derivadas - 4tos medios UDP

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GUÍA N° 9 CÁLCULO I
Profesor: Carlos Ruz Leiva
DERIVADAS
Representación gráfica de la derivada
La pendiente de la recta secante, que se muestra en la figura, es
que la pendiente de la recta tangente a la curva
lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
, mientras
h
y = f (x)
f ( x + h) − f ( x )
.
h
Definición de derivada
Se dice que una función f es diferenciable en x si y sólo si
lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
existe.
se obtiene de
Si este límite existe, se denomina derivada de f en x y se denota por f ′(x) .
Observación:
Si x = a , es un número real cualquiera, f ′(a) representa a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función f en el punto (a, f (a )) .
Si x , es la variable independiente de la función f , f ′(x) representa a una nueva función,
denominada la derivada de la función f .
Ejemplos:
Calcular la derivada de cada una de las funciones siguientes:
1.
f ( x) = k , k = constante.
Solución:
f ′( x) = lim
h →0
2.
f ( x + h) − f ( x )
k −k
= lim
= 0.
h →0
h
h
f ( x) = x .
Solución:
f ′( x) = lim
h →0
3.
f ( x + h) − f ( x )
h
( x + h) − x
= lim
= lim = 1 .
h →0
h →0 h
h
h
f ( x) = x 2 .
Solución:
f ′( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
( x + h) 2 − x 2
2hx + h 2
= lim
= lim
= lim(2 x + h) = 2 x .
h →0
h →0
h →0
h
h
h
En general, se tiene que si
f ( x) = x n ⇒
f ′( x) = nx n −1 .
4.
f ( x) = sen x .
Solución:
f ( x + h) − f ( x )
sen( x + h) − senx
= lim
=
h →0
h→0
h
h
senx cosh + senh cos x − senx
senx(cosh − 1) + senh cos x
lim
= lim
=
h →0
h
→
0
h
h
f ′( x) = lim
lim
h →0
senx(cosh − 1)
senh cos x
senh
(cosh − 1)
+ lim
+ cos x lim
= senx lim
=
h
→
0
h
→
0
h
→
0
h
h
h
h
senx(0) + cos x(1) = cos x .
Análogamente, se prueba que si f ( x) = cos x ⇒ f ′( x) = −sen x .
5.
f ( x) = e x .
Solución:
f ′( x) = lim
h →0
(e h − 1)
f ( x + h) − f ( x )
e ( x+h) − e x
e x (e h − 1)
= lim
= lim
= e x lim
=
h →0
h →0
h →0
h
h
h
h
e x (1) = e x .
6.
f ( x) = x , x ≥ 0 .
Solución:
f ′( x) = lim
h →0
x+h − x
f ( x + h) − f ( x )
x+h − x
x+h + x
= lim
= lim
⋅
=
h
→
0
h
→
0
h
h
h
x+h + x
1
1
x+h−x
h
, para x > 0 .
= lim
=
= lim
h→0 h( x + h +
x ) h→0 h( x + h + x ) h →0 x + h + x 2 x
lim
7.
f ( x) =
1
, x ≠ 0.
x
Solución:
x−x−h
−h
1
1
−
f ( x + h) − f ( x )
( x + h) x
( x + h) x
= lim x + h x = lim
= lim
=
f ′( x) = lim
h →0
h →0
h →0
h →0
h
h
h
h
−1
−1
= 2 , para x ≠ 0 .
h →0 ( x + h) x
x
lim
Derivadas usando Maple
1.
f ( x) = k , k = constante.
Solución:
Primero, definir la función.
> f:=x->k;
f := x → k
Segundo, obtener la pendiente de la secante.
> m:=(f(x+h)-f(x))/h;
m := 0
Tercero, calcular la derivada.
> f_1:=limit(m,h=0);
f_1 := 0
Otra forma, más directa, usando la función
> f:=x->k;
> f_1:=diff(f(x),x);
f_1 := 0
Otra forma, usando la expresión
> f:=k;
f := k
> f_1:=diff(f,x);
f_1 := 0
Por lo tanto, si f ( x) = k ⇒ f ′( x) = 0 .
f ( x) = x .
