Potencias, logaritmos y números complejos

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matemáticas
Óptica y Optometrı́a
Relación de Problemas no 2
Curso 2005-2006
Potencias, logaritmos y números complejos
(Recordando la infancia y la adolescencia (II))
25. Exprese con notación cientı́fica:
a) La distancia media de Plutón al Sol: Cinco billones novecientos diez mil millones de
km.
b) La masa del electrón 0’0000000000000000000000000000009108.
c) Un trillón.
d ) La velocidad de la luz.
e) Un año luz.
f ) La masa de la tierra 5970000000000000000000000000000000000000.
26. Realice las siguientes operaciones:
(a)2 · 10−5 · 50 5 · 1018 , (b)340 57 · 10−29 · 16 · 1024 : 10 2 · 1012
(c)(30 86 · 1012 − 20 86 · 1012 ) · 10 454 · 10−15 : 20 12 · 10−12
27. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:
√
x−1
x
2
4
(a)23x−1 = 32, (b)3 2 = 27, (c)5x −x−2 = 1, (d)2 x = 16, (e)22x−1 = 42x+6
(f )32x + 5 · 3x−1 = 96, (g)5x+3 + 4 · 52x+5 = 25, (h)52x−7 + 20 = 5x−2
(
(
32
2
2 = 2y
3x + 3y = 12
(i) x
(j) x+y
5 = 5y−1
3
= 27
28. Utilice la definición de logaritmo para encontrar el valor de la incógnita en los siguientes
casos:
√
1
1
log2 a = 7, log3 x = 243, logx e = 1, logx 2 = , logx
= −2
2
49
29. Exprese los logaritmos de X, Y Z en función de los logaritmos de a, b y c:
r
r
3
ab2
a3 b
5 ab
X= 3, Y =
, Z=
c
c
c4
30. Resuelva las siguientes ecuaciones:
(a) ln 3 + ln(x + 1) = 1, (b) log2 x2 − log2 x3 = −2, (c) log3 (x + 1) + log3 (2x + 5) = 3
(d) ln(x2 − 1) − ln(x + 1) = 1, (e) ln(x + 1) − ln(2x + 5) = e,
(
x+y =6
(f ) log5 x + 2 log5 (x + 4) = 2 + log5 x4 , (g)
log x + log y = log 8
(
(
(
ln x + ln y = ln 3
log x + log y = −4
x2 − y 2 = 1000
(h)
,
(i)
,
(j)
x2 + y 2 = 10
3 log x − 2 log y = −7
(x − y)log(x+y) = 100
31. Sean z = 2 − 3i, w = −1 + i, v = −1 − i; realiza las siguientes operaciones:
z − 2w, z − z̄, z(w + v), z w̄,
zw
1
, z : w, , w −1 , ww −1, w 2 , w 3 , w 4 ,
i
z
(1 + i)2
4+i
i3423 , (i5 + i−12 )3 ,
32. Determine el valor de x para que el producto (2 − 5i)(3 + xi) sea:
a) un número real;
b) un número imaginario puro.
33. Dados los números complejos 2 − mi y 3 − ni, determine el valor de m y n para que su
producto sea 8 + 4i.
34. Halle x para que el cociente
x+3i
,
3+2i
sea imaginario puro.
35. Encuentre un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.
36. Resuelva en C la ecuación x2 − 4x + 13 = 0.
37. Calcule y represente gráficamente los resultados:
√
!3
√
3 3 3i
+
2
2
√
i7 − i−7
(1 + i)5 , (2 + 2 3i)2 , (1 + i)2 , (−2 + 2 3i)6 ,
,
2i
√
3
−1,
√
4
1 + i,
√
−36,
√
3
−27,
√
6
p
4
16(cos π + i sen π)
729i,
38. Sea z, w ∈ C demuestre que:
a) z + w = z + w.
b) zw = zw.
c) z · z̄ = |z|2 .
d ) z + z = 2Re(z).
e) (z − z)/i = 2Im(z).
39. Resuelva (a + i)(b − 3i) = 7 − 11i.
40. Encuentre un número complejo que sumándolo con
√
complejo de módulo 3 y argumento π3 .
1
2
de como resultado otro número
41. La suma de dos números complejos es 6, el módulo del primero es
es 5. Calcule dichos números, su producto y su cociente.
42. Calcule el valor de a para que el módulo del cociente
a+2i
1−i
√
13 y el del segundo
sea 2.
43. Factorice los siguientes polinomios en R y después resuélvalos en C:
x8 − 1 = 0, x2 − 2x + 2 = 0, z 3 + 1 = 0, z 6 − 28z 3 + 27 = 0, z 3 − 2z 2 + 4z − 8 = 0
44. Calcule los números complejos cuyo cubo coincide con su conjugado.
45. Construya una representación de todos los números complejos z que satisfagan cada una
de las relaciones siguientes:
(a)|z| < 1,
(b)z + z̄ = 1 (c)z − z̄ = i
(d)|z − 1| = |z + 1| (e)|z − i| = |z + i| (f )z + z̄ = |z|2
46. En cada caso determine todos los valores reales x e y que satisfacen la relación dada:
2
(a) x + iy = |x − iy|; (b) x + iy = (x − iy) ; (c)
100
X
ik = x + iy
k=0
47. Si θes un número real, −π < θ ≤ π y n es entero, demuestre (fórmula de Moivre)que
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i cos nθ
Demuestre, utilizando la fórmula anterior para n = 3, las dos identidades trigonométricas
siguientes:
sen 3θ = 3 cos2 θ sen θ − sen3 θ,
cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ.
48. Exprese los siguientes números complejos en forma binómica:
π
e
π
i
2
− π2 i
2e
,
πi
3e ,
e
π
i
4
− π4 i
−e
,
1 − e2i
π
1 + e2i
49. Si θ ∈ R, demuestre que:
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
y
sen θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
Utilice las dos fórmulas anteriores para demostrar:
1
cos2 θ = (1 + cos 2θ) y
2
1
sen2 θ = (1 − cos 2θ)
2
50. Se define tan z = (sen z/ cos z). Demuestre que, para z = x + iy, se tiene
tan z =
sen 2x + i senh 2y
cos 2x + cosh 2y
51. En cada caso, halle todos los valores de x e y que satisfacen la relación dada.
(a) x + iy = xeiy , (b) x + iy = yeix , (c) ex+iy = −1, (d)
52. Calcule todos los valores de los siguientes logaritmos
ln 4, ln i, ln (−2 + 3i).
53. Calcule todos los valores de las siguientes potencias
√
e3+(π/4)i , (−2) 2 , (1 + i)2−3i
1+i
= xeiy .
1−i