CUARDENILLO MATEMATICAS NS

Programa del Diploma
Matemáticas NS y
Ampliación de Matemáticas NS:
cuadernillo de fórmulas
Para su uso durante el curso y en los exámenes
Primeros exámenes: 2014
Edición de 2015 (2.a versión)
© Organización del Bachillerato Internacional, 2012
5050
Índice
Conocimientos previos
2
Tronco común
3
Unidad 1: Álgebra
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
4
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
4
Unidad 4: Vectores
5
Unidad 5: Estadística y probabilidad
6
Unidad 6: Análisis
8
Unidades opcionales
10
Unidad 7: Estadística y probabilidad
10
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 3
Unidad 8: Conjuntos, relaciones y grupos
11
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 4
Unidad 9: Análisis
11
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 5
Unidad 10: Matemática discreta
12
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 6
Fórmulas para las distribuciones
13
Unidades 5.6, 5.7 y 7.1, y unidad 3.1 de Ampliación de Matemáticas NS
Distribuciones discretas
13
Distribuciones continuas
13
Ampliación de Matemáticas
14
Unidad 1: Álgebra lineal
14
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
1
Fórmulas
Conocimientos previos
Área del paralelogramo
A= b × h , siendo b la base y h la altura
Área del triángulo
=
A
1
(b × h) , siendo b la base y h la altura
2
Área del trapecio
=
A
1
(a + b) h , siendo a y b los lados paralelos y h la altura
2
Área del círculo
A = πr 2 , siendo r el radio
Longitud de la circunferencia
C = 2πr , siendo r el radio
Volumen de la pirámide
=
V
1
( área de la base × altura )
3
Volumen del ortoedro
V = l × a × h , siendo l el largo, a el ancho y h la altura
Volumen del cilindro
V = πr 2 h , siendo r el radio y h la altura
Área lateral del cilindro
A= 2πrh , siendo r el radio y h la altura
Volumen de la esfera
V=
4 3
πr , siendo r el radio
3
Volumen del cono
V=
1 2
πr h , siendo r el radio y h la altura
3
Distancia entre dos
puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
d=
Coordenadas del punto medio
de un segmento de recta que
tiene por extremos ( x1 , y1 ) y
 x1 + x2 y1 + y2 
, 

2 
 2
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2
( x2 , y2 )
Soluciones de la ecuación
cuadrática
Las soluciones de ax 2 + bx + c =
0 son x =
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
−b ± b 2 − 4ac
.
2a
2
Tronco común
Unidad 1: Álgebra
1.1
Término enésimo de una
progresión aritmética
un = u1 + (n − 1) d
Suma de n términos de
una progresión aritmética
S n=
Término enésimo de una
progresión geométrica
un = u1r n −1
n
n
( 2u1 + (n − 1) d )= (u1 + un )
2
2
Suma de los n términos
u1 (r n − 1) u1 (1 − r n )
, r ≠1
=
S
=
de una progresión
n
r −1
1− r
geométrica finita
1.2
Suma de una progresión
geométrica infinita
S∞ =
Potencias y logaritmos
a x = b ⇔ x = log a b , donde a > 0, b > 0, a ≠ 1
u1
, r <1
1− r
a x = e x ln a
log a a x= x= a loga x
log b a =
log c a
log c b
Combinaciones
n
n!
 =
 r  r !(n − r )!
Permutaciones
n P = n!
r (n − r )!
Teorema del binomio
n
n
(a + b) n = a n +   a n −1b + +   a n − r b r + + b n
1
r
1.5
Números complejos
z =a + ib =r (cos θ + isenθ ) =reiθ =r cisθ
1.7
Teorema de de Moivre
[ r (cosθ + isenθ )]
1.3
n
=
r n (cos nθ + isen nθ ) =
r n einθ =
r n cis nθ
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
2.5
Eje de simetría del gráfico
de una función cuadrática
f ( x) =ax 2 + bx + c ⇒ eje de simetría x =−
2.6
Discriminante
∆= b 2 − 4ac
b
2a
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
3.1
3.2
Longitud del arco
l = θ r , siendo θ el ángulo medido en radianes y r el radio
Área del sector circular
1
A = θ r 2 , siendo θ el ángulo medido en radianes y r el radio
2
Identidades
Relación fundamental
tanθ =
senθ
cos θ
secθ =
1
cos θ
cscθ =
1
senθ
sen 2θ + cos 2 θ =
1
1 + tan 2θ =
sec 2 θ
1 + cotan 2θ =
csc 2θ
3.3
Fórmulas de la suma y
diferencia de dos ángulos
sen ( =
A ± B ) sen A cos B ± cos A sen B
cos ( A ± B ) =
cos A cos B  sen Asen B
tanA ± tanB
tan ( A ± B ) =
1  tanA tanB
Fórmulas del ángulo
doble
sen2θ = 2senθ cos θ
cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ
tan2θ =
2tanθ
1 − tan 2θ
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
4
3.7
Teorema del coseno
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C =
Teorema del seno
a
b
c
= =
sen A sen B sen C
Área del triángulo
1
A = ab sen C
2
a 2 + b2 − c2
2ab
Unidad 4: Vectores
 v1 
 
