Libro de Cálculo_Secuencias de Aprendizaje
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Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Bloque 1 Funciones Tipos de funciones Limites Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 6 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo SSE EC CU UE EN NC CIIA A 1 En esta sección adquirirás conocimientos para determinar la derivada de una función que modele una situación de la vida del entorno que te rodea; como por ejemplo: calcular la velocidad y aceleración, estimar la razón de cambio, fijar niveles de producción de una manera que se puedan maximizar los ingresos y minimizar los costos, encontrar las mejores dimensiones de un objeto geométrico, entre otras mas. Dominio, contradominio y notación. Tabulación. Gráficas. Operaciones con funciones. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 7 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Naturaleza Exacta Iniciamos Lee el siguiente texto. La serie Fibonacci En el año 1202, Fibonacci estudió cómo evolucionaba una población de conejos a medida que éstos se reproducen. Las suposiciones que consideró fueron las siguientes: Un par de conejos, un macho y una hembra, se colocan en un campo. Estos maduran a la edad de un mes y al término del segundo mes, una hembra puede producir otro par de conejos. Supuso además que estos conejos nunca mueren y que la hembra siempre produce un nuevo par de conejos (un macho y una hembra) a partir de cada mes desde el segundo mes en adelante. La pregunta que se formuló Fibonacci fue ¿cuántos pares de conejos existirán al cabo de un año? La respuesta que encontró corresponde a la secuencia de números 1, 1, 2, 3, 5, 8,13,... y representa el número de pares de conejos que existirá cada mes. Curiosamente, a partir del segundo número, los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores; así: 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8;... Si quisiéramos observar de manera gráfica dicho crecimiento, podríamos realizar un sistema coordenado que relacionara a los meses transcurridos con el número de conejos obtenidos. De esta manera, al transcurrir un mes se tendría el mismo par de conejos (1,1), al finalizar el segundo mes tendríamos dos pares de conejos (2,2) y así sucesivamente. Recuerdas cuando alguna vez esperando sentirnos correspondidos por el ser amado deshojábamos una flor mientras repetíamos "Me quiere, no me quiere, poquito, mucho, nada, me quiere, no me quiere, poquito, mucho, nada.... ". Pues resulta que no hubiera sido necesario deshojar la flor pues el número de los pétalos de la mayoría de las flores que hay en la naturaleza corresponde a un número de la secuencia de Fibonacci; así que podemos calcular con anticipación, la frase que corresponde al último pétalo, y por lo tanto saber si nos quieren, o no nos quieren, o nos quieren poquito, o nos quieren mucho, o nos quieren nada... En la práctica, la serie de Fibonacci es un modelo que se aplica al crecimiento de ciertos tipos de animales y plantas en el ámbito biológico. Representa una función que relaciona el Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 8 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo número de individuos de una población con el tiempo transcurrido. Para el caso de los conejos, relaciona el número de meses transcurridos con el número de conejos que se tendrán; en el caso de la flor, representa la relación que existe entre el número de pétalos y el número de filas concéntricas que posee. Obsérvese que en el caso de los conejos no se han incluido factores como el número de conejos que mueren y que la reproducción siempre es en pares (macho y hembra). Tampoco se ha especificado si es una población controlada ó silvestre en donde cierto número de conejos serían alimento de alguna otra especia más fuerte. Todos estos factores y demás influyen en la manera en que crecería la población. Razonemos A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprendas a resolverlo durante la secuencia. Un profesor a su alumno: Observe que la solución nos dice que en el año 2003 había 18544.3 habitantes en la ciudad, pero está claro que al hablar de habitantes no tiene sentido que tomemos decimales, basta que digamos 18544 habitantes. Lo que pienso del problema Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. ¿Cómo se relaciona el problema planteado con la función del crecimiento de los conejos? ¿Cuál es la importancia de especificar las unidades al definir una función? ¿Qué tipos de funciones permiten el uso de decimales? ¿Qué diferencias habría al graficar el crecimiento de los conejos si se tomara en cuenta factores como los que mencionamos en la lectura? Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 9 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo A trabajar Generalmente se hace uso de las funciones reales (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas que poseen correspondencia con otras debido a que se están usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria y en ramas de la ciencia tales como finanzas, economía, estadística, ingeniería, medicina, química y física, astronomía, geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables ó fenómenos. Dominio, Contradominio y Notación Muchas veces nos planteamos la pregunta: ¿Para qué sirven las funciones o si la hemos utilizado alguna vez? Para todos los que estudian física, por ejemplo, las funciones han jugado un papel importante. Quizás no nos hayamos dado cuenta porque en la clase de física la llamamos "fórmulas". Toda fórmula es una función que relaciona varias magnitudes (variable medible). Es decir, unas están en función de otras. En ellas, el dominio juega un papel importante y a veces misterioso. Cuando en una función se anula el denominador, quiere decir que ese valor de la variable independiente (original) no es posible, pues no obtendríamos su correspondiente valor imagen (variable que depende de él). El dominio (D) de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x). También podemos decir lo siguiente: El dominio de una función lo forman los posibles valores que pueden tomar las abscisas (X). El recorrido, rango o contradominio (R), lo forman los posibles valores de las ordenadas (Y). Ejemplos: f x x 2 2 x 1 El dominio de una función cuadrática polinomial siempre es: , La parábola habré hacia arriba. b Hallemos las coordenadas del vértice: x donde a 1 y b 2 2a 2 x 1 y f 1 12 21 1 2 21 Entonces el vértice está colocado en 1,2 Como la gráfica habré hacia arriba, y la ordenada del vértice es 2 , el contradominio de la función es 2, Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 10 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo f x 9 x 2 9 x2 0 Para hallar el dominio tenemos que resolver la siguiente desigualdad: Factorizando: 3 x 3 x 0 De acuerdo a la “ley de los signos” hay dos posibilidades: 3 x 0 y 3 x 0 x 3 Y x 3 entonces el dominio es 3,3 El contradominio es 0,3 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora R 0, 11 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo f x x 3 3x 2 4 x 12 x2 x 6 Para hallar el dominio debemos resolver la siguiente ecuación: x 2 x 6 0 Factorizando: x 3x 2 0 entonces x 3 0 ó x 2 0 x 3 x 2 , entonces la función es discontinua en 2,4y3,1 El dominio de la función es: Todos los números reales excepto -2 y 3. El contradominio será entonces: Todos los números reales excepto -4 y 1. f x x 3 8 La gráfica corta el eje “Y” en 8: x3 8 0 x3 8 x 2 La gráfica corta el eje “X” en 2. El dominio es: , Y El contradominio es: , Un intervalo se puede expresar de dos maneras equivalentes: Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 12 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Notación y Clasificación de los Intervalos Intervalo abierto Notación de intervalos Notación de desigualdad (a, b) Gráfica (-----------) a b x ׀----------׀ a b x a<x<b ׀-----------) a b x a<x<b (-----------׀ a b x )-------------a ]-------------a --------------( a --------------[ a x a<x<b Intervalo cerrado [a, b] a<x<b Intervalos semiabiertos [a, b) Semiabierto por la derecha (a, b] Semiabierto por la izquierda Intervalos infinitos x<a ( - ∞, a) ( - ∞, a] x<a ( b, + ∞) x>b [ b, + ∞) x>b (- ∞, + ∞) R x x x x Actividad Uno En equipo y con la ayuda del facilitador, resuelve los siguientes ejercicios manera de ejercicios, encontrando el Dominio, el Rango y su Notación de las siguientes funciones y finalmente grafícalas: 1. f x 9 x 2 2. y x 3 3. f x x 16 4. y 2 x 1 1 5. f x x2 2 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 6. y x 2 4 x 4 7. f x 5 x 8. y x 3 13 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Tabulación y Gráficas Funciones Elementales Es frecuente y útil el empleo de gráficas para estudiar las propiedades de una función definida analíticamente. Aunque el método es, desde luego, poco riguroso, tiene la ventaja de todas las representaciones gráficas: permite darse cuenta rápidamente y de manera intuitiva de las principales características de la función. Se puede obtener una gran cantidad de información acerca de una relación funcional si se estudia su gráfica. Uno de los objetivos fundamentales de este curso es familiarizar al estudiante con las gráficas de algunas funciones importantes, así como desarrollar los procedimientos básicos de graficación. Pero primero necesitamos repasar la estructura de un sistema de coordenadas rectangulares. En un plano, tomamos dos líneas cualesquiera que se intersequen en ángulo recto, y llamamos origen al punto de intersección. Sean cada una de esas recta una recta numérica, y el origen correspondiendo al cero de cada una. A menos que digamos otra cosa, la longitud será igual en ambas rectas. En la recta horizontal se toma la dirección positiva hacia la derecha del origen, y en la vertical, hacia arriba del origen. A cada una de esas dos rectas la llamaremos eje del sistema. Lo usual es llamar eje x a la recta horizontal, y eje y a la vertical. Los ejes dividen al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se muestra en la siguiente figura Definición de la gráfica de una ecuación. La gráfica de una ecuación cuyas variables son x y y está formada por todos los puntos de un sistema cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 14 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Se tiene la función con dos variables. Cuando se sustituye un valor específico en lugar de x, se obtiene un valor de y correspondiente. Por ejemplo, si se sustituye x por 3 se obtiene . Por ello decimos que el par ordenado (3, 5) satisface la ecuación . Hay un número infinito de pares ordenados que satisfacen la ecuación , y todos están ubicados en la misma línea recta. La siguiente tabla de valores muestra algunos pares ordenados de número que satisfacen esa ecuación. Esos puntos se han graficados en un sistema cartesiano y se han unido, formando una línea recta. Las flechas de la figura nos sugieren que esa recta continúa en ambas direcciones hasta el infinito. x -3 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 La gráfica de es una línea recta, y a esa ecuación se le llama ecuación lineal. Como dos puntos determinan una recta, un método cómodo de graficar una recta es localizar sus dos coordenadas al origen (intersecciones con los ejes). La abscisa al origen (intersección con eje x) de es -2, que es la abscisa del punto en el cual la recta cruza al eje de las x. La ordenada al origen (intersección con el eje y) es 2, que es la ordenada del punto en el cual la recta cruza al eje y. Ejemplo: Tracemos la ecuación lineal mediante las coordenadas al origen. Solución: Para determinar la abscisa al origen hacemos . abscisa al origen Para determinar la ordenada al origen, hacemos . ordenada al origen Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 15 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Graficamos los puntos ( , 0) y (0, -1) y trazamos la recta que pasa por ellos que es la siguiente gráfica. Actividad Dos En equipo, resuelve cada uno de los ejercicios que se te presentan a continuación; te aconsejamos que de ser necesario consultes de nuevo la secuencia para recordar algunos elementos que requerirás para resolverlos o bien apóyate de tu facilitador: 1.- Complete cada tabla de valores. A continuación grafique la recta expresada por la función. 1. x y -3 -2 -1 0 1 2 2. x y -2 -1 0 1 2 x y -2 -1 0 1 2 3. 4. x y -3 -2 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora -1 0 1 2 16 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 2.- Determine la ordenada y la abscisa al origen y úselas para graficar cada una de las siguientes líneas rectas. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 3.- Dibuja la función de una constante y elabore una tabla xy. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 17 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 4.- Resuelve y analiza cada una de las funciones siguientes y contesta los cuestionamientos que se te presentan al final. Entonces, si deseamos _______________ la gráfica hacia_________________________, debo ______________una _______________, es decir _________________________________________________________________________ ¿Qué otro movimiento podré hacer? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Cómo deberé modificar la función original? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 18 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 5.- Encuentre las ecuaciones de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las función correspondiente, con respecto a función base y = x. (describa lo que sucede) ¿Qué se puede concluir? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 19 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 6.