 2 ∗ 𝑦 3 ∗ 𝑧1
Luego formamos el FCM: 2 ∗ 3 ∗ 𝑥 2 ∗ 𝑦 2 = 6𝑥 2 𝑦 2 . Finalmente hacemos la factorización:
30𝑥 3 𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦 3 𝑧 = 6𝑥 2 𝑦 2 (5𝑥 + 2𝑦𝑧)
2) 𝑦 6 − 𝑦 4 = 𝑦 4 (𝑦 − 1)(𝑦 + 1)
3) 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = (𝑎3 − 𝑎2 𝑏) − (𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 ) = 𝑎2 (𝑎 − 𝑏) − 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)
= (𝑎2 − 𝑏 2 )(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2
4) 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 9𝑥 − 9 = (4𝑥 3 + 4𝑥 2 ) − (9𝑥 + 9) = 4𝑥 2 (𝑥 + 1) − 9(𝑥 + 1)
= (4𝑥 2 − 9)(𝑥 + 1) = (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)(𝑥 + 1)
5) 𝑦 4 + 4 = 𝑦 4 + 4𝑦 2 − 4𝑦 2 + 4 = (𝑦 4 + 4𝑦 2 + 4) − 4𝑦 2
= (𝑦 2 + 2)2 − 4𝑦 2 = (𝑦 2 + 2 − 2𝑦)(𝑦 2 + 2 + 2𝑦)
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17
6) 𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎2 − 𝑏 2 ) + (𝑎3 − 𝑏 3 ) {𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒}
𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 + 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) {𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜}
𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 + 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) {𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛(𝑎 − 𝑏)}
Ejercicios. Taller miscelánea de factorización
1. 3𝑎𝑥 2 − 3𝑎
Solución: 3𝑎𝑥 2 − 3𝑎 = 3𝑎(𝑥 2 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
2
∴ 3𝑎𝑥 − 3𝑎 = 3𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 − 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
2. 3𝑥 2 − 3𝑥 − 6
Solución: 3𝑥 2 − 3𝑥 − 6 = 3(𝑥 2 − 𝑥 − 2){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
2
∴ 3𝑥 − 3𝑥 − 6 = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐}
3. 2𝑎2 𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏 2 𝑥
Solución: 2𝑎2 𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏 2 𝑥 = 2𝑥(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
2
∴ 2𝑎 𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏 2 𝑥 = 2𝑥(𝑎 − 𝑏)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐}
4. 2𝑎3 − 2
Solución: 2𝑎3 − 2 = 2(𝑎3 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
∴ 2𝑎3 − 2 = 2(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐}
5. 𝑎3 − 3𝑎2 − 28𝑎
Solución: 𝑎3 − 3𝑎2 − 28𝑎 = 𝑎(𝑎2 − 3𝑎 − 28) {𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
∴ 𝑎3 − 3𝑎2 − 28𝑎 = 𝑎(𝑎 − 7)(𝑎 + 4){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐}
6. 𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4
Solución:
𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 = 𝑥(𝑥 2 − 4) + (𝑥 2 − 4)
{𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 2 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠}
𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 + 1) {𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 (𝑥 2 − 4)}
3
∴ 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
7. 3𝑎𝑥 3 + 3𝑎𝑦 3
Solución:
3𝑎𝑥 3 + 3𝑎𝑦 3 = 3𝑎(𝑥 3 + 𝑦 3 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
∴ 𝑥 3 + 3𝑎𝑦 3 = 3𝑎(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠}
8. 4𝑎𝑏 2 − 4𝑎𝑏𝑛 + 𝑎𝑛2
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
4𝑎𝑏 2 − 4𝑎𝑏𝑛 + 𝑎𝑛2 = 𝑎(4𝑏 2 − 4𝑏𝑛 + 𝑛2 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛}
∴ 4𝑎𝑏 2 − 4𝑎𝑏𝑛 + 𝑎𝑛2 = 𝑎(2𝑏 − 𝑛)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜}
9. 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 4
Solución:
𝑥 4 − 3𝑥 2 − 4 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 + 1)
{𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐}
∴ 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 1){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
10. 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1
Solución:
3
𝑎 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 = 𝑎2 (𝑎 − 1) − (𝑎 − 1)
{𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑎2 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 − 1 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜𝑠}
𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 = (𝑎 − 1)(𝑎2 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛(𝑎 − 1)},
∴ 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎 + 1 = (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)(𝑎 − 1)
= (𝑎 − 1)2 (𝑎 + 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
2
11. 2𝑎𝑥 − 4𝑎𝑥 + 2𝑎
Solución:
2𝑎𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 2𝑎 = 2𝑎(𝑥 2 − 2𝑥 + 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛}
∴ 2𝑎𝑥 2 − 4𝑎𝑥 + 2𝑎 = 2𝑎(𝑥 − 1)2 {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜}
12. 𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦
Solución:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
18
𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 = 𝑥(𝑥 2 − 1) + 𝑦(𝑥 2 − 1){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛}
𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 = (𝑥 2 − 1)(𝑥 + 𝑦){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛}
𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑦){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
13. 16𝑎5 𝑏 − 56𝑎3 𝑏 3 + 49𝑎𝑏5
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
16𝑎5 𝑏 − 56𝑎3 𝑏3 + 49𝑎𝑏5 = 𝑎𝑏(16𝑎4 − 56𝑎2 𝑏2 + 49𝑏4 ){𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛}
Ahora, vamos a factorizar el paréntesis:
(16𝑎4 − 56𝑎2 𝑏2 + 49𝑏4 )
4𝑎2 : 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
7𝑏2 : 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
2(4𝑎2 )(7𝑏2 ) = 56𝑎2 𝑏2 ∶ 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
Por lo tanto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal:
(16𝑎4 − 56𝑎2 𝑏2 + 49𝑏 4 ) = (4𝑎2 − 7𝑏2 )2
De tal manera que:
16𝑎5 𝑏 − 56𝑎3 𝑏3 + 49𝑎𝑏 5 = 𝑎𝑏(4𝑎2 − 7𝑏2 )2
8
14. 1 − 𝑎
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
1 − 𝑎8 = (1 − 𝑎4 )(1 + 𝑎4 ){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
1 − 𝑎8 = (1 − 𝑎2 )(1 + 𝑎2 )(1 + 𝑎4 ){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
∴ (1 + 𝑎4 )(1 − 𝑎4 )
= (1 + 𝑎4 )(1 + 𝑎2 )(1 − 𝑎)(1 + 𝑎){𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
15. 𝑎6 − 1
Solución:
𝑎6 − 1 = (𝑎3 + 1)(𝑎3 − 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠}
2
∴ (𝑎 + 1)(𝑎 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1) {𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠}
DESCOMPONER EN CINCO FACTORES:
1. 𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 = 𝒙(𝒙𝟖 − 𝒚𝟖 ){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏}
𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 = 𝒙(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 )(𝒙𝟒 − 𝒚𝟒 ){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
𝟗
𝟖
𝒙 − 𝒙𝒚 = 𝒙(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 )(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
∴ 𝒙𝟗 − 𝒙𝒚𝟖 = 𝒙(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 )(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )(𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝑒𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
2. 𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙
Solución:
𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙𝟒 − 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏}
𝒙𝟓 − 𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟑𝟔)(𝒙𝟐 − 𝟒)
{𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂
𝒙𝟐 + 𝒃𝑥 + 𝒄}
𝟓
𝟑
∴ 𝒙 − 𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝒙(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐)
{𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
𝒂𝟔 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝒂𝟔 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑 = 𝒂𝟑 (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ) − 𝒂(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝑜𝒎ú𝒏}
𝒂𝟔 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑
= 𝒂𝟑 (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )
− 𝒂(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
𝟔
𝟑 𝟑
𝟒
𝒂 + 𝒂 𝒃 − 𝒂 − 𝒂𝒃𝟑 = (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )(𝒂𝟑 − 𝒂) = 𝒂(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )(𝒂𝟐 − 𝟏){sacando factor común}
𝟔
∴ 𝒂 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 − 𝒂𝟒 − 𝒂𝒃𝟑 = (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )(𝒂𝟑 − 𝒂) = 𝒂(𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )(𝒂 + 𝟏)(𝒂 − 𝟏){factorizando
la diferencia de cubos y la diferencia de cuadrados}
3.
