Integración

Capı́tulo 7
Integración
Objetivos
Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración.
7.1.
Definición y propiedades
Sea f (x) una función real. Una primitiva o integral indefinida de f (x)
es una función F (x) tal que F 0 (x) = f (x). Es decir, la integral es la inversa de la
derivada. Es obvio que si F (x) es una primitiva de f (x), también F (x)+k, donde
k es una constante, es otra primitiva de f (x). Por ello, la integral está definida
salvo una constante. La denotamos ası́,
Z
f (x) dx = F (x) .
Entre sus propiedades más relevantes está la linealidad,
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = F (x) + G(x) ,
f (x) dx = F (x) ,
g(x) dx = G(x) ,
es decir, la integral de la suma es la suma de las integrales. Y podemos sacar
los factores constantes, λ, fuera de la integral,
Z
Z
λf (x) dx = λ f (x) dx = λF (x) .
Conociendo las derivadas de las funciones elementales, podemos escribir la
siguiente tabla de integrales inmediatas,
Z
xa+1
+ k , si a 6= −1 ,
xa dx =
a+1
Z
dx
= ln |x| + k ,
x
Z
dx
= arctan x + k ,
1 + x2
1
2
CAPÍTULO 7. INTEGRACIÓN
Z
sin x dx = − cos x + k ,
Z
cos x dx = sin x + k ,
Z
sinh x dx = cosh x + k ,
Z
cosh x dx = sinh x + k ,
Z
7.2.
ex dx = ex + k .
Técnicas de integración
A diferencia de la derivación, que es algorı́tmica y siempre se puede calcular
de manera analı́tica, no sucede ası́ con la integración. En muchos casos no es
posible hallar primitivas de funciones en términos de funciones elementales.
Las propiedades estudiadas de las integrales nos muestran que es posible
separar las integrales en sumandos y extraer los factores constantes. Aparte,
existen otras posibilidades de simplificación, basadas la mayor parte en las propiedades de las derivadas.
Por ejemplo, la regla de la cadena,
h(x) = f (u) , u = g(x) ,
h0 (x) = f 0 (u)g 0 (x) ,
sugiere una forma de simplificar integrales,
Z
Z
0
0
f g(x) g (x) dx = f 0 (u) du = f (u) + k = f g(x) + k ,
que podemos interpretar como la fórmula de un cambio de variable u = g(x).
Ejemplo 7.2.1 Cambio de variable u = x2 , du = 2x dx.
Z
2
xex dx =
1
2
Z
2
eu du =
ex
+k .
2
Un ejemplo tı́pico es la integral logarı́tmica,
Z
Z 0
du
f (x)
dx =
= ln |u| + k = ln |f (x)| + k ,
f (x)
u
tomando u = f (x).
Otra técnica es la descomposición en sumandos que sean integrables directamente.
Ejemplo 7.2.2 Integral de tan2 x.
7.3. INTEGRACIÓN DE FRACCIONES
3
Sabemos que la primitiva de f (x) = 1 + tan2 x = sec2 x es F (x) = tan x. Por
tanto,
Z
Z
Z
2
2
tan x dx = (1 + tan x) dx − dx = tan x − x + k .
Otra propiedad interesante de la derivación es la derivada de un producto,
0
(u(x)v(x)) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) ,
que podemos aprovechar para integrar el producto de una función por la derivada de otra, en lo que llamaremos integración por partes,
Z
Z
u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) ,
esperando que la nueva integral sea más sencilla que la original.
Obviamente, esta técnica exige intuición, o práctica, para identificar los
términos u, v. Es muy útil, por ejemplo, para reducir el grado si u es una
potencia de x.
Ejemplo 7.2.3 Integral de x sin x
Tomamos u(x) = x, v(x) = − cos x, u0 (x) = 1, v 0 (x) = sin x,
Z
Z
x sin x dx = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + k .
Ejemplo 7.2.4 Integral de ln x
Tomamos u(x) = ln x, v(x) = x, u0 (x) = 1/x, v 0 (x) = 1,
Z
Z
ln x dx = x ln x − dx = x ln x − x + k .
7.3.
Integración de fracciones
Para integrar fracciones, lo primero es simplificarlas, de modo que el numerador tenga menor grado que el denominador,
r(x)
p(x)
= d(x) +
,
q(x)
q(x)
simplemente, dividiendo los polinomios. El polinomio d(x) se integra directamente, ası́ que sólo queda la integral de r(x)/q(x).