- Encuentre la ecuación de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las funciones correspondientes, con respecto a la función base y = x, y descríbalo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 20 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Transformaciones de gráfica de funciones Las transformaciones que sufre una función básica son las siguientes: Desplazamientos Estiramiento Reflexiones A partir de las funciones básicas, podemos obtener otras gráficas de funciones relacionadas, permitiéndonos trazar gráficas de numerosas funciones rápido (sin necesidad de utilizar la calculadora). Desplazamientos Los desplazamientos pueden ser sobre el eje x o sobre el eje y. Si c es un número positivo, entonces tenemos los siguientes desplazamientos: y = f (x) + c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia arriba y = f (x) – c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia abajo y = f (x – c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia derecha y = f (x + c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia izquierda Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 21 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Estiramientos y compresiones verticales y = cf(x), estírese la gráfica de y = f(x) verticalmente en su factor de c y = c1f(x), comprímase la gráfica de y = f (x) verticalmente en su factor de c Estiramientos y compresiones horizontales y = f(cx), comprímase la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c y = f(c1x), estírese la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c y = –f (x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje x y = f(-x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje y Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 22 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Operaciones con Funciones Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones. Función Suma Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x) Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces: ( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1 ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7 Función Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por ( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x) Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces: ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2 ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2 Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f g ) ( x ) = f (x) g (x) Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y h (x) = x - 2 entonces: ( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2 ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75 Función Cociente Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 23 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ejemplo 4 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces: Sean f(x) y g(x) dos funciones con sus respectivos dominios Df y Dg, entonces la funcion f(x) compuesta con g(x) es dada por: f o g(x) – f(g(x)) Ejemplo: Sea , entonces: f o g(x) = f(g(x)) = f(x+5) = 3(x+5) – 1 = 3x + 15 – 1 = 3x + 14 Actividad Tres En equipo y con la ayuda del facilitador, resuelve los siguientes ejercicios que involucran las operaciones fundamentales de matemáticas como son: suma, resta, multiplicación, división, potencia, composición etc. vistas en las páginas anteriores: 1).- Una compañía que procesa alimentos tiene dos enlatadoras. Una empaca chicharos y la otra maíz. La función f ( x) 2 x 2 10 x 600 para 0 x 30 2).- Modela el rendimiento (en cientos de latas) de chicharos durante el día x. De manera análoga, g ( x) 20 x para 0 x 30 , representa el rendimiento de maíz en el día x. Obtener el rendimiento total de las dos enlatadoras combinadas en una sola función, Graficar cada una de las funciones. 3).- Supóngase que una fábrica de ropa examina sus utilidades. El costo (en dólares) de hacer x camisas diariamente es $510 en costos fijos (servicios, impuestos, maquinaria, etc.) más $8 por camisa. a).- Obtener la función de costo C(x), para x≥0 b).- Obtener la función de ingreso R(x), para x≥0 c).- Obtener la función de utilidad P(x) = R(x) – C(x), para x≥0 4).- Considérese F ( x) 2 x 1 y h( x) x 9 , halle F (h( x)) 5).- Suponer que el número de insectos en el instante t durante el verano se modela por medio de n(t ) 2t 2 1 (millones). Si la población de pájaros se estima en P(n) 3n 2 , donde n es el número (millones) de insectos presentes, aplicar la idea de la composición para expresar la población de pájaros como una función del tiempo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 24 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Halle: a) f+g 7). - f(x) = 2 + 8).- f(x) = b) 1 ; x x; f–g c) f . g d) f g 1 x g(x) = 4x – 5 g(x) = Para las funciones f y g, halle: a).- f o g 4 2 9).- f(x) = ; g(x) = x 1 x 10).- f(x) = x ; g(x) =3x + 2 b).- g o f Que aprendimos Resuelvo el problema Un profesor a su alumno: Observe que la solución nos dice que en el año 2003 había 18544.3 habitantes en la ciudad, pero está claro que al hablar de habitantes no tiene sentido que tomemos decimales, basta que digamos 18544 habitantes. 1. ¿Cómo se relaciona el problema planteado con la función del crecimiento de los conejos? 2. ¿Cuál es la importancia de especificar las unidades al definir una función? 3. ¿Qué tipos de funciones permiten el uso de decimales? 4. ¿Qué diferencias habría al graficar el crecimiento de los conejos si se tomara en cuenta factores como los que mencionamos en la lectura? Resuelve el problema. En tus respuestas apóyate de lo aprendido en esta secuencia, citando lo que estas aplicando y por qué. Comparte tus respuestas con las de tus compañeros. Elaboren una estrategia a seguir con la aplicación de las técnicas aprendidas. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 25 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Lo que puedo hacer ahora… Lee cuidadosamente cada una de las siguientes situaciones-problemas y resuélvelos apropiando las propiedades y teoremas aprendidos en el tema. 1) La conversión de escalas de temperatura Fahrenheit a Centígrados está dada por la función Obtenga las gráficas de la siguiente tabla de temperaturas durante 6 días en equivalente en . Día Temperatura Día y su Temperatura 1 45 2 74 3 22 4 39 5 53 6 80 2) Un objeto se mueve a velocidad constante y se ha construido la siguiente tabla con respecto a su movimiento Tiempo 0s 60 s 240 s Distancia 15 m 20 m 25 m 360 s 480 30 m 600 35 m 40 m a) Defina una función que represente el movimiento del objeto b) Establezca la distancia que se ha recorrido al cabo de 150 y 400 segundos c) Determinar el tiempo transcurrido para que el objeto haya recorrido una distancia de 22, 38 y 55 metros. 3) En una entrevista de trabajo se le ofrece al candidato dos opciones de sueldo: a) 200,000 mensuales más 30% de comisión. b) 300,000 mensuales más 15% de comisión. ¿Cuánto debe vender para obtener el mismo salario con ambas opciones? 4) Determine el dominio y rango de las siguientes funciones a) b) 5) Grafique las siguientes funciones Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 26 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo a) b) c) 2 x 1 si x 1 y 2 si x 1 x 2 6) El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtenga la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base. 7) Encontrar las funciones analíticas que corresponden a las gráficas a) b) c) 8) Resuelve los siguientes ejercicios : En los ejercicio 1 y 2, se definen las funciones f y g. En cada ejercicio defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función resultante: (a) f + g; (b) f - g; (c) f * g; (d) f / g; (e) g / f En los ejercicios 4 a 7, se definen las funciones f y g. En cada ejercicio defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función compuesta: Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 27 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Para saber más BIBLIOGRAFÍA: APOSTOL T.M. 1995. Calculus I y II. Editorial Reverté, S.A. AYRES Frank. 2001. Cálculo. 4ta. Edicion. Ed. MacGraw Hill / Serie Schaum. BALDOR Aurelio 1983, Algebra, 5ta. Reimpresión, México,D.F. publicaciones cultural. FINNEY T. 2002. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. I y II. Ed. Addison Wesley. HOWWARD A. 1999. Cálculo y Geometría Analítica Vol. I. Ed. Limusa. LARSON H. E. 2003. Cálculo Vol. I. Ed. MacGraw Hill. LEHMANN CHARLES H. 2008 Geometría Analítica México D.F. Editorial Limusa. PURCELL E., Varberg, D. 2000. Cálculo y Geometría Analítica. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. LEITHOLD , Louis 1987 el calculo con Geometría Analítica quinta edición México D.F. editorial harla. SWOKOWSKI, E.W. y Cole, J.A. 1999. Cálculo 3ra. Ed. Int. Thomson-Editores. e @demás puedes visitar los siguientes sitios web: http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/5toCIEMAC/Talleres/Conceptodefuncionsituacionescotidianas.pdf http://www.scribd.com/doc/4311613/Funcion-Lineal http://sk8etnies5.blogspot.com/ http://www.fismat.umich.mx/mateduca/Carlos/mem9sem/memixsem.pdf http://www.seiem.es/publicaciones/archivospublicaciones/actas/Actas09SEIEM/IXsimposio.pdf Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 28 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo SSE EC CU UE EN NC CIIA A 2 En esta sección adquirirás conocimientos para identificar los tipos de funciones en relación a sus características algebraicas, graficas. Así como analizar sus valores en la tabla de datos; lo que contribuirá a plasmar distintas situaciones de la vida cotidiana en una función, la cual podremos pronosticar su comportamiento en un futuro mediante la grafica. Funciones algebraicas o Lineal o Potencias Cuadráticas Cúbica Radicales o Racionales Funciones trascendentes o Exponencial o Trigonometricas Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 29 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo La Familia Iniciamos Lee el siguiente texto La Familia No hay un concepto delimitado de ella. La ley no da una definición. Para definirla se buscaron diversos elementos: sujeción (de los integrantes de la familia a uno de sus miembros), la convivencia (los miembros de la familia viven bajo el mismo techo, bajo la dirección y con los recursos del jefe de la casa), el parentesco (conjunto de personas unidas por vínculo jurídico de consanguinidad o de afinidad), la filiación (conjunto de personas que están unidas por el matrimonio o la filiación, aunque excepcionalmente por la adopción). Conocer la evolución de la familia permite comprender sus roles. Al principio existía endogamia (relación sexual indiscriminada entre varones y mujeres de una tribu). Luego los hombres tuvieron relaciones sexuales con mujeres de otras tribus (exogamia). Finalmente la familia evolucionó hasta su organización actual (monogamia). Con el surgimiento de la monogamia se satisface la función educacional. Individualizados claramente padre y madre, entre ellos se comparte la tarea de educar a la prole. El vínculo familiar. Permite el ejercicio de los derechos subjetivos familiares entre quienes tienen tal vinculación. Son elementos del vínculo familiar, el vínculo biológico y el vínculo jurídico. El vínculo biológico es el elemento primario, básico, necesario y presupuesto indispensable para la existencia del vínculo familiar. La familia es una institución que responde a la ley natural. El vínculo jurídico es elemento secundario del vínculo familiar, por cuanto su existencia depende de la del vínculo biológico, ya que jamás puede crearlo pero es decisivo para legalizarlo. El vínculo jurídico prevalece sobre el vínculo biológico, por más que se encuentre condicionado a él ya que lo califica. Como medio necesario para realizar el orden social los vínculos biológicos y jurídicos deben coincidir. Entre ambos existen concordancias y discordancias. La concordancia pura se produce cuando el vínculo jurídico corresponde al vínculo biológico, lo cual puede acaecer desde el momento en que se constituye la relación o con posterioridad (ej. la filiación). La concordancia impura se presenta cuando el vínculo biológico no guarda debida correlación con el vínculo jurídico. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 30 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo La discordancia pura sucede cuando el vínculo biológico corresponde al vínculo jurídico creado en contra de las disposiciones legales, por lo cual la relación está sujeta a una causa de nulidad. Realiza una reflexión de la lectura en relación a: ¿Qué es una familia? Tipos de familia en cuanto a su organización y parentesco Quienes son los actores dentro de una familia Modos de ser de una familia (personalidad de cada familia) Razonemos A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprenderás a resolverlo durante la secuencia. Una familia que anda de vacaciones en la Cd de México, desea visitar el centro cultural para lo cual toma un taxi. El taxi le cobra $5 pesos por detenerlo y $15 por kilómetro recorrido. Podrías determinar el costo de un paseo en taxi en la ciudad de México. Lo que pienso del problema Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo explicarías esta situación a tus compañeros? 2. ¿Qué idea tienes de cómo expresarlo? 3. ¿Qué información será necesaria para resolverlo? 4. ¿Qué tendrá que ver con funciones exponenciales? Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo. A trabajar Esta situación que te plantean tiene un comportamiento lineal, es decir, a manera de que avanzas en kilómetros el costo del viaje va aumentando. Si no realizas el paseo tú costo es de cero. Por ello, que es importante conocer este tipo de función. Lee la siguiente información y resuelve las actividades que se te presentan al final de cada una de ella. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 31 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Función Lineal Una función lineal es la más sencilla de todas, y quizás la mas útil de todas las funciones matemáticas. Una función lineal es aquella que se puede escribir en la forma f ( x) mx b f(x) 3x-1 Donde m y b son números fijos. Ejemplo: Contigo y el Facilitador, ayuden al gerente de la firma Pearson a encontrar un modelo matemático de los costos que le ayude a tomar decisiones en la producción de la siguiente situación que se le presenta: Este gerente observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un costo de $25000, y el martes fabrico 40 a un costo de $30000. Para poder ayudarle sigue los siguientes cuestionamientos: ¿Qué necesita encontrar el gerente para solucionar su problema? ¿El costo de producción de que depende? A una producción de 30 refrigeradores genera un costo de $____________. A otra producción de 40 refrigeradores genera un costo de $____________. Grafica estos valores y une los puntos: (considera la escala del eje “y” multiplícala por 1000) ¿Qué observas de la gráfica? ¿Ya conoces esta gráfica? Si_____, No_____, ¿Cuál es?