1 Trayectorias ortogonales. E: .x2 C y D a 2.x2 y2/. D: H De la

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Trayectorias ortogonales.
E: .x 2 C y 2 /2 D a2 .x 2
y 2 /.
D: H De la ecuación .x 2 C y 2 /2 D a2 .x 2
y 2 / se tiene que
.x 2 C y 2 /2
D a2.
2
2
x
y
.x 2 C y 2 /2
; por lo cual:
x2 y 2
Aquí F .x; y/ D
Fx D
Fy D
.x 2
.x 2
y 2 /2.x 2 C y 2 /2x .x 2 C y 2 /2 .2x/
2x.x 2 C y 2 /.x 2 3y 2 /
D
:
.x 2 y 2 /2
.x 2 y 2 /2
y 2 /2.x 2 C y 2 /2y C .x 2 C y 2 /2 .2y/
2y.x 2 C y 2 /.3x 2 y 2 /
D
:
.x 2 y 2 /2
.x 2 y 2 /2
La ecuación diferencial asociada a esta familia de curvas es
0
y D
Fx
D
Fy
2x.x 2 C y 2 /.x 2 3y 2 /.x 2
2y.x 2 C y 2 /.3x 2 y 2 /.x 2
y 2/
y 2/
2
2
D
x.x 2 3y 2 /
:
y.3x 2 y 2 /
La ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales es
dy
Fy
y.3x 2 y 2 /
dy
3x 2 y y 3
D
D
)
D 3
;
dx
Fx
x.x 2 3y 2 /
dx
x
3xy 2
que es homogénea y resolvemos así:
y y 3
3x 2 y y 3
3
dy
3x 2 y y 3
x3
x3 D
x
x
D 3
D
y 2 :
x 3 3xy 2
dx
x
3xy 2
1 3
x
x3
x3
y
dy
dw
D w, entonces y D xw &
Dx
C w.
x
dx
dx
Al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene:
Si
dw
3w w 3
Cw D
)
dx
1 3w 2
dw
3w C w 3
3w w 3 w C 3w 3
2w C 2w 3
)x
D
w
D
D
)
dx
1 3w 2
1 3w 2
1 3w 2
dw
2.w 3 C w/
3w 2 1
dx
)x
D
)
dw
D
2
)
dx
.3w 2 1/
w3 C w
x
Z
Z
3w 2 1
dx
)
dw D 2
:
3
w Cw
x
x
Calculamos la primera integral por fracciones parciales:
3w 2 1
3w 2 1
A
Bw C C
A.w 2 C 1/ C .Bw C C /w
D
D
C
D
:
w3 C w
w.w 2 C 1/
w
w2 C 1
w.w 2 C 1/
10. canek.azc.uam.mx: 30/ 11/ 2010
2
Igualamos coeficientes:
3w 2
1 D .A C B/w 2 C C w C A )
) A C B D 3I C D 0 & A D
) A D 1; B D 4 & C D 0:
1 )
Y ahora sustituimos:
3w 2 1
1
4w
D
C 2
)
3
w Cw
w
w C1
Z
3w 2 1
dw D
w3 C w
Z 1
4w
dw:
C 2
w
w C1
Por lo tanto,
Z
)
Z
3w 2 1
dx
dw D 2
)
3
w Cw
x
Z
Z
Z
4w
dx
dw
C
dw D 2
)
2
w
w C1
x
y
ln w C 2 ln.w 2 C 1/ D 2 ln x C KI donde w D
)
x
y y2
ln
C 2 ln
C 1 C 2 ln x D K )
x
x2
ln y C ln x C 2Œln.y 2 C x 2 / ln x 2  C 2 ln x D K )
)
)
)
)K D
ln y C ln x C 2Œln.x 2 C y 2 /
2
2
D
ln y C ln x C 2 ln.x C y /
D
ln y
2 ln x C 2 ln x D
4 ln x C 2 ln x D
ln x C ln.x 2 C y 2 /2 :
Por último:
K C ln y C ln x D ln.x 2 C y 2 /2 ) e K e ln y e ln x D e ln.x
2
2 2
2
2Cy 2 /2
)
2 2
) Kyx D .x C y / ) .x C y / D Kxy: