Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla-La Mancha MasMates.com Colecciones de ejercicios 1 3 -1 1. [2014] [EXT-A] a) Dsicute, en función del parámetro m, el rango de la matriz A = m+1 3 m-1 . m-1 m+3 -1 b) ¿Para qué valores del parámetro m existe la matriz inversa de A? 2. [2014] [EXT-B] Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que sean solución del sistema matricial siendo C = 2A + B = C2 A - B = C-1 , 1 3 . 2 5 3. [2014] [JUN-A] a) Sabiendo que A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que |A| = 5, calcula razonadamente el valor de los determinantes: -A ; A-1 ; AT ; A3 . a b c b) Sabiendo que 1 1 1 = 2, calcula, usando las propiedades de los determinates, 3 0 1 5 0 0 0 3-a -b 1-c 2 2a 2b 2c 1+a 1+b 1+c y 0 30 0 10 3a 3b 3c 1 4 4 4 4. [2014] [JUN-B] a) Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales x - 2y + 3z = 4 2x - y + z = 8 , a, es compatilbe indeterminado. Calcula a x - 5y + az = 4 y resuelve el sistema para dicho valor del parámetro. b) Para el valor de a encontrado, da una solución particular del sistema tal que x = y. 5. [2013] [EXT-A] a) Despeja X en la ecuación matricial X·A - B = 2X, donde A, B y X son matrices cuadradas de orden 3. 0 1 0 3 0 0 y B = 2 0 -2 b) Calcula X, siendo: A = 2 3 0 0 -1 3 1 2 3 6. [2013] [EXT-B] a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m x + y - 5z = -1 2x - y - 3z = 1-m x - 2y + 2z = m b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible indeterminado. 7. [2013] [JUN-A] a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que cumplan: > Su suma es la matriz identidad de orden 2. 1 2 . > Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz 3 4 b) Si M es una matriz cuadrada de orden 2 tal que |M| = 7, razona cuál es el valor de los determinantes |M2| y |2M|. 1 1 1 8. [2013] [JUN-B] a) Sabiendo que |A| = a b c = 2, donde a,b,c, calcula los determinantes: a2 b2 c2 a-1 b-1 b-1 a2-1 b2-1 c2-1 5 5 5 y (a+1)2 (b+1)2 (c+1)2 a b c a2 b2 c2 indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. b) Razona que, puesto que |A| = 2, los parámetros a, b y c deben ser distintos entre sí (no puede haber dos iguales). 14 de marzo de 2015 Página 1 de 6 Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla-La Mancha MasMates.com Colecciones de ejercicios a b c b b+a 2c a+d+g b+e+h c+f+i 9. [2012] [EXT-A] Sabiendo que d e f = 5, calcula el valor de los determinantes: e e+d 2f ; d+g e+h f+i , indicando las g h i h h+g 2i g h i propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. 10. [2012] [EXT-B] a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a : x + y + 2z = 0 ax - 3z = a . 2x + ay - z = a b) Resuélvelo para el valor a = 1. x+y+z = 0 x+2y+3z = 0 en función del parámetro m. 11. [2012] [JUN-A] a) Discute el sistema de ecuaciones lineales: mx+(m+1)y+(m-1)z = m-2 3x+(m+3)y+4z = m-2 b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado. 12. [2012] [JUN-B] a) Sean A y B matrices cuadradas de orden nN, n 2, tales que B es la inversa de A. 1) Si |A| = 3, razona cuando vale |B|. 2) ¿Cuál es el rango de B? 1 0 0 1 -2 3 b) Siendo 0 10 -3 ·X = 0 3 0 , calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3. 0 0 7 0 7 0 0 1 -1 0 x 0 2 3 k ,X= y yO= , se pide: 13. [2011] [EXT-A] Dadas las matrices A = 0 1 4 k z 0 0 5k 1 a) Calcula en función del parámetro kR el rango de la matriz A. b) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema A·X = O sea incompatible? c) ¿Para qué valores k el sistema A·X = O es compatible indeterminado? 14. [2011] [EXT-B] a) Clasifica, en función del parámetro m, el sistema de ecuaciones x-y+z = 1 2x-3y = -1 . x+2y+mz = m+3 b) Resuélvelo, si es posible, para m = 7. 0 1 4 5 yB= , se pide: 1 0 -3 -4 2X+3Y = A X+Y = B 15. [2011] [JUN-A] Dadas llas matrices A = a) Resuelve el sistema matricial b) Encuentra una fórmula general para Bn, donde nN. (Indicación: Calcula las primeras potencias de la matriz B). 16. [2011] [JUN-B] a) Clasifica, en función del parámetro , el sistema de ecuaciones x+2y-z = 3x-y-z = 1 . 5x+y-2z = 3 b) Resuélvelo, si es posible, para = 2. 0 0 1 -1 17. [2010] [EXT-A] Dadas las matrices M = 4 3 y F = 0 1 0 , se pide: 1 0 0 2 1 -3 a) ¿Para qué valores existe la matriz inversa de M? b) Para = 0 resuelve, si es posible, la ecuacion X·M = 2F, donde X es una matriz cuadrada 14 de marzo de 2015 Página 2 de 6 Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla-La Mancha MasMates.com Colecciones de ejercicios de orden 3. 2x + y + z = 0 x - 2y + z = 0 . x + 3y + z = 10 18. [2010] [EXT-B] a) Clasifica en función del parámetro el sistema de ecuaciones b) Resuélvelo, si es posible, para = -3. kx + y + z = k x + ky + z = k . x + y + kz = k 19. [2010] [JUN-A] a) Clasifica en función del parámetro k el sistema de ecuaciones: b) Resuelvelo, si es posible, para k = 1. 2 a-3 2 1 yB= . Determina los valores a, b, c R de forma que se cumpla b+2 c 0 1 que el determinante de la matriz B sea igual a 8, y ademas se verique que A·B = B·A. 20. [2010] [JUN-B] Consideremos las matrices A = 21. [2009] [EXT] a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamaño n. Despeja X en la ecuación X·A = 2X+B2. 1 0 1 2 2 0 b) Calcula la matriz X siendo A = 0 1 0 y B = 0 4 0 . 1 0 -1 0 0 4 22. [2009] [EXT] a) Clasifica, en función del parámetro , el sistema de ecuaciones x-y-z = 2 5x+3y+3z = 0 . 3x+2y+z = 1 b) Resuélvelo para = 0, si es posible. 23. [2009] [JUN] a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamaño n. Despeja X en la ecuación A·X·B = B2. 0 0 -1 1 0 2 b) Calcula la matriz X siendo A = 0 1 -1 y B = 0 1 3 . 1 -1 0 1 0 1 1 x x-1 1 -1 24. [2009] [JUN] a) Calcula, en función del parámetro a, las soluciones de la ecuación: 0 1 2 1 -1 2 0 x b) ¿Para qué valor de a la ecuación anterior tiene una única solución? x z/2 z+7 3 x -3 1 y 25. [2008] [EXT] Sabiendo que y 0 1 = 6, calcula el valor de y/2 y 3 y z x/2 x-3 3 z 7 1 0 26. [2008] [EXT] Clasifica el sistema 27. [2008] [JUN] Dada la matriz A = -3 0 7 6 1 1 1 0 -1 -1 0 0 x 0 x a 1 0 = 0. 1 x 2 2 . 2 2 x-2y+az = 0 -ay+2z = 0 en función del parámetro a, y resuélvelo para a = -2. 2x-y+(a+1)z = 0 x+y+z+ = 0 1 0 0 1 1 0 , se pide: 0 0 1 a) Encuentra la expresión de la potencia n-ésima de A. En otras palabras, calcula la expresión de An, donde n es un número natural 14 de marzo de 2015 Página 3 de 6 Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla-La Mancha MasMates.com Colecciones de ejercicios cualquiera. b) Razona que la matriz An tiene inversa para cualquier nN, n 1, y calcula dicha matriz inversa. 28. [2008] [JUN] Encuentra, si es posible, un valor del parámetro a de modo que el sistema x+y-z = 1 x-y+2z = 2 2x+z = a a) Sea compatible determinado. b) Sea compatible indeterminado. c) Sea incompatible. 29. [2007] [EXT] Enuncia el teorema de Rouche-Fröbenius. Contesta razonadamente a las siguientes preguntas para un sistema A·X = B en forma matricial: a) ¿Puede un sistema homgéneo ser incompatible? b) Si la matriz A es de orden 2x3, ¿puede ser el sistema A·X = B compatible determinado? 1 -1 0 2 yB= , se pide: 2 1 2 4 a) Resuelve la ecuación matricial A·X+X = B, donde X es una matriz de orden 2x2. 2X+2Y = A b) Resuelve el sistema , siendo X e Y dos matrices de orden 2x2. 4X+3Y = B 30. [2007] [EXT] Dadas las matrices A = 1 0 31. [2007] [JUN] Calcula el rango de la matriz A = -1 2 -2 1 -1 2 tiene inversa la matriz A? (No se pide hallarla). en función del parámetro . ¿Para qué valores del parámetro 32. [2007] [JUN] Discute y resuelve, en función del parámetro a, el sistema ax +y =0 -y +2az = 0 -x +ay =0 a b c 3b 6c 6a a+2b b-c 7c 33. [2006] [EXT] Sabiendo que d e f = x y además e 2f 2d - d+2e e-f 7f = 5x+6, halla el valor de x. (Nota: Expresa los g h i 5h 10i 10g g+2h h-i ti determinantes de la segunda igualdad en función de x) 34. [2006] [EXT] Clasifica en función del parámetro a el sistema de ecuaciones ax-3y-2z = 0 -x+(5+a)z = 0 y resuélvelo, si es posible, para 2x+3y+4z = 0 a = -4. 35. [2006] [JUN] a) Despeja la matriz X en función de A e I2 en la ecuación (X+A)2 = X2+X·A+I2, siendo X y A matrices cuadradas de orden 2 e I2 la matriz identidad de orden 2. b) Resuelve la ecuación B·X+B2 = I2, si B = 1 1 e I2 la matriz identidad de orden 2. 1 0 3x-ky = 3 y+3z = 6 para el valor del parámetro k que él x+kz = 5 desee. Obtiene, concretamente para dicho valor, que el sistema es compatible indeterminado, y que una expresión de sus soluciones en forma paramétrica es x = 1+2t, y = ..., z = ... Determina para qué valor del parámetro k ha clasificado y resuelto el sistema, y calcula las expresiones de las incógnitas "y" y "z" que faltan. 36. [2006] [JUN] A un compañero la piden que clasifique y resuelva el sistema 14 de marzo de 2015 Página 4 de 6 Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla-La Mancha MasMates.com Colecciones de ejercicios 37. [2005] [EXT] a) Discute, en función de los valores de m, el siguiente sistema: 2x-3y = 0 x-y+z = 0 x+2y+mz = m b) Resuelve, en los casos de compatibilidad, el sistema anterior. 38. [2005] [EXT] Se consideran las matrices A = 1 2 1 2 m y B = m 0 , donde m es un número real. Encuentra los valores de m para 1 -1 -1 0 2 los que A·B tiene inversa. 39. [2005] [JUN] Dado el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a x+2y+z = a x+y-az = a , se pide: 2x+3y+z = a a) Discusión del mismo en función del valor del parámetro a. b) Resolución en el caso de que a 0. a b c d e f tiene su determinante igual a n, averigua, utilizando las propiedades de los g h i determinantes, el valor del determinante de las matrices siguientes: 6d 4e 2f d+f e f+e B = 3g 2h i ; C = a+c b c+b 9a 6b 3c g+i h i+h 40. [2005] [JUN] Si la matriz A = 1 0 1 0 1 1 0 2 0 , B = 1 1 0 . Ambas son de rango 3. ¿Qué ocurre si las 1 1 0 0 0 2 combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A+B, según los valores del parámetro . 