______________. Puedes encontrar su modelo matemático. _________________________. Construye su modelo: ¿Qué significado tiene la pendiente? El gerente propone este modelo C 40 x 2500 , ¿estará en lo correcto? Si ___, no____, explícale: ______________________________________________________. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 32 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Actividad Uno En equipo resuelve los siguientes ejercicios, Determinando los datos que proporcionan y que están solicitando de solución, su planteamiento, así como un análisis de la respuesta. 1. Usted es el dueño del club Salud y ha venido cobrando $600 por la membresía anual. No esta contento con la respuesta: en el club solo hay un promedio de 10 nuevos socios por mes. Para remediar lo anterior, decide usted bajar la membresía a $500, y observa que de esta manera se incrementan los nuevos socios en un promedio de 16 cada mes. a. b. c. Encuentra la función de la cuota anual de la membresía ¿Cuál es el significado de la pendiente? Si el costo de la membresía es de $350 cuantos socios ingresarían al mes. 2. El sistema de posicionamiento global (GPS por sus siglas en ingles), con un satélite de la fuerza aérea de México, permite a las personas con radiorreceptores determinar su ubicación en cualquier lugar de la tierra. La siguiente tabla muestra las ventas totales estimadas de productos que usan el GPS. Año Ventas (miles millones pesos) a. b. c. 1994 $0.8 2000 $8.3 Con estos datos expresa las ventas totales de los productos que usan GPS como una función del tiempo. ¿Cuál es el significado de la pendiente? Use el modelo para pronosticar cuando llegaran las ventas de estos productos a $13.3 miles de millones, suponiendo que continuara aumentando con la misma rapidez. Funciones Potencia Las funciones f ( x) x a , donde a es una constante, se llaman funciones potencia. Dentro de esta categoría hay varios casos importantes a considerar. a) Caso a=n, un entero positivo. Las gráficas de f ( x) x n , para n=1, 2, 3, 4, 5, están definidas para todo valor real de x. observe que a medida que aumenta la potencia n, las curvas tienden a ensancharse hacia el eje x en el intervalo (-1,1) y también se elevan con una inclinación mayor para x 1 . Cada curva pasa por el punto 1,1 y por el origen. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 33 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo b) Caso a = -1, o a = -2 En las siguientes gráficas de las funciones f ( x) x 1 es igual a f ( x) 1 , o bien x 1 . Ambas funciones están definidas para todo valor de x2 x 0. La primera se refiere a una hipérbola que se aproxima a los ejes coordenados lejos del origen. Y la segunda también se aproxima a los ejes coordenados. g ( x) x 2 es igual a g ( x) 1 1 3 2 , , y 2 3 2 3 Las funciones f ( x) x1 / 2 es igual a f ( x) x , la función f ( x) x1 / 3 es igual a c) Caso a f ( x) 3 x ; son funciones raíz cuadrada y raíz cúbica, respectivamente. El dominio de la función raíz cuadrada es 0, , pero la función raíz cúbica, junto con las gráficas de 3 2 2 3 f ( x) x , f(x) x . Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 34 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ejemplo: En el primer ejercicio que resolviste por equipo de la función lineal, te pedía determinar un modelo matemático para la demanda del club salud. Ahora el administrador quiere saber como determinar los ingresos anuales del mismo club. ¿Cómo determinas los ingresos?____________________________________________ Cuanto será el ingreso si existen 10 miembros y la membresía cuesta $600 Encuentra la relación matemática de los ingresos ¿A qué precio de la membresía obtendrá mayor ingreso? Grafica el modelo matemático que obtuviste y compáralo con tus compañeros. ¿Qué puedes decir del comportamiento de la gráfica? Actividad Dos En equipo resuelve los siguientes ejercicios, Determinando los datos que dan y que están pidiendo de solución, su planteamiento, así como un análisis de la respuesta. Resuelve los siguientes ejercicios. 1.- Carriolas S.A., acaba de introducir un nuevo modelo, el turbo. En esta ocasión el departamento de mercados estima que la empresa puede vender 200 turbos al mes en $60 pesos, pero por solo 120 al mes a $100. si se supone que la demanda es lineal, ¿a qué precio se pueden vender carriolas para obtener el mayor ingreso posible? 2.- Usted es el dueño de un Cyber cafés, y nota la popularidad de una página en Internet “Calabozos y dragones” y decide cobrar $2 por entrar a la página; el contador muestra una demanda de 280 entradas por mes, pero si se reduce el precio a $1.5 la demanda sube a 560 por mes. Obtenga el modelo matemático que represente los ingresos de esta página. ¿A qué precio se obtendrá mayor ingreso? Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 35 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Función polinomial Una función es polinomial si: f ( x) an x n an1 x n1 ... a1 x a0 Donde n es un entero positivo y los números de a son constantes reales (llamados coeficientes del polinomio). Todas estas funciones tienen un dominio de , . n es el grado del polinomio. Veamos unas graficas de funciones polinomiales Función Racional Una función racional es un cociente o razón de dos polinomios de la forma: p( x) f ( x) q( x) Donde p y q son polinomios. El dominio de una función racional es el conjunto de todos lo números reales x para los que q(x) 0 . Veamos unas graficas de funciones racionales Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 36 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Actividad Tres En equipo gráfica las funciones, Determinando de qué tipo es, su dominio y rango. y 3x 1 2 2 4x 1 x 9 y x2 1 y y 2x 1 x3 y 6 2x x3 2x 2 3x 1 y y 2 y x 1 x3 9x 1 y 9 x2 x y x y 2 x 1 y 4 2x y 2 x 4 3x 3 x 2 Función Exponencial Aunque las funciones anteriores con frecuencia, se pueden utilizar para representar un comportamiento, hay tres fenómenos comunes, no lineales, que se representan mejor con una clase distinta de funciones. Los fenómenos son el crecimiento demográfico, el valor de una inversión cuando se reinvierten los intereses y la depreciación o decaimiento; todos se apegan al modelo de la función exponencial. Una función exponencial es una función de la forma f ( x) a x Donde la base a es un numero real fijo, una constante. Observe la diferencia entre una función exponencial y una función potencia. La función potencia xa, la variable x es elevada a un exponente constante; en la función exponencial ax, una constante esta elevada a un exponente variable. La grafica de una función exponencial con base a y x>1 crece siempre de izquierda a derecha. Por lo tanto dicha grafica no es como la grafica de un polinomio. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 37 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Las funciones de la forma f ( x) a x , donde la base a >0 es una constante positiva y a≠1, se llaman funciones exponenciales. Todas las funciones exponenciales tienen dominio (-∞, ∞) y rango (0, ∞). Así, una función exponencial nunca vale cero. Ejemplo: Sea P (t) el numero de roedores después de t meses en cierta población prolífica, que se duplica cada mes. Si existen P (0)=10 roedores inicialmente, entonces existen: P(1) 10 * 21 20 P(2) 10 * 2 2 40 la P(3) 10 * 23 80 Y así sucesivamente. De este modo, la población de roedores después de t meses esta dada por Función exponencial P(t ) 10 * 2 t Actividad Cuatro En equipo resuelve los siguientes ejercicios, Determinando los datos que proporcionan y que están solicitando de solución, su planteamiento, así como un análisis de la respuesta. 1. Una persona invierte 5000 dólares en bonos municipales que pagan al año 10%, reinvirtiendo el interés al término de cada año. Determina su capital término del quinto año. 1 2 3 4 5 5500 6050 6655 7320.5 8052.55 a) ¿Determina a que se debe que cada año el valor de la inversión es 1.1 de su valor año anterior? b) ¿A que se debe esto? c) ¿Cómo será la grafica de tiempo en relación a la inversión? 2.- Si se invierten $2000 en un fondo con rendimiento anual del 12.6%, y los intereses se reinvierten cada mes. a) Determine el modelo exponencial correspondiente b) Aplique el modelo para estimar el año en que el valor de su inversión llegue Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 38 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo a $5000. Funciones Trigonométricas En trigonometría elemental, una función trigonométrica como Sen A, Cos A, Tan A, se define por lo general primero como una función de un ángulo A en un triangulo rectángulo. Pero ahora, una función trigonométrica de un número corresponde a esa función del ángulo medido en X radianes. Así, sen 1 3 6 1 sen , cos , tan 6 2 6 2 3 cos Pues es la medida en radianes de un ángulo de 30º. 6 6 Las funciones trigonométricas son importantes, porque son periódicas o se repiten y, por lo tanto, estas modelan muchos procesos naturales periódicos. ¿Qué significa ser periódica una función? Una función f(x) es periódica si existe un numero positivo p tal que f(x+p) =f(x) para todo valor de x. el menor de los posibles valores de p es el periodo de f. Cuando graficamos funciones trigonometricas en el plano cartesiano, por lo general denotamos la variable independiente mediante x en lugar de hacerlo con . Vea las graficas Dominio:-∞<x<<∞ Dominio:-∞<x<<∞ Rango: -1<y<1 Periodo 2л Rango: -1<y<1 Periodo 2л Academia de Matemáticas del Estado de Sonora Dominio: X 3 2 Rango:-∞<y<<∞ Periodo л , 2 39 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Dominio: X 3 2 , 2 Rango: y<-, y>1 Periodo 2л Dominio:-∞<x<<∞ Dominio:-∞<x<<∞ Rango: y<-1, y>1 Periodo 2л Rango:-∞<y<<∞ Periodo л Transformaciones de gráficas de funciones trigonométricas Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicar a las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama: Características De estas funciones Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 40 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ejemplo: Pautas cíclicas de empleo Una agencia de empleo consulta a un economista. Este le indica la demanda de empleo temporal, expresada en miles de solicitudes de trabajo por semana en su municipio, se puede aproximar con una función d 4.3sen(0.82t 0.3) 7.3 En la que t es el tiempo, en años, a partir de enero del año 2000, calcule la amplitud, el desplazamiento vertical, el desplazamiento de fase, la frecuencia angular y el periodo, e interprete resultados. Solución. Para determinar las constantes escribiremos: y Af ( Bt C ) D d 4.3sen(0.82t 0.3) 7.3 Donde observamos claramente que A= 4.3 (la amplitud), D=7.3 (el desplazamiento vertical), y B=0.82 (la frecuencia angular). Así también -0.3 es el desplazamiento horizontal de la grafica. 2 0.3 Periodo = Desfase: ( 7.66 ) 0.37 0.82 0.82 Estos números se pueden interpretar de la siguiente manera: la demanda de empleo fluctúa en ciclos de 7.66 años respecto a la línea base de 7300 solicitudes de trabajo por semana. Cada ciclo la demanda sube a un máximo de 11600 solicitudes por semana (4300 mas que la línea base) y baja hasta un mínimo de 3000. En abril del 2000 (t=0.37) la demanda de empleo esta en la línea base y subiendo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 41 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Actividad Cinco En equipo resuelve los siguientes ejercicios, Determinando los datos que dan y que están pidiendo de solución, su planteamiento, así como un análisis de la respuesta. Resuelve los siguientes ejercicios. 1.- El flujo anual de efectivo en acciones, medido en porcentaje de activos totales, ha fluctuado en ciclos de unos 40 años desde 1955, cuando estaba en un punto máximo. Los máximos aproximados fueron +15% de los activos totales, mientras que los mínimos aproximados fueron del -10%. a) Represente este flujo de efectivo con una función seno del tiempo t en años, en la que t=0 represente 1955. 2.- El costo de una pala para nieve, sin inflación, varia en la actualidad desde un máximo de $10 el 1/enero (t=0); hasta un mínimo de $5 el 1/Junio (t=0.5). Suponga esta tendencia continuara en forma indefinida, calcule el costo, sin inflación, de palas para nieve, en función del tiempo t en años. Use una función seno. 3.- La venta de automóviles en 1996 fluctuaron desde un máximo de 95000 millones de dólares en octubre (t=0) hasta un mínimo de 80000millones de dólares en abril (t=6). Construya un modelo usando la función coseno donde represente las ventas mensuales s (t) de la compañía automotriz. Que aprendimos Resuelvo el problema Una familia que anda de vacaciones en la Cd de México, desea visitar el centro cultural para lo cual toma un taxi. El taxi le cobra $5 pesos por detenerlo y $15 por kilómetro recorrido. Podrías determinar el costo de un paseo en taxi en la ciudad de México. Datos: Taxi cobra $5 detenerlo Cobra $15 por kilómetro Requiere dar solución a: Determinar el costo del paseo Solución: ¿Cuantos kilómetros recorre el taxi? Como no conozco esta cantidad x La expresión del costo será: C(x)= 15x + 5 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 42 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo La gráfica que obtenemos es: la tabla de valores: Es decir entre mas kilómetros recorra el taxi, mas va hacer el costo. Lo que puedo hacer ahora… El siguiente ejercicio se desarrollara individualmente, del cual vas a relacional la expresión algebraica con las gráficas que te proponen. 1.- f ( x) x 3 3x 1 4.- f ( x) 1 ( x 1)( x 2) 7.- f ( x) x 2 5x 6 2.- f ( x) x 4 5x 3 13x 1 5.- f ( x) x2 1 x3 1 8.- f ( x) x 2 2 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 3.- f ( x) 2 x 5 10 x 3 6 x 1 6.- f ( x) x 1 9.- f ( x) 1 4 x2 43 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Resuelve los siguientes problemas de funciones: 1.- Un cultivo se inicia con 100 bacterias y duplica su tamaño cada 3 horas. Deduzca un modelo exponencial para el tamaño del cultivo en función del tiempo t, en horas, y con el modelo pronostique cuantas bacterias habrá después de 2 días. 2.