Presentación 6

2.5. EL EXPERIMENTO DE DARCY
2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY
2.5.2. EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS
SUBTERRÁNEAS EN DOS DIMENSIONES
2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES
2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY
„
„
„
El experimento de Darcy relaciona la descarga total Q del gradiente
de carga, el cual es Δh/l.
El factor de proporcionalidad es KA, donde K es la conductividad
hidráulica y A es el área de la columna por donde el agua fluye.
La descarga especifica o flujo volumétrico, es el fluido que pasa a
través del medio porosos en una sección de área A perpendicular al
flujo por unidad de tiempo:
q=
„
Q
A
Esta medida puede ser separada por dl, por un cambio en dh:
Q
dh
q= ≈K
A
dl
dh
q = −K
dl
„
„
La ecuación anterior es una relación constitutiva y es equivalente al
momento en la ecuación de balance.
La relación clásica entre la ecuación de momento de balance para un
fluido en medios porosos fue dada por Hubbert en 1954 y a partir de
la derivación la ley de Darcy a través de la ecuación de Neiver-Stock,
se llega a la expresión de flujo de un fluido en un material saturado:
q = −(Nd )(ρ μ )g ⋅ ∇h
2
„
Donde el termino ∇h es igual a
∂h
∂h
∂h
∇h =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
Figura 2.26. Definición esquemática del concepto de vector unitario
„
Hubbert definió el producto de Nd2 como la
medio (k), la cual depende de la geometría
representa la conductividad hidráulica K como:
permeabilidad del
de los granos y
k ρg
K ≡ (Nd )(ρ μ )g =
μ
2
„
Si el medio es isotrópico se dice que K es un escalar, pero si el
medio es anisotrópico, entonces se tiene que adaptar el concepto de
la K a una matriz que contenga diferentes valores en diferentes
puntos, los valores de la matriz se le llama tensor
q = −K ⋅ ∇h
⎡K xx
K = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0
K yy
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
K zz ⎥⎦
⎧q x ⎫
⎡K xx
⎪ ⎪
⎢
⎨q y ⎬ = − ⎢ 0
⎪q ⎪
⎢⎣ 0
⎩ z⎭
0
K yy
0
⎤ ⎧∂h ∂x ⎫
⎥ ⎪∂h ∂y ⎪
⎬
⎥⎨
K zz ⎥⎦ ⎪⎩∂h ∂z ⎪⎭
0
0
Figura 2.27. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad
hidráulica cuando los ejes coordenados estas orientados igual a los estratos
⎡K xx
⎧q x ⎫
⎢
⎪ ⎪
q
=
−
⎨ y⎬
⎢K yx
⎪q ⎪
⎢ K zx
⎩ z⎭
⎣
K xy
K yy
K zy
K xz ⎤ ⎧∂h ∂x ⎫
⎥⎪
⎪
K yz ⎥ ⎨∂h ∂y ⎬
K zz ⎥⎦ ⎪⎩∂h ∂z ⎪⎭
Figura 2.28. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad
hidráulica cuando los ejes coordenados no estas orientados igual a los estratos
„
„
Las dimensiones del vector de la descarga especifica q es [L/T],
esta no es una medida de la velocidad del agua, sino es una medida
del volumen que pasa a través de una superficie de área A en
tiempo ΔT dividido por el área A y ΔT.
Puesto que la porosidad es la relación de espacios vacíos y espacio
total, el área del agua puede ser expresado como el área total
multiplicado por la porosidad, así obtenemos la velocidad para una
partícula de agua en un medio poroso la cual se expresa con la
relación:
q
v=
ε
Índice
2.5.2. EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE
FLUJO DE AGUAS
DIMENSIONES
SUBTERRÁNEAS
EN
DOS
Figura 2.30. Experimento de flujo en espacio de dos dimensiones. El agua subterránea
se mueve de derecha a izquierda a través de la caja llenada con arena. El nivel del agua
en la arena esta denotada por la elevación en los manómetros.
