Las cónicas

Las Cónicas (via excentricidad)
Fernando Puerta Ortiz)
(Por
De…nición:
En un plano, una sección cónica, o su deformación, es el lugar geométrico de todos los puntos P ,
cuya distancia a un punto …jo F dividida por su distancia a una recta …ja L es una constante positiva e.
Al punto …jo se le denomina foco, a la recta …ja, directriz, la constante es llamada excentricidad, a
la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco se la llama eje focal y los puntos intersección
de la cónica con el eje focal se conocen como vértices de la cónica.
Cuando e < 1 ; la sección cónica se denomina elipse, cuando e > 1 ; hipérbola y si e = 1 ; parábola.
Así que todo punto P de la respectiva sección cónica satisface:
kP F k
=e
distancia de P a la recta L
La elipse y la hipérbola tienen cada una dos focos y dos directrices.
Ecuación general de una cónica:
Sean F =
c1
c2
el foco en el caso de la parábola (o uno de los focos en otros casos), ax+by = c una
ecuación de la directriz L ( o de una directriz) y e la excentricidad. Entonces, para cada P =
de la cónica se tiene:
kP F k
= e ()
distancia de P a la recta L
() a2 + b2
(x
2
c1 ) + (y
2
c2 )
q
(x
2
c1 ) + (y
2
c2 )
jax + by cj
p
a2 + b2
2
2
= e (ax + by c)
x
y
=e
() a2 + b2 x2 + a2 + b2 y 2 2c1 a2 + b2 x 2c2 a2 + b2 y + a2 + b2
= e 2 a2 x2 + 2abxy 2acx + b2 y 2 2bcy + c2
() 1 e 2 a2 + b2 x2 2e 2 abxy + a2 + 1 e 2 b2 y 2
2
+ 2e ac 2c1 a2 + b2 x + 2e 2 bc 2c2 a2 + b2 y + a2 + b2 c12 + c22
c12 + c22
e 2 c2 = 0
Luego, la ecuación de la cónica es de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
donde: A = 1 e 2 a2 + b2 ; B = 2e 2 ab; C = a2 + 1
E = 2e 2 bc 2c2 a2 + b2 y F = a2 + b2 c12 + c22
e 2 c2 :
Observaciones:
1
e 2 b2 ;
D = 2e 2 ac
2c1 a2 + b2 ;
1. Nótese que cuando la directriz es horizontal (a = 0) o vertical ( b = 0) entonces B = 0; esto es, la
ecuación de la cónica se reduce a la forma:
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
En estos casos el eje focal resulta paralelo a uno de los ejes coordenados x o y:
Recíprocamente, se puede probar que toda ecuación de la forma Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
donde A; C; D; E y F son constantes, en el plano cartesiano, representa una sección cónica o su
deformación con el eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados.
2. Se llama discriminante de la ecuación general de segundo grado Ax2 +Bxy +Cy 2 +Dx+Ey +F = 0
al número B 2 4AC y de acuerdo con las igualdades anteriores, viene dado por:
B2
2e 2 ab
4AC =
2
= 4a2 b2 e4
= 4a2 b2 e4
= 4 1
=
Así, B 2
4 1
4AC = 4 e 2
4h 1
4
1
e 2 a2 + b2
a2 + 1
e 2 a4 + 1
e2
2
e 2 b2
a2 b2 + a2 b2 + 1
4 1 e 2 a4 + 2a2 b2 2e 2 a2 b2 + e 4 a2 b2 + 1
e 2 a4 + 2 1 e 2 a2 b2 + 1 e 2 b4
e2
a2 + b2
1
e 2 b4
i
e 2 b4
2
a2 + b2
2
En el caso de la parábola e = 1 y entonces B 2 4AC = 0:
En el caso de la elipse e < 1 ; con lo que e 2 < 1 y B 2 4AC < 0:
Para la hipérbola e > 1 ; y así, e 2 > 1 y B 2 4AC > 0:
Se verá que , recíprocamente, toda ecuación cuadrática general, Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =
0; con A; B, C; D; E y F constantes, corresponde, en el plano cartesiano, a una parábola (o su
deformación) si B 2 4AC = 0; a una elipse (o su deformación) si B 2 4AC < 0 y a una hipérbola (o
su deformación) si B 2 4AC > 0:
3. Si además B = 0; toda ecuación de la forma Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 corresponde, en el
plano cartesiano, a una parábola si AC = 0; una elipse si AC > 0; o una hipérbola si AC < 0; o
sus respectivas deformaciones de acuerdo con lo inmediatamente anterior.