- El gas de invernadero más abundante es el dióxido de carbono. Según el pronostico de las naciones unidas, en el peor de los escenarios, la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera (en partes por millón, en volumen) se puede aproximar con C (t)=277e0.00353t (0<t>350) Donde t es el tiempo en años a partir de 1750. 3.- ¿Qué limitaciones tiene el uso de una función exponencial para modelar el crecimiento en casos de la vida real? Ilustra tu respuesta con un ejemplo. 4.- Describe dos casos de la vida real en los cuales un modelo lineal sea más adecuado que uno exponencial, y dos casos en los que un modelo exponencial sea más adecuado que uno lineal. 5.- Las ventas de calculadoras están sujetas a fluctuaciones estacionales. Las ventas de una empresa en 1995 y 1996 se pueden aproximar con la función S (t)=0.106sin (1.39t+1.61)+0.455 (1<t<8) En la que t representa el tiempo en trimestre; t=1 el final del primer trimestre de 1995, s (t) es la venta de calculadoras-ingresos trimestrales en miles de millones de pesos. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 44 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo a) Trazar la curva de ventas en función del tiempo para el periodo de 2 años que va de enero de 1995 a enero de 1997. Y apartir de la grafica estime el valor de t y los trimestrales en los que las ventas fueron mínimas y máximas. b) Estime los ingresos máximos y mínimos de la empresa. c) Indique la manera directa de obtener el resultado de la parte b) con la ecuación para s (t). 6.- La profundidad del agua en mi lugar favorito para surfear varía de 5 a 15 pies, dependiendo del tiempo. El último domingo la pleamar 8marea alta) sucedió a las 5:00 a.m., y la siguiente pleamar fue a las 6:30 p.m. con una función seno represente la profundidad del agua en función del tiempo t, en horas a partir de la media noche del sábado. Para Saber más BIBLIOGRADÍA GEORGE B. Thomas, Jr. - Cálculo de una variable – 11va edición 2006; Ed. Pearson Educativa STEFAN Waner, Steven R. - Cálculo aplicado – Costenoble- 2da edición 2002; Ed Thomson Learning. CANTORAL U. Ricardo, Farfan M Rosa Ma., Guzmán H. José, Hitt E. Fernando -Calculo diferencial – 5ta edición 1988; Ed CINVESTAV DEL IPN. GÓMEZ Pedro, Mesa Vilma María - Situaciones problemicas de precálculo – edición 2006; Ed Iberoamericana. e @Además puedes visitar los siguientes sitios web: http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/mathematica.html www.artamendi.es/Apuntes/Fun_Exp.doc http://ma.usb.ve/cursos/basicas/ma1111/guias/Cap6.pdf. http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Func-exp.htm http://iteso.mx/~goll/matematicas1/1material/12_funciones_exponenciales_y_logaritmicas.doc. http://www.comoves.unam.mx/articulos/funciones/funciones1.html hhttp://www.itapizaco.edu.mx/~cbasicas/PCNCB/bosquejo%20de%20funciones%20apoyado%20con%20 calculadoras%20graficadoras.pdfttp://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0118/funcionesmatematicas.htm http://www.geocities.com/medfamqueretaro/concep_Familia.ppt. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 45 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 3 SSE EC CU UE EN NC CIIA A Con un actitud analítica y participativa, en esta sección podrás resolver problemas de limites de funciones matemáticas relacionadas con las ciencias naturales, económicoadministrativo, y sociales; mediante el cálculo y comportamiento gráfico y analítico. 141 121 Limites de funciones algebraicas h 101 Limites de funciones trascendentes 81 61 41 21 1 0 1 2 3 4 5 6 t Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 46 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Que buena onda … Iniciamos Lee el siguiente texto. El Cálculo El cálculo es una herramienta matemática de gran alcance en cuanto aplicaciones se refiere. De hecho, nace como una necesidad de resolver ciertos tipos de problemas; y aunque los principales iniciadores son: Issac Newton y Guillermo Leibnitz, en el siglo XVII. Las directrices básicas que lo fundamentan aparecen ya en la antigua Grecia en algunos trabajos de índole geométrico, por ejemplo la determinación del volumen de un cono como una aproximación de un conjunto de cilindros de distintos radios, pero no fue hasta que Demócrito de Tracia, fundamento la primera idea de limite. Cuando Hipócrates siguiendo el método de Demócrito visualizo que del área de un círculo se obtienen los polígonos regulares, tomando en cuenta que el perímetro angular de un círculo es de 360. Por lo tanto, este perímetro si se divide entre el número de lados del polígono se traza su respectiva figura. Con lo cual se puede obtener que el área del círculo sea igual al área de un polígono de un número infinito de lados que es el principio de los límites. Razonemos A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprendas a resolverlo durante la secuencia. Pedro y Juan analizan el siguiente caso. Si tienes un círculo e inscribes un polígono cuando el área del círculo es igual al área de un polígono. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 47 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Lo que pienso del problema Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. En un círculo ¿Qué datos necesitas para obtener su área? De acuerdo a sus lados ¿Qué polígonos conoces? ¿Qué datos requieres de un polígono para calcular su área? ¿A qué conclusiones llegas? Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo. A trabajar En este tema es muy importante no olvidarte de los aprendizajes obtenidos en las secuencias anteriores, como son funciones y tipos de funciones ya que a partir de estos conocimientos determinarás los valores importantes de la función. Lee la siguiente información y resuelve las actividades que se te presentan al final de cada una de ella. Los límites se definen como el valor al que tiende una función cuando su variable independiente tiende a un determinado valor. Lim f (x) = d X a Como los valores de la variable dice que tiende, quiere decir que estos pueden ser crecientes o decrecientes. Como se muestra en la tabla del ejemplo 1. Ejemplo 1.- Lim (x + 2 ) si x tiende al valor de 3 Valores crecientes X Y 2.9 4.9 2.99 4.99 2.999 4.999 2.9999 4.9999 3 5 Valores decrecientes X 3.1 3.01 3.001 3.0001 3 Y 5.1 5.01 5.001 5.0001 5 Con estas tablas observamos que el límite de esta función es 5 cuando x vale 3. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 48 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ejemplo 2.- Lim ( x2+4x) si x tiene al valor de 1 Valores Crecientes x y 0.9 4.41 0.99 4.9401 0.999 4.994001 0.9999 4.99940001 ↓ ↓ 1 5 Valores Decrecientes x Y 1.1 5.21 1.01 5.0201 1.001 5.002001 1.0001 5.00020001 ↓ ↓ 1 5 Con estas tablas observamos que el límite de esta función es 5 cuando x vale 1. x2 4 Ejemplo 3.- lim x 2 x 2 Valores Crecientes Valores Decrecientes x y x Y 1.9 1.99 1.999 1.9999 ↓ 2 3.9 3.99 3.999 3.9999 ↓ 4 2.1 2.01 2.001 2.0001 ↓ 2 4.1 4.01 4.001 4.0001 ↓ 4 Con estas tablas observamos que el límite de esta función es 4 cuando x vale 2. En este caso observamos que la función debe transformarse mediante una factorización del numerador por lo tanto, lim x 2 x2 4 ( x 2)( x 2) lim lim ( x 2) 2 2 4 x 2 x 2 x 2 x2 Si tomamos en cuenta el tema de funciones concluimos que estas pueden ser: a) Enteras (lineales, cuadráticas, cúbicas, etc.). b) Racionales. c) Irracionales. En las primeras el límite de cualquier función se obtiene sustituyendo a la variable independiente por el valor al que tiende el límite. Ejemplo 1.- lim (5x 7) 5(3) 7 22 x 3 Ejemplo 2.- lim (2 x 2 7) 2(3) 2 7 2(9) 7 18 7 11 x 3 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 49 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ejemplo 3.- lim (4 x 3 2 x 2 11) 4(5)3 2(5) 2 11 4(125) 2(25) 11 600 50 11 661 x 5 En el caso de las funciones racionales se debe eliminar el denominador factorizando el numerador o bien dividiendo el numerador entre el denominador. x 2 25 ( x 5)( x 5) lim lim ( x 5) 5 5 10 x 5 x 5 x 5 x 5 x5 Ejemplo 1.- lim x4 x4 1 1 1 lim lim x 4 x x 12 x 4 ( x 4)( x 3) x 4 x 3 43 7 Ejemplo 2.- lim 2 Ejemplo 3.x 3 27 ( x 3)( x 2 3x 9) x 2 3x 9 (3) 2 3(3) 9 27 9 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 ( x 3)( x 3) x3 33 6 2 Nota: cuando al sustituir el valor de la variable independiente (x) el denominador resulte cero, entonces el límite no existe. Finalmente para las funciones irracionales se debe tomar en cuenta que si es una raíz cuadrada los resultados se obtienen sustituyendo a la variable independiente (x) y se dice si el valor es positivo que tiene límite, sin embargo cuando el valor resulta negativo se dice que no existe el límite. Ejemplo 1.- lim 25 x 2 25 (4) 2 25 16 9 3 x 4 Ejemplo 2.- lim x 2 36 (5) 2 36 25 36 11 Como el valor dentro de la x 5 raíz resulta negativo el límite no existe. Algunos casos especiales de límites son: En el caso de una función racional, cuando la variable independiente tiende a cero y el resultado de la sustitución es la división de cero entre cero, para obtener el límite se puede multiplicar el numerador y denominador por el conjugado de cualquiera de ellos. De forma tal que se obtenga una diferencia de cuadrados, se simplifica la función y se sustituye el valor de la variable independiente para obtener el límite. x3 3 Ejemplo. lim x 0 x 03 3 0 Sustituyendo lim x 0 0 0 Entonces multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado del numerador x 3 3 . Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 50 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo lim x 0 x3 3 x x3 3 ( x 3) 2 ( 3) 2 x 33 lim lim x 0 x 0 x3 3 x( x 3 3 ) x( x 3 3 ) x 1 ahora sustituimos lim x 0 x( x 3 3 ) x3 3 1 1 03 3 2 3 lim x 0 En una función racional, cuando la variable independiente tiende a – o , si se sustituye no quedaría o por lo tanto es necesario dividir numerador y denominador entre la variable de mayor exponente, para después sustituir y encontrar el límite. Nota. Recordar que en cursos anteriores de Matemáticas cualquier cantidad dividida entre infinito da como resultado cero. Ejemplo: lim x 2x 5 2() 5 sustituyendo 4x 3 4() 3 Entonces se divide el numerador y denominador entre la variable de mayor exponente (x). 2x 5 5 2 x sustituimos y aplicando la nota lim x lim x 4 x 3 x 3 4 x x 5 20 2 1 3 40 4 2 4 En el caso de una función racional trascendente, si al sustituir el valor de la variable independiente resulta la división cero entre cero, se aplican las identidades trigonométricas revisadas en cursos anteriores de Trigonometría para simplificar la función, después se sustituye y se encuentra el límite. sen x sen 0 0 Ejemplo. lim sustituyendo por lo tanto aplicamos la x 0 tan x tan 0 0 sen x identidad trigonométrica tan x entonces nos queda cos x sen x finalmente sustituyendo lim lim cos x x 0 sen x x 0 cos x lim cos 0 1 2 x 0 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 51 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Teoría de la continuidad de una función Una función entera siempre es continua para todo número real. Una función racional es continua para todo número real con excepción de los puntos en los que su denominador es cero. ( x 3)( x 2) Ejemplo. f ( x) ( x 2) Es continua para todo número real diferente de 2. La función también se puede expresar así: ( x 3)( x 2) f ( x) x 3, si x 2 ( x 2) 9 y 7 5 3 1 0 1 2 3 4 5 6 x En la gráfica se observa que esta función es discontinua para x = 2. Que aprendimos Resuelvo el problema Pedro y Juan analizan el siguiente caso. Si tienes un círculo e inscribes un polígono ¿Cuándo el área del círculo es igual al área de un polígono? 1. 2. 3. 4. En un círculo ¿Qué datos necesitas para obtener su área? De acuerdo a sus lados ¿Qué polígonos conoces? ¿Qué datos requieres de un polígono para calcular su área? ¿A que conclusiones llegas? En tus respuestas apóyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando y por que. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 52 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Lo que puedo hacer ahora… Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resuélvelos aplicando lo aprendido en el tema. Hallar los siguientes límites: 2. lim ( x 2 x) 1. lim (2 x 3) x 3 x 5 4. lim ( x 3 5 x 2) x 1 x 2 3x 2 x 1 x2 1 2x2 3 10. lim x 4 x 3 x 2 7. lim x 1 x 0 x 1 x3 8. lim x 3 x3 2 3x 2 2 x 1 11. lim 2 x 3 x x 5 2 5. lim 3. lim ( x 3 3x 2 2 x 5) x 1 x2 9 x 3 x 3 x 1 9. lim x 1 x3 2 x 2 5x 6 12. lim x x3 6. lim Para saber más BIBLIOGRAFÍA: ORTIZ C., Francisco. 2007. Cálculo Diferencial. Ed. Grupo Editorial Patria, México pp. 86 - 137. AYRES, Frank Jr. y Mendelson, Elliott. 2005. Cálculo. 4ta. Edición. Ed. McGraw Hill, Colombia pp. 60 - 77. SALAZAR V., Pedro y Otros. 1995. Matemáticas IV. Ed. Nueva Imagen. México pp. 59 - 92. e @demás puedes visitar los siguientes sitios web: http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/mathematica.html www.artamendi.es/Apuntes/Fun_Exp.doc http://ma.usb.ve/cursos/basicas/ma1111/guias/Cap6.pdf. http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Func-exp.htm http://iteso.mx/~goll/matematicas1/1material/12_funciones_exponenciales_y_logaritmicas.doc. http://www.comoves.unam.mx/articulos/funciones/funciones1.html hhttp://www.itapizaco.edu.mx/~cbasicas/PCNCB/bosquejo%20de%20funciones%20apoyado%20con%20calcu ladoras%20graficadoras.pdfttp://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0118/funcionesmatematicas.htm http://www.geocities.com/medfamqueretaro/concep_Familia.ppt. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 53 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Bloque 2 La Derivada Comportamiento de la función. La Integral Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 54 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo SSE EC CU UE EN NC CIIA A 4 En esta sección adquirirás conocimientos para determinar la derivada de una función que modele una situación de la vida del entorno que te rodea; como por ejemplo: calcular la velocidad y aceleración, estimar la razón de cambio, fijar niveles de producción de una manera que se puedan maximizar los ingresos y minimizar los costos, encontrar las mejores dimensiones de un objeto geométrico, entre otras mas. - Interpretación geométrica de la derivada Resolución de derivada. Regla de la cadena. Fórmulas de derivación. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 55 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo CONTAMINACIÓN A EXCESO DE VELOCIDAD Iniciamos Lee el siguiente texto Emisiones de gases No hay un concepto delimitado de ella. La ley no da una en tan sólo cinco años las emisiones de miles de carros en Hermosillo rebasaron niveles permitidos. “Es necesario una mejor organización, difundir información, invertir en equipo, capacitar al personal y promover una cultura de uso sustentable de recursos” Las excesivas cantidades de Óxidos de Nitrógeno por motores de vehículos, altas temperaturas, y hornos contaminan más el aire y el medio ambiente de Hermosillo, en comparación a 2002. Uno de los catalizadores de la contaminación son las emisiones tóxicas que generan 250 mil automóviles que circulan en la ciudad, de acuerdo con el especialista Jaime Varela Salazar. El profesor emérito de la Universidad de Sonora recientemente dirigió la investigación “Evaluación de la calidad del aire por partículas suspendidas PM10, óxidos de Nitrógeno y de Azufre en Hermosillo” (2006). Varela Salazar reiteró que las emisiones generan Óxidos de Nitrógeno (NOx) y Monóxido de Carbono (CO), sumamente tóxicos, y claramente rebasa la Norma Oficial Mexicana NOM-037-ECOL-1993, en el caso de NOx. La NOM establece métodos de medición para determinar la concentración de dicha sustancia en el aire y procedimientos para calibrar equipos de medición. En los monitoreos realizados se detectaron cantidades considerables de Óxidos de Nitrógeno en el Norte (Cesues), Centro (Unison-Cibnor) y Sur (Cobach Villa de Seris). Los estudios se enfocaron sobre las partículas de diez micras (PM10), que son muy nocivas para las personas por tener un diámetro menor. El Instituto Nacional de Ecología (INE) señala que las PM10 pueden ingresar al tracto respiratorio humano, destacan por su importancia epidemiológica y porque se ha demostrado su asociación con tasas de morbilidad y mortalidad. Las PM10 permanecen suspendidas por minutos u horas y pueden penetrar a mayor profundidad en los pulmones, lo cual conlleva el riesgo de producir daños serios en la salud. No sólo son carros; Varela Salazar, miembro del grupo académico del Departamento de Ingeniería Química y Metalurgia, consideró que a la par del excesivo movimiento de automóviles se añade la presencia del polvo, principalmente en zonas sin pavimentar y contaminantes de parques industriales, todo en conjunto lesiona el medio ambiente. “Tenemos también la emisión de partículas de dos plantas termoeléctricas de Hermosillo, pero la CFE está implementando controles de purificación”. “En la ciudad se requiere de un mejor sistema de monitoreo, el problema es que los equipos son muy caros, cada monitor cuesta 18 mil dólares”, dijo Varela Salazar. La Organización Mundial de la Salud (OMS) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 56 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo recomienda una estación de monitoreo del aire por cada 100 mil habitantes; la red actual municipal para medir la calidad del aire es de apenas tres estaciones, insuficiente para una población que rebasa los 700 mil residentes. Realiza una reflexión de la lectura en relación a: ¿Qué consecuencias trae el aumento de dióxido de azufre, dióxido de Nitrógeno? ¿Cómo ha sido este aumento? ¿Lo puedes expresar matemáticamente? ¿Qué tendrá que ver con derivadas? Razonemos A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprenderás a resolverlo durante la secuencia. La agencia de protección ambiental de Hermosillo, desea formular una política que impulse a las empresas eléctricas a reducir las emisiones de azufre. Su meta es reducir las emisiones anuales de dióxido de azufre un total de 10 unidades respecto al nivel actual de 25 unidades imponiendo un cargo fijo por cada unidad de azufre emitida al ambiente por año. Cuentas con los siguientes datos, los cuales muestran el costo a una industria eléctrica por incrementar las emisiones de azufre. C(x)= (x2 + x)3(2x + 1)2 ¿Determina el costo marginal por emisión de dióxido de azufre? Lo que pienso del problema Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas y Coméntalas con tus compañeros de equipo: 1. ¿Qué es lo que plantea la situación?? 2. ¿Cuáles variables intervienen? 3. ¿Qué información será necesaria para resolverlo? 4. ¿Qué tendrá que ver con derivadas? Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 57 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo A trabajar Es importante conocer las derivadas, su aplicación y su relación con el mundo que nos rodea. Estos son datos importantes para las preguntas que se plantean. Para ello lee con detalle la siguiente información que se presenta a continuación: Interpretación geométrica de la derivada: Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos que comienzan a estudiar la derivada de una función es la comprensión de su significado geométrico. Mientras que el cálculo de derivadas les suele resultar sencillo e incluso atractivo, la aplicación de la interpretación geométrica de la derivada en un punto se convierte en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no han conseguido adquirir el concepto con claridad. Las actividades que se plantean en estas páginas persiguen que el alumno se familiarice con los conceptos de secante y tangente a una curva, observe cómo se produce la aproximación y entienda el límite como un proceso que se puede ver y comprobar. Tangente a una curva en un punto Definición (1): Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto P =(x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x. Búsqueda de la tangente a una curva en un punto Históricamente la derivada surge para resolver el problema del trazado de la tangente a una curva plana en uno de sus puntos. Mediante la guía de tu facilitador, encontremos la tangente de la curva: Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 58 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 1.- Dibuja en tu cuaderno la gráfica del dibujo, traza las tangentes en varios puntos (A, B, C y D, por ejemplo) y escribe en el cuaderno de trabajo cómo crees que se traza la tangente a una curva en uno de sus puntos. Características de la tangente a una curva en un punto 2.- Observa las tangentes en distintos puntos de la curva, en particular en los puntos A, B, C, D y responde si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas indicando por qué. a) Para que una recta sea tangente a una curva en un punto P basta que pase por ese punto. b) La recta tangente a una curva en un punto P sólo puede tener un punto de contacto con ella, que es el punto P. c) Siempre hay un entorno del punto de tangencia en que la recta tangente y la curva sólo tienen ese punto común. d) La recta tangente a una curva en un punto deja a la curva en uno de los semiplanos en que la recta divide al plano. e) Siempre hay un entorno del punto de tangencia en que la recta tangente deja a la curva en uno de los semiplanos en que la recta divide al plano. Escribe lo que crees que define a la recta tangente a una curva en un punto. Aproximación a la tangente a una curva en un punto Habrás visto que no es fácil dar una definición de tangente a una curva en un punto que sirva para todos los casos. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 59 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 3.- Observa las rectas secantes a la curva que pasan por el punto P, cuando Q se aproxima a P ( es decir cuando h tiende a cero). a) Coloca el punto P en x = 1 y observa las secantes por la derecha y luego por la izquierda. b) Repítelo para x = 0; x = 1, x = -2, x = 2, ... c) Reproduce el proceso con una regla en tu cuaderno, traza con lápiz las secantes que pasan por el punto P y dibuja la tangente. Definición de tangente a una curva en un punto Se puede decir que la recta tangente en un punto de la curva es límite de las secantes cuando Q tiende a P. Tan( P) limQP Sec(QP) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 60 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 4.- Observa la sucesión de secantes en los siguientes casos. a) Modificando el número de secantes para el mismo punto P. b) Modificando el valor de h, entre -1 y 1, para el mismo punto P. c) Modificando el punto P. Derivada de una función en un punto Tangente a una curva en un punto Como ya se ha visto la tangente en un punto de una curva se obtiene como límite de las secantes en ese punto. Tan( P) limQP Sec(QP) De igual forma, con la guía de tu facilitador, encontraras la derivada de una función en un punto: 1.- Comprueba cómo a medida que h tiende a cero, es decir, que el punto Q se aproxima a P, la secante QP se va aproximando cada vez más a la tangente. Las pendientes de las secantes: Todas las secantes pasan por el punto P (a, f(a)) y por el punto Q (a+h, f(a+h)). Por lo tanto la pendiente de las secantes será: m f ( a h) f ( a ) h Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 61 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 2.- Observa cómo varían las pendientes de las secantes cuando el punto Q se aproxima a al punto P. a) Calcula la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 1. b) Calcula la pendiente en otros puntos x=2; x=2; x=0; x=-1, etc. c) Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva de la figura en el punto x=1. d) Escribe la ecuación de las rectas tangente en los puntos donde las calculado las pendientes. Definición de derivada de una función en un punto La derivada de una función en el punto de abscisa x = a es la pendiente de la tangente a la curva, que representa esa función, en el punto (a,f(a)). 3.- Observa y anota la derivada en distintos puntos: x=1; x=2; x=0; x=-1, etc. a) Busca dos puntos con derivada cero. b) Busca puntos con derivada 2; 10; -2; -10; etc. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 62 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo c) Observa cómo en cada caso las pendientes de las secantes QP se aproximan a la derivada. Cálculo de la derivada de una función en un punto Sea y = f(x) un función. La derivada de f(x) en el punto x=a, según hemos visto, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(a,f(a)) y se designa como f ' (a). Hemos visto que: Tan( P) limQP Sec(QP) Además, las pendientes de las secantes, para cada valor de h, son: m f ( a h) f ( a ) h Por lo tanto, como las pendientes de las secantes se van aproximando cada vez más a la pendiente de la tangente, podemos escribir: f '(a) limh0 f ( a h) f ( a ) h 4.- Comprueba nuevamente cómo los valores de m se van aproximando a la derivada cuando h tiende a cero en los siguientes puntos: a) En x = 1.5. b) En x = 0; x = -1; x = -2; etc. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 63 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ahora que se ha explicado la interpretación geométrica de la derivada, te darás cuenta de que la derivada se interpreta simplemente como una razón de cambio. Como se mencionó anteriormente, existen muchos problemas cuya resolución se fundamentan en estos conceptos. Algunas definiciones adicionales que se manejan de la derivada son: Definición (2): Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto (x, f(x)) es la derivada de f en x. Definición (3): Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad. Definición (4): Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x. Definición (5): Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x. Resolución de la Derivada La resolución analítica de la derivada se basa en el concepto geométrico que se explicó anteriormente. Observa la siguiente figura: Se muestra la gráfica de una función f ( x) con dos puntos en (a, f (a)) y en (a h, f (a h)) . Ambos puntos han sido unidos por una recta secante: la recta toca los dos puntos de la curva que corresponde a la función. Por concepto geométrico podemos describir las distancias de ambos puntos en los dos ejes; de esta manera, la distancia en x es h y la distancia en y es f (a h) f (a) : Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 64 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Para encontrar la derivada, es necesario “recorrer” la recta secante hasta convertirla en una recta tangente; esto es, en una recta que solo toque un punto. Para esto en necesario que la distancia entre a y a h se aproxime a cero. Observa cómo debe quedar: De esta manera, la forma analítica de encontrar la derivada es a través de la búsqueda del límite de la función cuando la distancia entre ambos puntos se aproxima a cero; esto es, cuando acercamos ambos puntos hasta lograr que la recta solo toque un punto de la curva y se convierta en una recta tangente. Entonces la derivada es: derivada= limincremento en x 0 incremento en y f ( a h) f ( a ) limh0 incremento en x h Dado el razonamiento anterior podemos definir a la derivada de una manera más formal representando un incremento con el símbolo y a la derivada como f '( x) ; esto es: f '( x)= limh0 y x Recuerda: una función derivable es continua; sin embargo, una función continua no siempre se puede derivar. Ejemplo: la función de valor absoluto. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 65 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ejemplo: Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa – 1 y graficar la derivada. Resolución: f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2 Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2. Actividad Uno En pareja, y de ser necesario con el auxilio de tu profesor, resuelve los siguientes ejercicios que involucran introducción. 1. Contesta las siguientes preguntas a) Explica en qué consiste el concepto geométrico de la derivada. b) Menciona dos ejemplos de la vida diaria en donde se aplique el concepto de derivada. c) ¿Qué entiendes por razón de cambio? d) Menciona dos ejemplos de funciones que no son derivables? 2. Resuelve el siguiente ejercicio. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 66 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo a) Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caída libre, la posición y del objeto en metros, como función del tiempo viene dada por y 16 x 2 ; donde x representa el tiempo en segundos que transcurre. Esto significa que: a. En el primer segundo, cuando x 1 , sustituyendo obtenemos que: y 16(1)2 16 metros que ha caído el objeto. b. En el siguiente segundo, cuando x 2 , el objeto ha caído 64 metros. Entonces, la velocidad promedio entre el segundo 1 y 2 es: velocidad promedio= distancia recorrida 64 -16 48 m seg tiempo transcurrido 2 -1 c. Llena la siguiente tabla: Segundos Distancia Velocidad 1-2 seg 66 metros 48 m seg 2-3 seg 3-4 seg 4-5 seg 5-6 seg 6-7 seg d. Observa como la velocidad es constante. Calcula la velocidad instantánea aproximada. Auxíliate en las siguientes tablas completando: T 1-1.5 seg 1-1.3 seg Dist 66 metros Vel 48 m seg T 0.9-1 seg Dist 66 metros Vel 48 m seg 0.91-1 seg 1-1.1 seg 0.93-1 seg 1-1.09 seg 0.95-1 seg 1-1.05 seg 0.96-1 seg 1-1.01 seg 0.99-1 seg Regla de la Cadena Es una de las reglas de diferenciación más importante y usada. En esta sección se describirá y como usarla. La derivada de una función compuesta f(g(x)) en x es la derivada de f en g(x), multiplicada por la derivada de g en x. esto se conoce como la regla de la cadena. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 67 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Si f es una función diferenciable de u, y si u es una función diferenciable de x, entonces la función compuesta f(u) es una función diferenciable de x, y d f (u) f ' (u) du dx dx Dicho en palabras, La derivada de f(cantidad) es igual a la derivada de f evaluada en esa cantidad, multiplicada por la derivada de la cantidad. Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo del eje x, de manera que su posición en cualquier tiempo>0 esta dada por x(t)= cos(t2 +1). Determina la velocidad del objeto como una función de t. Solución: sabemos que la velocidad es dx/dt. En este caso, x es una función compuesta: x= cos (u) y u= t2 +1. Tenemos dx sen(u ) du x= cos (u) u= t2 +1 du 2t dt De acuerdo con la regla de la cadena: dx sen(t 2 1) * (2t ) dx dx du du * dx dt du dt 2tsen (t 2 1) du Resultado: la velocidad del objeto en función de t, es igual a 2tsen(t 2 1) . Nota: Uso repetido de la regla de la cadena, muchas veces tenemos que usar la regla de la cadena dos o más veces para encontrar una derivada, veamos otros ejemplos de esto. Ejemplo 2: Encontrar la derivada de g(t)= tan (5-sen2t) Solución: observa la tangente es una función de 5-sen 2t, mientras que el seno es una función de 2t, que a su vez es una función de t. de esta manera y de acuerdo a la regla de la cadena: g ' (t ) d (tan(5 sen2t )) dt d (2t )) dt g ' (t ) sec 2 (5 sen2t ) * ( cos 2t ) * (2) g ' (t ) sec 2 (5 sen2t ) * ( cos 2t * g ' (t ) 2 cos 2t (sec 2 (5 sen2t ) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 68 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Si la función diferenciable de u y si u es una función diferenciable de x, sustituyendo y=f (u) en la formula de la regla de la cadena dy dy du * dx du dx d df (u ) du f (u ) * dx du dx Es decir, si n es un número entero positivo o negativo y f(u)= un , la regla de la potencia nos dice f ‘(u)= nun-1. Si u es una función diferenciable en x, entonces podemos usar la regla de la cadena para extenderla a la regla de la cadena de potencias: d n du u nu n 1 dx dx Ejemplo 3: Encuentra la derivada de f ( x) (5x 3 x 4 ) 7 f ' ( x) 7(5 x 3 x 4 ) 6 (5 * 3x 2 4 x 3 ) f ' ( x) 7(5 x 3 x 4 ) 6 (15 x 2 4 x 3 ) Solución: f ' ( x) 7(5x3 x 4 )6 (15x 2 4 x3 ) Actividad Dos En equipo resuelve los siguientes ejercicios, utilizando la regla de la cadena. 1. f ( x) ( x 3 15 x 6) 5 1 2. f ( x) 2 ( x 1) 3 3. g ( x) 1 x 2 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 4. r (t ) (0.1t 4.2t 9.5) 2 3 2 1 5. s ( x) (3x 2 2) 6 2 2 (3x 2) 6. (2 x 9 x 8 1) 3 4 69 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Reglas de diferenciación Hay siete reglas de diferenciación principales, estas son: Regla 1.- Derivada de una función constante Si f tiene el valor constante f(x)=c, entonces df d c0 dx dx Ejemplo. Si f tiene el valor constante F(x)=8, entonces df d d De manera similar, (8) 0 ( ) 0 , dx dx dx 2 d ( 3) 0 . dx Regla 2.- Derivada de Potencias para enteros positivos d n ( x ) nx n 1 dx Ejemplo: Interpretación de la regla 2 f f’ X 1 X2 2X X3 3X2 X4 4X3 Regla 3.- Derivada del múltiplo constante d du (cu ) c dx dx En particular, si n es un número positivo, entonces Ejemplo: f(x)= 3x2 d (cx n ) cnx n 1 dx df 3(2) x 2 1 dx df 6x dx Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 70 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Regla 4.- Derivada de una suma Si u y v son funciones diferenciables de x, entonces su suma u+v es una diferenciable en todo punto donde tanto u como v sean diferenciables. En tales puntos: d d d (u v) (u ) (v) dx dx dx b) f(x)= x3 Ejemplo: a) f(x)= x4+12x df dx df dx 4 2 x 5x 1 3 df d 4 d ( x ) (12 x) dx dx dx df 4 x 3 12 dx d 3 d 4 d d ( x ) ( x 2 ) (5 x) (1) dx dx 3 dx dx 8 3x 2 x 5 3 Regla 5.- Derivada de un producto Si u y v son diferenciables en x, entonces también lo es su producto uv. f(x)=uv d d d (uv) u (v) v (u ) dx dx dx Ejemplo: Encontrar la derivada de f ( x) 3x( x 2 8x) a) Primero identificar quien es u y quien es v. u 3x v x 2 8x b) Derivar las funciones de u, v. d d (u ) 3 (v ) 2 x 8 dx dx c) Sustituimos los valores en la formula inicial df (3x)(2 x 8) ( x 2 8 x)(3) dx df 6 x 2 24 x 3x 2 24 x dx df 9 x 2 48 x dx Solución: La derivada de la función es 9 x 2 48x Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 71 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Regla 6.- Derivada de un cociente Si u y v son diferenciables en x, y si v 0 , entonces el cociente de Si f(x)= u es diferenciable en x. v u entonces su diferencial se determina: v du dv v u d u ( ) dx 2 dx dx v v t2 1 t3 1 a) Al igual que el ejercicio anterior hay que identificar quien es u y quien es v u t2 1 v t3 1 b) derivar las funciones u y v d d (u ) 2t (v) 3t 2 dt dt Ejemplo: determinar la derivada de f (t ) c) sustituimos los valores en la regla de diferenciación de cociente df (t 3 1)(2t ) (t 2 1)(3t 2 ) dt t3 1 df 2t 4 2t 3t 4 3t 2 dt t3 1 df t 4 3t 2 2t dt t3 1 d n d Regla 7.- Regla general de las potencias (u ) nu n 1 ( u ) , donde u es una función dx dx diferenciable en x y n es un número racional. Ejemplo: determina la derivada de f ( x) (5x 3 x 4 ) 7 f ' ( x) 7(5 x 3 x 4 ) 6 (5 * 3x 2 4 x 3 ) f ' ( x) 7(5 x x ) (15 x 4 x ) 3 4 6 2 3 Solución: f ' ( x) 7(5x3 x 4 )6 (15x 2 4 x3 ) Otras reglas de diferenciación a) Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 72 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo b) Derivada de la función potencial exponencial. c) Derivadas de funciones trigonométricas. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 73 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Actividad Tres En equipo resuelve los siguientes ejercicios, determinando la derivada de cada función. 2 t 3 3 2 f (t ) 2 1. f ( x) x x x 1 2. f ( x) x 2 x x 1 t 1 3. r h( w) wsenw f (r ) 2 ( r 3 x) g ( z ) ln( z 2 cos z ) r 1 4. 5. 6. x 1 7. h( x) e 2 8. p(m) m tan m 9. f (r ) (Csc3r ) 5 11 t 2 cos t g ( t ) 10. (2t 1)3 11. f ( z ) z 2 z 1 cos 2 6 z 5 Que aprendimos Resuelvo el problema La agencia de protección ambiental de Hermosillo, desea formular una política que impulse a las empresas eléctricas a reducir las emisiones de azufre. Su meta es reducir las emisiones anuales de dióxido de azufre un total de 10 unidades respecto al nivel actual de 25 unidades imponiendo un cargo fijo por cada unidad de azufre emitida al ambiente por año. Cuentas con los siguientes datos, los cuales muestran el costo a una industria eléctrica por incrementar las emisiones de azufre. C(x)= (x2 + x)3(2x + 1)2 ¿Determina el costo marginal por emisión de dióxido de azufre? Solución: Como el costo margina es la pendiente de la recta tangente a la grafica de una función costo, por lo tanto, hay que derivar la función Costo que tiene la empresa. Analicemos como esta constituida la función costo para poderla derivar: C(x)= (x2 + x)3(2x + 1)2 Vemos que esta constituida por dos binomios uno al cubo y otro al cuadrado y que se están multiplicando, por ende se aplicara la regla de la cadena y la regla de producto. Realiza los pasos y compara con la solución propuesta. Solución propuesta: C’(x)=(x2+x)2(2x+1)(16x2+16x+3) ¿Es igual a la qué llegaste? Si__________ no_________ ¿Dónde esta el error?________________________________________________ Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 74 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Lo que puedo hacer ahora… El siguiente ejercicio se desarrollara individualmente, en el cual encontrar lo que te indique la situación planteada. 1.- Encontrar las derivadas de las siguientes funciones utilizando la definición analítica de la derivada. a) b) d) f ( x) x 1 e) f ( x) f) f ( x) c) x2 5 x3 1 4 1 x 2 x3 5 x 2 x 10 4 2 2.- Grafique la derivada de las siguientes funciones. a) b) 3.- Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas a) Resuelve el siguiente problema: b) En 1970 se fundó una agrupación pacifista. El número de sus miembros varía con los años, de acuerdo con la familia N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x – 2) Determina la expresión matemática que me permita encontrar como va cambiando la población en función del tiempo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 75 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Para Saber más BIBLIOGRAFIA: AYRES, Jr. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. McGraw–Hill. México , 1994. LARSON, Hostetler, Edwards : Cálculo y Geometría Analítica 1 y 2. McGRAW-HILL, 1996. 5ºed. SWOKOWSKI, E.W. y Cole, J.A. : Cálculo. Int. Thomson-Editores, 1999. 3º ed. GEORGE B. Thomas, Jr. - Cálculo de una variable – 11va edición 2006; Ed. Pearson Educativa STEFAN Waner, Steven R. - Cálculo aplicado – Costenoble- 2da edición 2002; Ed Thomson Learning. CANTORAL U. Ricardo, Farfan M Rosa Ma., Guzmán H. José, Hitt E. Fernando -Calculo diferencial – 5ta edición 1988; Ed CINVESTAV DEL IPN. GÓMEZ Pedro, Mesa Vilma María - Situaciones problemicas de precálculo – edición 2006; Ed Iberoamericana. e @demás puedes visitar los siguientes sitios web: http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n http://www.epsilones.com/paginas/t-paradojas.html http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo/index.html http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=580&Itemid=167 http://docente.ucol.mx/grios/calculodiferenc/formulasdederiva.htm http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/diferencial.htm http://www.youtube.com/watch?v=20a2dzkQLpU&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=A4rH7hLh_Ng&NR=1 http://matematicasies.com/spip.php?rubrique80 http://iteso.mx/~pcalderon/mate/reglade.htm Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 76 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo SSE EC CU UE EN NC CIIA A 5 En esta sección, apreciaras el poder del cálculo como herramienta de optimización. En secciones pasadas, vimos como determinar el precio de un articulo para obtener el máximo ingreso, pero si bien eran muchas operaciones. Al aplicar el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata aquí de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Así también nos auxiliara para comprender y describir la gráfica de una función. - Funciones crecientes y decrecientes. - Máximos y mínimos. - Puntos de inflexión. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 77 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo ¿Y EL DÓLAR APÁ?… Iniciamos Lee el siguiente texto Las inversiones La moneda mexicana logró finalizar hoy miércoles 28 de enero de 2009 con una ganancia del 0.97% motivada por la declaración que la Reserva Federal (FED) de Estados Unidos (EU) realizó en torno a la posibilidad de adquirir bonos del Tesoro como medida para apoyar a la debilitada economía estadounidense. A pesar de las ganancias que logró obtener este día, el peso mexicano aun se encuentra por encima de los 14 pesos por dólar. El peso mexicano recuperó hoy 13.70 centavos y el dólar cerró en 14.0725 pesos por dólar a la compra y en 14.0800 pesos por dólar a la venta, de acuerdo a cifras del Banco de México (Banxico). Para la jornada de mañana jueves 29 de enero de 2009 se espera que el peso mexicano termine operaciones con leves ganancias, pues hoy el Presidente de Estados Unidos (EU), Barack Obama, dijo confiar en que el Congreso de EU apruebe un plan de estímulo económico de 825,000 millones de dólares. Realiza una reflexión de la lectura en relación a: 1.- ¿Qué consecuencias trae el aumento o disminución del precio del dólar en la economía mexicana? 2.- ¿Cómo ha sido el cambio de precio en los últimos días? 3.- ¿Lo puedes expresar matemáticamente? 4.- ¿Qué tendrá que ver con el comportamiento de las funciones y derivadas? Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo. Razonemos A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprenderás a resolverlo durante la secuencia. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 78 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Trajes deportivos, S.A de C.V. fabrica jerseys costosos para vender en librerías a los estudiantes en lotes de 500. El costo para la corrida de x jerseys es de C(x)=2000+10x+0.2x2 ¿Cuántos jerseys debe fabricar, por corrida, para minimizar el costo promedio? Lo que pienso del problema Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas y Coméntalas con tus compañeros de equipo: 1. ¿Qué es lo que plantea la situación? 2. ¿Cómo determinarías el costo del ciclo de fabricación? 3. ¿Qué información será necesaria para resolverlo? 