Parcial 1 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
ESCUELA DE MATEMATICAS
PRIMER PARCIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Nombre y carné:
Profesor:
Septiembre 15, 2007.
1. (25%) Resolver el problema de valor inicial (PVI):
dx + (
x
− sen y)dy = 0,
y
y(0) = π .
Sugerencia. Buscar un factor integrante de la forma µ(y).
2. (25%) Para el PVI:
dN
= N (1 − N ),
dt
N (0) = N0 ≥ 0 :
(i) (8%) Encontrar las soluciones de equilibrio (puntos de equilibrio) de la
ecuación diferencial;
(ii) (10%) Dibujar la gráfica de dN
dt contra N . Dibujar en el plano N contra
t dos curvas integrales de la ecuación: una entre las soluciones de equilibrio y
otra por encima de la mayor solución de equilibrio;
(iii) (7%) Clasificar las soluciones de equilibrio en estables e inestables.
3. (20%) Hallar la solución general de la ecuación
dy
= y(xy 3 − 1) .
dx
Sugerencia. Darle a la ecuación la forma de una ecuación de Bernoulli.
4. (30%) Dada la familia de circunferencias x2 + (y − c)2 = c2 , encontrar la
familia de trayectorias ortogonales.
Sugerencia. Hallar una E.D. de primer orden satisfecha por la familia dada,
utilizar la definición de la familia dada para remplazar el parámetro c en la
E.D. por una expresión de x y y, plantear la E.D. satisfecha por las trayectorias
ortogonales, y resolverla.