41. [2004] [EXT] Sean A y B las matrices siguientes: A = 2 1 1 3 0 3 1 1 1 ,B= 1 0 0 : 1 -1 1 0 1 1 a) Halla la inversa de (A-I), siendo I la matriz unidad de orden 3. b) Halla la matriz X solución de la ecuación X·A - 2B = X. 42. [2004] [EXT] Dadas las matrices A = 43. [2004] [JUN] Determina una matriz X para que tenga solución la ecuación C(A+X)B = I, donde A, B y C son matrices con inversa de orden n e I es la matriz identidad de orden n. 1 1 1 0 3 4 ,B= ,C= . b) Aplica el resultado anterior para A = 0 1 1 1 1 2 44. [2004] [JUN] Se considera el sistema de ecuaciones (m+2)x+(m-1)y-z = 3 mx-y+z = 2 . x+my-z = 0 a) Discútelo para los distintos valores de m. b) Resuélvelo para m = 1. 45. [2003] [EXT] Considera la matriz A = 0 3 4 1 -4 -5 . -1 3 4 a) Comprueba que verifica A3+I = O, siendo I la matriz identidad y O la matriz nula. b) Justifica que A tiene inversa. 14 de marzo de 2015 Página 5 de 6 Álgebra lineal Selectividad CCNN Castilla-La Mancha MasMates.com Colecciones de ejercicios 46. [2003] [EXT] Estudia, según los valores de a, la compatibilidad del sistema: ax+y+z = 1 x+ay+z = 1 . x+y+az = -2 Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. 47. [2003] [JUN] Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente: x 2x+1 3x+2 x 2x+3 3x+4 . Enuncia las propiedades que has utilizado. x 2x+5 3x+6 48. [2003] [JUN] Se consideran las matrices A = 1 2 yB= 1 -1 -1 1 3 0 , donde es un número real. Encuentra los valores de para 0 2 los que la matriz A·B es invertible. Soluciones 1. a) m{0,6}: 2; m{0,6}: 3 b) m{0,6} 2. 1 2 21 1 17 12 , 3 14 30 3 8 33 3. a) 5, 1 , 125 b) -6, -800 4. a) 8, 5 12+k 5k , ,k 3 3 -2 1 0 b) (5,5,3) 5. a) B(A-2I)-1 b) -4 4 -2 11 -7 3 6. a) 1 1 3 1 0 -3 8k-1 7k-2 , ,k 7. a) , b) 49, 28 8. a) 10, 2 9. -10, 5 10. a) a = -3: inc; a = 1: c.i.; a{-3,1}: c.d. b) (1+3k,-1-5k,k) 11. a) m=2: 3 2 2 5 2 -2 -3 3 1 -4 -3 4 4 c.d; m2: inc. b) (0,0,0) 12. a) b) n c) 1 13. a) k = 1: 2; k 1: 3 b) no c) -1, 1 14. a) m = 7: c.i; m 7: c.d. b) (4-3k,3-2k,k) 15. a) , b) 5 4 -4 -4 3 -2 0 0 B si n es impar 16. a) = 2: c.i; 2: c.d. b) (3k-1,k,8k-4) 17. a) {-2,1-} b) 12 2 -4 18. a) =2: inc; 2: c.d. b) (2,2,2) 19. a) k = -2: inc; k = 1: c.i; I si n es par -9 -1 3 -6 -12 -2 0 1 2 8 8 -3 13 -3 k{-2,1}: c.d. b) (1-b-c,b,c) 20. 4, -2, 4 21. a) X = B2(A-2I)-1 b) 0 -16 0 22. a) = : inc; =1: c.i; 1, : c.d. b) , , 23. a) X = A-1B b) -1 1 1 3 3 4 8 8 -8 0 -8 -1 0 -2 1 0 0 1 0 0 24. a < -6: sin sol. real; a = -6: una sol: z = 3; a > -6: dos sol: 3 a+6 25. -9, 6 26. a{-2,3}: comp. ind; a{-2,3}: comp. det ; (0,-k,k) 27. a) n 1 0 b) -n 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 -7 1 -4 -1 5 28. a) no b) a = 3 c) a 3 30. a) b) , . 31. 0, rg = 2, no existe inversa. 0, rg = 3, existe inversa. 32. a = 0: c.i. (0,0,c) c ; 0 3 -1 -5 2 7 2 2 1 -1 0 34. a{-4,-3}: c.i. ; a{-4,-3}: c.d. ; k,-2k,k , k 35. a) X=A-1-A b) 36. 2; y = 3t; z = 3-t 37. a) m = 7: incomp; m 7: comp. det. a 0: c.d. (0,0,0) 33. 0 -1 8 -1 3 0 -3m -2m m b) , , 38. -{-1,1} 39. a) a = 0: comp. ind. ; a 0: comp.det. b) (-a-1,a+1,-1) 40. 36n ; -n 41. {-1,1}: rango 2; {-1,1}: rango 3. 42. a) 0 0 1 b) m-7 m-7 m-7 1 -2 0 -2 8 2 -2 -5 43. a) X = C-1B-1-A b) 44. a) m{-1,0}: incomp; m{-1,0}: comp. det. b) (1,-1,0). 46. a = 1: inc. ; a = -2: c.i. ; a {-2,1}: c.d. ; (k,k,1+k) k 47. 0 -2 6 0 -2 0 0 2 -2 1 48. -2, 2 m=1: c.i.; m1: c.d. b) 14 de marzo de 2015 Página 6 de 6