2.
Solución:
> f:=x->x;
f := x → x
> m:=(f(x+h)-f(x))/h;
m := 1
> f_1:=limit(m,h=0);
f_1 := 1
Otra forma.
> f:=x;
f := x
> f_1:=diff(f,x);
f_1 := 1
Por lo tanto, si f ( x) = x ⇒ f ′( x) = 1 .
3.
f ( x) = x 2 .
Solución:
> f:=x->x^2;
f := x → x2
> m:=(f(x+h)-f(x))/h;
m :=
( x + h )2 − x2
h
> f_1:=limit(m,h=0);
f_1 := 2 x
Otra forma:
> f:=x^2;
f := x2
> f_1:=diff(f,x);
f_1 := 2 x
Resuelva los otros ejemplos, usando Maple.
Visualización gráfica de la derivada de una función, usando Maple.
> restart;
with(student):a:=4:
f:=x->x^2;showtangent(f(x), x = a,x=-2..8,y=0..50);
> df(x)=diff(f(x),x);
df( x ) = 2 x
> eval(%,x=4);
df( 4 ) = 8
Teorema:
Si f es diferenciable en x , f es continua en x .
Demostración:
Como f es diferenciable en x , f ′( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
y puesto que lim h = 0 ,
h →0
h
tenemos que
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤
⋅ h⎥ =
lim[ f ( x + h) − f ( x)] = lim ⎢
h →0
h →0
h
⎣
⎦
[ ]
f ( x + h) − f ( x ) ⎤
⎡
h = 0.
⎢⎣lim
⎥⎦ ⋅ lim
h →0
h →0
h
Por lo tanto, se cumple que lim f ( x + h) = f ( x) , es decir que f es continua en x .
h →0
La recíproca no es cierta, ya que, por ejemplo la función f ( x) = 1 − x 2 no es diferenciable
en ± 1 , a pesar de que es continua en esos puntos. Esta situación se muestra en la figura
siguiente.
> plot(abs(1-x^2),x=-2..2,y=0..3);
Ejercicios
Derivar cada una de las siguientes funciones, formando el cociente diferencial
apropiado y tomando el límite cuando h tiende a 0 .
1.
f ( x) = 5 ,
2. f ( x) = 2 x ,
4.
f ( x) = mx + n ,
5.
7.
f ( x) = (3x − 2) 2 ,
8. f ( x) =
f ( x) =
3. f ( x) = 4 − 3 x ,
1
,
2x − 3
6. f ( x) =
1
9. f ( x) = x − 1 .
x
,
1
,
x2
Compruebe, los resultados obtenidos usando Maple.
Para cada una de las funciones que siguen hallar f ′(2) mediante la definición de la
derivada
lim
h →0
10. f ( x) =
1
,
x +1
f ( 2 + h ) − f ( 2)
.
h
11. f ( x) =
1
,
3x
12. f ( x) =
1
x+3
.
Use la visualización gráfica de Maple, para tener más claridad del concepto de
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada.
Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes funciones, indicando dónde no son
diferenciables.
13. f ( x) = 2 x − 5 ,
14. f ( x) = x 2 − 9 ,
16. f ( x) = x − 1 + x − 2 ,
17.
15. f ( x) =
x,
f ( x) = x 3 − 1 .
Compruebe sus resultados, dibujando con Maple. Por ejemplo, la función de la figura es
discontinua en 1 y en 2.
> plot(abs(x-1)+abs(x-2),x=-2..5,y=0..8);
Derivadas de sumas y múltiplos escalares
Si f y g son diferenciables en x y k un número real, entonces f + g y kf son
también diferenciables en x . Además,
(a) ( f + g )′( x) = f ′( x) + g ′( x) ,
(b) (kf )′( x) = kf ′( x) .