DESCOMPONER EN SEIS FACTORES:
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19
1. 𝒙𝟏𝟕 − 𝒙
Solución:
𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟏𝟔 − 𝟏) {𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏}
𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟖 − 𝟏)(𝒙𝟖 + 𝟏){𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟖 + 𝟏)(𝒙𝟒 − 𝟏)(𝒙𝟒 + 𝟏) { 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
𝒙𝟏𝟕 − 𝒙 = 𝒙(𝒙𝟖 + 𝟏)(𝒙𝟒 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏))
{ 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
2.
𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎
Solución:
𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑𝒙𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟐𝟓) − 𝟒𝟖(𝒙𝟐 − 𝟐𝟓){𝒔𝒂𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏}
𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝟓)(𝟑𝒙𝟒 − 𝟒𝟖) = 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟐𝟓)(𝒙𝟒 − 𝟏𝟔)
{sacando factor común}
𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟒)(𝒙𝟐 − 𝟒)
{Factorizando las diferencias de cuadrados}
∴ 𝟑𝒙𝟔 − 𝟕𝟓𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐)
{𝒇𝒂𝒄𝑡𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔}
4.- FRACCIONES ALGEBRAICAS
Definición:Una fracción algebraica es una expresión de la forma
O también, es toda expresión de la forma
𝒂
𝒃
donde a y b son polinomios.
r ( x)
, donde r(x), q(x)  P(x); q(x)  0.
q( x)
El polinomio r(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica.
Son fracciones algebraicas:
𝟓𝒙𝟑
𝒙𝟔 𝒚
𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
;
;
−
𝟔𝒙
𝒙𝟕 𝒃
𝟐𝒃 + 𝟏
Existen tres signos asociados en una fracción algebraica:
El signo del numerador
El signo del denominador
Y el signo resultante de la operación de la fracción
Es decir:
−𝒂 𝒂 −𝒄
𝒄
𝒄
=
;
=
=−
−𝒃 𝒃
𝒅
−𝒅
𝒅
De lo anterior se observa que se pueden hacer cambios en los signos de una fracción, sin que ésta
se altere.
4.1.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores
comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
Por ejemplo: Simplificar
Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3,
,
Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si
no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.
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20
Por ejemplo: Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay
que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común
así
Más ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1.
Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir
numerador y denominador por los factores comunes
2.
3.
En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador,
por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común
en el
numerador e
en el denominador
4.
, aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el
denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.
5.
, aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de
cuadrados y que es igual a suma por diferencia
Ejercicios propuestos: Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas
(1)
15 a 3 b 2
20 ab 4
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(2)
m 4 n  m2n3
m3n  m2n2
21
121a 4 c 5 d 7
11ac 5 d 8
16a 2  56ab  32b 2
(5)
2a 2  5ab  3b 2
(7)
8a  16b
24
(4)
(3)
12mn 
(6)
18m n
3 3
2
27m  36n
36m  48n
(8)
a 2  2ab  b 2
3a  3b
2
x  5x  6
(11)
x 2  2x
3x 2  27 x  42
(13)
5 x 2  15 x  140
x2  x
xy  x
(10)
(9)
4
4p  2q
8p  8pq  2q 2
2
a3  b3
a2  b2
16 x 2 y  25 y
(14)
4 x 2 y  3xy  10 y
(12)
4.2.-. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Un polinomio p(x) es el mínimo (MCM) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio
de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto.
Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus
factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso
el de mayor exponente.
Cálculo del MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)
Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como
producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores
comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:
Tomando
comunes
con su
los factores
y no comunes
mayor
exponente,
tenemos que:
El MCM se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador,
tomando el MCM de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones
equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:
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22
Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los
denominadores (6 y 33)
Luego, el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:
que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay
que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:
Operando las fracciones, podemos realizar la suma:
Cálculo del MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en
factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia,
el producto de los cuales será el MCD.
Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en
factores primos
El MCD son factores comunes con su menor exponente, esto es:
En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general
demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.
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23
Mínimo común múltiplo de fracciones algebraicas
Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es
encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.
Reducir a común denominador las fracciones:
x
x 1
y
2
1
x  .3x  2
2
1 Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común
múltiplo, que será el común denominador.
x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
x 2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)
m.c.m. (x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)
2 Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones
dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
Ejemplos resueltos de determinación de mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios.
Polinomios
factores
m.c.m.
1)
9x 2 y
32  x 2  y
22  32 x 5 y 4
6 xy4
23 x  y4
36 x 5 y 4
12 x 5 y
22  3  x 5  y
( x  2)( x  3)
x 2  5x  6
2)
3)
x 2  6x  9
x 2  3x  2
x2
ab
3b  3a
a2  b2

5a  5b
( x  3) 2
( x  2)( x  1)
( x  2)
( 1)  (b  a)
3  (b  a )
( 1)  (b  a)(b  a)
( 1)  5  (b  a)
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( x  2)( x  3) 2 ( x  1)
 1  3  5(b  a)(b  a)
 15  (b 2  a 2 )
24
4)
6 x 3  6y 3
3  2  ( x  y )( x 2  xy  y 2 )
x 2  xy  y 2
x 2  xy  y 2
2  ( x  y)
2( x  y )
3  2( x  y )( x 2  xy  y 2 )
6( x 3  y 3 )
Ejercicios de aplicación de MCM y MCD
1.-Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un
tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en
segundos.
12 = 2 2 · 3
18 = 2 · 3 2
60 = 2 2 · 3 · 5
MCM. (12 , 18, 60) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180
180 : 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos
siguientes sólo coinciden una vez. Sólo a las 6.33 h .
2.- El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de
largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado de la baldosa y el número de la baldosas, tal que el número
de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar
ninguna de ellas.
Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a
centímetros.
3 m = 300 cm = 2² · 3 · 5²
5 m = 500 cm = 2² · 5³
A = 300 · 500 = 150000 cm 2
m. c. d. (300, 500) = 2² · 5² = 100 cm de lado
A b = 100 2 = 10000 cm 2
150000 : 10000 = 15 baldosas
3.- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772
naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas
o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de
naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
Calculamos el máximo común divisor.
12 028 = 2² · 31 · 97
12 772 = 2² · 31 · 103
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25
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 103 + 97 = 200
4.- ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número
exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y
cuántas baldosas se necesitan?
Pasamos las unidades a centímetros porque las baldosas se miden en
centímetros.