4. Si la directriz es oblicua y tiene una ecuación de la forma y = mx + k; que es de la forma ax + by = c
con a = m; b = 1 y c = k; reemplazando estos valores en la ecuación cuadrática general se
obtiene: A = 1 e 2 m2 + 1; B = 2e 2 m; C = m2 + 1 e 2
e 2 1 m2
1 m2
1 tan2
=
=
=
donde m = tan ; es la pendiente de la
B
2e 2 m
2m
2 tan
es su ángulo de inclinación.
C
1
=
= cot (2 ) :
B
tan (2 )
Por tanto, para que la sección cónica (o su deformación), tenga la directriz y por tanto su eje focal
paralela (o) a uno de los ejes, se debe considerar en un nuevo sistema de ejes coordenados x0 y 0 obtenido
mediante una rotación de los ejes originales x y y; según el ángulo si 0 < < , o
cuando
2
2
< < :
2
Luego,
directriz y
A
Así,
A
C
2
5. Cuando la directriz es oblicua, la ecuación general de la sección cónica o su deformación es Ax2 +
Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, con B 6= 0; y otra forma de transformar esta ecuación en
2
2
una ecuación equivalente A0 (x0 ) + C 0 (y 0 ) + D0 x0 + E 0 y 0 + F 0 = 0; que no contiene el término
0 0
mixto x y y está referida a otro sistema cartesiano x0 y 0 (obtenido mediante una rotación de los
ejes originales x y y; según un ángulo ; 0 < < , donde la directriz es paralela a uno de
2
los ejes coordenados x0 o y 0 ; es mediante una matriz de rotación, método que a continuación se
describirá.
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
() Ax2 + 12 Bxy + 12 Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
() x Ax + 12 By + y 12 Bx + Cy + (Dx + Ey) + F = 0
x
D
Ax + 12 By
x
,
+
+F =0
y
E
y
Ax + 12 By
x
D
x
x
A 12 B
+
+F =0
()
1
y
E
y
y
C
2B
A 12 B
Denotando por M la matriz 1
y dado que M es matriz simétrica con 21 B 6= 0; existe
B
C
2
cos
sen
una matriz Q = m(R ) =
; con 0 < < tal que M = QDQT ; donde
sen
cos
2
0
1
D=
; siendo 1 y 2 valores propios de M; asociados respectivamente a vectores propios
0
2
cos
sen
y
:
sen
cos
Entonces:
x
y
1
2B
A
1
2B
x
y
C
Haciendo la sustitución
x0
y0
=
= QT
x
y
x
y
x
y
M
x
y
=
x
y
QDQT
x
y
; que es equivalente a
:
x0
y0
=Q
ya que QQT = I2
T
y teniendo en cuenta que
que
x
x
QDQT
=Q
y
y
!
T
x0
x0
=
QT
(QD)
0
y
y0
x0
y0
=
x0
y0
QT Q D
x0
y0
=
x0
y0
0
1x
0
2y
=
x0
y0
1
0
0
2
=
+
=
(QD)
x0
y0
=
=
x0
y0
=
T
x0
y0
Q
; se tiene
=
x0
y0
2
1
x0
y0
(QD)
(x0 ) +
D
x0
y0
2
2
(y 0 ) :
De acuerdo con lo anterior, la ecuación cuadrática general se reduce a
D
cos
sen
x0
0 2
0 2
+F =0
1 (x ) + 2 (y ) +
E
sen
cos
y0
D
x0 cos
y 0 sen
2
2
() 1 (x0 ) + 2 (y 0 ) +
+F =0
0
E
x sen + y 0 cos
2
2
() 1 (x0 ) + 2 (y 0 ) + (D cos + E sen ) x0 + (E cos
D sen ) y 0 + F = 0
donde 1 y 2 son los valores propios de M; asociados respectivamente a vectores propios
cos
sen
y
:
sen
cos
3
Hemos transformado la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
2
2
en una ecuación cuadrática sin término mixto de la forma A0 (x0 ) + C 0 (y 0 ) + D0 x0 + E 0 y 0 + F 0 = 0,
0
0
0
0
donde A = 1 ; C = 2 ; D = D cos + E sen ; E = E cos
D sen y F 0 = F
Nótese que:
Q
0
1
0
luego,
Q
1
2B
A
det M = det
1
2B
1
= AC
C
pues QT = Q
1 2
4B
B2
=
4AC
; pero sabemos que M = QDQT =
4
1
2
det M = det Q
1
0
0
Q
1
= det Q det
2
1
0
0
det Q
1
2
1
= 1 2
det Q
Por lo tanto el discriminante de la ecuación general de segundo grado es B 2
Se tiene entonces que: La cónica es una parábola (o su deformación) si 1
su deformación) si 1 2 > 0 o una hipérbola (o su deformación) si 1 2 < 0:
= det Q (
1 2)
4
4AC = 4 1 2 :
2 = 0; una elipse (o