Demostración:
(a) Aplicando la definición de diferenciabilidad en x , para f + g , tenemos:
[ f ( x + h ) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ]
( f + g )( x + h) − ( f + g )( x)
= lim
h →0
h →0
h
h
( f + g )′( x) = lim
= lim
h →0
[ f ( x + h) − f ( x)] + [g ( x + h) − g ( x)] = lim f ( x + h) − f ( x) + lim g ( x + h) − g ( x)
= f ′( x) + g ′( x) .
h
h →0
h
h →0
h
(b) Aplicando la definición de diferenciabilidad en x , para kf , tenemos:
(kf )( x + h) − (kf )( x)
k [ f ( x + h) − f ( x ) ]
f ( x + h) − f ( x )
= lim
= k lim
h →0
h →0
h →0
h
h
h
(kf )′( x) = lim
= kf ′(x) .
Ejemplos
Diferenciar las siguientes funciones.
1.
f ( x) = x 2 + senx
Solución:
Aplicando la propiedad (a), tenemos
f ′( x) = ( x 2 + senx)′ = ( x 2 )′ + ( senx)′ = 2 x + cos x .
2. g ( x) =
1
+ 5e x
x
Solución:
Aplicando las propiedades (a) y (b), tenemos
′
′
′ −1
1
1⎞
⎛
⎛
x ⎞
g ′( x) = ⎜ + 5e ⎟ = ⎜ ⎟ + 5 e x = 2 + 5e x .
x
⎝x
⎠ ⎝ x⎠
( )
3. h( x) = x −
2
x
Solución:
Aplicando las propiedades (a) y (b), tenemos
′
⎛
2 ⎞
h ′( x) = ⎜⎜ x −
⎟⎟ =
x⎠
⎝
′
⎛ 2 ⎞
1
x−2
1
−
=
.
x − ⎜⎜
⎟⎟ =
⎝ x ⎠ 2 x x x 2x x
( )
′
′
′
⎛ 1 ⎞
1
1
⎟⎟ = x −1 / 2 = − x −3 / 2 = −
donde ⎜⎜
.
2
2x x
⎝ x⎠
(
)
Ejercicios:
Derivar las siguientes funciones:
1.
f ( x) = x 5 − 3x 2 + 7 x − 9 .
3. G (t ) = cos t + 3 tan t .
5. y =
23
x + 5 cos x .
3
2. g ( x) = x 4 / 3 + x 2 / 3 .
4. H ( s ) = e x − 3 ln x + 7 x + 1 .
6. y = 3sen x + 9 cos x − 7 x 3 / 2 .
Regla del producto
Si f y g son diferenciables en x , también lo es su producto, y
( fg )′( x) = f ( x) g ′( x) + f ′( x) g ( x) .
Demostración:
Usando la definición de ( fg )′( x) , tenemos
( fg )′( x) = lim
h →0
( fg )( x + h) − ( fg )( x)
f ( x + h ) g ( x + h) − f ( x ) g ( x )
= lim
=
h
→
0
h
h
lim
f ( x + h) g ( x + h) + f ( x + h) g ( x ) − f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x )
=
h
lim
f ( x + h)[g ( x + h) − g ( x)] + g ( x)[ f ( x + h) − f ( x)]
=
h
h →0
h →0
lim
f ( x + h)[g ( x + h) − g ( x)]
g ( x)[ f ( x + h) − f ( x)]
+ lim
=
h →0
h
h
lim
f ( x)[g ( x + h) − g ( x)]
g ( x)[ f ( x + h) − f ( x)]
+ lim
=
h
→
0
h
h
h →0
h →0
f ( x) ⋅ lim
h →0
g ( x + h) − g ( x )
f ( x + h) − f ( x)
+ g ( x) ⋅ lim
= f ( x) g ′( x) + g ( x) f ′( x) .
h
→
0
h
h
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones.
1.
f ( x) = (2 x 3 − 5 x 2 + 3)( x 4 − 7 x + 1)
Solución:
Aplicando la propiedad del producto, tenemos
f ′( x) = ((2 x 3 − 5 x 2 + 3)( x 4 − 7 x + 1))′ =
(2 x 3 − 5 x 2 + 3)′( x 4 − 7 x + 1) + (2 x 3 − 5 x 2 + 3)( x 4 − 7 x + 1)′ =
(6 x 2 − 10 x)( x 4 − 7 x + 1) + (2 x 3 − 5 x 2 + 3)(4 x 3 − 7) =
14 x 6 − 30 x 5 − 44 x 3 + 111x 2 − 10 x − 21 .
2.
f ( x) = 5e x senx
Solución:
Aplicando la propiedad del producto, tenemos
f ′( x) = (5e x senx)′ = 5(e x senx)′ = 5((e x )′( senx) + (e x )( senx)′) =
5(e x sen x + e x cos x) = 5e x (sen x + cos x) .
3.
f ( x) = sen 2 x
Solución:
Aplicando la propiedad del producto, tenemos
f ′( x) = (sen 2 x)′ = (sen x ⋅ sen x)′ = (sen x)(sen x)′ + (sen x)′(sen x) =
sen x cos x + cos xsen x = 2sen x cos x = sen (2 x) .
4.
f ( x) = xsen x
Solución:
Aplicando la propiedad del producto, tenemos
f ′( x) = ( xsen x)′ = ( x)(sen x)′ + ( x)′(sen x) = x cos x + sen x .
Ejercicios:
Derivar las funciones siguientes:
1.
f ( x) = ( x 2 + 1) cos x + x ln x + 1 .
2. g ( x) = e x cos x − 3 x 2 tan x .
3. y = cos x ln x − 3e x sen x + 2 x − 1 .
4. y = (e x + x)(cos− x + 1) .
5. y = xe x cos x .
6. y = ( x 2 − x + 1)sen x ln x .
Regla de la recíproca
Si g es diferenciable en x y g ( x) ≠ 0 ,
1
es diferenciable en x ,
g
y se verifica que
′
⎛1⎞
g ′( x)
⎜⎜ ⎟⎟ ( x) = −
.
[g ( x)]2
⎝g⎠
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones
1.
1
x
f ( x) =
Solución:
Aplicando la propiedad de la recíproca, tenemos
′
( x )′
1
⎛1⎞
f ′( x) = ⎜ ⎟ = − 2 = − 2 .
x
[x]
⎝ x⎠
2.
f ( x) = csc x
Solución:
Aplicando la propiedad de la recíproca, tenemos
′
(sen x)′
cos x
⎛ 1 ⎞
=−
= − csc x cot x .
f ′( x) = (csc x)′ = ⎜
⎟ =−
2
sen xsen x
[sen x]
⎝ sen x ⎠
3.
1
ax + bx + c
f ( x) =
2
Solución:
Aplicando la propiedad de la recíproca, tenemos
′
1
(ax 2 + bx + c)′
2ax + b
⎛
⎞
.
=−
f ′( x) = ⎜ 2
⎟ =− 2
2
2
⎝ ax + bx + c ⎠
ax + bx + c
ax 2 + bx + c
[
[
]
]
Ejercicio:
Derivar las siguientes funciones:
1.
f ( x) =
1
.
x + cos x
2. g (u ) =
3
.
usen u + 1
3.
y=
1
4. v =
4
2
x x +1
.
3
t + 3t
5
.
Regla del cociente
Si f y g son diferenciables en x y g ( x) ≠ 0 , el cociente
f
es diferenciable en x
g
y se verifica que
′
⎛f ⎞
g ( x) f ′( x) − f ( x) g ′( x)
⎜⎜ ⎟⎟ ( x) =
.
[g ( x)]2
⎝g⎠
Ejemplos:
Diferenciar las siguientes funciones
1.
f ( x) =
2x + 3
5x − 4
Solución:
Aplicando la regla del cociente, tenemos
′
(5 x − 4)(2 x + 3)′ − (2 x + 3)(5 x − 4)′
⎛ 2x + 3 ⎞
=
f ′( x) = ⎜
⎟ =
[5 x − 4]2
⎝ 5x − 4 ⎠
(5 x − 4)(2) − (2 x + 3)(5)
[5 x − 4]
2
2.
