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TAREA N° 1 MECÁNICA DE FLUIDOS
Nombre: Sebastián Obando Orrego
Profesor: Aldo Tamburrino Tavantzis
Auxiliar: Hugo Ulloa
i) Para calcular la ecuación de movimiento del pistón una vez liberado de la cuerda que lo ata, se
plantea la segunda Ley de Newton:
(1) 𝑀𝑋̈ = ∑𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3
Donde 𝐹1 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑡ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 é𝑙
𝐹2 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑡ó𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝐹3 : 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑐𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑡ó𝑛 𝑦 𝑙𝑎 𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
A continuación, se procede a calcular cada una de las fuerzas involucradas:
𝐹1 = 𝑃1 ∗ 𝐴
Para calcular P1 que corresponde a la presión ejercida por el aire confinado en función de la
distancia x al origen, se introduce la definición del módulo de elasticidad:
𝐸=−
𝑑𝑝
𝑑𝑉
𝑉
⇒ 𝑑𝑝 =
𝜋(𝐷)2 𝑑𝑥
−𝐸 𝑑𝑉
𝐸 𝑑𝑥
= −𝐸 2𝐷 2 = −
𝑉
𝐿
𝜋( 2 ) 𝐿
Como el proceso de expansión o compresión que el aire experimenta es isotérmico, se
cumple la siguiente relación:
𝑃𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 ⇒ 𝑝1 𝑉𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑃1 𝑉(𝑥)
Haciendo este reemplazo en la ecuación anterior e integrando, teniendo en consideración
que en t=0, x=0 y p=p1, se obtiene:
𝑝
𝑥
𝑑𝑝
𝑑𝑥
= ∫ −
𝐿
𝑝1 𝑝
0
∫
𝑥
𝐿
𝑝
𝑙𝑛 (𝑝 ) = −
1
ln(𝑝) = −
𝑥
+ ln(𝑝1 )
𝐿
𝑥
𝑃1 = 𝑝 = 𝑝1 𝑒 −𝐿
Reemplazando este valor, se obtiene una expresión para F1:
𝑥
𝐷
⇒ 𝐹1 = 𝑃1 ∗ 𝐴 = 𝑝1 𝑒 −𝐿 ∗ 𝜋( 2 )2
𝑥
𝐷
⇒ 𝐹1 = 𝑝1 𝑒 −𝐿 ∗ 𝜋( 2 )2
(2)
Por otro lado, resulta sencillo encontrar el valor de F2 considerando a la presión P2 como la
presión atmosférica Patm:
𝐷
𝐹2 = 𝑃2 ∗ 𝐴 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 ∗ 𝜋( 2 )2
𝐷
⇒ 𝐹2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 ∗ 𝜋( 2 )2
(3)
Por último, para calcular F3 se necesita encontrar el valor de 𝜏 (esfuerzo de corte). Para ello,
se considera este caso análogo al de un fluido en movimiento entre dos capas planas paralelas
debido a la disposición entre el fluido y el pistón y al tipo de movimiento relativo entre ellos. Esto
queda expresado de la siguiente manera:
𝛿𝛾
𝜕𝑣
Ẋ
𝜏=𝜇
=𝜇
=𝜇
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜇 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑐𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜
𝛿𝑡
𝜕𝑦
𝑒
Esta expresión se reemplaza en la integral correspondiente a la definición de F3, que permita
resolverla teniendo en cuenta el principio de no deslizamiento que implica que la velocidad no varía
a lo largo de la superficie, por lo tanto, mueve removerse del integrando:
𝐹3 = ∫ 𝜏 𝑑𝐴 =
𝐴
𝜇𝜋𝐿𝑝 𝐷Ẋ
𝜇Ẋ
𝜇Ẋ
𝐷
∫ 𝑑𝐴 =
2𝜋 ∗ ∗ 𝐿𝑝 =
𝑒 𝐴
𝑒
2
𝑒
⇒ 𝐹3 =
𝜇𝜋𝐿𝑝 𝐷Ẋ
𝑒
(4)
Reemplazando las ecuaciones 2,3 y 4 en la ecuación 1, se obtiene:
𝑥
𝐷
𝑀Ẍ = 𝜋( 2 )2 [𝑝1 𝑒 −𝐿 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 ] −
𝑥
𝐷
⇒ 𝑀Ẍ = 𝑝1 𝜋( 2 )2 [ 𝑒 −𝐿 −
𝜇𝜋𝐿𝑝 𝐷Ẋ
𝑒
𝜇𝜋𝐿𝑝 𝐷Ẋ
𝑃𝑎𝑡𝑚
]−
𝑝1
𝑒
ii) Considerando Patm<< P1, la ecuación de movimiento se simplifica a:
𝑥
𝐷
𝑀Ẍ = 𝜋( 2 )2 𝑝1 𝑒 −𝐿 −
𝜇𝜋𝐿𝑝 𝐷Ẋ
𝑒
iii) Si consideramos que Patm<< P1 y que no existe la película de fluido ni roce entre el pistón y las
paredes del cilindro, la ecuación 1 se reduce a lo siguiente:
𝐷
𝑥
𝑀Ẍ = 𝜋( 2 )2 𝑝1 𝑒 −𝐿
Usando la relación 𝑋̈ =
𝑋̇𝑑𝑋̇
𝑑𝑋
, la ecuación anterior queda:
𝑀
𝑋̇𝑑𝑋̇
𝑥
𝐷
= 𝜋( 2 )2 𝑝1 𝑒 −𝐿
𝑑𝑋
𝑥
𝐷
⇒ 𝑀𝑋̇𝑑𝑋̇ = 𝜋( 2 )2 𝑝1 𝑒 −𝐿 𝑑𝑥
Imponemos la condición inicial que en t=0, 𝑋̇ = 0 𝑦 𝑋 = 0 e integramos:
𝑋̇
𝑋
𝑥
𝐷
∫ 𝑀𝑋̇𝑑𝑋̇ = ∫ 𝜋( 2 )2 𝑝1 𝑒 −𝐿 𝑑𝑥
0
⇒
0
𝑋̇ 2
𝜋𝐷 2 𝑝1
𝑋
𝑥
=
[−𝐿 𝑒 − ⁄𝐿 ]0
2
4𝑀
⇒ 𝑋̇ = √
𝜋𝐿𝐷 2 𝑝1
𝑥
[1 − 𝑒 − ⁄𝐿 ]
2𝑀
A continuación, se despliega un gráfico que representa la velocidad del pistón en función de la
distancia al origen para este caso, dada por la relación recién encontrada.
iv)
x=0:0.005:5;
>> for i=0:1000
y(i+1)= sqrt(((0.5*pi*20000000)/2)*(1-exp(-x(i+1)/0.5)));
end
>> plot(x,y)
>> x=0:0.005:5;
for i=0:1000
y(i+1)= sqrt(((0.5*pi*200)/2)*(1-exp(-x(i+1)/0.5)));
end
plot(x,y)
>> title('Velocidad en función de la distancia para un pistón cilíndrico sin ningún tipo de roce')
>> xlabel('Distancia')
>> ylabel('Velocidad [m/s2]')
>> xlabel('Distancia [m]')
>>