4. ¿Cuál será la relación con este tema que iniciaremos? A trabajar Vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata aquí de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Lee la siguiente información y resuelve las actividades que se te presentan al final de cada una de ella. Función Creciente y Decreciente Una de las primeras aplicaciones de la derivada la tenemos en el estudio del crecimiento o decrecimiento de una función. La idea gráfica cuando una función crece o decrece es: Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 79 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Relación entre la Derivada y el Crecimiento o Decrecimiento de una Función Sea f una función derivable. Diremos que una función y=f(x) es CRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: Si x ≤ xo entonces f(x) ≤ (xo) y si xo ≤ x entonces f (xo) ≤ f(x) Si f es derivable será: Si una función es derivable y creciente en xo entonces f'(xo) ≥ 0. Diremos que una función y=f(x) es DECRECIENTE en x o cuando existe un entorno de xo tal que: Si x≤xo entonces f(x) ≥f (xo) y si xo≤x entonces f (xo) ≥f(x) Si una función es derivable y decreciente en xo entonces f'(xo) £ 0 Ejemplo 1: Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En la escena están representadas la función f(x)=x3-3x+1 y su derivada f'(x)=3x2-3 Para calcular en qué intervalos la función es creciente o decreciente procederemos: Resolvemos la ecuación: f'(x)=0 Soluciones: x=1, x=-1 Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 80 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Calculamos el signo de la derivada antes y después de estos valores x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-∞,-1) -1<x<1, f'(x)<0, f decreciente en (-1,1) x>1, f'(x) > 0, f creciente en (1,+∞) Máximos y Mínimos en una Función Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución. Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal. En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno. En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 81 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva. Métodos para calcular máximos y mínimos de una función Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos: I. Criterio de la primera derivada utilizado para una función continua y su primera derivada también continúa. Obtener la primera derivada. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. 1.- El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función. Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. 2.- Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados. Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico. Ejemplo.- (Criterio de la primera derivada) Están representadas la función f(x)=x4-2x2-1, su derivada f'(x)=4x3-4x Para calcular los extremos relativos hemos de: Resolver la ecuación: f'(x)=4x3-4x=0 Soluciones: x=-1, x=0, x=-1 Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores x=-1, f'(x)=0, mínimo en (-1,-2) x=0, f'(x)=0, máximo relativo en (0,-1) x=1, f'(x) = 0, mínimo en (1,-2) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 82 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo II. Criterio de la segunda derivada Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva. Este procedimiento consiste en: Calcular la primera y segunda derivadas Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo. para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo. Ejemplo.- (Criterio de la segunda derivada) En la escena están representadas la función f(x)=x4-2x2-1, su derivada f'(x)=4x3-4x y la derivada segunda f''(x)=12x2-4 Para calcular los extremos relativos hemos de: 3 Resolver la ecuación: f'(x)=4x -4x=0 Soluciones: x=-1, x=0, x=-1 Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,-2) x=0, f'(x)=0, f''(x)<0 máximo en (0,-1) x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0 mínimo en (1,-2) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 83 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Concavidad y Puntos de inflexión Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 84 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2 Una función y=f(x) es CÓNCAVA en un intervalo cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por encima de la curva. Si f’’ (xo) <0 entonces f es cóncava en xo Análogamente y=f(x) será CONVEXA en un intervalo cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por debajo de la curva. Si f''(xo)>0 entonces f es convexa en xo De esta forma, si tenemos la siguiente gráfica Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 85 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo En el punto marcado por el círculo hay un cambio en la concavidad, la correspondiente coordenada en el eje X es es llamado punto de inflexión, en el ejemplo corresponde su coordenada al valor de x = -1. Pues bien se dice que x* es un punto de inflexión de la función f(x) si: f '' (x*) = 0, y además f '' (x* - h) y f '' (x* + h) tienen distinto signo. Ejemplo 1.En la gráfica están representadas la función f(x)=4xe-x, y su segunda derivada f''(x)= (4x-8) e-x ¿En qué punto f''(x) se hace 0?. Antes y después de ese punto la gráfica de f'' ¿queda por encima o por debajo del eje de abscisas? Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad procederemos: Resolvemos la ecuación: f''(x)=(4x-8)e-x=0 Soluciones: x=2 Calculamos el signo de la segunda derivada antes y después de este valor. x<2, f''(x) <0 cóncava en el intervalo (-∞,2) x=2, f''(x)=0 punto de inflexión en (2,1.08) x>2, f''(x)>0 convexa en el intervalo (2,+∞) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 86 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Actividad Uno En equipo resuelve los siguientes ejercicios, determinando en que valores la función es creciente o decrecientes, el punto de inflexión y la concavidad. 1.-De la función 2.-La función 3.- De la función Que aprendimos Resuelvo el problema Trajes deportivos, S.A de C.V. fabrica jerseys costosos para vender en librerías a los estudiantes en lotes de 500. El costo para la corrida de x jerseys es de C(x)=2000+10x+0.2x2 ¿Cuántos jerseys debe fabricar, por corrida, para minimizar el costo promedio? Solución: El procedimiento con el que resolveremos este problema es el siguiente. 1.- Identifica las incógnitas Hay una incógnita: x, la cantidad de jerseys que debe producir. 2.- Identifica la función objetivo Es la cantidad que se debe de hacer lo más pequeña posible. En este caso es el costo promedio el cual se expresa como: 3.- Identificar las restricciones En una corrida se pueden fabricar cuando mucho 500 jerseys. También definido. Por consiguiente, x está limitado por no esta 4.- Enunciar y resolver el problema de optimización que resulta. Nuestro problema que es encontrar los valores de producción para lo que el costo sea mínimo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 87 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo 5.- Igualando a cero para obtener el mínimo costo se obtiene x= 6.- Conclusión, se rechaza x= -100 por no estar en el dominio. Así que se tiene una producción de 100 piezas, de allí que el costo promedio por jerseys es de $50. Lo que puedo hacer ahora… El siguiente ejercicio se desarrollara individualmente, en el cual encontrar lo que te indique la situación planteada. Problema 1. Nos dicen que la función f(t) = t -2 es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país, cuando 0 . Determinar el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo. Problema 2. Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado durante el primer año viene dado por la función v(t)=t2-6t+10. Explique razonadamente en qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio más ventajoso. Problema 3. La velocidad (en m./sg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dado en función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión: f(x) =0.00055 x (x-300). Deducir de forma razonada: ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿cuál es ésta velocidad? Problema 4. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por C(x) = . Definir la función que determina el coste medio por litro producido y determinar de forma razonada con qué producción dicho coste medio será mínimo. ¿Cuál es el valor de dicho coste? Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x) =2x2-12x +23, donde f indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada: a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo. c) Dichos consumos. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 88 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Para Saber más BIBLIOGRAFIA: GEORGE B. Thomas, Jr. - Cálculo de una variable – 11va edición 2006; Ed. Pearson Educativa STEFAN Waner, Steven R. - Cálculo aplicado – Costenoble- 2da edición 2002; Ed Thomson Learning. CANTORAL U. Ricardo, Farfan M Rosa Ma., Guzmán H. José, Hitt E. Fernando -Calculo diferencial – 5ta edición 1988; Ed CINVESTAV DEL IPN. GÓMEZ Pedro, Mesa Vilma María - Situaciones problemicas de precálculo – edición 2006; Ed Iberoamericana. e @demás puedes visitar los siguientes sitios web: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/crec_decrec_1.htm http://html.rincondelvago.com/maximos-y-minimos.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_1.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Procedimiento_analizar_funcion/2bcnst_14_i ndice.htm Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 89 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo SSE EC CU UE EN NC CIIA A 6 En esta sección adquirirás conocimientos para conceptualizar la antiderivada y calcular integrales indefinidas mediante las técnicas de integración, además de aplicar el concepto de integración definida en diferentes campos del conocimiento. Concepto de Integración Integración de Funciones Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 90 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo QUE BUENO QUE NO FUE SANDIA… Iniciamos Lee el siguiente texto. La manzana de Newton Fue prematuro, y había nacido el año que Galileo Galilei moría, 1642. En esa época en Inglaterra era un milagro que un niño prematuro no muriera días después de su nacimiento, pero con el cuidado de sus padres, el muchacho se adaptó y sobrevivió. Los Newton llamaron a su hijo Isaac. Fue un poco retraído de niño, pero poseía una tremenda curiosidad por las cuestiones naturales y aptitud para la mecánica. Sus primeros años no mostraba mayor señal de brillantez, parecía un chico como cualquier otro. Cuando alcanzó la adolescencia, su familiares descubrieron que el joven Newton era en realidad un pequeño genio, lamentablemente fue sustraído de la escuela para servir de ayudante en una finca propiedad de su madre. Terminó su triste oficio de agricultor cuando un profesor de su vieja escuela convenció a su madre para que Newton aplicara al Trinity College de Cambridge, de donde se doctoró en 1665. Lamentablemente la peste comenzó a atacar a Londres y Newton tuvo que refugiarse nuevamente en la finca de su madre para evitar ser contagiado. Durante esos años, la historia popular ubica la leyenda de la manzana. Se dice que en una tarde de verano, mientras descansaba bajo un árbol de manzana, un fruto de dicho árbol cayó al suelo. Cuando Newton observó la caída, comprendió y engendró la famosa ley de gravitación universal. En realidad la historia no es tan pintoresca y no requirió la caída de un fruto para formular ipso facto una de las leyes que han definido nuestra historia moderna. Todo comenzó cuando un científico ingles llamado Robert Hooke introdujo a Newton en el problema de analizar el movimiento de una trayectoria curva relacionado a las órbitas planetarias. La propuesta de Hooke ampliaba los límites teóricos de ese entonces, desde la antigüedad las personas suponían que las estrellas, lunas y planetas tenían sus propias leyes, diferentes a las que se regían en la Tierra. El problema del movimiento curvo dio pie a Newton a una idea fundamentalmente cósmica aplicable en todos los lugares del universo, es decir, finalmente las leyes de la Tierra podrían aplicarse al cielo. Dos años después Newton le participó a su amigo astrónomo Edmund Halley que había encontrado una solución al problema planteado por Hooke, había encontrado el santo grial de la física el cual fue publicado en un libro llamado “Principios Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 91 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Matemáticos de la Filosofía Natural” en donde las leyes de un astrónomo alemán, Johannes Kepler tenían una participación fundamental y en donde Newton presentaba sus leyes de inercia, de fuerza y de acción y reacción. Gravedad, peso y masa Newton entendió que la gravedad es una fuerza de atracción mutua que experimentan dos cuerpos. Los cuales evidentemente tienen masa. No porque un cuerpo posea más masa es más pesado, el concepto de peso y masa son diferentes. El peso es la atracción que sufre un cuerpo debido al campo gravitatorio de la Tierra, esta atracción varía en relación a la distancia de la Tierra. Normalmente no somos conscientes de los cambios gravitacionales de nuestro planeta, en realidad las personas tienen un menor peso en la cumbre de una elevada montaña que en el fondo de un profundo valle, sin embargo debido a que prácticamente las distancias son similares, no advertimos que se produzcan cambios. Pero si nos elevamos en un cohete espacial, a una distancia del doble del centro de la Tierra, notaríamos una clara muestra del cambio de la atracción de la Tierra, flotaríamos como lo hacen los astronautas. En realidad si estuviéramos al doble de la distancia del centro de la tierra de lo que estamos ahora, pesaríamos una cuarta parte de nuestro peso terrestre. Pero Newton elaboró sus leyes sin utilizar el concepto de peso, quería una base teórica que no fuera afectada por la atracción de gravedad, y que no se modificara en relación a la distancia, así que utilizó el concepto de masa. Isaac Asimov, uno de los principales escritores de ciencia ficción y gran divulgador de la ciencia del siglo XX, indica que la forma más fácil de comprender el concepto de masa es experimentar mentalmente con una pelota de básquetbol. Imagine que usted tiene una pelota de básquetbol en el centro de una cancha, absolutamente inmóvil, y desea ponerla en movimiento. Para ello solo basta empujarla con un dedo y otro pequeño empujón para cambiar su trayectoria. Ahora reemplace la pelota de básquetbol de goma por una de acero, esta pelota sería extremadamente difícil hacerla mover y peor aun si pretendemos cambiar su movimiento. La resistencia para que un objeto cambie de movimiento se llama inercia, y la medida de inercia de un cuerpo puede entenderse como masa. Aunque frecuentemente también se define como la cantidad de materia que posee un cuerpo. Esta masa no aumenta cuando hay otro cuerpo afectándole con su campo gravitatorio, aun si la fuerza de gravedad aumenta o disminuye. Si colocamos la pelota de básquetbol en la superficie de la Tierra o en Júpiter, su masa no cambiará a pesar de que en Júpiter se encuentre afectada por una mayor fuerza gravitatoria y nos dé la sensación de que sea mucho más pesada que en la Tierra. Newton había descubierto la llave para el entendimiento del universo, por primera vez se podían calcular con mucha precisión las dinámicas, interacciones y movimientos de las masas del universo. Era posible por primera vez entender cómo y por qué se mueven los planetas, las lunas, los cometas y las estrellas. Y por supuesto entender por qué las manzanas caen de los árboles. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 92 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Razonemos A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprendas a resolverlo durante la secuencia. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 20 pies/seg. t=0 s=0 v=20 Lo que pienso del problema Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas: a) b) c) d) ¿Cuánto tomara a la piedra chocar contra el suelo? ¿Con que velocidad chocara la piedra contra el suelo? ¿Cuánto tiempo tardara la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cual será la máxima altura que alcanzara la piedra en su ascenso? Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo. A trabajar Para poder entender este tema es necesario que seas capaz de conocer todo lo relacionado con el calculo difencial y que puedas resolver integrales indefinidas Si no es así síguele echando ganas. Lee la siguiente información y resuelve las actividades que se te presentan al final de cada una de ella. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 93 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo La Función Primitiva Se dice que una función si para todo Por ejemplo: de Si F(x) = x2 es una primitiva de otra función se tiene que sobre un intervalo . f’(x) = 2x, la función primitiva de 2x es x2 Si y = Sen x y’ = Cos x la función primitiva de Cos x es Sen x Si F(x) = 4x3 + x2 + 5 y f’(x) = 12x2 + 2x , entonces: 4x3 + x2 + ( ) es la función primitiva de 12x2 + 2x. Ya hemos visto que conociendo la función derivada de una función podemos recuperar la función original a la que hemos llamado función primitiva. Si modificamos el valor de la constante C ¿Qué obtendremos? Recuerda como afecta a una gráfica de una función sumar o restar una cantidad fija a su fórmula. Observa la relación entre las funciones que se obtuvieron y la función derivada de cada una de ellas. ¿Esto es coherente con las reglas de derivación? En estas condiciones qué respuesta podemos dar a las siguientes cuestiones: ¿La primitiva de una función será única? ¿Qué relación habrá entre dos primitivas distintas, si las hubiera, de la misma función? Como observaste en el último ejemplo, la constante no se puede determinar y de acuerdo a las dos preguntas anteriores se puede obtener la conclusión: “Una función f(x) (derivada) tiene una infinidad de funciones primitivas que difieren solo en la constante” De esta manera: F1(x) = 4x3 + x2 + 8 F2(x) = 4x3 + x2 -12 F3(x) = 4x3 + x2 +5 son funciones primitivas de f`’(x) = 12x2 + 2x Entonces: Si y , una constante. son dos primitivas de la función en . Es decir dada una función Academia de Matemáticas del Estado de Sonora . Entonces, para todo de sus primitivas difieren en 94 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo La integral Indefinida Al conjunto de todas las primitivas de una función integral indefinida de primitiva de definida en y se denota por se denomina . De manera que, si es una , (2) Para representar la integral indefinida se utiliza el signo inicial de la palabra suma. De esta forma, Para representar la integral indefinida de f(x) dx se escribe: Si F(x) es la función primitiva de f(x) se tiene que: f(x) d(x): f(x) d(x) = F(x) + C, a la función f(x) se le llama integrando y a la constante C se le llama constante de integración. Esquemáticamente: Con otro ejemplo: 2 2x d(x) = x + C integrando constante de integración. Integración Indefinida A la operación de hallar integrales indefinidas se le llama integración indefinida; operación inversa a la diferenciación o derivación. De esto se deduce: 1° . La derivada de una integral es el integrando D 3x2 d(x) = 3x2 la integral de 3x2 d(x) es x3 + C y la derivada de x3 + C = 3x2. 2°. La integral de la diferencial de una función es igual a la función mas una constante. Senx ) d(Sen x) = Sen x + C porque d ( d ( x) Cosxd ( x) Cos x d(x) = Sen x + C La prueba de la integración indefinida: Para comprobar si una integración indefinida está bien hecha se halla la derivada del resultado. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 95 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Integración de Funciones Algunas propiedades de la integral indefinida son las siguientes: a. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante de la variable independiente x. d(y)= 3x2 d(x) diferencial y= 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x) y= 3x 2 .xd ( x) 3x3 x3 + C 3d ( x) 3 generalizando este procedimiento se tiene: (m 1) x m 1d ( x) x m 1 C ya sea m entero, fraccionario, positivo o (m 1)d ( x) negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (x 11d ( x) x0 1+1) lo que es inexacto. (1 1)d ( x) 0 d ( x) -1 x d(x) = x ln x C (m+1)xm d(x) = b. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante, de función de x nu n d (u ) n n-1 n-1 un C Si y = u u = f(x) d(y) = n u d(u) y = n u d(u) = nd (u ) c. d. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de las diferenciales: [d(u) +d(v) –d(x)] = d(u) + d(v) - d(x) factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa. C d(u) = C d(u) 1) d[c d(u)]= c[d d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o 2) d Cd(u) = Cd(u) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 96 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Veamos algunos ejemplos: x 2 / 3 .x.d ( x) x5 / 3 3x5 / 3 a) x2/3d(x) = C C 5 2 / 3 1d ( x) 5 3 b) c) 3 x d ( x) x 1/3 x4 / 3 3x 4 / 3 x1 / 31 d(x) = C C C = 4 4 1/ 3 1 3 (x2 – 2x)5 (2x-2) d(x) . haciendo (x2 – 2x) = u , (2x-2) d(u) sustituyendo se tiene: 2 5 (x -2x) (2x-2)d(x) = 5 u d(u) = u 5ud (u ) u 6 sustituyen do 5 1d (u ) 6 = ( x 2 2 x) 6 C 6 d) 3 d ( x) ( x 5)3 haciendo u = (x-5)3 d(u) = d(x) sustituyendo se tiene d (u ) u3 u- d(u) = u 31d (u ) u 2 1 1 1 C C C C C 2 2 2 (3 1)d (u ) 2 2u 2( x 2 x) 2( x 2 x) Tabla de Integrales Inmediatas El cálculo integral no proporciona una regla general, que pueda aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración. Cada caso requiere un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por medio de nuestros conocimientos de los resultados de la diferenciación; es decir, se resuelve el problema contestando a la pregunta, ¿que función diferenciada, producirá la expresión diferencial dada? En este sentido, la integración es un procedimiento esencialmente de ensayo, sin embargo, para facilitar el trabajo, se han formado tablas de integrales conocidas, que se llaman integrales inmediatas. De esta forma, para efectuar una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas y si se encuentra registrada entonces se conoce la integral. Si no esta registrada, trataremos por diversos métodos, de reducirla a una de las formas registradas. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 97 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Tabla de Integrales inmediatas: Realicemos algunos ejemplos de cálculo de integrales inmediatas Resolución: Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 98 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Resolución: Resolución: Por la propiedad del producto de potencias de la misma base, Por tanto, Hay integrales que sin ser inmediatas con una operación de multiplicación o división por una constante se convierten en inmediatas. Ejemplos: a) Cos 5x dx = 1 5 5Cos 5x dx = 1 Sen5 x C en este caso se multiplico por 5 y se 5 dividió entre 5 b) (3x-1)2 dx = en este caso u = 3x-1 d(u) 3 dx para que esta derivada corresponda a una función donde se utilice fórmula 2 es necesario dividir por 3 1 (3x 1)3 1 1 2 (3x 1)3 C (3x-1) dx = 3 3 9 3 c) 5 x 2 dx x 2 dx 5 3x 2 dx 5 3 5 x3 2 3 x3 2 3 ln( x 2) C x3 2 En este ejemplo primero se sacó el factor cinco y para que x2 sea d x3 falta 3 por lo que se multiplica y divide por 3 y entonces se tiene que se trata de la función primitiva que se relaciona con (ln v) Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 99 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo d) 4 e5x/7dx = 4 e5x/7 dx para aplicar la fórmula (5) falta el factor 5/7 ya que si u = 5x 5 du = dx 7 7 por lo que es necesario dividir y multiplicar por 5/7 5x 5x 4(7) 7 28 7 = 4 e5x/7(5/7) dx / 5/7= e C e C (5) 5 e) 9 x 2 dx x 2 dx 9 1 x6 1 x6 aplicaría la fórmula si u = x3 du = 3x2dx si el numerador tuviera a 3 como factor se dx para ello multiplicar y dividir por (3) y se tiene: 1 x2 9 x 2 dx 9 3x 2 dx 3arcTanx3 C 6 2 1 x 3 1 ( x) Problemas de aplicación con Integrales Indefinidas 1).- Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pies/s. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la aceleración de la gravedad, determinar (a) cuánto tiempo tardará la piedra en chocar contra el suelo, (b) la velocidad con la cual chocará contra el suelo y (c) a que altura se elevará la piedra en su ascenso. Solución: Partiendo de la siguiente tabla t 0 t s 0 s 0 v 128 0 v Sea t segundos el tiempo que ha transcurrido desde que la piedra fue lanzada; s pies, la distancia de la piedra desde el suelo a los t segundos; v pie/s, la velocidad de la piedra a los t segundos; y |v| pie/s, la magnitud de la velocidad de la piedra a los t segundos. Cuando la piedra choca contra el suelo, s = 0. Sean t y v los valores en particular de t y v cuando s = 0 y t 0. La piedra estará en su punto más elevado cuando la velocidad sea 0. Sea s en valor en particular de s cuando v = 0. La tabla 4.3.1. Muestra las condiciones de límite. Como la única aceleración es la debida a la gravedad, que es el sentido hacia abajo, la aceleración tiene un valor constante de – 32 pie/s2. Como la aceleración esta dada por dv Tenemos dt dv = - 32 dt dv = - 32 dt Academia de Matemáticas del Estado de Sonora dv = - 32 dt v = - 32t + C1 100 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Ya que v = 128 cuanto t = 0, se sustituyeron estos valores en la ecuación anterior y se obtiene C1 = 128. Como v = V = 32t + 128 ds = ds , dt ds = -32t + 128 dt (32t 128)dt , ds = (- 32t + 128) dt integrando ambas partes tenemos: 2 s = - 16 t + 128 t + C2 Puesto que s = 0 cuando t = 0, entonces C2 = 0 y al sustituir 0 para C2 en la ecuación anterior se tiene s = - 16t 2 + 128t (a) Se sustituye t para t y 0 para s, se factoriza, y se obtiene 0 = -16 t ( t - 8) De lo cual t = 0 o bien t = 8. Sin embargo, el valor 0 se tiene cuando la piedra es arrojada; así que toma a la piedra 8 segundos para chocar contra el suelo. (b) para obtener v se usa v = -32t + 128 y se sustituye 8 para t y v para v para determinar. v = - 32(8) + 128 = - 128 Así, | v | = 128; de modo que la piedra choca contra el suelo a una velocidad de 128 pie/s. (c) para determinar s primero se calcula el valor de t para el cual v = 0. De s = - 16t 2 + 128t, t =4 cuando v = 0. En s = - 16t 2 + 128t se sustituye 4 para t y s para s y se obtiene s = - 16 (16) + 128(4) = 256 En consecuencia, la piedra se elevará a una altura de 256 pies. Actividad Uno En esta actividad se busca de manera colaborativa propongas soluciones empleando los métodos establecidos, esto es, que sigas instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance del objetivo. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 101 Secuencias de Aprendizaje de Cálculo En equipo, realiza la propuesta de dos funciones primitivas de: a) 4x3 b) 7x2 d(x) d) Sec2x d (x) c) 1/x e) ex Ahora resuelve las siguientes integrales utilizando tu formulario: a) x4 dx = b) d) 5 Cos (5x-3)dx = g) Sec 2 x dx = 2 x j) 2 Sen x Cos x d(x) = 4(4x + 1)3dx = c) e) 6 xdx 3x 2 4 f) h) 5dx i) k) 1 9x 3 2 2 (x – 3x + 4) d(x) = l) 3x2(x3-5)2d(x)= 3x 2 dx 2 x3 5 a 4 x d(x) = ( x 4 4 x 2 4) d ( x) x Que aprendimos Resuelvo el problema Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 20 pies/seg. t=0 s=0 v=20 Resuelve el problema. a) b) c) d) ¿Cuánto tomara a la piedra chocar contra el suelo? ¿Con que velocidad chocara la piedra contra el suelo? ¿Cuánto tiempo tardara la piedra en alcanzar su altura máxima? ¿Cual será la máxima altura que alcanzara la piedra en su ascenso? Comparte tus respuestas con las de tus compañeros. Elaboren una estrategia a seguir con la aplicación de las técnicas aprendidas. Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 102 Además puedes visitar los siguientes sitios web: http://es.w ikipedia.o rg/wiki/Pu ente_Gold en_Gate http://ww w.matesco .unican.es /talleres_ matematic as/transpa rencias/tra nsparenci asraul.pdf Secuencias de Aprendizaje de Cálculo Lo que puedo hacer ahora… Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas haz el planteamiento y resuélvelos utilizando las formulas de integración correspondientes. 1) Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene 555 pies de altura. a) ¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo? b) ¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo? 2) Si se rueda una pelota a través de un suelo a nivel con una velocidad inicial de 20 pies/seg. Y si la velocidad de la pelota decrece a razón de 6 pies/seg2 debido a la fricción, ¿Qué distancia recorrerá la pelota hasta detenerse? Para saber más BIBLIOGRAFÍA: George B. Thomas, Jr. - Cálculo de una variable – 11va edición 2006; Ed. Pearson Educativa Stefan Waner, Steven R. - Cálculo aplicado – Costenoble- 2da edición 2002; Ed Thomson Learning. E.J. Purcell; D. Varberg; S.E. Rigdon; Cálculo (8ª Ed) Pearson Educación; 2001 R.T. Smith; R.B. Minton; Cálculo. Vol I y II (2ª Ed) McGraw-Hill; 2002 Larson y Hostleter, Cálculo I, 8ª edición. McGraw Hill, México. 2006. Stewart James, Precálculo. Thomson Learnig. Sexta edición.2006. Leithold, Louis 1987, El Cálculo con Geometría Analítica quinta edición México D.F. editorial harla. e @demás puedes visitar los siguientes sitios web: www.matematicas.net. www.dudasmatematicas.con.ar. www.awlonline.com/bittingercalculus. www.mhhe.com/hoffmann. www.matematicasbachiller.com www.aulafacil.com/matematicas-integrales-curso Academia de Matemáticas del Estado de Sonora 103