v + v2 + v3 , siendo v =  v2 
v 
 3
4.1
Módulo de un vector
v =
2
1
2
2
Distancia entre dos puntos
( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )
d=
Coordenadas del punto
medio de un segmento de
recta que tiene por
extremos ( x1 , y1 , z1 ) y
 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 
, , 

2
2 
 2
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2
( x2 , y2 , z2 )
4.2
Producto escalar
v⋅w =
v w cos θ , siendo θ el ángulo formado por v y w
 w1 
 v1 
 
 
v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3 , siendo v =  v2  , w =  w2 
w 
v 
 3
 3
4.3
v1w1 + v2 w2 + v3 w3
v w
Ángulo entre dos vectores
cos θ =
Ecuación vectorial de una
recta
r = a + λb
Forma paramétrica de la
ecuación de una recta
x =+
x0 λ l , y =+
y0 λ m, z =+
z0 λ n
Ecuaciones cartesianas
de una recta
x − x0 y − y0 z − z0
= =
l
m
n
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
5
 v2 w3 − v3 w2 
 w1 
 v1 
 


 
v ×=
w  v3 w1 − v1w3  , siendo v =  v2  , w =  w2 
v w −v w 
v 
w 
 1 2 2 1
 3
 3
4.5
Producto vectorial
v×w =
v w senθ , siendo θ el ángulo formado por v y w
=
A
Área del triángulo
4.6
1
v × w donde v y w forman dos lados del triángulo
2
Ecuación vectorial de un
plano
r = a + λb + µ c
Ecuación de un plano
(usando el vector normal)
r ⋅n =a⋅n
Ecuación cartesiana de un
plano
ax + by + cz =
d
Unidad 5: Estadística y probabilidad
5.1
Parámetros de población
Sea n =
k
∑f
i =1
i
k
Media µ
µ=
∑fx
i i
i =1
n
k
Varianza σ 2
k
2
i
i
2
=
i 1 =i 1
=
σ
∑ f (x
− µ)
=
n
k
5.2
5.3
∑ f (x
i
i
− µ)
∑fx
i i
n
2
− µ2
2
Desviación típica σ
σ=
Probabilidad de un
suceso A
P( A) =
Sucesos complementarios
P( A) + P( A′) =
1
Sucesos compuestos
P( A ∪ B )= P( A) + P( B ) − P( A ∩ B )
Sucesos incompatibles o
mutuamente excluyentes
P( A ∪ B )= P( A) + P( B )
i =1
n
n( A)
n(U )
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
6
5.4
5.5
P ( A B) =
Sucesos independientes
P ( A ∩ B) =
P ( A) P ( B)
Teorema de Bayes
P ( B | A) =
P ( B) P ( A | B)
P ( B ) P ( A | B ) + P ( B′) P ( A | B′)
P ( Bi | A) =
P ( Bi ) P ( A | Bi )
P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B2 ) + P ( B3 ) P ( A | B3 )
Valor esperado de una
variable aleatoria
discreta X
E(X =
) µ=
∑ x P ( X=
Valor esperado de una
variable aleatoria
continua X
E(X =
) µ=
∫
∞
−∞
x)
x f ( x) dx
Varianza
Var ( X ) = E ( X − µ ) 2 = E ( X 2 ) − [ E (X ) ]
Varianza de una variable
aleatoria discreta X
Var ( X ) =
x) =
x) − µ 2
∑ ( x − µ )2 P ( X =
∑ x2 P ( X =
2
∞
∞
−∞
−∞
Varianza de una variable
aleatoria continua X
2
2
2
Var ( X ) =
∫ ( x − µ ) f ( x) dx =
∫ x f ( x) dx − µ
Distribución binomial
n
X ~ B (n , p ) ⇒ P ( X ==
x)   p x (1 − p ) n − x , x =
0,1,  , n
 x
Media
E ( X ) = np
Varianza
Var (=
X ) np (1 − p )
Distribución de Poisson
m x e− m
X ~ Po (m) ⇒ P( X ==
x)
, x=
0,1, 2, 
x!
Media
E(X ) = m
Varianza
Var ( X ) = m
Variable normal tipificada
o estandarizada
z=
5.6
5.7
P ( A ∩ B)
P ( B)
Probabilidad condicionada
x−µ
σ
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7
Unidad 6: Análisis
6.1
6.2
dy
 f ( x + h) − f ( x ) 
= f ′( x)= lim 