Tenemos
h ( x ) = a + bx
h3 = a + b× 0 = a
h 1 = a + b × L1−3
Resolvemos para obtener a y b
a = h3
b = − (h 3 − h 1 ) L1−3
Los sustituimos en la primera ecuación, tenemos que:
h = h 3 + (h 1 − h 3 )× x L1−3
De la ecuación anterior la localización de h=h2 y resolvemos para la
posición x2 tenemos que:
x 2 = (h 2 − h 3 ) (h 1 − h 3 ) × L1−3
X2
Si consideramos el problema como sistema de ecuaciones lineales
tenemos que:
h ( x 1 , y1 ) = a + bx 1 + cy1
h ( x 2 , y 2 ) = a + bx 2 + cy 2
h ( x 3 , y 3 ) = a + bx 3 + cy 3
Para obtener los coeficientes b y c tenemos:
b=
(h
(x
− h 2 )(y 2 − y 3 ) − (h 2 − h 3 )(y1 − y 2 )
− x 2 )(y 2 − y 3 ) − (x 2 − x 3 )(y1 − y 2 )
1
1
c=
(h
(y
− h 2 )(x 2 − x 3 ) − (h 2 − h 3 )(x 1 − x 2 )
− y 2 )(x 2 − x 3 ) − (y 2 − y 3 )(x 1 − x 2 )
1
1
Habiendo obtenido los coeficientes, podemos determinar del gradiente:
El gradiente de aguas subterráneas
esta dado por:
∂h
∂h
∇h =
i+
j
∂x
∂y
Figura 2.30. Nodal arreglo para el uso aproximaciones algebraicas
en el cálculo de gradientes
∂h
=b
∂x
∂h
=c
∂y
Figura 2.31. Ejemplo del problema mostrando el cálculo de la constante
de la línea de nivel estático y la resultante del vector velocidad
Si tenemos
∂h
−1
=b=
∂x
1000
∂h
−1
=c=
∂y
1000
Para el triangulo inferior donde K=4ft/día:
∂h
q x = −K xx ×
= 0.004
∂x
Si la ε=0.25, la velocidad es: v =
∂h
q y = −K yy ×
= 0.004
∂x
q
ε
v1 = (0.016,0.016)[ft día ]
v1 = .0226[ft día ]
Para el triangulo inferior donde K=2ft/día:
∂h
q x = −K xx ×
= 0.002
∂x
∂h
q y = −K yy ×
= 0.002
∂x
q
Si la ε=0.25, la velocidad es: v =
ε
v 2 = (0.008,0.008)[ft día ]
v 2 = .0113[ft día ]
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2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS
POTENCIALES
„
Revisando el concepto de fluido potencial, el cual esta definido por
la ecuación:
dπ
h = ∫z0 dz + ∫Patm
gρ(π )
z
„
p
Se remplaza la variable de presión por la variable p, y se introduce
en la ley de Darcy:
⎛
dπ ⎞
z
p
⎟⎟
q = −K ⋅ ∇h = − K ⋅ ∇⎜⎜ h = ∫z0 dz + ∫Patm
gρ(π ) ⎠
⎝
„
Para la evaluación posterior de la expresión es necesario introducir
una relación matemática que describe como diferenciar una integral,
la cual se le conoce como la regla de Leibnitz:
∇ ∫a ( x ) f ( x , ξ)dξ = ∫a ( x ) ∇f ( x , ξ)dξ + f ( x , b( x )) ⋅ ∇b − f ( x , a ( x )) ⋅ ∇a
b( x )
„
b( x )
Utilizando la regla de Leibnitz en la ecuación q, es igual a
⎛ z(x)
dπ ⎞
p(x )
⎟⎟
− K ⋅ ∇⎜⎜ ∫z0 ( x ) dz + ∫Patm ( x )
gρ(π ) ⎠
⎝
[
= − K ⋅ ∫z 0 ( x ) ∇(1)dz + 1∇z − 1∇z 0
z(x)
]
⎡ P(x)
∇Patm ⎤
∇P
dπ
= −K ⋅ ⎢ ∫Patm ( x ) ∇
+
−
⎥
ρg(π) ρg(P ) ρg(Patm ) ⎦
⎣
„
Si las condiciones iniciales z0=0 y Patm=0 entonces:
⎡
∇P ⎤
q = −K ⋅ ⎢∇z +
⎥
ρg(P ) ⎦
⎣
−K
q=
⋅ [ρg (P )∇z + ∇P ]
ρg (P )
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