8 m = 800 cm = 2 5 · 5² cm
6.4 m = 640 cm = 2 7 · 5 cm
m. c. d. (800, 640) = 2 5 · 5 = 160 cm de lado
A b = 160 2 = 25600 cm 2
A = 800 · 640 = 512000 cm 2
512000 : 25600 = 20 baldosas
4.3.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.3.1 Suma y resta de fracciones algebraicas.
Suma de fracciones algebraicas : Con el mismo denominador:
Con distinto denominador: El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:
Buscamos el MCM de los denominadores.
(x+1)=(x+1)
(x-1)=(x-1)
Entonces
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26
Resta las fracciones algebraicas:
4.3.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicación de fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
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27
I.- Realiza las siguientes operaciones
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28
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
29
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
16𝑎2 𝑏 3
= 8𝑏
2𝑎2 𝑏 2
2𝑥 2 −2𝑥−24
2(𝑥 2 −𝑥−12)
=
2𝑥+6
42𝑎3 −30𝑎2 𝑚
2(𝑥+3)
6𝑎2 (7𝑎−5𝑚)
12𝑎3 𝑥 4 +2𝑎2 𝑥 5
=
18𝑎𝑏 2 𝑥+3𝑏2 𝑥 2
𝑎−1
=
𝑥 2 −2𝑥𝑦+𝑦 2
𝑥 2 −𝑦 2
𝑥+3
6𝑎2
=𝑥−4
= 5𝑚2 (7𝑎−5𝑚) = 5𝑚2
35𝑎𝑚2 −25𝑚3
𝑎2 −2𝑎+1
(𝑥−4)(𝑥+3)
=
2𝑎2 𝑥 4 (6𝑎+𝑥)
3𝑏 2 𝑥(6𝑎+𝑥)
(𝑎−1)2
=
2𝑎2 𝑥 3
3𝑏 2
=𝑎−1
𝑎−1
(𝑥−𝑦)2
𝑥−𝑦
= (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) = 𝑥+𝑦|
Ejercicios taller simplificación fracciones algebraicas
1)
2)
3)
4)
5)
𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎𝑑+𝑏𝑑
𝑎2 +𝑎𝑏
=
(𝑎+𝑏)2 (𝑎3 −𝑏3 )
(𝑎2 −𝑏 2 )2
8𝑎12 −125𝑏15
2𝑎4 −5𝑏5
2
𝑥 +𝑥
𝑥
=
𝑎(𝑐+𝑑)+𝑏(𝑐+𝑑)
=
(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑏)
=
𝑐+𝑑
𝑎(𝑎+𝑏)
𝑎(𝑎+𝑏)
𝑎
(𝑎+𝑏)2 (𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2 )
(𝑎+𝑏)2 (𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏 2 )
=
[(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)]2
(𝑎+𝑏)2 (𝑎−𝑏)2
=
𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2
𝑎−𝑏
= 4𝑎8 + 10𝑎4 𝑏 5 + 25𝑏10
=𝑦
𝑦𝑥+𝑦
𝑥+1
𝑥 2 +2𝑥+1
1
= 𝑥+1
5. RADICALES
5.1. SIMPLIFICACION DE RADICALES.
SIMPLIFICAR UN RADICAL. Es reducirlo a su más simple expresión.
Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad subradical es entera y del
menor grado posible
Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se
𝑛
𝑛
𝑛
1
𝑛
1
1
extrae dicha raíz a cada uno de sus factores, o sea √𝑎𝑏𝑐 = √ 𝑎 · √𝑏 · √𝑐 = (𝑎𝑛 ) (𝑏 𝑛 ) (𝑐 𝑛 )
En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes:
CASO I: Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible entre
el índice de la raíz.
1).- Simplificar √9𝑎3
√9𝑎3 = √32 · 𝑎2 · 𝑎 = √32 · √𝑎2 · √𝑎 = 3a √𝑎
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
o también:
1
1
(32 𝑎2 𝑎)1/2 = (32 ) (𝑎2 ) (𝑎) = (3 ) (𝑎 ) (𝑎2 ) = 3𝑎 (𝑎)2 = 3a √𝑎
2).- Simplificar 2√75𝑥 4 𝑦 5
2√75𝑥 4 𝑦 5 = 2√3 · 52 · 𝑥 4 · 𝑦 4 · 𝑦 = 2 √52 · √𝑥 4 · √𝑦 4 ·√3𝑦
2 · 5 · 𝑥 2 · 𝑦 2 · √3𝑦 = 10𝑥 2 𝑦 2 √3𝑦
En la práctica no se indican las raíces, sino que una vez arreglados los factores de la
cantidad subradical, aquellos cuyo exponente sea divisible entre el índice, se sacan del
radical dividiendo su exponente entre el índice.
1
3).- Simplificar 7 √49𝑥 3 𝑦 7
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30
1
7
1
1
√49𝑥 3 𝑦 7 = 7 √72 · 𝑥 2 · 𝑥 · 𝑦 6 = 7 × 7𝑥𝑦 3 √𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 3 √𝑥𝑦
Ejercicios:
4
Simplificar:
1).- 2√243
2).- 3 √81𝑥 3 𝑦 4
3).-
1
3𝑎
√27𝑎3 𝑚7
CASO II: Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.
1).- Simplificar
2).- Simplificar
4
√4𝑎2
4
6
6
√9𝑎2 𝑥 2 ; R
15
2
6
15
1
2
2
1
15
6
4
1
1
1
3
5
√27𝑥 3 𝑦 6 = √33 · 𝑥 3 · 𝑦 6 = √3𝑥𝑦 2
R.
8
2).- 5√49𝑎2 𝑏 4
1).- √9
2
√9𝑎2 𝑥 2 = √32 · 𝑎2 𝑥 2 = 36 · 𝑎6 ·𝑥 6 = 33 ·𝑎3 ·𝑥 3 = √3𝑎𝑥
3).- Simplificar √27𝑥 3 𝑦 6
Ejercicios.
Simplificar:
2
4
√4𝑎2 = √22 · 𝑎2 = 24 · 𝑎4 = 22 · 𝑎2 = √2𝑎
R.
3).- √81𝑥 4 𝑦 8
5.2 RACIONALIZACION DE RADICALES
5.2.1.- CASO 1. EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO
Procedimiento
1. Se multiplican los dos términos de la fracción por un radical, del mismo índice de la raíz en
el denominador, que multiplicado por éste se elimine el signo radical.
2. Se simplifica
Racionalizar el denominador de:
𝟏
1.
√𝟑
𝟏∗√𝟑
√𝟑
Solución:
=
𝟑
√𝟑∗√𝟑
2.
3.
4.
5.
6.
7.