Si diera la casualidad de que r(x) = q 0 (x), tendrı́amos una integral logarı́tmica y el problema estarı́a resuelto. Pero en general, lo que tendremos que hacer
es descomponer r(x)/q(x) en fracciones simples.
Para ello, tenemos que factorizar el denominador q(x) en polinomios de grados uno y dos,
q(x) = (x − a1 )n1 · · · (x − aN )nN (x2 + b1 x + c1 )m1 · · · (x2 + bM x + cM )mM .
4
CAPÍTULO 7. INTEGRACIÓN
Entonces se puede demostrar que podemos descomponer r(x)/p(x) en fracciones simples,
r(x)
q(x)
=
+
+
A1,1
A1,n1
AN,1
AN,nN
+ ···+
+ ···+
+ ···+
x − a1
(x − a1 )n1
x − aN
(x − aN )nN
B1,1 x + C1,1
B1,m x + C1,m1
+ ···+ 2 1
2
x + b 1 x + c1
(x + b1 x + c1 )m1
BM,1 x + CM,1
BM,m1 x + C1,mM
+ ···+ 2
,
x2 + bM x + cM
(x + bM x + cM )mM
es decir, por cada término (x−a)n tenemos fracciones A1 /(x−a), A2 /(x−a)2 ,. . . ,
An /(x − a)n . Y por cada término (x2 + bx + c)m en q(x) tenemos fracciones
(B1 x+C1 )/(x2 +bx+c), (B2 x+C2 )/(x2 +bx+c)2 ,. . . , (Bm x+Cm )/(x2 +bx+c)m
en la descomposición.
La fórmula parece complicada, pero no lo es tanto. Lo vemos con unos ejemplos.
Ejemplo 7.3.1 Integral de (2x2 + x + 1)/(x + 1)2 (x − 1).
Como el denominador ya está factorizado, sólo tenemos que hallar los coeficientes de la descomposición,
2x2 + x + 1
(x + 1)2 (x − 1)
=
=
A
B
C
+
+
x + 1 (x + 1)2
x−1
(A + C)x2 + (B + 2C)x + (−A − B + C)
,
(x + 1)2 (x − 1)
que obtenemos identificando coeficientes,

 A+C =2
B + 2C = 1
⇒ A = 1 , B = −1 , C = 1 ,

C −A−B = 1
2x2 + x + 1
1
1
1
=
−
+
.
(x + 1)2 (x − 1)
x + 1 (x + 1)2
x−1
Y ya estamos en condiciones de integrar la función, ya que todos los términos
tienen integral inmediata.
Z
1
2x2 + x + 1
dx = ln |x + 1| +
+ ln |x − 1| + k .
2
(x + 1) (x − 1)
x+1
Cuando aparecen factores de grado dos, la integral no es tan sencilla, pero
tampoco se complica en exceso.
Ejemplo 7.3.2 Integral de (x3 + x + 1)/(x2 + 2x + 2)2 .
En este caso, el denominador no se puede factorizar, ya que no tiene raı́ces
reales. De la expresión de la descomposición en fracciones simples,
x3 + x + 1
(x2 + 2x + 2)2
Ax + B
Cx + D
+
x2 + 2x + 2 (x2 + 2x + 2)2
Ax3 + (2A + B)x2 + (2A + 2B + C)x + (2B + D)
=
(x2 + 2x + 2)2
⇒ A = 1 , B = −2 , C = 3 , D = 5 .
=
7.4. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
5
Cada uno de los sumandos se puede descomponer,
Z
Z
Z
x−2
x+1
3
dx =
dx −
dx
2
2
x + 2x + 2
x + 2x + 2
(x + 1)2 + 1
ln(x2 + 2x + 2)
=
− 3 arctan(x + 1) + k .
2
La segunda integral se puede realizar con un cambio de variable x+1 = tan t,
dx = (1 + (x + 1)2 ) dt,
Z
Z
Z
3x + 5
3x + 5
3 sen t cos t + 2 cos2 t dt
dx =
dx =
2
2
2
(x + 2x + 2)
(x + 1) + 1
Z 1
3
3
sen 2t + 1 + cos 2t dt = t + sin 2t − cos 2t
=
2
2
4
x − 1/2
= arctan(x + 1) + 2
+k ,
x + 2x + 2
teniendo en cuenta que
sin 2t = 2 sin t cos t =
2 tan t
2(x + 1)
2 = x2 + 2x + 2 ,
1 + tan t
2
2
2 − 1 = x2 + 2x + 2 − 1.
1 + tan t
La constante es irrelevante, ya que se puede incluir en la constante de integración,
Z
x3 + x + 1
ln(x2 + 2x + 2)
x − 1/2
dx =
− 2 arctan(x + 1) + 2
+k .
2
2
(x + 2x + 2)
2
x + 2x + 2
cos 2t = 2 cos2 t − 1 =
7.4.
Integrales trigonométricas
Hay muchos tipos de integrales trigonométricas, pero hay bastantes que se
pueden resolver analı́ticamente, aparte de las ya estudiadas por cambio de variable.
Por ejemplo, el producto de funciones trigonométricas de distinto argumento
se puede integrar recurriendo a las expresiones del seno y del coseno de una suma
y una diferencia,
Ejemplo 7.4.1 Integral de sin ax sin bx.
Z
sin ax sin bx dx =
=
cos(a − b)x − cos(a + b)x
dx
2
sin(a − b)x sin(a + b)x
−
+k .
2(a − b)
2(a + b)
Z
Del mismo modo se resuelven las integrales de sin ax cos bx y cos ax cos bx.
Muchas de las integrales en las que intervienen productos de funciones trigonométricas de un mismo argumento se pueden resolver por un sencillo cambio
de variable:
6
CAPÍTULO 7. INTEGRACIÓN
Ejemplo 7.4.2 Integral de sin2p+1 x cosq x.
En este caso, podemos agrupar sin2p x = (1 − cos2 x)p y hacer el cambio de
variable u = cos x, du = − sin x dx,
Z
Z
2p+1
q
sin
x cos x dx =
sin x(1 − cos2 x)p cosq x dx
Z
= − (1 − u2 )p uq dx ,
que se puede resolver en cada caso, por ser una integral polinómica.
Ejemplo 7.4.3 Integral de sinp x cos2q+1 x.
En este caso, podemos agrupar cos2q x = (1 − sin2 x)q y hacer el cambio de
variable u = sin x, du = cos x dx,
Z
Z
sinp x cos2q+1 x dx =
sinp x(1 − sin2 x)q cos x dx
Z
=
up (1 − u2 )q dx ,
que es también una integral polinómica.
Ejemplo 7.4.4 Integral de sin5 x cos3 x.
Se puede realizar por ambos métodos. Por ejemplo, tomando u = sin x,
du = cos x dx,
Z
5
3
sin x cos x dx =
Z
u5 (1 − u2 ) dx =
u6
u8
sin6 x sin8 x
−
+k =
−
+k .
6
8
6
8
¡Ejercicio! Resolverla mediante el cambio u = cos x y comparar los resultados.
Otras integrales pueden simplificarse con las fórmulas del ángulo doble,
cos2 x =
1 + cos 2x
,
2
sin2 x =
1 − cos 2x
.
2
Ejemplo 7.4.5 Integral de cos2 x.
Z
cos2 x dx =
Z
1 + cos 2x
x sin 2x
dx = +
.
2
2
4
El cambio de variable definitivo para reducir cualquier integral de funciones trigonométricas con un solo argumento a integrales fraccionarias es u =
tan(x/2), ya que
dx =
2 du
,
1 + u2
sin x =
Ejemplo 7.4.6 Integral de cosec x.
2u
,
1 + u2
cos x =
1 − u2
.
1 + u2
7
7.4. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
Aplicando el cambio de variable anterior,
Z
Z
dx
du
=
= ln |u| + k = ln | tan(x/2)| + k .
sin x
u
Todas estas técnicas para la resolución de integrales trigonométricas son
aplicables a integrales hiperbólicas sin más que hacer pequeños cambios.
Ejemplo 7.4.7 Integral de sinh2 x cosh x.
Haciendo el cambio de variable u = sinh x, du = cosh x dx,
Z
2
sinh x cosh x dx =
Z
u2 du =
sinh3 x
u3
+k =
+k .
3
3