0
h
→
dx
h


Derivada de f ( x)
y = f ( x) ⇒
Derivada de x n
f ( x) =
x n ⇒ f ′( x) =
nx n −1
Derivada de sen x
f ( x) =sen x ⇒ f ′( x) =cos x
Derivada de cos x
f ( x) =⇒
cos x
f ′( x) =
−sen x
Derivada de tan x
f ( x) =tan x ⇒ f ′( x) =sec 2 x
Derivada de e x
f ( x) =
e x ⇒ f ′( x) =
ex
Derivada de ln x
1
f ( x) =
ln x ⇒ f ′( x) =
x
Derivada de sec x
f ( x) =sec x ⇒ f ′( x) =sec x tan x
Derivada de csc x
−csc x cotan x
f ( x) =⇒
f ′( x) =
csc x
Derivada de cotan x
f ( x) =
cotan x ⇒ f ′( x) =
−csc 2 x
Derivada de a x
f ( x) =
a x ⇒ f ′( x) =
a x (ln a )
Derivada de log a x
f ( x) = log a x ⇒ f ′( x) =
1
x ln a
Derivada de arcsen x
f ( x)= arcsen x ⇒ f ′( x)=
1
Derivada de arccos x
1
f ( x) =
arccos x ⇒ f ′( x) =
−
1 − x2
Derivada de arctan x
f ( x)= arctan x ⇒ f ′( x)=
Regla de la cadena
y = g (u ) , siendo u = f ( x) ⇒
Regla del producto
y =uv ⇒
Regla del cociente
du
dv
v −u
u
dy
y= ⇒
= dx 2 dx
v
dx
v
1 − x2
1
1 + x2
dy dy du
= ×
dx du dx
dy
dv
du
=u + v
dx
dx
dx
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
8
6.4
Integrales inmediatas
x n +1
+ C , n ≠ −1
n +1
n
dx
∫x=
1
dx
∫ x=
ln x + C
− cos x + C
∫ sen x dx =
x dx
∫ cos =
∫e
sen x + C
d=
x ex + C
x
a dx
∫=
x
1 x
a +C
ln a
1
1
x
=
∫ a 2 + x 2 dx a arctan  a  + C
∫
6.5
6.7
x
dx= arcsen   + C ,
a
a −x
1
2
2
b
b
a
a
Área bajo una curva
A = ∫ y dx o bien A = ∫ x dy
Volumen de revolución
(rotación)
V = ∫ πy 2 dx o bien V = ∫ πx 2 dy
Integración por partes
∫ u dx d=x
b
b
a
a
dv
uv − ∫ v
x <a
du
dx o bien ∫ u d=
v uv − ∫ v du
dx
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9
Unidades opcionales
Unidad 7: Estadística y probabilidad
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 3
7.1
(3.1)
Función generatriz de
probabilidad para una
variable aleatoria discreta X
(X
∑ P=
G
=
(t ) E=
(t x )
x )t x
x
E ( X ) = G ′(1)
Var ( X ) = G ′′(1) + G ′(1) − ( G ′(1) )
7.2
(3.2)
Combinaciones lineales de
dos variables aleatorias
independientes X 1 , X 2
7.3
(3.3)
Estadísticos muestrales
2
E ( a1 X 1 ± a2 X 2 )= a1E ( X 1 ) ± a2 E ( X 2 )
X 2 ) a12 Var ( X 1 ) + a2 2 Var ( X 2 )
Var ( a1 X 1 ± a2 =
k
∑fx
x=
Media x
i i
i =1
n
k
Varianza sn2
k
2
i
i
2
i 1 =i 1
=
n
∑ f (x
=
s
− x)
=
n
k
sn =
Desviación típica sn
Estimación sin sesgo de la
varianza de la población
sn2−1
7.5
(3.5)
7.6
(3.6)
∑ f (x
i
i =1
i
∑fx
i i
n
2
− x2
− x )2
n
k
k
2
i
i
2=
2
i 1 =i 1
n −1
n
n
=
=
s
s
n −1
∑ f (x
− x)
=
n −1
∑fx
i i
n −1
2
−
n 2
x
n −1
Intervalos de confianza
Media, con varianza
conocida
x ± z×
Media, con varianza
desconocida
x ±t×
σ
n
sn −1
n
Estadísticos de contraste
Media, con varianza
conocida
z=
x −µ
σ/ n
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
10
Media, con varianza
desconocida
7.7
(3.7)
t=
x −µ
sn −1 / n
n
Coeficiente de correlación
momento-producto de
Pearson
r=
Estadístico de contraste
para H0: ρ = 0
t=r
∑x y
i =1
i
i
− nx y
n
 n 2
2 
2
2
−
x
nx
∑
∑
i