𝟓
√𝟐
𝟑
𝟒√𝟓
𝟐𝒂
√𝟐𝒂𝒙
𝟓
𝟑
√𝟒𝒂𝟐
𝟏
𝟑
√𝟗𝒙
𝟑
𝟒
√𝟗𝒂
𝟓
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
√𝟐
=
𝟑
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝟒√𝟓
𝟐𝒂
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
√𝟐𝒂𝒙
=
5√𝟐
𝟐
=
𝟑∗√𝟓
=
=
𝟑√𝟓
𝟐𝟎
𝟐𝒂√𝟐𝒂𝒙
= 𝟐𝒂𝒙
√𝟐𝒂𝒙∗√𝟐𝒂𝒙
𝟑
𝟒√𝟓∗√𝟓
𝟐𝒂∗√𝟐𝒂𝒙
𝟓
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝟓∗√𝟐
√𝟐∗√𝟐
𝟑
√𝟒𝒂
𝟏
𝟑
√𝟗𝒙
=
𝟏∗ √(𝟗𝒙)𝟐
𝟑
𝟓∗ √𝟐𝒂
=
𝟐
𝟑
𝟑
√𝟗𝒙∗ √(𝟗𝒙)𝟐
√𝟐𝒂𝒙
𝒙
=
𝟑
𝟑
√(𝟐𝒂)𝟐 ∗ √𝟐𝒂
=
𝟑
√𝟖𝟏𝒙𝟐
𝟗𝒙
=
=
𝟑
𝟑
𝟓 √𝟐𝒂
𝟑
√(𝟐𝒂)
√𝟑𝟑 ∗𝟑𝒙𝟐
𝟗𝒙
=
=
𝟑
𝟑
𝟓 √𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟑
√𝟑𝒙𝟐
𝟑𝒙
Solución:
𝟒
𝟑 ∗ √(𝟗𝒂)𝟑
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑√𝟐𝟒𝟑𝒂𝟑 √𝟑𝟑 ∗ 𝟑𝟐 𝒂𝟑 𝟑√𝟗𝒂𝟑 √𝟗𝒂
=𝟒
=
=
=
=
𝟒
𝟗𝒂
𝟑𝒂
𝟑𝒂
𝒂
√𝟗𝒂 √𝟗𝒂 ∗ 𝟒√(𝟗𝒂)𝟑
𝟑
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
31
5.2.2.- CASO 2: EXPRESIONES CONJUGADAS
Procedimiento
1. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador
2. Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos
cantidades.
3. Se reduce y se simplifica
Racionalizar el denominador de:
𝟑−√𝟐
1.
Solución: La conjugada del denominador es 𝟏 − √𝟐; entonces, multiplicamos
𝟏+√𝟐
tanto el numerador y el denominador de la fracción por 𝟏 − √𝟐
𝟑 − √𝟐 (𝟑 − √𝟐)(𝟏 − √𝟐) 𝟑 − 𝟒√𝟐 + 𝟐 𝟓 − 𝟒√𝟐
=
=
=
= 𝟒√𝟐 − 𝟓
𝟏−𝟐
−𝟏
𝟏 + √𝟐 (𝟏 + √𝟐)(𝟏 − √𝟐)
2.
𝟓+𝟐√𝟑
Solución: La conjugada del denominador es 𝟒 + √𝟑; entonces, multiplicamos
𝟒−√𝟑
tanto el numerador y el denominador de la fracción por 𝟒 + √𝟑.
𝟓 + 𝟐√𝟑 (𝟓 + 𝟐√𝟑)(𝟒 + √𝟑) 𝟐𝟎 + 𝟏𝟑√𝟑 + 𝟐(𝟑) 𝟐𝟔 + 𝟏𝟑√𝟑
=
=
=
𝟏𝟔 − 𝟑
𝟏𝟑
𝟒 − √𝟑
(𝟒 − √𝟑)(𝟒 + √𝟑)
=
3.
4.
𝟏𝟑(𝟐 + √𝟑)
= 𝟐 + √𝟑
𝟏𝟑
√𝟐−√𝟓
Solución: La conjugada del denominador es √𝟐 − √𝟓; entonces, multiplicamos
√𝟐+√𝟓
tanto el numerador y el denominador de la fracción por √𝟐 − √𝟓.
√𝟐 − √𝟓 (√𝟐 − √𝟓)(√𝟐 − √𝟓) 𝟐 − 𝟐√𝟐√𝟓 + 𝟓 𝟕 − 𝟐√𝟏𝟎 𝟐√𝟏𝟎 − 𝟕
=
=
=
=
𝟐−𝟓
−𝟑
𝟑
√𝟐 + √𝟓 (√𝟐 − √𝟓)(√𝟐 + √𝟓)
√𝒂+𝒃−√𝒂−𝒃
Solución: La conjugada del denominador es √𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃; entonces,
√𝒂+𝒃+√𝒂−𝒃
multiplicamos tanto el numerador y el denominador de la fracción por √𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃.
√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃 (√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃)(√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃) 𝒂 + 𝒃 − 𝟐√𝒂 + 𝒃√𝒂 − 𝒃 + 𝒂 − 𝒃
=
=
𝒂 + 𝒃 − (𝒂 − 𝒃)
√𝒂 + 𝒃 + √𝒂 − 𝒃 (√𝒂 + 𝒃 + √𝒂 − 𝒃)(√𝒂 + 𝒃 − √𝒂 − 𝒃)
=
𝟐𝒂 − 𝟐√(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)
𝒂+𝒃−𝒂+𝒃
=
𝟐𝒂 − 𝟐√𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝟐𝒃
=
𝒂 − √𝒂𝟐 − 𝒃 𝟐
𝒃
Ejercicios taller de racionalización de radicales
1)
2)
𝟓
𝟓√𝟐
𝟓√𝟐
𝟓√𝟐
=
=
=
𝟐
√𝟐 √𝟐√𝟐 √𝟐𝟐
𝟐√𝟑
√𝟏𝟖
=
2√𝟑
√𝟐 ∗ 𝟑𝟐
=
𝟐√𝟑
𝟑√𝟐
3)
𝟕
√𝟓 − √𝟑
=
𝟕(√𝟓 + √𝟑)
(√𝟓 − √𝟑)(√𝟓 + √𝟑)
4)
𝟏
𝟑
√𝟐𝟓
𝟐
𝟒
√𝟐
𝟏
=
𝟑
√𝟓𝟐
𝟑
=
√5
𝟑
𝟑
√𝟓𝟐 √𝟓
𝟒
=
𝟐 √𝟐𝟑
𝟒
𝟒
√𝟐 √𝟐𝟑
𝟒
=
𝟐 √𝟐𝟑
𝟒
√𝟐𝟒
=
𝟕(√𝟓 + √𝟑) 𝟕(√𝟓 + √𝟑)
=
𝟓−𝟑
𝟐
𝟑
=
√𝟓
𝟓
𝟒
𝟐 √𝟐𝟑 𝟒 𝟑
=
= √𝟐
𝟐
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
32
5)
𝒙
√𝒙 + 𝟏 − √𝒙 − 𝟏
6)
𝟐
√𝟐 + √𝟑
=
𝒙(√𝒙 + 𝟏 + √𝒙 − 𝟏)
𝟐
= −𝟐(√𝟐 − √𝟑)
7)
𝟐
√𝟐 − √𝟑
=
𝟐(√𝟐 + √𝟑)
(√𝟐 − √𝟑)(√𝟐 + √𝟑)
=
𝟐√𝟐 + 𝟐√𝟑
𝟐
𝟐
(√𝟐) − (√𝟑)
=
𝟐√𝟐 + 𝟐√𝟑 𝟐√𝟐 + 𝟐√𝟑
=
𝟐−𝟑
−𝟏
= −𝟐√𝟐 − 𝟐√𝟑
8)
√𝟐
√𝟑 − √𝟐
=
√𝟔 + √𝟐𝟐
𝟐
𝟐
(√𝟑) − (√𝟐)
=
𝟐 + √𝟔
= 𝟐 + √𝟔
𝟑−𝟐
9)
𝟏
𝟐√𝟑 − √𝟓
𝟏
=
∗
(𝟐√𝟑 + √𝟓)
(𝟐√𝟑 − √𝟓) (𝟐√𝟑 + √𝟓)
=
𝟐√𝟑 − √𝟓
𝟐
𝟐
(𝟐√𝟑) − (√𝟓)
=
𝟐√𝟑 + √𝟓 (𝟐√𝟑 − √𝟓)
=
𝟒∗𝟑−𝟓
𝟕
10)
𝟐
√𝟑 − √𝟓
=
𝟐(√𝟑 + √𝟓)
(√𝟑 + √𝟓)(√𝟑 − √𝟓)
=
𝟐(√𝟑 + √𝟓)
2
2
(√3) − (√5)
=
2(√3 + √5) 2(√3 − √5)
=
= −√3 + √5
3−5
−2
11)
4
√6 − √5
=
4
∗
√6 + √5
√6 − √5 √6 + √5
=
4(√6 + √5)
(√6 + √5)(√6 − √5)
=
4(√6 + √5)
2
2
(√6) + (√5)
=
4(√6 + √5) 4(√6 + √5)
=
6−5
1
= 4(√6 + √5)
5.2.3.- CASOS ESPECIALES: RACIONALIZAR EL NUMERADOR
EJERCICIOS.
Racionalizar el numerador de las siguientes expresiones:
Utilizar el mismo procedimiento del caso I y caso II anteriores, pero operando los numeradores.
Ejercicios
Respuestas
1.
2.
3.
4.
5√2 − 4√3
2
19
95√2 + 76√3
7√2 − 6√3
3√2
5√7 + 4√11
√7 + 3√11
−
5
9√6 + 21
1
97−11√77
2√а + √𝑥
4a− x
√a + √x
2a−x+ √а𝑥
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33
5.
√а + √а+1
√a − √a+1
6.
√а+4 + √а
√a+4 − √a
7.
√а+𝑏 + √а−𝑏
√a+b − √a−b
1
2√a2 +a−2a−1
2
a+2−√a2 +4a
b
a−√a2 − b2
6.- GRAFICACIÓN DE RECTAS Y SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES.
Se llama ecuación lineal con dos incógnitas a cualquier expresión de la forma: ax+by=c
donde a, b y c son números reales cualesquiera y x e y son las incógnitas
Toda ecuación lineal con dos incógnitas representa una línea recta o, simplemente, recta.
6.1 GRAFICACIÓN DE RECTAS
Para graficar una recta basta con hallar dos de sus puntos, despejando y, dándole dos
valores a x, sustituyendo dichos valores en la ecuación y calculando los correspondientes valores de
y. Posteriormente en el plano cartesiano se localizan dichos puntos y con el borde de una regla se
traza una línea que una a los puntos.
Ejercicios.
Graficar las siguientes ecuaciones lineales:
a) 5x - 3y = 0;
b) 3x+4y=12; c) x-3=0;
d) y=2
Se le llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas.
Casos en la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
SOLUCION UNICA
INFINITAS SOLUCIONES
SOLUCION INCONSISTENTE
APLICACIONES:http://webpages.ull.es/users/amontes/cabri/inter-rc.htm
http://tutormatematicas.com/archivoCAR/archivoCAR_alg/Interactivo_Forma_Pendiente_Interseccion_Linea
_Recta.html
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34
6.2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE APLICACIONES LINEALES
EJEMPLOS:
Resuelve por sustitución, por igualación y por reducción el sistema:
2x + 3y = −1
{
3x + 4y = 0
POR SUSTITUCIÓN:
2(
−4y
) + 3y = −1
3
−4y
3x = −4y
→
x=
3
−8y
→
+ 3y = −1 → −8y + 9y = −3
3
−4(−3)
x=
=4
3
→
y = −3
6.2.- Por igualación
−4y
3
−1 − 3y
2x = −1 − 3y → x =
2
−4y −1 − 3y
=
3
2
3(−1 − 3y) = 2(−4y) → −3 − 9y = −8y →
−4(−3)
x=
=4
3
3x = −4y
6.3 Por reducción:
→
x=
y = −3
∗3
2x + 3y = −1 → 6x + 9y = −3
{ 3x + 4y = 0 ∗−2 { −6x − 8y = 0
→
y = −3
−4(−3)
x=
=4
3
Ejercicios:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
35
7. Ecuaciones cuadráticas
Las siguientes expresiones algebraicas son ejemplos de ecuaciones cuadráticas o
ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
2
2
x + 2x – 8 = 0,
2
3x – 5x = 20,
4x + 12x – 8 = 0 ,
2
x + 12x = 0,
2
4x – 8 = 0,
2
x + 3x – 2 = 0,
2
x – x – 12 = 0.
Solución de ecuaciones cuadráticas.
Ecuaciones cuadráticas completas como las anteriores, que tienen la forma,
, pueden resolverse: a) Por factorización, b) Mediante la fórmula general.
(Otro método empleado se denomina completando cuadrados el cual no se muestra en
este material).
7.1 Aplicación de Factorización Simple
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio que los hace igual a cero, estas
son las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática.
Ejemplo:
Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0. Aplicando la factorización
de expresiones de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, en el caso cuando 𝑎 = 1, su buscan dos
números cuyo producto sea -8 y sumados den 2.
(x + 4 ) (x – 2) = 0
x+4=0
x–2=0
x=0–4
x=0+2
x = -4
x=2
Estas son las dos soluciones o raíces.
7.2 Fórmula General
Este método es muy simple, hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática en la siguiente fórmula:
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo:
Resolver mediante la fórmula general la siguiente ecuación cuadrática x2 + 2x – 8 =
0;
a = 1, b = 2, c = -8
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
36
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6
2
x=4
2
x=2
x = -2 - 6
2
x = -8
2
x=-4
Estas son las dos soluciones o raíces.
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la fórmula general o por
factorización según sea el caso:
2
2
x + 2x – 8 = 0,
2
2
4x + 12x – 8 = 0 ,
2
x + 3x – 2 = 0, 3x – 5x = 20,
2
x + 12x = 0, 4x – 8 = 0,
2
x – x – 12 = 0.
OBSERVACIÓN.- La resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general se puede
emplear para resolver cualquier ecuación cuadrática, mientras que el de factorización sólo es
aplicable cuando las raíces son números enteros.
8.- DESPEJE DE FÓRMULAS Y REGLA DE TRES
Los términos son expresiones que constan de uno o varios símbolos no separados por los signos
de más (+) o menos (−).
Una ecuación es una igualdad en donde están involucrados varios términos.
Una ecuación está dividida en dos partes, el primer miembro que está a la izquierda de la igualdad
y el segundo miembro que está a la derecha de la igualdad.
Una fórmula es una ecuación que expresa una ley o principio general.
Ejemplo: La ecuación V = 𝑽𝟎 + 𝒂𝒕 , es la fórmula para determinar la velocidad de un objeto, en
la que tenemos tres términos, que hemos señalado en los recuadros:
Términos
V = 𝑽𝟎 + 𝒂𝒕
1er miembro
2do miembro
Las variables son cada una de las posibles incógnitas de la ecuación, que en este ejemplo son V,
𝑽𝟎 , 𝒂 y 𝒕.
Despejar consiste en modificar una ecuación hasta que la variable seleccionada quede sola en
uno de los miembros de la igualdad.
Para efectuar el despeje de una variable se aplica el axioma fundamental de las ecuaciones:
“Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales”.