=
10 x − 8 − 10 x − 15
[5 x − 4]
2
f ( x) = tan x
Solución:
Aplicando la regla del cociente, tenemos
=−
23
[5 x − 4]2
.
′
sen x ⎞
(cos x)(sen x)′ − (sen x)(cos x)′
⎛
f ′( x) = (tan x)′ = ⎜
=
⎟ =
[cos x]2
⎝ cos x ⎠
cos x cos x − sen x(−sen x) cos 2 x + sen 2 x
1
=
=
= sec 2 x .
2
2
2
cos x
cos x
cos x
Análogamente, se prueba que si f ( x) = cot x ⇒ f ′( x) = − csc x .
3.
cos x + x 2
f ( x) =
.
x2
Solución:
Aplicando la regla del cociente, tenemos
f ′( x) =
( x 2 )(cos x + x 2 )′ − ( x 2 )′(cos x + x 2 )
=
(x 2 )2
x 2 (−sen x + 2 x) − 2 x(cos x + x 2 ) − x 2 sen x − 2 x cos x
=
=
x4
x4
−
xsen x − 2 cos x
.
x3
Luego f ′(x) = −
xsen x − 2 cos x
.
x3
Ejercicios:
Derivar las siguientes funciones.
1.
f ( x) =
3. h( x) =
1− x2
.
1 + x 2|
x
x+
5. y =
2
x
x cos x
.
( x 2 + 1)
.
2. g (t ) =
3t − 5
.
2 − 7t
4. G ( s ) =
s 2 + 5s + 3
.
s2 +1
6. y =
2 x + tan x
.
xsen x
La regla de la cadena
Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en g (x) , se verifica que la composición
f D g es diferenciable en x , y se verifica que
( f D g )′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x) .
Otra forma:
Si y = f (u ) y u = g (x) , se verifica que
dy dy du
.
=
dx du dx
Ejemplos
Derivar las siguientes funciones.
1. h( x) = (2 x + 3) 5 .
Solución:
En este ejemplo se tiene que f ( x) = x 5 y g ( x) = 2 x + 3 . Entonces,
h( x) = ( f D g )( x ) = f ( g ( x)) = f (2 x + 3) = (2 x + 3) 5 y
h ′( x) = ( f D g )′( x ) = f ′( g ( x)) g ′( x) = 5( g ( x)) 4 g ′( x ) = 5(2 x + 3) 4 (2) = 10(2 x + 3) 4 .
En donde
f ′( x) = 5 x 4 ⇒ f ′( g ( x )) = 5( g ( x)) 4 = 5(2 x + 3) 4 y g ′( x) = 2 .
Observe que ( g D f )( x) = g ( f ( x )) = g ( x 5 ) = 2 x 5 + 3 y su derivada es
( g D f )′( x) = g ′( f ( x)) f ′( x) = (2)(5 x 4 ) = 10 x 4 , como era de esperar.
Usado la segunda notación, se tiene y = u 5 y u = 2 x + 3 .
Entonces:
dy dy du
=
= (5u 4 )(2) = 10u 4 = 10(2 x + 3) 4 .
dx du dx
2. h( x) = sen x 2 .
Solución:
Usando f ( x) = sen x y g ( x) = x 2 , obtenemos h( x) = ( f D g )( x) = f ( g ( x)) =
f ( x 2 ) = sen ( x 2 ) = sen x 2 .
Entonces: h ′( x ) = ( f D g )′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x ) = cos( g ( x))(2 x) = 2 x cos x 2 .
Sea y = sen u , con u = x 2 .
Otra forma:
Entonces:
dy dy du
=
= (cos u )(2 x) = (cos x 2 )(2 x) = 2 x cos x 2 .
dx du dx
Una forma, más simple, es darse cuenta de cuales son las funciones que forman parte de
la función compuesta.
La derivada de la función compuesta se obtiene multiplicando las derivadas de las
funciones componentes.