 yi − n y 
1
 i −1
 i =

n−2
1− r2
 n

xi yi − nx y 
∑

Ecuación de la recta de
( y − y)
=
x − x  i =1n
regresión de x sobre y

2
2 
 ∑ yi − n y 
 i =1

 n

xi yi − nx y 
∑

Ecuación de la recta de
 (x − x )
=
y − y  i =1n
regresión de y sobre x

2
2 
 ∑ xi − nx 
 i =1

Unidad 8: Conjuntos, relaciones y grupos
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 4
8.1
(4.1)
Leyes de de Morgan
( A ∪ B )′ =A′ ∩ B′
( A ∩ B )′ =A′ ∪ B′
Unidad 9: Análisis
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 5
9.5
(5.5)
Método de Euler
xn + h , siendo h una constante
yn +=
yn + h × f ( xn , yn ) ; xn +=
1
1
(tamaño de paso)
Factor integrante
para y ′ + P ( x) y =
Q( x)
e∫
P ( x )dx
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
11
9.6
(5.6)
x2
f ′′(0) + 
2!
Serie de Maclaurin
f ( x) =f (0) + x f ′(0) +
Serie de Taylor
f ( x)= f (a ) + ( x − a ) f ′(a ) +
Aproximaciones de Taylor
(con término
complementario Rn ( x) )
f ( x=
) f (a ) + ( x − a ) f ′(a ) + ... +
Rn ( x)
Expresión de Lagrange =
Serie de Maclaurin para
funciones especiales
( x − a ) 2 ′′
f (a ) + ...
2!
( x − a)n ( n )
f (a ) + Rn ( x)
n!
f ( n +1) (c)
( x − a ) n +1 , donde c se encuentra entre a y x
(n + 1)!
e x =1 + x +
x2
+ ...
2!
ln (1 + x) =x −
x 2 x3
+ − ...
2
3
sen x =x −
x3 x5
+ − ...
3! 5!
cos x =−
1
x2 x4
+ − ...
2! 4!
arctan x =x −
x3 x5
+ − ...
3
5
Unidad 10: Matemática discreta
Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 6
10.7
(6.7)
Fórmula de Euler para
grafos planarios conexos
v−e+ f =
2 , siendo v el número de vértices, e el número de
aristas y f el número de caras
Grafos conexos, grafos
simples, grafos planarios
e ≤ 3v − 6 para v ≥ 3
e ≤ 2v − 4 si el grafo no tiene triángulos
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
12
Fórmulas para las distribuciones
Unidades 5.6, 5.7 y 7.1, y unidad 3.1 de Ampliación de Matemáticas NS
Distribuciones discretas
Distribución
Notación
Función general
de probabilidad
Media
Varianza
Geométrica
X ~ Geo ( p )
pq x −1
1
p
q
p2
r
p
rq
p2
Media
Varianza
µ
σ2
para x = 1, 2, ...
Binomial negativa
X ~ NB(r , p )
 x − 1 r x − r

p q
 r − 1
para=
x r , r + 1,...
Distribuciones continuas
Distribución
Normal
Notación
X ~ N (µ , σ 2 )
Función
densidad de
probabilidad
1  x−µ 
σ 
2
− 
1
e 2
σ 2π
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
13
Ampliación de Matemáticas
Unidad 1: Álgebra lineal
1.2
Determinante de una
matriz de orden 2 × 2
a b
A=
A =
ad − bc

 ⇒ det A =
c d
Inversa de una matriz de
orden 2 × 2
a b
1  d
−1
A 
=
 ⇒ A=

det A  −c
c d
−b 
 , ad ≠ bc
a
Determinante de una
matriz de orden 3 × 3
a

A=  d
g

f
d
−b
k
g
b
e
h
c
e

f  ⇒ det A= a
h
k 
Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas
f
d
+c
k
g
e
h
14