Como resultado directo de este teorema tenemos que para cambiar los términos de una ecuación
de un miembro a otro, aplicamos la siguiente regla:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
37
pasa al otro miembro
Si un término en un miembro está sumando
restando
multiplicando
dividiendo
restando
sumando
dividiendo
multiplicando
Las siguientes reglas tienen plena justificación, debido a que los números reales son un campo.
En forma general se consideran para toda ecuación algebraica simplificada a su mínima expresión.
Procedimiento General.
Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un despeje correcto.
1.- Si existen diversos denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador A
AMBOS LADOS de la fórmula. Multiplica la ecuación por este común denominador y simplificar cada
término.
2.- Lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado de la fórmula, y los
demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando pasas de un lado al otro los términos
que estaban sumando pasan a restar y viceversa.
3.- Suma los términos semejantes (si se puede).
4.- Si la variable a despejar se encuentra en el denominador cambiarla al otro lado.
5.- Aislar el término donde está la variable a despejar en alguno de los miembros.
6.- TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar, pasan al otro lado, a
realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a multiplicar y viceversa.( OJO: En este
caso NUNCA se cambia de signo a las cantidades que pasan al otro lado)
7.- Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula para volverla
positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos de la fórmula)
8.- Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar la raíz (n) a AMBOS lados de la
fórmula para eliminar la potencia.
Ten en cuenta que no siempre es necesario aplicar todos los pasos para despejar una
incógnita.
Ejemplo:
En la ecuación x= (at²)/2
a) Despejar “a”
Solución:
x = (at²)/2
⇒
𝒙=
𝒂𝒕𝟐
𝟐
⇒ 2x = 𝒂t² ⇒
𝟐𝒙
𝒕𝟐
=𝒂⇒ 𝒂=
𝟐𝒙
𝒕𝟐
b) Despejar "t"
Solución
x = (at²)/2
⇒
𝒙=
𝒂𝒕𝟐
𝟐
⇒ 𝟐𝒙 = 𝒂𝒕𝟐
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
⇒
𝒕𝟐 =
𝟐𝒙
𝒂
⇒
𝟐𝒙
𝒕 = √𝒂
38
Ejemplos:
1.-Despejemos x en la ecuación z= r t − wa + dxdy
2. Encontremos el valor de z en la ecuación xs=rtz
3. Encontremos el valor de «y» en la ecuación r+y−s=q
4.- Despejar c en la ecuación 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
5.- Despejar 𝒑 en
𝟏
𝒇
𝟏
𝟏
= 𝒓−𝒑.
6.- Despejar c en 𝒙 =
−𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
.
Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos
A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,
𝐴→ 𝐵 y 𝑋→ 𝑌
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor
de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A
corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.
Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de
proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de
proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta
proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le
corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos
representar:
y diremos que: A es directamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de
B por X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente: Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2
habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor
número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:
Regla de tres simple inversa
En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los
valores se cumple que:
donde, e es un producto constante, para que esta constante
se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una
disminución de B, para que su producto permanezca
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
39
constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:
y diremos que: A es inversamente proporcional a B, como X es a Y, siendo Y igual al producto de
A por B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema: Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto
tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros
trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al
mismo ritmo).
El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser
aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores
lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres
simple inversa, tenemos:
Campo de aplicación
Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo
se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar
las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de
modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia.
Ejemplos
Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres: Ubicamos la
incógnita en la primera posición:
Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180
grados?". Así tenemos que:
Donde π es el Número π.
Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es
igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está
frente a X.

Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo
que escribimos:
El resultado es:
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40
TEMA 2: GEOMETRIA PLANA
1.- ÁNGULO
Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común
Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:
a) Una letra mayúscula en el vértice:∢B.
b) Tres letras mayúsculas : ∢ABC.
c) Una letra griega o un símbolo en la
abertura. ∢α
1.1.-SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Es costumbre que se utilicen dos tipos de unidades para medir los ángulos: el sistema
sexagesimal y el radian o arco circular.
1.1.1.-Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituye un
grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de
ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de
estas partes a un segundo
1.1.2.-Radián o arco circular
El otro sistema de medición angular es el radián o arco de circunferencia y es ampliamente
utilizado en trigonometría y en física. El
radián (simbolizado rad) se define como el
ángulo que abarca un arco de
circunferencia cuya longitud es igual a la
del radio de la circunferencia.
Sabemos que un diámetro es
equivalente a dos radios, por lo que
podemos deducir que un radio cabe 2π
veces en la circunferencia, de ahí que
2π rad = 360°
Dividiendo entre 2 la igualdad obtenemos
π rad = 180°
Esta relación la vamos a usar para hacer conversiones entre radianes y grados mediante una regla
de tres.
Hagamos un ejemplo, supongamos que deseamos saber a cuantos radianes equivalen 65°,
entonces tenemos lo siguiente:
πrad = 180°
Xrad = 65°
Resolviendo la regla de tres tenemos
65° ∗ πrad 13
Xrad =
=
πrad
180°
36
Como ya no se puede reducir mas, tenemos que:
65° = 13/36 π rad
Como observamos en el ejemplo anterior haciendo una regla de tres simple se llega a que el
factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:
π
rad
∗
180° grados
Luego tenemos que, para un ángulo X dado en grados, su equivalente Y en radianes es:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
41
Y rad = X°
π
180°
X° = Y rad
180°
π
Y viceversa:
En particular
1 rad =
Y también:
1° =
180°
≈ 57°17´45´´
π
π
≈ 0.0175 rad
180°
EJEMPLOS:
o
1) Convertir 38 a radianes.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va en la posición de los radianes.
πrad = 180°
Xrad = 38°
Despejamos x, también simplificamos.
π
19
Xrad = 38°
=
πrad
180° 90
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
X = 0.6632 radianes
2) Convertir 2.4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.
πrad = 180°
2.4 rad = X°
Despejamos x.
180°
X° = 2.4 rad
= 137.5099°
π
EJERCICIOS:
o
1.
2.
Convertir 82 a radianes.
Convertir 1.84 radianes
3.
4.
Convertir 247 a radianes.
Convertir 4.06 radianes
grados.
a
o
5.
6.
7.
Convertir 135º a radian
Convertir 210º a radianes
π
Convertir a grados
5
a
grados
1.2. CLASIFICACION DE LOS ANGULOS
0
La construcción de los ángulos no se limita hasta 360 , sino que se consideran ángulos de
0
más de 360 .También existen los ángulos negativos según su orientación.
Ángulos Positivos
Son aquéllos que abren en sentido
opuesto a las manecillas del reloj.
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Ángulos Negativos
Son aquéllos que abren conforme el
sentido de las manecillas del reloj.
42
1.2.1.-Tipos de Ángulos según su medida
Tipo
Descripción
Angulo
Agudo
Es aquél cuya magnitud
es menor que 90º
Ángulo
Recto
Es aquél cuya magnitud
es igual a 90º
Ángulo
Obtuso
Es aquél cuya magnitud
es mayor que 90º
Ángulo
Nulo
Es aquél cuya magnitud
es igual a 0º
Ángulo
Llano
Es aquél cuya magnitud
es igual a 180º
Ángulo
Cóncavo
Es aquél cuya magnitud
es mayor que 180º
pero menor que 360º
Ángulo
Perigonal
Es aquél cuya magnitud
es igual a 360º
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Imagen
43
1.2.2.-Tipos de Ángulos según su posición relativa
Tipo
Descripción
Imagen
Observación
Ángulos
Consecutivos
Son aquellos que
tienen un lado en
común y además
comparten el mismo
vértice.
∢AOB y ∢BOC
son
Consecutivos
Ángulos
Adyacentes
Son aquéllos que
tienen un lado en
común y los otros lados
son colineales.
∢AOB y ∢BOC
son Adyacentes
Ángulos
Opuestos
por el Vértice
Al cruzar dos rectas en
el plano se forman
cuatro ángulos.
De ellos, son ángulos
opuestos por el vértice
aquellos que poseen
sólo el vértice en
común.
∢AOB y ∢DOC
son Opuestos
por el Vertice.
∢AOD y ∢BOC
son Opuestos
por el Vertice
Propiedad
∢AOB + ∢BOC
= 180°
∢AOB = ∢DOC
∢AOD = ∢BOC
Descripción
Son
aquellos
cuya
suma es
igual a 90º
Ángulos
Suplementarios
Tipo
Ángulos
Complementarios
1.2.3.-Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas
Imagen
Ejemplo
Son
aquellos
cuya
suma es
igual a
180º
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44
1.3.- Ángulos formados por 2 paralelas y 1 secante
Tipo
Imagen
Propiedad
Ángulos
correspondientes
entre paralelas.
1=5
2=6
3=7
4=8
Ángulos alternos
externos y ángulos
alternos internos
entre paralelas.
Externos:
7=1
8=2
Internos:
3=5
4=6
Ejemplos
1. ¿Cuál es el complemento de 75º?
Solución: Sea x = complemento de 75º
Por definición de ángulos complementarios:
x + 75º = 90º
x = 90º - 75º
x = 15
2. Según la figura, ¿Cuál es el valor de x?
x + 55º + 20º = 90º
x = 90º - 55º - 20º
x = 15º
Solución: Los ángulos
son complementarios,
entonces
3. ¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento es el doble de dicho ángulo?
Solución: Sea x = ángulo desconocido, 2x=el doble del ángulo desconocido (su suplemento)
Por definición de ángulos suplementarios:
x + 2x =180º
x = 180º/3
3x = 180º
x=60º
Ejercicios propuestos
1.
De acuerdo con la figura:
¿Cuál es el valor de x?
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2.
De acuerdo con la figura:
¿Cuál es el valor de x?
45
3.
encuentra
De acuerdo con la figura,
los ángulos a, b, d, e.
4.
siguientes
Calcula los ángulos a°, b° y c°
5.
¿Cuánto mide el ángulo "c"?
6.
¿Cuánto mide el ángulo "b”?
2.- EL TRIÁNGULO
2.1.-CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS
Los triángulos se clasifican según se muestra en la siguiente tabla:
Tipo
Descripción
Isósceles
Dos ángulos iguales
Escaleno
Tres ángulos
diferentes
Rectángulo
Un ángulo recto
Obtusángulo
Un ángulo obtuso
Acutángulo
Tres ángulos agudos
imagen
2.2.-LADOS Y ANGULOS EN TRIANGULOS
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46
2.2.1.-Altura de un Triángulo
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado
opuesto o a la prolongación de éste. En geometría es usual designar la altura de una figura
empleando la letra H, probablemente con referencia a la palabra francesa hauteur (se pronuncia:
otér), que precisamente significa altura.
2.2.2.-Angulos en los triángulos
En un triángulo existen dos tipos de ángulos:
 Los ángulos interiores: los forman dos
lados
 Los ángulos exteriores: los forman un
lado y su prolongación.
5.3.1.1
Propiedades de
los ángulos de triángulo
1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C = 180º
2. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no
adyacentes.
α=B+C
3. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.
α = 180º - A.
3.-SEMEJANZA
3.1.-TEOREMA DE TALES
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias
rectas paralelas, los segmentos determinados en una
de las rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra.
AB
BC
AC
=
=
A`B` B`C` A`C`
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47
EJERCICIOS
1.
Las rectas a, b y
paralelas. Halla la longitud de x.
SOLUCION:
14 x
14 ∗ 2
= →x=
= 5.6 cm
10 2
10
c
son
2.
Las rectas a, b son paralelas.
¿Podem os afirm ar que c es paralela a las
rectas a y b?
SOLUCION:
Sí, porque se cumple el teorema de
Tales.
3 6
=
2 4
3 . 2 . - E L T EO R E M A D E T A L E S E N U N
TRIÁNGULO
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento
paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se
obtiene otro tr iángulo AB'C', cuyos lados s on
proporcionales a los del triángulo ABC.
AB
BC
AC
=
=
A`B` B`C` A`C`
EJEMPLO:
Hallar las medidas de los segmentos a y b
.
SOLUCION:
4 a
= → a = 8 cm
2 4
4 6
= → b = 3 cm
2 b
3.3.-CRITERIOS DE SEMEJANZA PARA DOS TRIANGULOS
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48
1.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
A=A`
B=B`
2.- Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
a
b
c
= =
a` b` c`
3.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es igual.
B = B`
a
c
=
a` c`
APLICACIONES:
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej2.htm
http://www.iesadpereda.net/thales/thales.htm
Ejemplos:
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la
misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
Solución:
0.9 4.5
6.5 ∗ 4.5
=
→x=
6.5
x
0.9
= 32.5 m
2.- Razona si son sem ejantes los siguientes triángulos:
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49
SOLUCION:
10 12
15
=
=
15 18 22.5
10 ∗ 18 = 12 ∗ 15 → 180 = 180
10 ∗ 22.5 = 15 ∗ 15 → 225 = 225
Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.
3.- Afirmar si los dos triángulos mostrados son semejantes.
180º − 100º − 60º = 20º
SOLUCION:
Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
4.- Afirmar si los dos triángulos mostrados son semejantes.
SOLUCION:
20
8
= →
17.5 7
20 ∗ 7 = 17.5 ∗ 8
Son semejantes porque
proporcionales y un ángulo igual.
Ejercicios:
1.Obsérvense
los
triángulos: ¿serán semejantes?
→
tienen
140 = 140
dos
lados
siguientes
Y=5
2.- Hallar los valores de “x”, “y” y “z”, según la siguiente figura:
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50
4 . - TE O R E M A D E P I T AG O R AS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
sum a de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c 2
4 . 1 . - A P L I C A C I O N ES D E L T E O R E M A DE
PITÁGORAS
1.- Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Ejemplo:
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m
respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
a 2 = 32 + 42 → a = √ 32 + 4 2 = 5 m
2.- Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
Ejemplo: L a h i p o t e n u s a d e u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o m i d e 5 m y u n o d e s u s c a t e t o s
3 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
52 = 32 + c 2 → c = √ 52 + 32 = 4 m
3.- Conociendo sus lados, averiguar si es un triángulo rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado m ayor ha de ser igual a la
sum a de los cuadrados de los dos m enores.
Ejemplo:
52 = 32 + 42 →
25 = 25
Como se cumple la igualdad de Pitágoras, se concluye que el triángulo si es un triángulo
rectángulo.