Es decir, si h( x) = sen x 2 ⇒ h ′( x ) = (cos x 2 )(2 x) = 2 x cos x 2 .
En los ejemplos siguientes aplicamos este procedimiento.
3. h( x) = ( x 3 + 5 x + 1) .
Solución:
⎛
⎞
3x 2 + 5
1
⎟(3x 2 + 5) =
.
h ′( x) = ⎜
3
⎜ 2 ( x 3 + 5 x + 1) ⎟
2
(
x
+
5
x
+
1
)
⎝
⎠
4. h( x) = e x .
2
Solución:
h ′( x) = (e x )(2 x) = 2 xe x .
2
2
5. h( x) = ln 3 (tan( x 5 + 1)) .
Solución:
⎛
⎞
1
⎟⎟(sec 2 ( x 5 + 1))(5 x 4 ) =
h ′( x) = 3 ln 2 (tan( x 5 + 1))⎜⎜
5
tan(
x
+
1
)
⎝
⎠
⎛ sec 2 ( x 5 + 1) ⎞
⎟⎟ .
h ′( x) = 15 x 4 ln 2 (tan( x 5 + 1))⎜⎜
5
⎝ tan( x + 1) ⎠
6. Si y = u 5 + 3u 2 + 2u − 7 , donde u = 9 x 3 − 3x + 1 , determine
dy
dx
.
x=2
Solución:
Aplicamos la regla de la cadena:
dy dy du
=
= (5u 4 + 6u + 2)(27 x 2 − 3) .
dx du dx
Cuando x = 2 , u = 9(2) 3 + 6(2) + 2 = 72 + 12 + 2 = 86 .
Luego
dy
dx
= (5(86) 4 + 6(86) + 2 )(27(2) 2 − 3) =
x=2
7. Hallar f ′(x) , si f ( x) = x 2 sen 3 x 2 .
Solución:
Primero derivamos el producto:
f ′( x) = ( x 2 )′(sen 3 x 2 ) + ( x 2 )(sen 3 x 2 )′ =
2 xsen 3 x 2 + x 2 (3sen 2 x 2 )(cos x 2 )(2 x) =
2 xsen 3 x 2 + 6 x 3 sen 2 x 2 cos x 2 .
Comprobamos, con Maple:
> f(x):=x^2*sin(x^2)^3;
f( x ) := x2 sin( x2 )
3
> df(x):=diff(f(x),x);
3
2
df( x ) := 2 x sin( x2 ) + 6 x3 sin( x2 ) cos( x2 )
Ejercicios:
Determinar la derivada de las funciones siguientes:
1. F ( x) = (5 x 3 + 4 x 2 − 9 x + 3) 4 .
3.
f (t ) = (2t 3 − 9t 2 + t − 1) −7 .
5. l (u ) = u 2 − 5u .
⎛1 ⎞
7. h(t ) = ⎜ − t ⎟
⎝t ⎠
2. G ( x) = (6 x 2 + 9 x − 3) 3 ( x 5 − 3x 4 + 2 x − 1) 2 .
4. g (t ) =
1
.
(t + 1) 3
3
6. m(u ) = 3 1 − u .
3/ 2
.
8. s (t ) = 4
t2 +1
.
t 2 −1
9. y = cos( x 5 ) .
10. y = cos 5 x .
11. y = (1 + cos 3 x) 5 .
12. y = tan 2 x + tan( x 2 ) .
13. y = cos(cos x) .
14. y = sec 2 2 x − tan 2 2 x .
15. y = cot 3 1 + x 2 .
16. y =
17. y = (sen x 2 + 1) 3 .
18. y = cos(sen 2 x) .
1 + cos 2 x
.
1 − cos 2 x
Verifique cada uno de los problemas, usando Maple, como por ejemplo,
> y:=sqrt(cos(sin(x)^2));
y := cos( sin( x )2 )
> diff(y,x);
−
sin( sin( x )2 ) sin( x ) cos( x )
cos( sin( x )2 )