APLICACIONES:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html
http://ecuadernos.blogspot.com/2008/01/wikimedia-animacin-del-teorema-de.html
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51
TEMA 3: TRIGONOMETRÍA
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno;
tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás
ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de
las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de
triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en
la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
1.-FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO
Basándonos en el triangulo mostrado, tendremos que:
Seno: El seno del ángulo B, que se denota com o “sen B”, es la razón entre el
cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
cateto opuesto b
sen B =
=
hipotenusa
a
Coseno: El coseno del ángulo B, que se denota como “cos B”, es la razón
entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
𝐜𝐨𝐬 𝐁 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐜
=
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐚
T angente: La tangente del ángulo B, que s e denota com o “t an B”, es la razón
entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
𝐭𝐚𝐧 𝐁 =
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨
𝐛
=
𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐜
Cotangente: La cotangente del ángulo B, que se denota como “ ctg B”,
razón inversa de la tangente de B.
ctg B =
es la
1
cateto adyacente c
=
=
tan B
cateto opuesto
b
Secante: La secante del ángulo B, que se denota com o “sec B”,
inversa del coseno de B.
1
hipotenusa
a
sec B =
=
=
cos B cateto adyacente c
es la razón
Cosecante :La cosecante del ángulo B, que se denota com o “csc B”, es la razón
inversa del seno de B.
𝟏
𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
𝐚
𝐜𝐬𝐜 𝐁 =
=
=
𝐬𝐞𝐧 𝐁 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 𝐛
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52
Todo esto resulta m ás claro al conocer la circunferencia goniométrica, en la
cual se identifican todas las identidades trigonométricas:
5 cm = 1
Compara las medidas a escala de las funciones trigonométricas con los
resultados que obtienes de tu calculadora para las mismas funciones.
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53
EJEMPLOS:
1) De un triángulo rectángulo ABC, se
conocen a=5m y B=41.7°. Resolver el triángulo
Solución:
C = 90° − 41.7° = 48.3°
b = a ∗ sen B → b = 5 ∗ sen 41.7° = 3.326 m
c = a ∗ cos B → c = 5 ∗ cos 41.7° = 3.733 m
2) De un triángulo rectángulo ABC, se
conocen b=3m y B=54.6°. Resolver el triángulo.
Solución:
a=
b
3
→a=
= 3.68 m
sen B
sen 54.6°
3) De un triángulo rectángulo ABC, se
conocen a=6m y b=4m. Resolver el triángulo.
4
C = cos −1 ( ) = 48.19°
6
B = 90° − 48.19° = 41.81°
c = a ∗ sen C → c = 6 ∗ sen 48.19° = 4.47 m
Solución:
4) De un triángulo rectángulo ABC, se
conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
5
5
C = arctan ( ) = tan−1 ( ) = 59.04°
3
3
B = 90° − 59.04° = 30.96°
c
5
a=
→a=
= 5.831 m
sen C
sen 59.04°
5) Un árbol de 50 m de alto pro yecta una s om bra de 60
m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese
m om ento en radianes .
Solución:
tan α =
50
60
→ α = 39°48`43``
Ejercicios:
1.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos, basándose del triangulo mostrado:
a) A = 27,6 m
c) B = 75 cm
∢B = 40° 57´ 24"
∢B = 30° 19´ 47"
b) A = 33,40 m
C = 42,18 m
d) B = 4,20 cm
C = 17,15 cm
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54
2.- Un dirigible que está volando a 800 m de altura,
distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.
¿A qué distancia del pueblo se halla?
3.- Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una
cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º
4.-Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos
de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de
70°.
5.-Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno
se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, se observa
bajo un ángulo de 60°.
6.- La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios
de la circunferencia inscrita y circunscrita.
2 . - L E Y D E L S E NO Y L E Y D E L CO S E N O
2.1.-LEY DEL SENO
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los
lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de
triángulos.
La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo
opuesto a el en todo triángulo es constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá
como sigue:
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
2 . 2 . - L E Y D E L C O S EN O
La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras
aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados
multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura
obtenemos tres ecuaciones:
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a2 + b2 − 2ac cos γ
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55
Ejemplos:
1) De un triángulo sabemos que: a=6m, B=45° y C=105°. Determina los
restantes elementos.
Solución:
A = 180° − 45° − 105° = 30°
6
b
sen 45°
=
→b=6∗
=6∗
sen 30° sen 45°
sen 30°
√2
2
1
= 6√2m
2
6
c
sen 105°
=
→ c= 6∗
= 11.6 m
sen 30° sen 105°
sen 30°
2) Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°,
B = 72° y a=20m.
Solución:
a
= 2R
sen A
R=
20
= 14.14 m
2sen 45°
3) Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que
forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
Solución:
AD = √52 + 62 − 2 ∗ 5 ∗ 6 cos 48°15`
= 4.5866 cm
180° − 48°15` = 131°45`
AD = √52 + 62 − 2 ∗ 5 ∗ 6 cos 131°45`
= 10.047 cm
4) El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que
form arán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas po r los extrem os de
una cuerda de longitud 36 m.
Solución:
362 = 252 + 252 − 2 ∗ 25 ∗ 25 cos ∢O
∢O = 92°6`32``
En el cuadrilátero AOBT, los
ángulos A y B son rectos:
∢O + T = 180°
T = 180° − 92°6`32`` = 87.9°
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56
Ejercicios:
1) Resolver los siguientes triángulos:
a) A = 325 m
a = 30° 45´ 20"
c) B = 601 m
c = 87° 30´
C = 1000 m
c = 95° 02´ 08"
b) A = 40 cm
B = 38 cm
d) A = 12,33 cm
C = 27 cm
C = 24,05 cm
b = 76° 45´ 30"
3.-IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS BASICAS
Las identidades trigonométricas son relaciones o igualdades que son aplicables a cualquier
ángulo. A continuación se muestran en una tabla las identidades básicas de la trigonometría:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Recíprocas
1
1
1
csc A =
sec A =
cot A =
sen A
cos A
tan A
Identidades de Cociente
sen A
cos A
tan A =
cot A =
cos A
sen A
Identidades Pitagóricas
sen2 A + cos 2 A = 1
sec 2 A = 1 + tan2 A
csc 2 A = 1 + cot 2 A
Por otro lado, existen identidades en las cuales intervienen 2 ángulos diferentes, a las
cuales se les llama identidades trigonométricas con argumentos compuestos, y se
resumen en la tabla siguiente:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARGUMENTOS
COMPUESTOS
Razones Trigonométricas de la Suma y Diferencia de Ángulos
sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B
sen(A-B) = sen A cos B – cos A sen B
cos(A+B) = cos A cos B – sen A sen B
cos(A-B) = cos A cos B + sen A sen B
Razones Trigonométricas de Sumas y Restas de Funciones Trigonométricas
A+B
A−B
A+B
A−B
sen A + sen B = 2sen
cos
senA − senB = 2cos
sen
2
2
2
2
A+B
A−B
A+B
A−B
cos A + cos B = 2 cos
cos
cos A − cos B = −2sen
sen
2
2
2
2
Razones Trigonométricas de Productos de Funciones Trigonométricas
1
1
sen A cos B = [sen(A + B) + sen(A − B)]
cosA sen B = [sen(A + B) − sen(A − B)]
2
2
1
1
cos A cos B = [cos(A + B) + cos(A − B)]
sen A sen B = [cos(A + B) − cos(A − B)]
2
2
EJERCICIOS:
o
En los ejercicios del 1) al 5), comprueba la identidad respectiva para a=75 y b=40
1) Cos² α + sen² α = 1;
2) S e c ² α = 1 + t a n ² α ;
4) Sen(A+B)=sen A cos B + cos A sen B;
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o
3) Cos (A+B) =cos A cos B – sen A sen B
5)
Sen A − sen B = 2 cos
A+B
2
sen
A−B
2
57